DERIVATOR AV STYCKVIS DEFINIERADE FUNKTIONER När vi beräknar derivatan av en styckvis definierade funktioner gör vi oftast enligt följande: Vi bestämmer derivatan i inrepunkter av delintervall enligt vanliga deriveringsregler Derivatan i ändpunkter av delinterval bestämmer vi enligt derivatans definition Oftast bestämmer vi öger- oc vänsterderivatan i en ändpunkt (om funktionen är definierad på båda sidor av punkten) Om öger- oc vänsterderivatan existerar oc är lika i en punkt, så är funktionen deriverbar i denna punkt Anmärkning: Den kända satsen: Sats { f är deriverbar i punkten x a } { f är kontinuerlig i punkten x a } kan vi kan utrycka på följande ekvivalent sätt: { f är inte kontinuerlig i punkten x a } { f är inte deriverbar i punkten x a } Med andra ord: Kontinuitet i punkten punkt Sats gäller även för öger- oc vänsterderiverbaret: x a är nödvändigt villkor för deriverbaret i denna Sats { f är ögerderiverbar i punkten x a } x a } { f är ögerkontinuerlig i punkten Sats { f är vänsterderiverbar i punkten x a } x a } { f är vänsterkontinuerlig i punkten ÖVNINGAR Uppgift Bestäm derivatan av följande funktioner: om x < a) b) + 3x om x + 3x om x c) x om x < 3 9 + 6x om x 3 Lösning: av
a) + 3x om x Först beräknar vi derivatan i de inre punkter av de två delinterval dvs om x Vi ar Funktionen är inte kontinuerlig i punkten x (notera att 6 Detta implicerar att funktionen inte är deriverbar i punkten x (Anmärkning: Samma svar får vi om vi räknar derivatan i punkten enligt definitionen: f () (3+ 3( + )) 6 3 För ögerderivatan ar vi: 3 Alltså ör ögerderivatan 3 ) För vänsterderivatan ar vi: 0 f () ( + ) 6 4 + 0 0 som betyder att vänsterderivatan saknas oc därmed är funktionen inte deriverbar, ( ej reellt tal) Svar a) Funktionen är inte deriverbar i punkten x ---------------------------------------------------------------- om x < b) + 3x om x av
Först beräknar vi derivatan i de inre punkterna av delinterval dvs om x Vi ar om x < om x > I punkten x beräknar vi derivatan enligt definitionen (Notera att funktionen är kontinuerlig i punkten ): f ( + ) f () ( + ) 4 Vänsterderivatan: 0 0 0 f ( + ) f () + 3 ( + ) 4 3 Högerderivatan: 3 Eftersom vänsterderivatan ögerderivatan är funktionen inte deriverbar i punkten Svar b) om x < Funktionen är inte deriverbar i punkten x om x > ---------------------------------------------------------------- c) x om x < 3 9 + 6x om x 3 Först beräknar vi derivatan i de inre punkterna av delinterval dvs om x 3 Vi ar 3 av
x om x < 3 6 om x > 3 I punkten x 3 beräknar vi derivatan enligt definitionen f (3 + ) f (3) (3 + ) 9 6 + Vänsterderivatan: 6 0 0 0 f (3 + ) f (3) 9 + 6 (3 + ) 9 6 Högerderivatan: 6 Alltså är funktionen deriverbar i punkten x3 med 3) 6 Svar c) x om x < 3 oc 3) 6 6 om x > 3 Notera att vi, den är gången, kan skriva kort x om x 3 x eller 6 om x > 3 6 om x < 3 om x 3 Uppgift Vi betraktar följande funktioner: a) b) 5 x + c) 3 ( x ) ( x ) sin x Gör följande för var oc en av ovanstående funktioner: i) Bestäm i vilka punkter funktionen y f ( är kontinuerlig ii) Beräkna derivatan ( även i punkten x om funktionen är deriverbar i denna punkt) iii) I fallet att funktionen är deriverbar i punkten x, bestäm också om derivatan är kontinuerlig i denna punkt Lösning: 4 av
a) 5 i) Funktionen är kontinuerlig för x < (funktionen är konstant i detta intervall) samt för x > (konstant 5) Kvarstår att undersöka kontinuitet i punkten x 5 ( f ( är INTE kontinuerlig i punkten x) Svar a(i) Funktionen är kontinuerlig i intervallet (,) (, ) ii) Först beräknar vi derivatan i de inre punkter av delinterval om dvs om x Vi ar 0 0 I själva punkten x är funktionen inte kontinuerlig oc därmed inte deriverbar (Anmärkning: Samma slutsats får vi om vi räknar derivatan i punkten enligt definitionen: f () 0 För vänstererderivatan ar vi: 0 Alltså ar funktionen 0 vänsterderivatan 0 i punkten x För ögerderivatan ar vi: f () 5 3 ögerderivatan saknas Därmed är funktionen inte deriverbar) Svar a(ii) 0 Funktionen är inte deriverbar i punkten x 0 b) x +, som betyder att 5 av
