Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet (sid 51) 1. Diskussion 2. Geogebra CAS: 3.1 Derivator och deriveringsregler Kort om derivator (sid 100-102) Här gäller det att friska upp sina eventuellt slumrande derivatakunskaper. Lös samtliga a-uppgifter samt eventuellt 3110, 3111, 3113 och 3114. c-uppgifterna hoppas över. Derivatan av en produkt (sid 104-106) Minns att summor och differenser får deriveras termvis, dvs D(f+g)=D(f)+D(g),D(f g)=d(f) D(g) Historik Leibniz, som inte var vem som helst precis, trodde i något ögonblick att produkter kunde deriveras faktorvis. Testa att "derivera" f(x) = x 2 = x x på detta sätt, och se att det inte blir 2x. Efter lite eftertanke och kanske resonemang som utgick från derivatans definition insåg Leibniz att följande fungerar: D(f g)=d(f) g+f D(g). Ni kan vänta med att tänka igenom "bevisen" (metod 1 och 2 på sida 104-105) och först lösa ett antal uppgifter där ni använder regeln. Lös 3119, 3120, 3123, 3126 och eventuelllt 3127, 3128, 3130, 3131. Derivatan av en kvot (sid 108-109) Observera att jag använder den praktiska beteckningen D för derivata, dvs D(f)=f. Eftersom det finns en "regel" för att derivera produkter är det inte otänkbart att det finns en "regel" också för kvoter. Här kommer den: D( " "() ) = ()
Bokens bevis bygger på produktregel och kedjeregel. Ni måste kunna använda regeln även om ni inte har kontroll på beviset. Lös 3136, 3137, 3138 och eventuellt 3142, 3144. Exponential- och logaritmfunktioner (sid 110-112) Här illustreras en trevlig ide. Nämligen att om man känner till derivatan av en funktion så kan man bestämma derivatan till den invers funktionen ("motsatsfunktionen"). Exempel på inversa funktioner är f(x) = x 2 och g(x) = x. Den ena funktionen tar ut den andra, dvs x = x och x = x, i alla fall om x 0. Nu råkar vi kunna derivera båda ovanstående funktioner så ett intressantare exempel är f(x) = e och g(x) = ln x som är varandras inverser. Som boken visar i exempel 2 på sidan 110 får man att D(ln x) = med hjälp av kedjeregeln och derivatan av ex. Denna derivata programmerar man sedan in i skallen och tränar användning på. Lös 3149, 3151, 3152cd, 3153a, 3155 och eventuellt 3158cd, 3161, 3164, 3165. En del av dessa uppgifter är nog ganska svåra. Samband mellan förändringshastigheter (sid 113-115) Detta är i princip användning av kedjeregeln, fast man måste hantera "okända" funktioner i sin derivering. Momentet återkommer i Matematik 5 och vi gör ett urval av uppgifter nu. Ett exempel (lite krystat och där notationen inte är exakt som boken): Arean av en kvadrat ökar med 5 cm 2 /s. Hur fort ökar sidlängden i det ögonblick (t=t 0 ) då sidan är 10 cm? Vi vet att A(t)=s(t) 2 Eftersom det efterfrågas hastighet deriverar vi ovanstående med avseende på t och får A (t)=2 s(t) s (t) Observera användningen av kedjeregeln då högerledet deriveras. Insättning av kända värden ger nu 5=2 10 s (t 0 ) ur vilket s (t 0 ) enkelt kan bestämmas. Principen är alltså att man tecknar ett samband för storheter (som var och en t.ex. beror på tiden). Detta samband deriveras sedan och man erhåller ett samband mellan motsvarande derivator/förändringshastigheter. Observera att boken använder ett alternativt skrivsätt för derivator, nämligen
