Mekanik SG1108 Mekanikprojekt Dubbelpendel Studenter: Peyman Ahmadzade Alexander Edström Robert Hurra Sammy Mannaa Handledare: Göran Karlsson karlsson@mech.kth.se
Innehåll Sammanfattning... 3 Inledning... 3 Fakta... 3 Teori... 4 Slutdiskussion... 7 Källor och Referenser... 9 2
Sammanfattning Frågeställningen i projektet har varit att matematiskt förstå hur dubbelpendelsystemet fungerar under ideella förhållanden. Det vill säga hur systemet beter sig i förhållanden utan friktion, luftmotstånd och andra motverkande krafter. Anledningen till att ideella förhållanden har valts är för att den matematiska teorin inte ska bli allt för komplicerad. Det ska även diskuteras hur systemet uppträder med olika vinklar, längder och massor, samt under vilka förhållanden ekvationerna som beskriver dubbelpendelns rörelse kan linjäriseras. Det resultat som hittats är att dubbelpendelns rörelse beskrivs av två kopplade differentialekvationer av andra ordningen, vilka kan linjäriseras för små vinklar. För stora vinklar visar systemet en kaotisk rörelse, men för små vinklar förenklas rörelsen och ett mönster kan tydligare ses. Inledning Detta projektarbete går ut på att finna och förstå så mycket som möjligt om dubbelpendeln. Man ska hitta ett sätt att linjärisera rörelsernas ekvationer, alltså då den kaotiska dubbelpendeln beter sig mer likt en simpel enkelpendel. För att finna rörelseekvationerna måste man först finna Lagrangefunktionerna och insätta dess derivator i Lagranges ekvationer. När ekvationerna hittats ska villkor för linjärisering av dem undersökas. För att förenkla matematiken räknar man med svängningar i endast två dimensioner, att stavarna mellan partiklarna är stela istället för flexibla och att systemet är helt energikonserverande. Energikonservation är även ett krav för användandet av Lagranges ekvationer. För att enklare förstå hur en dubbelpendel beter sig skall också en animation skapas. Fakta Dubbelpendeln är en pendel som består av två partiklar, med olika, eller lika, massor, som är separerade av 2 stela, tunna, masslösa stavar med olika, eller lika längder. Systemet betraktas ofta som oförutsägbart, eftersom den ena pendelns rörelse beror direkt av den andra pendelns massa, längd och vinkel i det givna ögonblicket. I många situationer ger detta upphov till ett kaotiskt system. Däremot finns det vissa förhållanden för systemet under vilka systemets ekvationer kan linjäriseras. 1 Figur 1 visar en grundläggande dubbelpendel. 1 Något som utmärker dubbelpendelns beteende är också att den är väldigt känslig för begynnelsevillkor. Detta gör att mycket små skillnader i t.ex. startvinkeln resulterar i en väldigt annorlunda rörelse. 1 http://sv.wikipedia.org/wiki/dubbelpendel 3
Teori Den totala kinetiska energin för en dubbelpendel ges av den kinetiska energin för den ena massan m 1 plus den kinetiska energin för den andra massan m 2 enligt formeln nedan. ½ ½ Där betecknar hastigheten hos den första massan och är den andra massans hastighet relativt mot den första. som är den totala hastigheten hos den andra massan ges då av. Bild 2: bild på dubbelpendel Den första massans hastighet kan skrivas som: Den andra massans hastighet kan skrivas som första massans hastighet plus andra massans hastighet relativt mot första enligt nedan. Uttrycken för hastigheterna i kvadrat blir då: 2 Om vi sätter in dessa uttryck i den första formeln för systemets kinetiska energi får vi följande: ½ 2 Precis som för kinetiska energin, finner vi systemets totala potentiella energi genom att addera energin för första och andra massan. Med punkten där första pendeln är fäst som nollpunkt kan man då se att systemets potentiella energi ges av uttrycket nedan. h h cos 4
