ØÓ ÓÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ø Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÐÖÒØ Ó Ð Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ý ÑÓØ Ò Ø ÓÒ Ö ÖÐ ÚÖÒØÓÖ Ö Ø Òà ÖÐ ÓÒ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼ Ƽ¾ ¾¹ ½
Postadess: Matemats statst Matematsa sttutoe Stocholms uvestet 06 9 Stocholm Svege Iteet: http://www.matemat.su.se/matstat
Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ØÓ ÓÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø Ñ Ø º Ùº»Ñ Ø Ø Ø ÐÖÒØ Ó Ð Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ý ÑÓØ Ò Ø ÓÒ Ö ÖÐ ÚÖÒØÓÖ Å ¾¼¼ Ö Ø Òà ÖÐ ÓÒ Ý Ø ØÑ ØØ Ö Ø Ö ØØÙÒ Ö Ó Ò Ö Ø Ð Ö Ú Ð Ò ÙØ ØÖ Ò Ò Ö ÐÖÒØ Ó Ð Ø ÓÒ Ö Ò Ý ÑÓØ Ò Ø ÓÒ Ö Ò ÖÄ Ú¹ ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÒÓÑ Ò ÐÐ Ó Ð Ø ÓÒ ÖÓ ÒÑ Ö ÐÓ Ð Ø ÓÒ Öº ÔÓÖØ Ð Ö Ö ÖÒØÓֺ ÖÙÔÔ ØØ Ø Ò Ø Ð ØÖ Ñ Ö ÒØÐ Ð ÚÖÒØÓÖÔÌÖÝ À Ò º Ö ØÔ ÒÒ Ø Ð ØÖ Ñ Ö Ô ØØÚÔÓÖØ Ð Ö ÒÑ ÑÑÙÒ Ö ØÑ ÖÐ ÓÑ Ð Ò Ö Ò ÖÙÒ ÖØ ÓÖ Ö ØÔ ØÓÖ ¹ Ø Ô Ò Ø ÓÒÓ ÖÒØ ºÒØ ÒÙÒ Ö Ø ÓÖÖ ÑØ Ø Ø Ö Òº ØÚ Ö ØØ Ø Ò Ø ÓÒ ÒØ Ò ÓÑ Ö Ú ÒÙÚÖ ¹ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ö Ö Ø Ø ÖÒ ÒÐ Ò Ú Ö ØØ ÒÑ Ò ÔÓÖØ Ð ÖÒ Ñ Ò Ö ÚÖ ÒØ ÑÓØÒÙÚÖ Ø Ú Ø Ð ØÖ ÑÑ Ò Ø ÖØ Ó Ö Ò Ò Ú Ø Ð ØÖ ÑÑ Ò Ö ØÓÖÔÚ Ö ÒÔÖ ÙÐØ Ø Øº ÒÓÑ ØØ Ö ÖºÈÓÖØ Ð ÒÑ Ö ÐÓ Ð Ø ÓÒ Ö Ö ÒÐ ØÑ Ò Ö Ò Ò Ö Ò ØØÖ Ð Ø Ò Ø ÓÒ ÒØ Ò Ð ÖÒÙÚÖ Ø ÖÐ Ø Ú Ð ØÖ ÙÐØ Ö Ö ØØ ÒÚÒ ÖºÂ ÙÒ Ö ÖÖ ÑÐ Ø Ò Ö ÙÐØ Ø Ø Ú ÒÒÓÑ Ò ÐÐ ÔÓÖØ Ð Ò ÒÓÑ ØØ ÑÙÐ Ö ¼¼ Ò Ö ÖÙØ ÖÒÑÒ ÖÒ Ö Ò Ò Ú ÙØÚ Ð Ò ÒÒÓÑ Ò ÐÐ Ó Ð Ø ÓÒ ÖÓ ÖÓ Ò ÚÚ Ð Ø Ò Ø ÓÒ ÒØ Ò¹ Ò Ø ÓÒÓ ÖÒØ ºÂ ÙØ ÖØ ÓÖ ÑÑÙÒ Ö Ò Ú ¼¼ Ò Ö ÖÓ Ñ Ö Ö ÙÐØ ØÑ ÒÒÓÑ Ò ÐÐ ÔÓÖØ Ð Òº ØÚ Ö ØØ Ò Ø ÖÝ Ø ÒÔÖÓÑ ÐÐ ÚÖ ÙÐØ Ø Ò ÖÚÒØ Ö ÒÐ ÚÖ ÐÐ Ö ÑÖ ÙØÚ ¹ ÒØ Ò Ò Ö ØØ ÙÒÒ ÒÓÑ Ö ÑÑÙÒ Ö Ò Òº Ö ÙÐØ Ø Ò Ö ÔÓÖØ Ð ÖÒ Ø Ö ÓÑ Ö Ö Ö Ò Ð Ò ÖÓ Ð Ò ÓÑ ÒÒÓÑ Ò ÐÐ ÔÓÖØ Ð ÒÑ ØÓÖ Ø º Ø ÒÒ Ó Ö Ø ¹ÔÓ Ø Ö Ø Òº ÖÐ ÓÒØÖÝ Ò º ºÀ Ò Ð Ö Ì ÓÑ À ÐÙÒ º
Iehåll Iledg...4 Syfte...4 Metod...4 4 Avgäsga och begäsga...5 5 Gudläggade begepp...6 5. Iflato... 6 5. Räta... 6 5. Oblgatoe... 6 5.. Nomella oblgatoe och ealoblgatoe... 6 5.. Sllade mella ealoblgatoe och omella oblgatoe... 7 5.4 Lväto... 7 6 Besvg av modelle...8 6. Övelevadsfutoe... 8 6. Duatosaalys... 0 6.. Iflato... 0 6.. Yeld to matuty... 0 6.. Räta... 0 6..4 Oblgatoe... 6..5 Nuväde... 6..5. Defto av Betalstömmes uväde... 6..5. Defto av oblgatoes ps... 6..5. Egesape... 4 6..5.4 Defto av ealoblgatoes ps... 5 6..6 Duato... 5 6..6. Defto... 5 6..6. Egesape... 6 6..6. Betalstömmes duato... 8 6..6.4 Oblgatoes duato... 8 6..7 Kovextet... 8 6..7. Defto... 8 6..7. Egesape... 9 6..7. Betalstömmes ovextet... 0 6..7.4 Oblgatoes ovextet... 0 7 Tllämpg av metod...0 7. Immuseg... 0 7.. Te oblgatoe... 7.. Två oblgatoe... 7.. Postva vte... 7..4 Ombalaseg... 4 7..5 Resultat mmuseg... 7 7..6 Immuseg av dellasse... 7. Mote Calo smuleg... 7.. Besvg smuleg... 7.. Resultat smuleg... 5 8 Dsusso och Slutsatse...6
8. Dsusso... 6 8. Slutsatse... 6 8. Föslag tll utveclg... 6 9 Appedx...8 9. Realäteoblgatoe... 8 9. Oblgatospset... 9 9.. Exempel... 9 9. Duato... 40 9.. Exempel... 40 9.4 Postva vte... 40 9.4. Exempel... 40 0 Blago...4 Ltteatufötecg...45
Iledg E peso som sadas tafe och bl valdsead få esättg fö uteblve omst av fösägsbolaget tll de peso som osaade sada. Esättge motsvaa de sadade pesoes fövätade omst mus esättge som pesoe få få fösägsassa. Dea esättg ä e lväta som valgtvs betalas ut ude hela pesoes lv. Fösägsbolaget måste avsätta aptal fö att täca dessa famtda utbetalga. Detta aptal allas fö esev. Fasspetoe ädade få och med aua 004 eglea fö uppäge av det belopp som de sadade få. Tdgae äades beloppet upp elgt ett balaseat pocettal. Numea äas detta belopp upp med föädgaa osumetpsdex (KPI. I de gamla eglea togs e vss häsy tll flatoe me edast ä dea höll sg ude 5 %. I det ya egelveet fs ge öve gäs fö hu mycet sadestådsbeloppet a äas upp beoede på flatoe. Dessa ädga gö det me omplceat att uppsatta hu sto eseve ä eftesom famtda flato påvea eseve stole. Realäteoblgatoe (ealoblgatoe ä e oblgato som sydda