Kap. 2. 2.2. Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet. 20. Skissera definitionsmängden till följande funktioner: A a. f(,) = ln ( 2 2 ) A b. f(,) = arcsin ( ). arccos ( + ) A c. f(,,z) = + + z + z B d. f(, + ) = + +. 202. Skissera grafen och nivåkurvorna till följande funktioner: A a. f(,) = 2 2 A b. f(,) = 2 + 2 A c. f(,) = 2 + 2 B d. f(,) = 2. 203. Bestäm A a. f, 2 om f(,) = 2 + 2 A b. f(,) om f +, = 2 2, där + 0, 0 A c. f, om f +, =, där + 0, 0 B d. f(, f(,)) om f(, + ) =, där 5 0. A 204. Rita grafen till funktionen g(t) = f(cos t, sin t), där f(,) = om 0 om <. A 205. Låt f(,) = ( + )2 2, där (,) (0,0). Verifiera att + 2 a. lim (lim f(,)) = b. lim (lim f(,)) = 0 0 0 0 c. lim f(,) eisterar inte.
A 206. Sök följande gränsvärden a. lim 3 + 3 + b. lim 3 + 3 (,) (, ) + c. lim d. lim (,) (, ) + 2 + + 2 g. lim e. lim + 2 ) sin f. lim π (,) (, ) 2 + 2 2 + 2 + 2 + 3 + 2 h. lim sin (,) (0, a). B 207. Sök följande gränsvärden: a. lim (2 + 2 ) e ( + ) c. lim (,) (, ) (,) (,0 + ) + b. lim (,) (, a) + 2 / + d. lim ln ( + ) (,) (,0) ln. B 208. Är funktionen f(,) = är kontinuerlig i origo? 2 ln ( + 2 + 2 om (,) (0,0) ) om (,) = (0,0) 209. Låt f(,) = 2 4, där (,) (0,0). Verifiera att + 2 A a. lim f(,) = 0 längs varje rät linje genom origo B b. lim f(,) eisterar inte. B 20. Låt f (,) = ( + ) sin sin, där 0. Verifiera att a. lim f(,) = 0 b. Varken lim 0 ( lim 0 f(,)) eller lim( lim f(,)) eisterar. 0 0 2. Undersök om f(,) = ln ( + ) är en begränsad funktion, + då dess definitionsmängd ges genom 2
A a. a + b, där a > 0 B b. 0 < + b C c. 0 < +. B 22. + är be- Visa att funktionen f(,) = gränsad. + + + C 23. Hur många lösningar har ekvationen arctan ( + ) + e =? C 24. Betrakta funktionen f(,) = sin om 0. 0 om = 0 a. Bestäm mängden M av alla punkter, där f är diskontinuerlig. b. Är M en sluten mängd? B 25. Låt A vara en sluten delmängd i R n och B en delmängd i R. Medelst en kontinuerlig funktion avbildas A på hela B. Måste B vara sluten? B 26. Låt A vara en delmängd i R n och B en öppen delmängd i R. Medelst en kontinuerlig funktion avbildas A på hela B. Måste A vara öppen? C 27. Låt f : R n R vara en kontinuerlig funktion definierad på hela R n. Vi betraktar en öppen delmängd B i R och en delmängd A i R n, sådana att en punkt p tillhör A om och endast om f(p) tillhör B. Måste A vara öppen? 3
Ledningar till uppgifterna 20 27. 20 a. ln t definierad för t > 0. Här är t = 2 2 = ( )( + ) > 0 antingen > 0 och + > 0 eller 2 < 0 och + < 0. b. f definierad arcsin ( ) och arccos ( + ) definierade och +. c. f definierad,, z och z definerade 0, 0, z 0 och z 0. d. Sätt u = och v = + f är en funktion av två variabler u och v; f(u,v) = ( u, v ) och f definierad u 0, v 0. 202 a. Grafen beskrivs av ekvationen z = 2 2 (ett plan i R 3 ). Nivåkurvor ges av ekvationen 2 2 = C, där C = konstant. b. Grafen ges av z = f(,). Här är f(,) = 2 + 2 = en funktion av tpen g(t), där t = 2 + 2. Ekvationen z = f(,) beskriver då en rotationsta i R 3 (z-aeln = rotationsaeln). Skissera den del av tan där = 0. Rotera den. Nivåkurvor: 2 + 2 = konstant. c. Samma ledning som i 202 b. d. Graf: Ytor med ekvationer av tpen z = g() är clindertor. De genereras av de -aelparallella linjerna genom kurvan z = g() (kurvan ritas i z-planet). Skissera kurvan z = 2 i z planet. Dra -aelparallella linjer genom punkterna på kurvan. Nivåkurvor: 2 = konstant = konstant. 203 a. f(u,v) = uv u 2. Sätt in u = och v = 2 + v2. b. f u + v, v u u = + och v = + c. f u + v, v u ( ) + = u2 v 2. Sätt in u + v = och v u =. Man får (, t u + v 0) f(,) = ( )2 + = v u. Sätt in u + v = och v u =, v = ( ) +. Man får u = (, t = v ) f(,) = ( )2 u +. d. f(u v, u + v) = uv. Sätt in u v = och u + v =. Man får f(,) = 2 2 2 och f(, f(,)) = 2 f 2 (,) 2.. 4
