Övningar i Automationsteknik FK
|
|
- Hans Larsson
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Övningar i Automationsteknik FK Tidsdiskret reglering: Diskretisering av analoga regulatorer 3.. Införs beteckningen i(t t 0 e(τdτ så blir Euler-bakåt på i(t i(t i(t h+he(t, t kh, k 0,,2,... Egentligen bör man införa en annan beteckning för den tidsdiskreta signalen, t.ex. f samplad (k f(kh,k 0,,2,... så att rekursionen ovan kan skrivas i samplad (k i samplad (k +he samplad (k men av tradition och bekvämlighet undertrycks denna distinktion mellan tidskontinuerlig och tidsdiskret signal så att man medvetet slarvar genom att (något förvirrande helt enkelt bara skriva i(k i(k +he(k vilket tillsammans med ( u(k K e(k+ i(k T i definierar den tidsdiskreta PI-regulatorn. Det finns ingen anledning att skriva om den rekursiva formeln (differensekvationen för i(k som en summa eftersom just rekursionen är den som används då man ska koda sin PI-regulator (i i + h*e. Observera att det som brukar kallas I-delen av PI-regulatorn egentligen utgörs av K T i i(k och inte av i(k själv Genom att betrakta den bakåt-eulerska varianten av en PI-regulator i(k i(k +he(k ( u(k K e(k+ i(k T i kan man direkt konstatera att K 3 och T i Med bakåt-euler blir implementeringen i(k i(k +he(k e(k e(k d(k ( h u(k K e(k+t d d(k+ i(k T i
2 vilket med värden insatta blir: i(k i(k +0.02e(k e(k e(k d(k 50(e(k e(k ( 0.02 u(k 2 e(k+0.05d(k+ 0.2 i(k 2e(k+0.d(k+0i(k Z-transformen och tidsdiskreta överföringsfunktioner 3.4. Utan att titta i Z-transformtabellen erhålles P e (z p e (kz k z Om tabell anlitas kan lösningen direkt skrivas upp som Utan tabell går också bra: z d z z d z d Z[s e (k d] s e (k dz k z k z d 3.6. Z-transformen blir k 0 Z[( k ] ( k z k ( z k kd z (k +d k 0 z k z d z z d z d ( z +z z z Z[f(k] 5z 3 (+z +z 2 +z 3 +z Z[f(k] f(kz k +z 2 +z 4 + (z 2 k 3.9. a. z2 z 2 z 2 Z[f(k] f(kz k (2 k z k 2z z z z 2 z z 2
3 z (z (z 2 z z 2 3z +2 b. Z[f(k] f(kz k 0.5 k z k k 4 z k (0.5z k (0.2z k 0.5z z c. Z[f(k] 5Z[p e (k 2]+3Z[s e (k 4] 5z 2 + 3z 4 z 5z 2 5z 3 +3z 4 z 5z2 5z +3 z 3 (z 3.0. [ ] f(k f(k Z h F(z z F(z h 3.. Z-transformering av båda leden ger ( 3z +2z 2 Y(z Y(z z z (z (z 2 z Invers Z-transformering av detta ger ( 2 z 2 z y(k 2 2 k, k 0 z F(z z h zh F(z 3z +2z 2 z 2 z 2 3z +2 2 z z 2 z z 3.2. Z-tranformering ger vilket ger överföringsfunktionen H(z (.2z +0.35z 2 Y(z 2z U(z 2z.2z +0.35z 2 Polerna blir z 0.5 och z Omskrivning ger 2z z 2.2z+0.35 (.4z +0.45z 2 Y(z (z z 2 U(z 2z (z 0.5(z 0.7 Efter invers Z-transformation och lite omflyttning blir sambandet y(k.4y(k 0.45y(k 2+u(k u(k 2 3
