Z-transformen 8 februari 2016
Innehåll
Z-transformen Tidsdiskreta LTI-system Överföringsfunktioner Frekvensegenskaper
Z-transformen Z-transformen av en tidsdiskret signal y[n] ges av Y (z) = Z[y] = y[n]z n (1) n=0 och den inversa z-transformen ges av y[n] = Z 1 [Y (z)] = Γ z n 1 Y (z) dz, (2) där Γ är en cirkel med tillräckligt stor radie centrerad runt origo.
Beräkning av z-transform mha definitionen: Impuls Exempel (Impuls) Z-transformen av en impuls y[n] = δ[n] är Y (z) = Z[y] = y[n]z n = 1 (3) n=0
Beräkning av z-transform mha definitionen: Steg Exempel (Stegfunktion) Z-transformen av en stegfunktion y[n] = { 1, n 0 0, n < 0 (4) är Y (z) = Z[y] = y[n]z n = n=0 n=0 z n = 1 + z 1 + z 2 + z 3 +... = 1, z > 1 1 z 1 (5)
Konvergensområde 0.8 z > 1 0.6 0.4 0.2 Iz 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 -0.5 0 0.5 1 Rz Figur: Konvergensområde (utanför enhetscirkeln) för z-transformen av enhetssteget.
Beräkning av z-transform mha definitionen Exempel (Exponentialfunktion) Z-transformen av en stegfunktion y[n] = { a n, n 0 0, n < 0 (6) är Y (z) = Z[y] = y[n]z n = n=0 a n z n n=0 = 1 + az 1 + ( az 1) 2 ( + az 1 ) 3 +... = 1, z > a 1 az 1 (7)
Fördröjning Beräkna z-transformen av en fördröjd impuls y[n] = δ[n 1] (8) en ger Y (z) = Z[y] = y[n]z n = z 1 (9) n=0
Fördröjning Fördröjning med n 0 tidssteg i tidsdomänen motsvarar multiplikation med z n 0 i z-planet Z {y[n n 0 ]} = z n 0 Y (z) (10)
Linjäritet Z-transformen är linjär, d.v.s. Z[ay 1 + by 2 ] = az[y 1 ] + bz[y 2 ] (11) eller ay 1 [n] + by 2 [n] z ay 1 (z) + by 2 (z) (12)
Faltning Z-transform av en faltning y[n] = (h u)[n] (13) av två funktioner h[n] och u[n] är lika med produkten av deras z-transformer Y (z) = H(z)U(z). (14)
Fördröjd enhetspuls Exempel Beräkna z-transformen av y[n] = { 4, n 3, 0, n < 3, (15) d.v.s. ett steg med steghöjd 4 och fördröjd 3 tidssteg. Z-transformen kan beräknas m.h.a. linjäritet och egenskap vid fördröjning Y (z) = 4z 3 1 z 1 (16)
Invers z-transform Exempel Beräkna den inversa z-transformen av Y (z) = z 1 (1 0, 5z 1 ) (1 z 1 ) (17)
Invers z-transform Förläng med z 2 för att få en rationell funktion i z Y (z) = z (z 0, 5) (z 1) (18) Gör en partialbråksuppdelning genom att ansätta Y (z) = A z 1 + B z 0, 5 (19) och sedan skriva om uttrycket på gemensamt bråkstreck Y (z) = A (z 0, 5) + B (z 1) (z 0, 5) (z 1) (20)
eller Y (z) = (A + B)z 0, 5A B (z 0, 5) (z 1) Genom att jämföra koefficienterna framför varje potens av z i täljaren med täljaren i ekv. (18) fås ekvationssystemet (21) med lösning A = 2 och B = 1. z 1 : A + B = 1 (22) z 0 : 0, 5A B = 0 (23)
Koefficienterna A och B kan beräknas på ett annat sätt. Utgå ifrån z (z 0, 5) (z 1) = A z 1 + B z 0, 5. (24) För att beräkna A multipliceras ekvationen med (z 0, 5) (z 1) och sedan sätts z = 1, vilket ger z A = (z 0, 5) = z=1 z = A (z 0, 5) + B (z 1) (25) 1 = 2. (26) 1 0.5