mot flatosse eftesom avastge äas upp med flatoe. Sulle flatoe om åga å bl väldgt hög ä det s fö att eseve te växe motsvaade tat. Detta ebä e flatoss som ä stöe fö aptal som ä budet lågvagt exempelvs oblgatoe med låg löptd. Syfte Syftet ä att udesöa och få e föståelse fö vle utstäcg ealäteoblgatoe a sydda mot flatosse fö Lväto. Metod Utfå de lväto som fs på Tygg Hasa ha ag beäat de famtda lväteutbetalgaa. Jag ha avät e sattg av övelevadsfutoe fö vae peso och å och beäat e betalstöm (cash flow. Jag geomfö e mmuseg på betalstömme geom att matcha dess uväde, duato och ovextet med ett atal oblgatoe. Jag aväde hstosa data på äta och flato fö att beäa dessa uppgfte. Jag väle två ola potföle, e med ebat omella oblgatoe och e med ebat ealoblgatoe. De hstosa data ag aväde ha valts fö att de ehålle e aftg flatosög, eftesom ag ä tessead av hu de två potfölea utveclas ä 4
flatoe vaea aftgt. Vae potföl balaseas och ombalaseas ålge med de hstosa uppgftea som udelag. Jag föle utveclge fö de två potfölea ude to å och få fam ett esultat fö vae potföl. Resultatet av dessa båda potföle ämfö ag fö att få e uppfattg om hu utveclge fö ealoblgatoe och omella oblgatoe sle sg. Slutlge gö ag e smuleg basead på statst öve äto och flato. Jag geomfö femhuda smulega av flatoe samt de -, 5- och 0- ålga äta ude to ås utveclg. Dessa smulega lgge tll gud fö femhuda ola sceae på e potföl som balaseas ålge med omella oblgatoe. Resultatet av dessa sceae ämfö ag med motsvaade esultat baseat på hstosa data fö att få e uppfattg om hu saolt detta esultat ä. 4 Avgäsga och begäsga De lväto och oblgatoe som ag aväde abetet ä beftlga lväto som Tygg Hasa ha aua 005 samt beftlga statsoblgatoe aua 005. Jag ata att pset på oblgatoea ges av statsoblgatosäta. Detta ä e föelg av velghete, eftesom pset beo på maadsäta (yelde som beo äta, me äve på lvdtetss, flato, flatosspeme etc. Abetets utgågsput ä att ag aväde e stateg fö uvädesbeäg dä omell äta aua vae å bestämme dsotegsäta. Detta ä e aftg föelg av velghete och ebä att uvädet på betalstömme vaea aftgt mella åe eftesom äta vaea aftgt. De äta och flato som ag aväde baseas på hstosa data ude åe 987 996. Jag gö dessutom ett flatosatagade som uvädesbeäge av eseve guda sg på. Jag gö föst ett flatosatagade på %, däefte gö ag om beägaa med ett flatosatagade på 5 %. Samma flatosatagade gös fö alla å. Nä pset, duatoe och ovextete beäas fö oblgatoea och eseve föela ag beägaa geom att ata att oblgatoeas upoge och lvätebetalgaa betalas ut vd samma tdput slutet av vae å. Vd mmusege av potfölea gö ag e ålg ombalaseg, Geom tätae ombalaseg sulle ag tolge få mde vaato esultate mella vae balaseg. Jag geomfö Mote Calo smuleg av äte- och flatosföädge och ata då att dessa ä omalfödelade. 5
Jag ä medvete om att dessa atagade och föelga ebä begäsga modelle. Det ä m bedömg att dessa atagade ä ödvädga fö att det sa va mölgt att geomföa abetet. 5 Gudläggade begepp 5. Iflato Iflatoe ä de alläma stegge av psvå som mäts med föädge osumetpsdex (KPI. 5. Räta E vädeföädg på e tllgåg a mätas geom att vädet vd två tdpute ämfös. Detta ä de omella avastge som bestå av ealäta och flato. Realäta ges då av Realäta Nomell äta flato Jag omme aväda både de omella äta och ealäta. Tabell aptel 6.. sammaställe de hstosa vädea på flato, omell äta samt ealäta som ag aväde mg av detta abete. 5. Oblgatoe 5.. Nomella oblgatoe och ealoblgatoe E omell statsoblgato ä ett vädepappe som ge fast avastg fom av upogäta. Dessa upoge betalas omalt sett ut ålge. E oblgato ha ett föfallodatum (löptd då oblgatoes omella belopp betalas tllbaa. Pset på oblgatoe beo på maadsäta. E ealäteoblgato ge e föutsägba eal avastg, eftesom avastge äas upp med KPI de dage e upog betalas elle då oblgatoe föfalle. Realoblgatoes ps beäas på samma sätt som pset fö e omell oblgato föutom att ealäta aväds samt att pset äas upp med flatoe. Det ä te ödvädgt att behålla e statsoblgato ude hela löptde, eftesom det 6