i) Funktionen är kontinuerlig för x < ( eftersom x är kontinuerlig för alla samt för x > (eftersom x + är kontinuerlig för alla Kvarstår att undersöka kontinuitet i punkten x f () ( f ( är kontinuerlig i punkten x) Svar b(i) Funktionen är kontinuerlig för alla x ----------------------------------------------------------------- ii) Först beräknar vi derivatan i de inre punkterna av delinterval dvs om x Vi ar x I punkten x beräknar vi derivatan enligt definitionen (Notera att funktionen är kontinuerlig i punkten ): f () ( + ) Vänsterderivatan: 0 0 0 f () ( + ) + + + Högerderivatan: Eftersom vänsterderivatan ögerderivatan är funktionen deriverbar i punkten Svar b(ii) Funktionen är deriverbar för alla x samt ) x -------------------------------------------------------------------- iii) Derivatan är kontinuerlig i punkten xa om 6 av
x a a) Vi ar, x oc ) Alltså är derivatan en kontinuerlig funktion Svar b (iii) Ja, derivatan är en kontinuerlig funktion c) f 3 ( x ) ( x ) sin x ( i) Funktionen är kontinuerlig för x < ( eftersom 3 ( x ) är kontinuerlig för alla samt för x > (eftersom ( x ) sin är kontinuerlig för alla x ) x Kvarstår att undersöka kontinuitet i punkten x Vi beräknar 3 ( x ) 0 ( x ) sin 0 x 0+ x (notera att sin x om x ) oc f ( ) 0 7 av
Alltså är 0 x 0 + x (0) Svar c(i) Funktionen är kontinuerlig för alla x f, varmed är f ( kontinuerlig i punkten x ii) Först beräknar vi derivatan i inre punkter av delinterval om dvs om x Vi ar 3( x ) ( x )sin cos x x 3 f () 0 Vänsterderivatan: 0 0 0 0 sin 0 f () Högerderivatan: sin 0 sin om 0 ) (notera att Eftersom vänsterderivatan ögerderivatan 0 är funktionen deriverbar i punkten oc ) 0 Svar c(ii) Funktionen är deriverbar för alla x 3( x ) samt ) 0 ( x )sin cos, x x iii) Derivatan är kontinuerlig i punkten xa om x a a) Vi ar 3( x ) 0 ) medan 0 8 av
( x )sin cos x + x x inte) existerar inte (eftersom cos x existerar Härav slutsatsen att derivatan inte är kontinuerlig i punkten x Svar c(iii) Nej, derivatan är inte kontinuerlig i punkten x Grafen till f( Som vi ser i ovanstående uppgifter, använder vi derivatans definition för att beräkna derivator till styckvis definierade funktioner i delintervallets ändpunkter som är tidskrävande beräkning Då dyker upp följande fråga (som studenter oftast ställer): Kan vi undersöka ögerderivatan (/ vänsterderivatan) till en styckvis definierad funktion f i delintervallets ändpunkt x a, på enklare sätt, genom att beräkna till öger (/till vänster) om punkten a oc därefter beräkna (eller )? x a Uppgifter a oc c visar att svaret är NEJ om vi betraktar allmänt fall I uppgift a är 0 om x> oc därmed 0 x + medan + ) saknas (eftersom f () 5 3 ) I uppgift c existerar inte 0 x + medan är ) 0 Nedanstående sats visar att om f är ögerkontinuerlig oc ar f en ögerderivata f + (a) oc a R + ) R (där R är ett tal) då Uppgift 3 Bevisa följande sats: 9 av
Sats a Låt f vara en funktion som är deriverbar i intervallet (a,b) oc ögerkontinuerlig i punkten a Om a R + ) R (där R är ett tal) så ar f en ögerderivata i punkten a oc Bevis Låt x ( a, b) Enligt antagande är f deriverbar i ( a, oc kontinuerlig i [ a, x] så att vi kan använda Lagranges medelvärdessats Alltså, finns det ett tal c (som beror av, sådant att a < c < x oc f ( a) x a c) (*) Om x a+ då enligt antagande R Eftersom a < c < x då också gäller c a+ därför c) R oc Därmed från (*) f ( a) f + ( a) R x a Med andra ord ar f en ögerderivata i punkten a oc i sats är ögerderivatan a) + a R Alltså, under antagande + ) Anmärkning: Symmetrisk sats gäller för vänsterderivata: Sats b Låt f vara en funktion som är deriverbar i intervallet (a,b) oc vänsterkontinuerlig i punkten b Om ögerderivata i punkten b oc L (där L är ett tal) så ar f en x b b L ) Uppgift 4 Låt ax + b c om x x + 5 Bestäm a, b oc c så att f blir en deriverbar funktion i punkten x (oc därmed i alla punkter) Lösning: Kontinuitet är ett nödvändigt villkor för deriverbaret Funktionen är kontinuerlig om f () eller a + b 6 c x + Alltså c 6 oc a + b 6 (*) 0 av
Vänsterderivatan är a (enligt derivatans definition eller enligt sats b) ) Högerderivatan är + ) (enligt derivatans definition eller enligt sats a) Funktionen är deriverbar i punkten om f ) f () dvs om a (**) Nu, från (*) oc (**), ar vi b4 Svar: a, b4 c 6 samt x + 4 6 x + 5 om x ( + av