4 Diskretisering av tidskontinuerliga system 3.4. Låt h beteckna samplingsintervallet a. H(z 3+ 2h z b. H(z 3 2 e 2h z e 2h c. G(s 4 s(s+2 2 s 2 s+2 H(z 2h z e 2h z e 2h (2h +e 2h z + (+2he 2h (z (z e 2h d. G(s s (s+(s+3 s+ 2 s+3 (2h +e 2h z + (+2he 2h z 2 (+e 2h z +e 2h H(z e h e 3h z e h 2 3 z e 3h ( e h (z e 3h 2 3 ( e 3h (z e h (z e h (z e 3h 3 ( 3e h +2e 3h z +2e h 3e 3h +e 4h z 2 (e h +e 3h z +e 4h 3.5. Av bekvämlighetsskäl väljes tabellmetoden. z + H(z 2( cos2h z 2 (2cos2hz Tidsfördröjningen är 2 samplingsintervall så att H(z z 24( e 2 2 z e 2 2 z z 0.08 Kommentar: Den tidsdiskreta överföringsfunktionen har en pol mycket nära 0. Detta indikerar att tidskonstanten (T 0.5 s är mycket dåligt upplöst i denna långsamma tidsskala (h 2 s. Orsaken till detta är valet att anpassa samplingsintervallet till tidsfördröjningen (L 4 s. Att välja ett kortare samplingsingsintervall förbättrar visserligen upplösningen av tidskonstanten men det ger å andra sidan upphov till en större fördröjning d hos det tidsdiskreta systemet vilket höjer ordningen hos H(z Diskretiseringen blir H(z 3( e h/5 z e h/5 a. h ger H(z 3( e 0.2 z e z
5 b. h 0 ger H(z 3( e 2 z e z 0.35 c. Då h 0 gäller att H(z 3( ( h/5+o(h2 z ( h/5+o(h 2 3h/5 z d. Då h gäller att H(z 3 z 3z 3.8. Med G(s b s+a blir den tidsdiskreta överföringsfunktionen b e ah a z e ah Med h kan ekvationen e a ställas upp vilket ger a ln Dettainnebärisinturattb( e.264vilketgerb.264/( e Med och blir h 0. s. G(s s H(z 3 e h/ z e h/0.5 z Partialbråksuppdelning av G(s blir G(s a2 s 2 +a 2 a 2 (s+ia(s ia ( ia 2 s+ia + ia s ia Med ZOH-diskretisering avbildas detta på H(z ( e iah e iah + 2 z eiah z e iah (2 e iah e iah (z + 2 (z e iah (z e iah vilket skulle visas. Egenskaper hos tidsdiskreta system ( cosah(z + z 2 2cosah Först beräknas överföringsfunktionen: H(z 2z 0.5z 2 z 0.5 5
6 Amplitudfunktionen kan sen beräknas som A(ω H(e iωh 2 e iωh cosωh+isinωh (cosωh (sinωh 2 Fasfunktionen blir 2 cos2 ωh cosωh sin 2 ωh 2.25 cosωh φ(ω argh(e iωh arg 2 e iωh arg(cosωh 0.5+isinωh f(ω 0.5 där funktionen f defineras som sin ωh arctan cosωh 0.5 om ωh < π/3 f(ω π/2 om ωh π/3 sinωh π arctan cosωh 0.5 om ωh > π/3. och där 0 < ωh < π (för att slippa vikning Den tidsdiskreta frekvensfunktionen ges av H(e iωh (e iωh 2 e iωh (e iωh Genom att utnyttja att z 2 zz och att e iα e iα kan amplitudfunktionen bekvämt beräknas enligt A(ω H(e iωh (e iωh e iωh (e iωh 0.5(e iωh cosωh Fasfunktionen blir inte mycket mindre bekväm att beräkna: φ(ω argh(e iωh arg (e iωh 2arg(cosωh 0.5+isinωh 2f(ω med f(ω som i föregående uppgift och där 0 < ωh < π Överföringsfunktionen är H(z 0.6z.2z +0.4z Statiska förstärkningen blir alltså H( Ett mer intuitivt sätt att få fram statiska förstärkningen är att direkt utgå från att sekvensen är stationär, dvs att u(k u 0 och y(k y(k y(k 2 y 0. Då erhålles y 0.2y 0 0.4y u 0 varav statiska förstärkningen y 0 /u a. H( b. H(