föeomme hadel med dessa oblgatoe. Pset bestäms av maade och beo då på atuell äta, me äve på åga ada fatoe som tas upp eda. Det föeomme oblgatoe som saa upogbetalg, och dessa oblgatoe allas fö ollupogae. 5.. Sllade mella ealoblgatoe och omella oblgatoe Föutom sättet att beäa oblgatoeas ps på fs äve e del patsa sllade mella ealoblgatoe och omella oblgatoe. Det fs ealoblgatoe med läge löptde ä valga oblgatoe, pe aua 005 va de lägsta löptde dygt å fö ealoblgatoe mot appt 6 å fö omella oblgatoe. Maade fö ealoblgatoe ä te la lvd som de ä fö omella oblgatoe. Det fs te la måga vesteae och åtefösälae, vlet ebä att ä e ealoblgato behöve sälas så fs se att ma te a säla oblgatoe elle te få ett mlgt ps fö de. De Svesa ealoblgatosmaade ha på seae å vuxt stole och fötoedet få maade ha öat vlet ebä att lvdtete ha öat. Iflatoe ä och ha vat låg ude e peod, och dämed bedöms se fö hög flato som elatvt lte. I pset på e ealoblgato gå äve e speme fö ust det flatossydd som de ebude. Dea speme ha ude seae å vat låg, eftesom se ases låg, vlet ha ebut att e deflatosspeme uppstått. Det ha stället vat bllgae med ealoblgatoe ä valga omella oblgatoe. Detta a föutom e föväta på fotsatt låg flato äve beo på lvdtetsse. E höge flato ä dages elatvt låga våe medfö ocså e höge flatosspeme. Jag ha detta abete atagt att flatosspeme ä oll. 5.4 Lväto E lväta ä det åtagade som fösägsbolaget ha mot de peso som ha sadat sg och ä beättgad tll esättg. Esättge avgös av valdtetsgad, lö och vle esättg pesoe få få fösägsassa. Esättge täce upp sllade mella lö och fösägsassas esättg. Åtagadet gälle de flesta fall lvet ut äve om stolee på beloppet vssa fall påveas av att pesoe uppå pesosålde. Nya egle få Fasspetoe ebä att de ålga uppäge av lvätoa baseas helt på flatoe. Det åtagade lvätoa ebä fö fösägsbolage utsätts dämed fö (Rsgäldsotoet., 005 (Magusso, 00 (Gllbeg 7
e öad flatoss. E stgade flato ebä öade famtda lväto. De eseve som sätts av fö dessa famtda utbetalga vesteas tll dages föutsättga. Nomella oblgatoe ge e avastg som te alls påveas av de föädga flatoe som åde famtde, me ealoblgatoe ge e avastg som äas upp med föädge flatoe. Nä famtda utbetalga av lväto behöve göas omme detta att ompeseas av att ealoblgatoea äas upp med samma dex och se ä ästa helt elmead. Eftesom det dex som aväds gå te måade tllbaa föeomme doc e vss flatoss äve fö ealoblgatoe. 6 Besvg av modelle 6. Övelevadsfutoe Jag omme med hälp av alla de lväteutbetalga som fs dag göa e uppsattg av hu stoa utbetalga det omme att bl vae å utfå uppgfte pe aua 005. Geom att uppsatta saolhete fö att pesoe leve fö vae å famåt a ag få e såda utbetalgspla. Vae lväteutbetalg som fs motsvaa e pesos ålga utbetalg fö e specf sada. Jag beäa de famtda utbetalgaa geom att summea vae ålg utbetalg multplceat med e sattg av Övelevadsfutoe. Övelevadsfutoe ebä saolhet att pesoe leve det atuella ået och defeas elgt (. l( x t lx ( t - Fx ( t P( Tx > t, t 0 ( l( x Futoe ge saolhete att e x-åg dvd leve yttelgae mst t å 4. Nä ag beäa övelevadsfutoe fö ett helt å ebä det att t. Med hälp av Maehams fomel 5 ä det mölgt att göa e pats uvapassg av övelevadsfutoe: l (x e b -a x ( log(0*(-0 g g x ( a 0,0006, b 0,0000088 fö vo, b 0,000077 fö mä. g 0,047. ( 4 (Adesso, 005 5 (Adesso, 005 8
Jag tllämpa u Maehems fomel fö att satta e pesos övelevadsfuto elgt (, ( och ( 6. Däefte äas saolhete att pesoe leve det atuella ået som betalge gälle, g ( ( x t -a x t ( log(0*(-0 g e l x (t e b b -a x ( log(0*(-0 g g x (4 Dä xt ä geomsttlg ålde på pesoe det atuella ået utbetalge avse, x ä pesoes ålde dag. Fö att estmea futoe fö ett å aväde ag t0,5 eftesom det ä ett medelväde av ået. Vae utbetalg fö e peso med ålde x å 0, vd å, då pesoes ålde ä x å, se ut på fölade vs: y s l x (0,5 (5 s ä beloppet som sa betalas ut fö pesoe. Geom att summea alla pesoes beäade utbetalga åsvs, med m styce pesoe fö å få ag fölade fomel: m  x y (6 Det motsvaa de totala ålga utbetalge fö å. Betalstöme fö hela peode fö å tll utycs då: ( x x X... x (7 Betalstömme omme dessutom att behöva äas upp med flatoe. Eftesom ag uläget te vet hu sto flatoe ä så måste ag uppsatta hu sto flatoe bl. ( ( x x... x x ( x (... x ( X a a a (8 dä ( a ebä detta flatos atagade upphöt med å. 6 (Adesso, 005 9