Koefficienten B kan beräknas på liknande sätt z B = (z 1) = 0, 5 = 1. (27) z=0,5 0, 5 1 Resultatet av partialbråksuppdelningen är Y (z) = 2 z 1 1 z 0, 5 (28) eller efter förlängning med z 1 Y (z) = och den inversa z-transformen blir 2z 1 1 z 1 z 1 1 0, 5z 1 (29) y[n] = 2s[n 1] (0, 5) n 1 s[n 1] (30)
Alternativt kan partialbråksuppdelningen göras Y (z) = z 1 (1 0, 5z 1 ) (1 z 1 ) = 2 1 z 1 2 1 0, 5z 1 (31) och den inversa z-transformen blir därmed y[n] = 2s[n] 2(0, 5) n s[n] = 2 (1 (0, 5) n ) s[n], (32) där är ett enhetssteg. s[n] = { 1, n 0 0, n < 0 (33)
Problem Visa att de två metoderna ger samma resultat.
Differensekvation et i blockschemat beskrivs av differensekvationen y[n] = 0, 5y[n 1] + u[n 1] (34) u[n] + S y[n] + 0, 5 Figur: Blocket S symboliserar en fördröjning med ett tidssteg.
Överföringsfunktion et i blockschemat beskrivs av Y (z) = z 1 (0, 5Y (z) + U(Z)) (35) U(z) + z 1 Y (Z) + 0, 5 Figur: Blocket z 1 symboliserar en fördröjning med ett tidssteg.
Överföringsfunktion eller där överföringsfunktionen ges av H(z) = Y (z) = H(z)U(z) (36) z 1 1 0, 5z 1 = 1 z 0, 5. (37) I detta fallet har överföringsfunktionen en pol (nämnarens nollställe) i z = 0, 5.
Överföringsfunktion Exempel (Impulssvar) Beräkna impulssvaret i exemplet. Lösning (Impulssvar) Utsignalen är Y (z) = H(z)U(z) = H(z) 1 = H(z). (38) Sats (Samband mellan impulssvar och överföringsfunktion) Överföringsfunktionen H(z) är z-transformen av impulssvaret h[n].
Lösning (Impulssvar, forts.) Invers z-transformering ger att impulssvaret är y[n] = h[n] = (0, 5) n 1 s[n 1] (39) 1 Impulse Response 0.9 0.8 0.7 Amplitude 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Time (seconds) Figur: Impulssvar. (Samplingsintervall 1 s).
Sammanfattning Sambandet mellan in- och utsignal hos ett (tidsdiskret) LTI-system kan beskrivas mha Differnsekvation Överföringsfunktion: Y (z) = H(z)U(z) Faltning av insignalen med impulssvaret: y[n] = (h u)[n]
Stegsvar Problem Beräkna stegsvaret för ett tidsdiskret LTI-system med överföringsfunktion H(z) = z 1. (40) 1 0, 5z 1
Stegsvar Lösning Stegsvaret ges av Y (z) = H(z)U(z) = eller enligt tidigare beräkningar z 1 1 1 0, 5z 1, (41) 1 z 1 y[n] = 2s[n] 2(0, 5) n s[n] = 2 (1 (0, 5) n ) s[n], (42)
Stegsvar 2 Step Response Amplitude 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Time (seconds) Figur: Stegsvar. (Samplingsintervall 1 s.)
Sats ( BIBO) Villkoret för att ett tidsdiskret LTI-system ska vara stabilt är att polerna hos dess överföringsfunktion H(z) ligger inuti enhetscirkeln i det komplexa z-planet. 0.8 0.6 0.4 0.2 z < 1 Iz 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 -0.5 0 0.5 1 Rz Figur: med poler inuti enhetscirkeln är stabila.