A (t) = " ", s (t) = " ", A (s) = " " I exemplet ovan kan kedjeregeln alltså formuleras " " = " * " " " Lös 3169, 3170, 3171, 3172. b- och c-uppgifter skippas. 3.2 Grafer Grafer och derivator (sid 116-119) Detta har ni i princip redan gjort i Matematik 3c. Det handlar om att använda derivatan för att studera funktionsgrafer och bestämma största/minsta värde. Det enda nya är att ni nu kan derivera fler funktioner. Kom ihåg att man behöver avgöra om ett visst värde är max eller min, t.ex. genom att studera andraderivatans tecken eller genom att göra en teckenstudie. Det räcker inte att påstå att derivatan är noll. Lös 3203, 3205, 3207, 3208, 3209, 3213 och eventuellt 3214, 3215. Den sista är svår. I facit finns halvlösning. Kika där om det krisar. Olika typer av grafer (sid 120-123) Definitionsmängd och värdemängd bör vara bekant, kontinuerlig betyder (lite slarvigt) att funktionsgrafen hänger ihop (där den är definierad, något som boken slarvar med) och deriverbar att (återigen lite slarvigt) att grafen inte har några hörn. Bokens Exempel 1, och flera av uppgifterna, är alltså tveksamma/fel. Eftersom funktionerna i Exempel inte är definierade för x=0 är det ingen mening att prata om kontinuitet och deriverbarhet här. Exempel 2 (absolutbeloppet) är korrekt eftersom funktionen är definierad för x=0. Lös 3219, 3220, 3225 och eventuellt 3227a, 3230, 3231. Kurvor och asymptoter (sid 125-127) Asymptoter är användbara när man ska skissa utseendet hos en graf, eller mer allmänt vill studera beteendet hos en funktion. Man försöker då approximera funktionen med räta linjer "långt bort från origo". Ett enkelt exempel är grafen till y=1/x som har två asymptoter, nämligen x-axeln som grafen närmar sig då x stort och y-axeln som grafen närmar sig då x litet. Man "letar" efter asymptoter i punkter där funktionen inte är definierade och "långt bort" längs x-axeln. GeoGebra Lös 3234abc, 3235, 3237, 3238 och eventuellt 3239, 3242, 3243, 3245.
3.3 Differentialekvationer Begreppet differentialekvation (sid 128-133) Med en ekvation menas ett algebraisk samband mellan tal, där det ingår ett okänt tal, som ofta ska bestämmas, t.ex. 2x+3=0 En differentialekvation är ett algebraiskt samband mellan funktioner, där det ingår en okänd funktion och dess derivator, t.ex. 2y y =0 Att lösa differentialekvationen betyder att bestämma funktionen y. I fallet ovan ser man kanske att t.ex. y = e fungerar (men det finns fler). Skälet till att diffentialekvationer är intressanta också för en icke-matematiker är att många naturvetenskapliga modeller blir just differentialekvationer. Ett intressant exempel vars modellering och lösning ligger långt utanför gymnasiekursen är brachistochrone-kurvan http://en.wikipedia.org/wiki/brachistochrone_curve Som vanligt har Newton ett finger med i spelet I Matematik 5 blir det lite mer om differentialekvationer. GeoGebra Lös a- och b-uppgifterna och eventuellt c-uppgifterna. Differentialekvationer och matematiska modeller (sid 130-131) Här finns ett antal tillämpade problemställningar. Det är ingen ny matematik så det räcker att göra några, fast ordentligt. Lös 3314, 3316, 3319, 3322. 3.4 Integraler Integraler och primitiva funktioner (sid 134-137) I en viss mening är nästan hela avsnitt 3.4 en repetition av det som gjorts om integraler och primitiva funktioner i Matematik 3c. Det som bör kännas igen är att primitiv funktion är "baklängesderivata", att man kan använda primitiva funktioner för att räkna ut integraler och att integraler kan tolkas som area. Det mesta som är nytt är att det finns en hel räcka med nya typer av funktioner att utgå ifrån. Notera att integral definieras (nästan) som en oändlig summa av areor av oändligt många oändligt smala rektanglar. Ganska komplicerat med andra ord. Det fina i kråksången är att analysens huvudsats säger att man ganska enkelt kan beräkna integraler med insättning av värden i primitiv funktion. Men skilj alltså på vad som är definition och vad som är en sats. Lös samtliga a-uppgifter, 3410b, 3412, 3414.