6. Duatosaalys Geom att beäa uvädet av alla famtda utbetalga (betalstöm få ag det atuella maadsvädet fö e potföl. Däefte äas betalstömmes duato och ovextet fam. Geom att matcha adele oblgatoe så att de öveesstämme med maadsvädet, duatoe och ovextete ha ma sapat e mmusead potföl. Fö att göa dessa beäga behöve ag veta äta och flato. 6.. Iflato Iflatoe påvea både ps på e ealoblgato samt de famtda utbetalgaa. De flato som ag aväde ä de hstosa flatoe mella 987 och 996. Jag utyce flatoe fö vae å som ag aväde abetet. h dä ebä å 987. I Tabell edovsa ag de flato Dessutom behöve ag göa ett flatosatagade fö att beäa uvädet på lväteeseve. Detta flatos atagade utycs a. Det omme vsa sg av sto betydelse fö eseve hu stot flatosatagade som gös. 6.. Yeld to matuty Maadsvädet på e oblgato beäas utfå maadsäta elle yelde to matuty (yeld 7. 6.. Räta Fö att ua utföa duatosaalys behöve ag beäa uväde på famtda utbetalga och beäa pse på oblgatoe vas upoge föfalle ett atal å famåt tde. Fö att göa sådaa beäga sulle ma behöva veta hu sto yelde ä. Jag utgå få hstosa data få 987 och famåt, me äe ag te tll hu sto yelde va ude dea peod. Däemot äe ag tll -, 5- och 0-åg statsoblgatosäta ude dea peod. Jag omme mtt abete att aväda mg av dessa äto stället fö yelde. Geom lä tepolato av de -, 5-, och 0-åga äta beäa ag e äteuva fö vae å, ( R... (9 7 (Luebege, 998 0
Dä ä de tepoleade åga äta. Eftesom ag te äe tll de hstosa äta läge ä 0-åga äta, me utbetalga och upoge som ha läge tdshosot ä så, gö ag e extapolato upp tll 5 å, dä vae å efte å to ha samma äta som å to. Nä ag utfö duatosaalys fö ealäteoblgatoe aväde ag ealäta fö att uppsatta ps, duato och ovextet. Realäta beäa ag geom att ta de omella äta mus flatoe. I Tabell ha ag sammaställt de omella äto och ealäto som ag aväde mg av abetet. Tabell å flato omell äta eal äta 987, %,5% 8,4 % 988 5,0 % 0,9% 5,9 % 989 6,7 % 0,6%,9 % 990 8,4 %,8% 5,4 % 99 0,6 %,0%,4 % 99 5,4 % 0,8% 5,4 % 99 4,8 % 9,4% 4,6 % 994,8 % 6,5% 4,7 % 995,9 % 0,% 7, % 996,9 % 7,8% 5,9 %
6..4 Oblgatoe Jag ha avät mg av de omella oblgatoe espetve ealäteoblgatoe som exstea aua 005. Tabell edovsa dessa omella oblgatoe 8 : Tabell Oblgato Kupog Föfallodatum Åteståede löptd å RGKB 044,5 006-04-0 RGKB 07 8 007-08-5 RGKB 040 6,5 008-05-05 RGKB 04 5 009-0-8 4 RGKB 048 4 009--0 5 RGKB 045 5,5 0-0-5 6 RGKB 046 5,5 0-0-08 8 RGKB 04 6,75 04-05-05 9 RGKB 049 4,5 05-08- RGKB 050 0 06-07- RGKB 047 5 00--0 6 Tabell edovsa de ealoblgatoe som fas aua 005 9 : Tabell Oblgato Kupog Föfallodatum Åteståede löptd å RGKB 0 4 008--0 4 RGKB 00 0 04-04-0 9 RGKB 05,5 05--0 RGKB 0 4 00--0 6 RGKB 0,5 08--0 4 RGKB 04,5 08--0 4 8 (Rsgäldsotoet., 005 9 (Rsgäldsotoet, 005
6..5 Nuväde 6..5. Defto av Betalstömmes uväde Jag äa ut uvädet på alla famtda utbetalga, som gös med hälp av äta och vae ås fövätade betalg. Nuvädet beäas geom att betalstömme dsoteas med dsotegsäta 0. Jag aväde mg av äteuva som dsotegsäta. Nä ag defea futoe fö betalstömme uttyce dessa fö å. Motsvaade futoe fö oblgatoe aväde ag mg av å. P x x... ( ( ( x (0 Dä ä äta fö å. x ä fövätad betalge å elgt ova. ä atal å famtde som betalg se,,,. 6..5. Defto av oblgatoes ps Pset på e oblgato motsvaa uvädet. E omell oblgatos uväde med upogutbetalga e gåg pe å, beäas elgt fomel (. N ps  C ( ( t Y t Y ( C ä oblgatoes ålga upogutbetalg, N ä oblgatoes omella väde, ä atal hela å va på oblgatoes löptd. Y ä maadsäta, dvs. yeld to matuty. 0 (Höglud, 005 (Fed, 004 (Luebege, 998
