Ballistisk pendel laboration Mekanik II Utförs av: William Sjöström 19940404 6956 Philip Sandell 19950512 3456 Uppsala 2015 05 09
Sammanfattning Ett sätt att mäta en gevärkulas hastighet är att låta den träffa en pendel med en oelastisk stöt. Pendeln kommer att söttas i rörelse tillsammans med pilen. I stöten så bevaras systemets rörelsemängdsmoment och efter stöten så bevaras systemets mekaniska energi. Detta utnyttjas för att få ett uttryck för pilens ursprungshastighet beroende av pendelns maximala utslagsvinkel och periodtid. I denna laboration så undersöker vi hur pendelns utformning påverkar resultatet. Vi visar att rörelsemängden och den mekaniska energin hos systemet ändras vid stöten. Sida 1 av 12
Inledning En avfyrad gevärkula har en hastighet. Denna hastighet kan vara bra att veta bland annat för att få reda på hur långt från målet som geväret kan avfyras. Det är även intressant för att ta reda på vilken licens som behövs för att få avfyra geväret. Ett sätt att mäta hastigheten på kulan är med hjälp av en ballistisk pendel. Låter man kulan träffa en betydligt tyngre pendel med en oelastisk stöt så bevaras kulans rörelsemängdsmoment runt pendelns rotationsaxel. Efter stöten bevaras istället den mekaniska energin. Utnyttjar man dessa två fenomen kan man ställa upp ett samband mellan pendelns maximala utslagsvinkel, periodtiden och kulans utgångshastighet. I denna laboration kommer vi att avfyra ett luftgevär mot en pendel och sedan beräkna utgångshastigheten. Vi kommer även analysera data från ett annat experiment där avståndet mellan upphängningspunkten och träffpunkten har varierats. Teori Pendelns periodtid kan uttryckas som: (4) Där M är massan för både pilen och pendeln, g är tyngdaccelerationen och d är avståndet från pendelns upphängningspunkt till dess masscentrum, se figur 2. Omskrivet ger det ett uttryck för pendelns totala tröghetsmoment, I t, efter stöten: (5) Pendelns kinetiska energi efter stöten ges av: Pendelns potentiella energi vid max utslagsvinkel ges av: (9) (10) Där g är tyngdaccelerationen, M är massan för både pendeln och pilen. h är höjden, i detta fall: Där d är avståndet från rotationsaxeln till masscentrum och θ max är den maximala utslagsvinkeln som pendeln har. (11) Eftersom att den mekaniska energin bevaras efter stöten så är ekvation (9) = (10), vilket efter förenkling ger ett uttryck för vinkelhatigheten, w: Sida 2 av 12
(12) Pilens rörelsemängdsmoment, H p, runt pendelns rotationsaxel strax innan stöten ges av: Där p är pilens rörelsemängd, vilken ges av: Där m p är pilens massa och v p är pilens hastighet innan stöten. (13) (14) Systemets (pendeln + pilen) rörelsemängdsmoment, H E, efter strax stöten ges av: (15) Där w är pendelns vinkelhastighet efter stöten och I t systemets tröghetsmoment efter stöten, se ekvation (8). Sida 3 av 12
Eftersom att rörelsemängdsmomentet bevaras vid stöten så blir ekvation (13) = (15), genom det kan vi få ut ett uttryck för pilens hastighet innan stöten, v p : Kombinerat med ekvation (8) och (12) fås: (16) (17) Sida 4 av 12
Metod Materialet som användes: En handdator (Pasco xplorer GLX). Vinkelsensor. Pendel (aluminiumrör) med gummikopp. Ett luftgevär med pil ammunition. En linjal. En digital våg. Figur 1, illustrering av laboration. Pendeln monterades på vinkelsensorn och vinkelsensorn kopplades till handdatorn enligt figur 1. Luftgeväret placerades så att det på kort avstånd kunde avfyras och pilen träffa mitt i gummikoppen. Laborationen utfördes enligt följande: 1. Pendeln med gummikopp och ammunitions pilens vikt noterades. 2. Avståndet, d, från masscentrum på pendeln inkusive pilen till infästningen i vinkelsensorn samt avståndet, R, från infästningen i vinkelsensorn till gummikoppens mitt noterades. 3. Mätningen på handdatorn startades och luftgeväret avfyrades. 4. Mätningen på handdatorn avslutades och värdena för pendelns maximala vinkel och dess periodtid noterades. 5. Steg 3 till 4 återupprepades tre gånger. Sida 5 av 12
Resultat Figur 2 Pendelns massa, m s =246,89(1) g. Ammunitionspilens massa, m p = 0,87(1) g. Avståndet d = 31,6(1) cm Avståndet R = 48,9(1) cm Pendelns totala längd var 57,9(1) m. I tabell 1 nedan redovisas mätvärdena för max utslagsvinkel och periodtiden, T. Mätning 1 2 3 Max vinkel [rad] 0,248 0,250 0,251 R [mm] 489 489 489 T [s] 1,30 1,28 1,30 Tabell 1, mätdata från laboration. Sida 6 av 12