När vi nu både funnit systemets kinetiska och dess potentiella energi kan vi använda detta för att finna systemets Lagrangefunktion. Lagrangefunktionen är definierad som systemets potentiella energi subtraherat från dess kinetiska energi: ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ 2 Lagrangefunktionen ska nu deriveras med avseende på, θ,, φ och φ. Sedan ska Lagrangefunktionens derivator med avseende och φ deriveras med avseende på tiden. Därefter ska derivatorna användas i Lagranges ekvationer för att hitta de differentialekvationer som beskriver dubbelpendelns rörelse. Nu sätts derivatorna in i Lagranges ekvationer: 2 0 0 Först för vinkeln φ 212 2 Sida 191, Rigid body and Analytical mechanics, Nicholas Apazidis, 2007 5
2 0 Sedan för vinkeln θ: 0 Dessa ekvationer beskriver rörelsen för dubbelpendeln och gäller för alla vinklar, även den kaotiska rörelse som sker för stora vinklar. Genom att göra approximationer av sinus och cosinus för små vinklar fås linjäriserade ekvationer som beskriver en icke-kaotisk rörelse och gäller för små θ och φ. MacLaurin-utvecklingarna för sinus och cosinus är 3 : sin x x x x x 3! 5! 1 2n 1! R x cos x 1 x x x 1 2! 4! 2n! R x För mycket små vinklar räcker första termen i dessa serier för att approximera sinus och cosinus. De approximationer vi ska använda är därför: sin x x cos x 1 Dessa insatta i ekvationerna ovan ger följande resultat: 22 0 L φ L φ m l l θ φφ θ θ l θ θ φ gφ l φ m l gφ l φ 0 0 φ 0 3 Sida 414, Analys i en variabel, Persson och Böiers, 2001 6
Skillnaden för en dubbelpendels rörelse med små och stora vinklar visas i graferna 1 och 2 nedan. Där ser man tydligt hur rörelsen är kaotisk och inte följer något synligt mönster för stora vinklar medans rörelsen har ett tydligare mönster för små vinklar. Graf 1: En dubbelpendels rörelse för små vinklar 4 Graf 2: En dubbelpendels rörelse för stora vinklar 4 Slutdiskussion De formler vi funnit för att beskriva dubbelpendelns rörelse är alltså: 0 Och 0 Dessa formler har även linjäriserats med en approximation för små vinklar av sinus och cosinus. Detta ger två kopplade differentialekvationer som beskriver dubbelpendelns rörelse för små vinklar. m l θφφ θ θ l θ θ φ gφl φ m gφ l φ 0 0 Det finns även fler förenklingar att göra av dessa ekvationer. Om man t.ex. låter längden för antingen eller l gå mot noll blir rörelsen lik den för en enkel pendel. Något liknande bör även vara möjligt att göra för massorna. Om den ena massan är så pass mycket större än den andra att den ena kan ses som försummbar så påverkas inte den större massan av den mindre. Alltså blir den större massans rörelse som den för en enkelpendel. 4 http://www.myphysicslab.com/dbl_pendulum.html 7
Det finns även mer komplicerade situationer som skulle kunna vara intressanta att titta på om man vill fördjupa sig i ämnet. Bland annat skulle man kunna undersöka hur en dubbelpendel beter sig med svängningar i tre dimensioner. Andra fall som skulle kunna tas upp som fördjupning i ämnet är hur pendeln påverkas av luftmotstånd och övrig friktion. 8
Källor och Referenser Apazidis, Nicholas. Rigid Body and Analytical Mechanics. Stockholm: KTH, 2007. "Double Pendulum." Wikipedia. 6 Oct. 2006. 22 Feb. 2008 <http://sv.wikipedia.org/wiki/dubbelpendel>. Neumann, Erik. "Double Pendulum." My Physics Lab. 2004. 25 Feb. 2008 <http://www.myphysicslab.com/dbl_pendulum.html>. Persson, Arne, and Lars-Christer Böiers. Analys I En Variabel. 2:7 ed. Lund: Studenlitteratur, 2001. Weisstein, Eric W. "Double Pendulum." Scienceworld. 2007. 20 Feb. 2008 <http://scienceworld.wolfram.com/physics/doublependulum.html>. 9