6..5. Egesape Jag llustea hu oblgatoes ps uttycs som e futo av yelde Fgu, dä P ä psuva. Pute A ha e läge yeld och dämed ett höge ps ä pute A Fgu Eftesom ag te äe tll yelde omme ag aväda mg av äteuva. Fö vae å aväde ag stället fö Y. (0 svs om tll (: N p( Â C ( ( t t t ( dä p( ä pset på oblgatoe, dea vle oblgato det ä (ä flea ola oblgatoes ps beäas, C ä oblgatoes ålga upogutbetalg, ä maadsäta fö å,,,. N ä oblgatoes omella väde, ä atal å va på oblgatoes löptd. Jag ha hä got atagadet att det ä hela å va på löptd och vae upogutbetalg. I fotsättge aväde ag mg av dessa deftoe av upog, omellt väde och äta. Nä ealoblgatoe aväds ä det ealäta som aväds aas de omella äta. 4
Pset fö oblgatoe ( öveesstämme med uvädesbeäg av betalstömme dä upogea och det omella vädet esätts med utbetalgaa. Pset på e oblgato ges alltså av upogea, det omella vädet på oblgatoe och äta. Nä äta föädas påvea detta oblgatoes ps. E öad äta ge ett läge ps. Dessutom påveas pset av att e upog betalas ut. Pset på oblgatoe pecs efte att upoge betalas ut ä läge. 6..5.4 Defto av ealoblgatoes ps Pset fö e ealoblgato defeas elgt ( N p( Idex lvddag  C ( ( t t t ( Idex ä flatosföädge fam tll lvddage (vlet ä de dag fö vlet pset beäas, ä atal hela å va på oblgatoes löptd. Jag ha på samma sätt som ova avät mg av äteuva fast med ealäta. 6..6 Duato 6..6. Defto Duato fö e oblgato ebä oblgatoes äteäslghet. E sto föädg av pset ä yelde ädas motsvaa e hög duato och e lte föädg pset ä yelde ädas motsvaa e låg duato. Duatoe motsvaas av tagete uva fö oblgatoes ps, dvs. devata. Jag aväde mg av Macaulay s duato 4. E ollupogae ha samma duato som de ha vavaade löptd, meda e upogoblgato ha otae duato ä löptd. Duatoe aväds ag fö att mmusea (se 7., då ma fösöe matcha de tllgåga ma ha med utbetalga. Geom att äa ut duatoe fö e betalstöm och seda balasea med oblgatoe som ha samma duato som utbetalgaa omme föädga äta te påvea esultat samma utstäcg som aas. (Rsgäldsotoet 4 (Bystöm, Pegmaade, Del, 004 5
Duatoe motsvaa devata av psfutoe med avseede på yelde, dvs. föädgshastghete pset ä yelde ädas 5. ( Y p( N Duato - Â ( Y p( P t C ( ( t Y t Y (4 6..6. Egesape Duatoe llusteas Fgu. Oblgatoes ps vsas beoede på yelde (elgt Fgu. Yelde A ä läge ä A och däfö ä pset höge. Lea D och D llustea duatoe putea A och A, dvs. lutge på psuva fast med postvt tece (däav mustecet fomel. D ha e höge duato ä D vlet ebä e batae lutg på le. Fgu Läge löptd på oblgatoe ge höge duato. Höge upogäta ge läge duato. 5 (Bystöm, Pegmaade, Del, 004 6
Höge yeld ge läge duato I Fgu vsas hu e la sto ög av yelde påvea pset på oblgatoe. Ple y uttyce öge yelde få pute A. Dea ög ebä att pset msas elgt ple p. På samma sätt öas yelde pute A med y, detta esultea msg pset med p. Föädge yelde ä la sto y och y, me psföädge p ä stöe ä p. Detta fölaas med att duatoe ä höge pute A ä pute A Fgu Eftesom ag te ha hstosa data fö yelde aväde ag mg av äteuva fö att beäa duatoe på oblgatoe och betalstömme. 7
8 6..6. Betalstömmes duato Duatoe fö betalstömme X sle sg te få sättet att beäa duatoe fö e oblgato. Kupogea och det omella beloppet byts ut tll ålga utbetalga: ( ( ( ( Â x P x x x P D... (5 Elgt deftoea ova, ä atal å va på betalstömme. 6..6.4 Oblgatoes duato Duatoe fö vae oblgato med dex bl: ( ( ( ( ( Â N C p N C C p d (... ( ( (6 Elgt deftoea ova och ä atal å tll oblgatoes föfall. 6..7 Kovextet 6..7. Defto Kovextet ä ett oggaae sätt att mäta psföädge ä ebat duato. Kovextet mäte hu duatoe påveas ä äta föädas. Kovextete motsvaa adadevata av psfutoe 6. Eftesom duatoe ä lä och övesatta psföädge aväds ovextete fö att ua mäta föädge bätte. E psfuto a vaa ola mycet ovex. Höge ovextet ebä att felet med att mäta e föädg geom duatoe bl stöe. Deftoe av ovextete fö e oblgato (med dex : ( ( Â t t Y C t t Y N P Y P Y P Kovextet ( ( ( ( (7 6 (Bystöm, Pegmaade, Del, 004
6..7. Egesape Eftesom psfuto ä butg meda duatoe ä e lä futo ebä det att duatoe övesatta psföädge ä yelde ädas. I Fgu 4 vsas detta sambad. E föädg yelde med y ebä e föädg pset med p. De läa appoxmatoe av psföädge med duatoe bl p. Duatoe övesatta alltså psföädge. Övesattge bl stöe ä föädge yelde ä stöe. Stöe duato ebä att övesattge bl stöe ä e läge duato. Geom att aväda ovextete bl appoxmatoe av psföädge me exat 7. Fgu 4 På samma sätt som fö ps och duato aväde ag mg av äteuva stället fö yelde. 7 (Bystöm, Pegmaade, Del, 004 9