Figur 3. Graf på pilens hastighet. Figur 4. Graf på skillnaden i rörelsemängd före och efter stöt. Sida 7 av 12
Figur 4. Graf på skillnaden i den totala energin före och efter stöt. Sida 8 av 12
Diskussion Mätning 1 2 3 4 5 6 Max vinkel [rad] 0,1585 0,1325 0,109 0,087 0,0615 0,036 R [mm] 515 437 361 283 203 120 T [s] 1,234 1,232 1,232 1,231 1,233 1,23 Tabell 2, mätvärden från laboration utförd av andra personer [1]. Som man kan se i figur 3 och 4 skiljer sig både energin och rörelsemängden före och efter stöt vilket stämmer överens med teorin. Det som är sticker ut är att hastigheten på pilen skiljer sig åt mellan experimenten, vilket de inte borde göra eftersom att alla pilar skjuts med samma gevär och är den enda faktor som borde påverka pilens hastighet. Att den uppmätta hastigheten varierar kan bero på hur pilen träffat gummikoppen, det kan påverka den uppmätta periodtiden och maxvinkeln. Eftersom att skillnaden inte är stor, cirka 3%, kan dessa skillnader förklaras genom mätosäkerheter. Skillnaden mellan rörelsemängden före och efter stöt blir en linjär funktion. När avståndet mellan träffpunkten och rotationsaxeln är litet så förloras rörelsemängd i stöten, men ju längre avståndet blir desto mindre förloras, tills ett avstånd där rörelsemängden istället ökar. Detta beror på att kraften i upphängningspunkten måste motverka att systemet fortsätter röra på sig. När pilen träffar pendeln så kommer den ge upphov till en rotationsrörelse samt en translationsrörelse, vilket håll som pendeln vill rotera åt beror på var pilen träffar i förhållande till pendelns masscentrum. Om pilen träffar ovanför pendelns masscentrum (pilen kommer från vänster enligt figur 1) så vill pendeln rotera medurs. Men eftersom att rotationsaxeln som pendeln roterar runt är fast monterad så måste dessa rörelser motverkas av en kraft motsatt pilens riktning och därför minskar rörelsemängden. Även när pilen träffar mitt i pendelns masscentrum så minskar rörelsemängden, eftersom att pilen här enbart ger upphov till en translationsrörelse, vilken motverkas av en kraft i motsatt pilens riktning. När pilen däremot träffar under masscentrum, så kommer rotationsrörelsen att vara motriktad translationsrörelsen, det är när de krafter som motverkar dessa rörelser är lika stora som rörelsemängden bevaras. När träffpunkten är tillräckligt långt under masscentrum så kommer rotationsrörelsen att bli större än translationsrörelsen och den motverkade kraften blir i pilens riktning, således ökar systemets rörelsemängd. I figur 4 så motsvarar det negativa värdet på delta E förlorad energi, detta beror på att stöten inte är elastisk och en stor del av energin går förlorad i stöten. Det finns flera felkällor i detta experiment, bland annat så har vi antagit att pilen alltid träffar på samma ställe, det kan även finnas defekter i träffytan som påverkar resultatet. Sida 9 av 12
Slutsatser Denna laboration visar att rörelsemängden och den mekaniska energin hos systemet skiljer sig före och efter stöt. Skillnaderna i rörelsemängd samt energi verkar inte heller följa något mönster beroende på längden mellan träffpunkt och rotationsaxel. Referenser [1] Given av laborationsbeskrivningen. Appendix Matlab koden som användes bifogas nedan: clear all ms=0.47675; %massa pendel mp=0.00095; %massa pil d=0.2990; %avstånd från rot.axel till masscentrum g=9.82; %tyngdaccelerationen l = 0.579; %pendelns längd R=[0.515 0.437 0.361 0.283 0.203 0.120]; %avstånd från rot.axel till träff. theta = [0.1585 0.1325 0.1090 0.0870 0.0615 0.0360]; %vinkel T = [1.234 1.232 1.232 1.231 1.233 1.230]; %periodtid M=mp+ms; for y=1:length(r) I(y)= (1/12)*ms*l^2+ms*d^2+mp*R(y)^2; %trögheten h(y) = d*(1 cos(theta(y)); w(y) = sqrt(2*m*g*h(y)/i(y)); %vinkelhastigheten vp(y) = (2*g*M*d*T(y)*sin(theta(y)/2))/(mp*R(y)*2*pi); %hastighet pf(y) = mp*vp(y); %rörelsemängd före pe(y) = M*d*w(y); %rörelsemängd efter Ee(y) = M*g*h(y); %energi efter Ef(y) = (mp*vp(y)^2)/2; %energi före Ediff(y) = Ee(y) Ef(y); %skillnad i energi pdiff(y) = pe(y) pf(y); %skillnad i rörelsemängd end %alla grafer är plottad separat för större format. plot(r,ediff, '*' ) title 'Skillnad mellan totala energin före och efter stöt' xlabel 'Avstånd mellan pilens träffpunkt och rot.axeln(m)' ylabel ''\Delta'E(J)' Sida 10 av 12
axis ([0 0.6 0.4 0.3]) Sida 11 av 12