Grafiska metoder (sid 138-141) Ibland är det svårt/omöjligt attt bestämma primitiva funktioner. Då kan man utifrån definitionen beräkna närmevärden till integraler med t.ex. rektangelmetod, trapetsmetod eller över- och undersumma. Har man förstått definitionen så bör detta var ganska lätt att inse. Sedan är det en annan sak att räkningarna är tråkiga att utföra för hand. GeoGebra Lös 3420, 3421, 3422, 3423. Areor mellan kurvor (sid 142-145) Om grafen till funktionen y=f(x) ligger över x-axeln i intervallet a x b kan integralen tolkas som arean mellan grafen och x-axeln. Ett alternativt sätt att tolka integralen är genom omskrivningen a b f x -0 dx och tolkningen som area mellan den övre grafen y=f(x) och den undre y=0. Mer allmänt kan (f x g(x)) dx tolkas som arean mellan den "övre" funktionen y=f(x) och den "undre" y=g(x). Tekniken för att beräkna dessa integraler är som tidigare, fast man förenklar gärna integranden f(x) g(x) första innan man t.ex. bestämmer primitive funktionen. Lös samtliga a-uppgifter (eller ha kontroll på dem), 3439, 3441 och eventuellt 3445 och 3446. Integraler och areor (sid 146-149) Om funktionsgrafen ligger över x-axeln i ett intervall a x b kan integralen tolkas som arean av området mellan grafen och x-axeln. Om däremot grafen ligger under x-axeln anger integralen "arean med minustecken". Det beror på att samtliga värden f(x)δx i Riemannsumman blir negativa (f(x) är ju negativt).
Önskar man beräkna arean av ett område som ligger både över och under x-axeln får man alltså dela upp integralen i lämpliga delar och hålla koll på tecken. En självklar kontroll man gör är att man inte får ett negativt värde som area, det är ju orimligt. Lös 3448, 3450, 3451, 3452, 3453, 3455, 3457 samt eventuellt 3460, 3461. Integraler och storheter (sid 150-153) Här handlar det om "integralproblem med enheter/storheter". Som bekant gäller t.ex. att s=v t. Om v råkar vara konstant kan man illustrera sträckan som arean av en rektangel i ett hastighet/tid-diagram. Samma formel gäller såklart också om v=v(t) råkar variera med tiden. Sträckan tolkas fortfarande som arean under hastighetsgrafen, men denna area ges inte av en rektangelarea utan måste beräknas med en integral. Lös 3464, 3465, 3467, 3468, 3470, 3474. Sannolikhetsfördelning (sid 154-158) Normalfördelningen beskriver, löst, hur ett statistiskt material (eller utfall i ett försök) fördelas runt medelvärdet. Normalfördelningsfunktionen ges av f(x) = e() Se boken för utförligare beskrivning av ingredienserna. Det är jobbigt att knappa in funktionen i räknaren varje gång. Gör istället detta en gång för alla och se till så den ligger på plats till NP. Boken påstår att f(x) saknar primitiv funktion vilket inte är sant. Däremot saknas elementär primitiv funktion (någon som kan uttryckas "enkelt") så när man räknar ut integralerna gör man detta numeriskt med räknare, eller kanske kollar i tabell. Lös samtliga a-uppgifter, men skippa resten. 3.5 Tillämpningar och problemlösning Historik 3.6 Rotationsvolymer Skivmetoden (sid 165-170) I detta avsnitt ska vi lära oss att bestämma volymen av vissa kroppar med integraler. Det kommer att handla om så kallade rotationskroppar som fås genom att ett plant kurvsegment roterar runt en fix axel ut i en tredje dimension. Ska man förstå hur detta kan ge upphov till en integral behöver man först repetera lite om integralens defintion. Tidigare tecknade vi arean A mellan en kurva och x-axeln som en integral. Man approximerar området med en massa smala rektanglar A f( x )Δx Låter man nu antalet rektanglar, n, gå mot oändligheten, eller Δx gå mot noll får man rimligen ett värde på arean. I själva verket gör man definitionen
A = där högerledet, integralen, betecknar summan i gränsläget och arean definieras som denna integral. Observera att beteckningen och uttrycket = lim, f( x )Δx inte behöver ha något med area att göra. Varje uttryck som är ett gränsläge av summor som ovan ger upphov till en integral. Som boken beskriver kan man teckna volymen av t.ex. en rotationskropp (rotation runt x-axeln) genom att dela upp i en massa smala cylindrar/skivor och gå i gräns. Man får A x dx = lim, A( x )Δx där A(x i )Δx är volymen på en "smal" cylinder och där alltså A(x)=πy(x) 2 är tvärsnittsarean. Integralen, oavsett var den kommer ifrån, kan sedan beräknas med primitiv funktion (förutsatt att vi kan finna en primitiv, och det kan vi nästan alltid i denna kurs) Rotationer runt y-axeln hanteras på motsvarande sätt. I princip handlar det bara om att "byta variabel". Lös uppgifter efter behov. Gör åtminstone a-uppgifterna så ni får kontroll.