0 6..7. Betalstömmes ovextet Kovextete fö lväteutbetalgaa beäas elgt (7 med betalgaa stället fö upoge och omellt belopp (på samma sätt som vd duatoe: ( ( ( ( Â x P x x x P K 4 ( (... (8 6..7.4 Oblgatoes ovextet Kovextete fö vae oblgato ges av (7 dä yelde esätts med äta: ( ( ( ( ( Â ( ( ( ( (... ( ( N C p N C C p (9 Elgt deftoea ova, ä atal å tll oblgatoes föfall. 7 Tllämpg av metod Jag utfö e mmuseg av två ola potföle med samma lväteutbetalga. De ea potföle ehålle edast omella oblgatoe och de ada edast ealoblgatoe. Med äta och flato taga få åe 987 tll 996 gö ag balaseg och ålga ombalasega av de båda potfölea. Efte to å ha ag ett esultat fö vae potföl. Fö att få e föståelse fö hu mlgt esultatet de både potfölea ä gö ag Mote Calo smulega av äte- och flatosföädg. Jag gö 500 smulega som ag aväde tll 500 sceae. Fö vae sceao gö ag däefte e balaseg och ålg ombalaseg. 7. Immuseg Immuseg ebä e matchg av tllgåga och famtda utgfte (elgt duatosaalys 6.. Eftesom lvätoa de flesta fall betalas ut ude pesoes hela lvslägd ä föetaget budet vd famtda utbetalga ude e låg peod. Geom att fösöa matcha vae utbetalg med e tllgåg som ge upogutbetalg samtdgt msa äteäslghete. Föädga äta påvea då te potföle samma utstäcg. Effete e äteföädg ha på tllgågaa ompeseas med att utbetalge vd samma tdput få motsatt effet. E stgade äta ebä att e oblgato msa väde. Nä äta stge så msa alltså vädet på tllgågaa. Samtdgt ebä äteuppgåge
ocså att uvädet på utbetalgaa sue. 7.. Te oblgatoe Jag ha beäat lvätoas uväde, duato och ovextet, lsom vae oblgatos ps, duato och ovextet. Immuseg ebä att ag äa ut vae oblgatos vte som matcha lvätoas duato och ovextet. Vtea motsvaa hela ehavet (dvs. summa av vtea ä. Dämed ehålle ag fölade evatossystem 8. K v v v D d v d v d v v v v (0 Eftesom ag ha te evatoe a ag edast aväda te ola oblgatoe potföle samtdgt fö att få e etydg lösg. Det ebä att ag behöve göa ett uval fö vae balaseg. Vtea tllåts te vaa egatva, se 7... Evatossystemet ova a uttycas med matse elgt: v v v d d d K D ( och löses geom: - K D d d d v v v ( Vtea ( v v v V ä alltså de te oblgatoeas vte tll de mmuseade potföle. Geom vtea, det aptal som vesteas potföle samt pset på oblgatoe beäas atalet oblgatoe som sa öpas. Jag utgå hä få att uvädet av potföle (P ä de mägd aptal som vesteas. ( ( p v P Atal ( 8 (Höglud, 005
Fö oblgato,,. Vd balasege tllåte ag ga egatva vte fö oblgatoea, vlet ebä att ma te tllåts säla e oblgato som ma te äge, dvs. ma a te vaa ot e oblgato och så fall täa på att oblgatoe gå e. 7.. Två oblgatoe Jag udesöe e ombato av te oblgatoe och se om dess vte bl postva aas udesöe ag e aa ombato av oblgatoe. Fs det te ågo ombato av te oblgatoe som ge postv vt uteslute ag e oblgato och aväde edast två oblgatoe ett lade evatossystem som ova fast med två vte. Med edast två vte aväds te ovextete uta edast duato och att summa av vtea ä la med. Motsvaade evato tll ( med edast två oblgatoe bl (4: D d v d v (4 ( utycs fö två oblgatoe som (5 - v v d d D (5 7.. Postva vte Föst udesöe ag alltså om te vte fö de ola oblgatoea tllåts vaa postva. Detta a llusteas geom ett oodatsystem med duato som e axel och ovextet som e axel. Vae oblgatos duato och ovextet (d, blda e put. De te oblgatoe som aväds ebä te pute som blda e tagel oodatsystemet. Nä pute P, som motsvaa eseves duato och ovextet, dvs. (D, K lgge afö dea tagel ä alla te vtea postva. Jag beäme de te putea som p ( d,, p ( d,, p ( d, (6 Evatoe som uttyce le mella två pute bl elgt fölade: Le L mella p och p, L mella p och p samt L mella p och p Ett exempel på hu dessa pute och le a se ut ä llusteade Fgu 5. Vae puts duato utycs x-led och