om sin t cos t 204 g(t) = 0 om sin t < cos t. Lös olikheten sin t cos t. 205 a. Beräkna först lim 0 b. Beräkna först lim 0 c. Beräkna gränsvärdet lim (,) (0, 0) f(,) längs linjen =. Det erhållna värdet lim 0 f(,), där = konstant 0: lim 0 f(,), där = konstant 0: lim 0 (lim 0 f(,) =. f(,) =. f(,)) gränsvärdet saknas. 206 ab. 3 + 3 + = 2 + 2. c. Beräkna gränsvärdena längs olika linjer = k. T e k = ± ger olika resultat gränsvärdet saknas. d. Då (,) (, ) har man 0 < e. sin = sin och 0. + 2 + 3 + 2 < + 2 + 2 + 2. f. Samma ledning som i 206 c. g. Beräkna gränsvärdena längs olika linjer = k. T e k = 0 resp. h. En produkt, där en faktor 0 och den andra är begränsad. 207 a. Då (,) (, ) har man 0 < ( 2 + 2 ) e ( + ) < ( + ) 2 e ( + ). Sätt + = r och bestäm gränsvärdet r 2 e r då r. b. Använd att c d = e d ln c och sök lim d ln c: d ln c = 2 + ln + = + ln +. Betrakta fallen a = reellt och a = ±. c. = e ln. Betrakta fallen = ln och = 2 ln. d. ln ( ) ln ln ( + ) ln ln ( + ) ln. Använd instängningsprincipen. 208 Är lim f(,) =? Observera att 0 f(,) 2 ln ( + 2 ). 209 a. Beräkna gränsvärdet då = k respektive = 0. b. Beräkna gränsvärdet då = 2. Det erhållna värdet är värdet i 34a gränsvärdet saknas. 5
20 a. En faktor 0, två faktorer begränsade. b. Kontrollera att de inre gränsvärdena inte eisterar. T e om = konstant 0 lim ( + ) sin 0 sin saknas. 2 a. Om definitionsmängden är sluten och begränsad och f kontinuerlig f antar ett största och ett minsta värde f är begränsad. b. Undersök f(,) då (,) (0,0). Det räcker att undersöka fallet > 0 och > 0. Man får f(,) = +.. ln ( + ) och. ln ( + ) = { = t } = ln ( + t) samt t 0 < < + 0. Av detta följer att f(,) 0. Resultatet i 36a + medför att f är begränsad. c. Undersök f(,) då (,). Man har 0 < + ln ( + )2. 22 Visa att f är kontinuerlig och att dess definitionsmängd är sluten och begränsad. 23 f(,) = arctan ( + ) + e + är en kontinuerlig funktion som antar både negativa och positiva värden. Definitionsmängden är sammanhängande funktionen antar värdet 0. Visa att detta inträffar i oändligt många punkter: Om f(a,b) > 0 och f(c,d) < 0 f(,) = 0 i någon punkt på sträckan mellan punkterna (a,b) och (c,d). 24 a. Sök gränsvärdet av f(,) då (,) ( 0, 0 ). Betrakta fallen då någon (några) av 0, 0, är = resp 0. b. Skissera mängden. 25 T e: Kan en rät linje (= sluten mängd) avbildas på ett öppet intervall (= öppen mängd i R) med hjälp av en kontinuerlig funktion? Sök ett eempel bland arcusfunktionerna. 26 T e : Kan två disjunkta halvöppna intervall avbildas på ett öppet intervall? T e : A ges av eller 0 och f() = 2 ( + ). 6
27 Låt p k vara en följd av ttre punkter till A och låt p k p. Om p A f(p) B f(p k ) B för tillräckligt stora k (t B är öppen) p k A för tillräckligt stora k motsägelse. 7
Svar till uppgifterna 20 27. 20 a. = < < eller < < = b. + = + = = = och + c. z tetraedern 0, 0, z 0 och + + z. d. v u 0, v 0, där u =, v = +. u 202 a. z 2 z = 2 2 + 2 = C 2 8
202 b. z z = 2 + 2 2 + 2 = C, C 0 c. z z = 2 + 2 2 + 2 = C, C 0 d. z z = 2 = C 203 a. c. 2 2 + 4 2. b. 2 ( ) + ( ) 2 +. d. 4 2 5 2.. 204 g(t) 3π/4 π/4 5π/4 9π/4 t 206 a. 0. b. 3. c. eisterar inte. d. 0. e. 0. f. eisterar inte. g. eisterar inte. h. a. 9
207 a. 0. b. e om a är reellt ; eisterar inte om a = ±. c. eisterar inte. d. eisterar inte. 208. Ja. 2 a. Ja. b. Ja. c. Ja. 23 Oändligt många. 24 a. { (,) : 0, = 0 }. b. Nej. 25 Nej. 26 Nej. 27 Ja. 0