ovextet uttycs y-led, elgt (6 samt (7 (9. Fgu 5 Kovextet Duato Evatoea tll dessa le defeas (7 (9: L ( x ax ( - a d (7 Dä ( a ( d - - d L ( x bx ( - b d (8 ( b ( d - - d L ( x cx ( - c d (9
( c ( d - - d Fö att udesöa om pute P (D,K lgge afö tagel udesöe ag hu pute lgge föhållade tll vae le och esteade pute. Föutsättge ä att pute P måste lgga på samma sda om vae le som de esteade pute. Pute ämfös med le L, och då måste P lgga på samma sda om L som pute p, atge måste P och p vaa ude le elle öve le L. Detta ebä att atge (0 elle ( gälle: ( L ( D ad ( - a d > K «L ( d ad ( - a d > (0 ( L ( D ad ( - a d < K «L ( d ad ( - a d < ( På samma sätt måste pute P ämföas med de övga lea och putea. Geom att ämföa P med de te lea få ag fam fölade uttyc. ( L ( D > K «L ( d >» ( L ( D > K «L ( d > «( L ( D > K «L ( d >» ( L ( D > K «L ( d > «( L ( D > K «L ( d >» ( L ( D > K «L ( d > ( Se 9.4 fö exempel beäga. 7..4 Ombalaseg E ombalaseg ebä att efte e td göa om mmusege ova. Väde på ps, duato och ovextet ha föädats föhållade tll de äta som u åde och de td som passeat. Nya väde på dessa fatoe ebä ädade föutsättga fö vtea som ocså föädas. Det ebä att e vss adel av oblgatoea föe ombalaseg säls och ya oblgatoe elgt de ya vtea öps. Eftesom ag edast a mmusea te oblgatoe åt gåge me ha fle oblgatoe att väla mella ebä ombalaseg att e elle fle oblgatoe a bytas ut mot ada oblgatoe. På samma sätt som ova tepolea ag äta fö vae å utfå de hstosa äto ag ha. Fösta gåge ag gö ombalaseg (dvs. fö ada ået bl äteuva (, som fösta ået utyctes (9 ( R... -,,, ( dä ä atalet vavaade å på betalstömme vd å, betalstömme ä alltså u ett å 4
otae., ä de åga äta ude ada ået. Jag aväde fotsättge ett dex fö att maea vlet å det ö sg om. Fösta ået uttycte ag de vavaade betalstöme (0. Ada ået ha de fösta betalge betalats ut, dvs. x. Kva ä alltså ( x x... x, dä x fövätas betalas ut ude detta å. Nä dessa ålga betalga togs fam å äades betalgaa upp med ett flatosatagade (se 6.. Efte ett å äe v tll hu sto flatoe ha vat ude det fösta ået. Däfö behöve vae betalg multplceas med velg flato föa ået delat med flatosatagadet. Jag uttyce vavaade betalstöm å som ( x x x X,,..., -. (4 dex dea att det ä betalstöme fö ada ået. x, ä de utbetalg som se om ett å ude ada åets mmuseg, det motsvaa de betalg som föegåede å beämdes x (8, (och som med dexeg av å sulle uttycas x, multplceat med vote av velg flato ude ået delat med flatosatagadet. (4 a utycas som: X ( x x... x h a (5 Dä h ä de velga (hstosa flato å och at ä flatos atagade. Ada ået ha äve äta ädats, och uvädet på betalstömme (som fösta ået uttyces (0 ada ået ä dämed: P x x,,, -...,,, - - ( ( ( x (6 Dä, ä de ettåga äta ude ada ået och - ä atal vavaade betalga. Duatoe och ovextete äas ut på samma sätt som tdgae föutom att atalet vavaade å ha msat. (5 och (8 utycs ude ada ået som: 5
6 ( ( ( ( Â - - - -,,,,,,,,... x P x x x P D (7 ( ( ( ( - Â - - - -,,,,,,,, ( (... x P x x x P K (8 Pset duato och ovextet på vae oblgato äas u fam med atuella väde fö äta fö det å som balasege gös. Ifö ada ået utveclas psfutoe få fösta ået ( tll,,, ( ( ( ( - - C N C C p K (9 Fö ealoblgatoe beäas futoe på samma sätt som ova: - -,,, ( ( ( ( lvddag C N C C Idex p K (40 ( ( ( ( ( ( - - - - - -,,,,... ( ( N C C C p d (4 ( ( - -,, (... ( ( C C p (4 dä ä atalet å va tlls oblgatoe föfalle vd å., ä de -åga äta fö ada åets mmuseg. Eftesom ett å ha gått ebä det att e upog betalats ut, vlet msa pset på oblgatoe. Eftesom det ä ett å mde va td tlls oblgatoe föfalle så omme yelde att ha mde effet och pset bode öa. Hu pset pate påveas av detta beo på upoges och yeldes stole. Ha äta öat seda föa ået omme yelde att msa, vlet msa pset på oblgatoe. Totalt väde på potföle efte fösta ået beäas (4
 atal( p ( atal( C - x ( h totalväde  (4 ( a dä atal ( ä det atal oblgatoe som öptes å av oblgato. h ä velg flato fö å och a ä flatosatagadet. Detta väde ä det aptal som fs potföle att vestea ude å. Fö å m utycs totalvädet: totalväde m  atal ( hm - m- ( pm (  atalm- ( C - x, (44 ( a Nästa steg ä att göa om mmusege med häsy tll ya pse, duato och ovextet. Eftesom ag u ha fått fam ya vetoe Y och X a ag lsom ova beäa pset P, duatoe D, ovextete K. Dämed få ag åtege evatoe eda med ada väde på D och K. v v v, v, v,,, d,, v v,, d,, v v,, d,, D K (45 Vtea ( v v V,, v, ä beftlga vte å. Obsevea att v, te behöve ebäa samma oblgato som fösta ået. På samma sätt som tdgae sapa ag e potföl med postva vte. Gå det te att sapa e sammasättg av te oblgatoe som ha postva vte aväde ag två oblgatoe. Gå det te att göa e potföl med två oblgatoe aväde ag e oblgato som ä ämast potföles duato. Däefte gös ombalaseg på samma sätt fö de esteade åe. 7..5 Resultat mmuseg Jag ha Tabell 4 beäat de två potföleas ålga väde vd ombalaseg. Å ebä uvädet böa av fösta ået. Vae potföls esultat ha ämföts med det atuella uvädet på vavaade betalga fö vae å. Eftesom detta uväde beo på äta och flatoe som vaea aftgt ude dessa å ebä det sto vaato uvädet. Efte to å ha de omella potföle ett väde som ä 48 % av uvädet på vavaade betalga (som ä samma fö både potfölea. Fö ealoblgatoe ä motsvaade sffa 75 %. Båda potfölea tappa väde mot uvädet, me de omella potföle tappa mest. Jag ha hä 7
got ett flatosatagade på % ålg flato. Tabell 4 m Nomella oblgatoe Realoblgatoe Å Nuväde vavaade betalga Resultat Resultat / Nuväde å 0 Resultat 06 06 06 Resultat / Nuväde å 0 058 046 0 % 0 4 % 4 087 00 % 474 9 % 4 980 850 9 % 9 4 % 5 060 864 87 % 747 65 % 6 4 96 79 % 467 09 % 7 0 860 69 % 6 0 % 8 670 989 58 % 8 79 % 9 09 66 5 % 005 8 % 0 4 68 48 % 069 75 % De omella potföle ha te gått att balasea med te vte ude ågot å. Ude de ssta åe ha det helle te vat mölgt att balasea potföle med två oblgatoe uta e oblgato ha då aväts (oblgatoe med lägst duato. Aledge tll detta ä att betalstömme ä fö låg och de omella oblgatoe som fs att tllgå te laa av att matcha utbetalgaa. Fö ealpotföle ha det vat mölgt att balasea med te oblgatoe ude de fösta åe, däefte två oblgatoe. Potföle med omella oblgatoe utveclas svagt ude vae å. Realoblgatospotföle utveclas stat postvt de fösta fya åe. Ude dea peod gå flatoe upp aftgt samtdgt som omell äta te vaea specellt mycet. Detta ebä att ealäta gå e ude dessa å och dämed gå pset på ealoblgatoea upp. Däefte utveclas potföle egatvt ude åga å, specellt mella å fem och sex tappa potföle mycet väde. Just mella dessa å msa flatoe mycet aftgt (få tll 5 % samtdgt som omell äta gå e ca pocet (få % tll %. Det ebä att ealäta öa aftgt vlet esultea att ealoblgatoea gå e ps. Det ebä att potföle msa aftgt väde eftesom pset på ealoblgatoea gå e tll föld av läge ealäta, samtdgt som uvädet på eseve öa aftgt. 8
Jag äda u flatosatagadet tll 5 % ålg flato stället fö %. Resultatet vsas Tabell 5. Tabell 5 m Nomella oblgatoe Realoblgatoe Å Nuväde vavaade betalga Resultat Resultat / Nuväde å 0 Resultat 49 49 49 Resultat / Nuväde å 0 44 74 05 % 66 % 47 507 07 % 50 46 % 4 5 40 08 % 08 70 % 5 00 4 06 % 84 8 % 6 747 579 00 % 97 7 % 7 688 5 95 % 64 4 % 8 5 887 8 % 7 04 % 9 54 46 90 % 785 7 % 0 868 65 88 % 080 % Det vsa sg att esultatet föhållade tll uvädet bl lat höge, % fö ealoblgatoe och 88 % fö omella oblgatoe. Aledge tll de stoa sllade ä fämst att ett höge flatosatagade höe uvädet på eseve. Eftesom ag vestea de mägd aptal som motsvaa uvädet böa av å påvea detta hela potföle ude de to åe. Nuvädet på potföle med 5 % flatosatagade ä ca 90 M höge ä med % atagade. Geom att vestea 90 M me aptal omme upogvädet att vaa ugefä 40 % höge fö ealpotföle. Dessutom påvea flatoe äve det totala vädet på potföle vae å. Samtdgt ä utbetalgaa oföädade, eftesom flatosatagadet edast påvea uvädesbeäge. Det lede tll att potföle efte to å ä väd öve 000 M me ä med det läge flatosatagadet. Geom ett fö lågt flatosatagade udesattas lväteeseve aftgt och detta få så pass stoa osevese fö potföle att det te spela så sto oll hu ba mmusege utfös. Det ä ädå tydlgt att potföle med ealoblgatoe utveclas bätte ude de atuella föutsättgaa. 9