7 3.25. a. Pol i z 0.3 stabilt ty 0.3 <. b. Schur-Cohn-Jury ger tabellen Eftersom > 0, 0.64 > 0 och > 0 så är systemet stabilt. c. Schur-Cohn-Jury ger tabellen Negativt tal i vänsterkolumnselementen instabilt. Det går också direkt att se att polerna ±i vilka båda har absolutbeloppet 2 >. d. Schur-Cohn-Jury ger tabellen Eftersom det finns ett negativt tal bland vänsterkolumnen ( T (bara förstakoefficienterna i de icke-speglade raderna så är systemet instabilt eftersom minst en rot då måste befinna sig utanför enhetscirkeln. I detta fall är detta också möjligt att se eftersom produkten p p 2 p 3 av de tre polerna är 2 (sistakoefficienten så då måste minst en av polerna ha ett absolutbelopp > Överföringsfunktionen för systemet är H(z 0.3z z z 0.8 Återkopplat med u(k K(r(k y(k blir karaktersistiska ekvationen z K 0 så att polen finns i z K. För stabilitet krävs att polen befinner sig innanför enhetscirkeln dvs z < vilket i detta fall innebär att < K < eller 0.2 < 0.3K <.8 dvs 2/3 < K < 6. 7
8 3.27. Tidskontinuerliga systemets överföringsfunktion är Med ZOH-diskretisering erhålles G(s 2 s+ H(z 2 e h z e h Med återkopplingen u(k K(r(k y(k ges den karakteristiska ekvationen av z e h +2K( e h 0 Polens läge är då z e h 2K( e h. För att denna ska finnas i z < måste < e h 2K( e h < eftersom det bara är en ensam (och därmed reel pol. Detta villkor låter sig översättas till att < 2K < +e h e h 0.5 < K < 0.5 +e h e h med h 0.2 s insatt kan den övre gränsen räknas ut så att 0.5 < K < Denna gång är det förstärkningen som är bestämd (K 2 medan h är obestämd. Med utnyttjande av mellanresultatet < e h 2K( e h < från förra uppgiften så blir olikheten med K 2 insatt < 5e h 4 < 0.6 < e h < 0 < h < ln Karakteristiska ekvationen blir z 0.3 K0.4z z vilketledertillpolynomekvationen(z 0.3(z +0.6K(0.4z+0.2 0ellerz 2 + (0.24K.3z K 0. Om man vill kan man använda Schur-Cohn- Jury eller Tustin -Routh för att avgöra stabiliteten. Eftersom polynomet är av andra ordningen med parameterberoende i koefficienterna känns det bekvämare att använda stabilitetstriangeln för polynomet z 2 +a z +a 2 0: a 2 < a 2 > a a 2 > a Med a 0.24K.3 och a 2 0.2K+0.3 insatta i olikheterna ovan erhålles: 0.2K +0.3 < 0.2K +0.3 > 0.24K.3 0.2K +0.3 > 0.24K +.3 8
9 Dessa olikheter kan i sin tur skrivas om enligt: 0.2K < > 0.2K 0.36K > 0 Eftersom den första av dessa olikheter är strängare än den andra erhålles villkoret för stabilitet: 0 < K < 0.7/ Det gäller att G(s 3 s+2 ZOH(h H(z 3 e 2h 2 z e 2h Med proportionell återkoppling med förstärkningen K blir karakteristiska ekvationen z e 2h + 3K 2 ( e 2h 0 vilket göratt polen blir p e 2h 3K 2 ( e 2h. Förstabilitet krävsatt p <. Eftersom detta handlar om en reel pol kan detta skrivas som < p < eller med uttrycket för p insatt: < e 2h 3K 2 ( e 2h < ( a. Med K 2 kan olikheten ( skrivas om som < e 2h 3( e 2h < 2 < e 2h < Endast den vänstra olikheten är intressant (gissa varför. Slutresultatet blir att h < ln b. Då K är obestämt kan olikheten ( skrivas e 2h e 2h < 3K 2 < +e 2h e 2h 2 3 < K < 2 +e 2h h e 2h. c. I den högra olikheten till vänster om ekvivalenspilen ovan 3K 2 < +e 2h e 2h ärhögerledetalltid> 0ochgårmotdåh. DettainnebärattomK 2/3 kan olikheten inte uppfyllas för något h > 0. Lite mer noggrant kan man skriva om olikheten som h < 3K/2+ ln 2 3K/2 vars högerled endast är definierat då K > 2/3 dvs bara då finns det någon övre gräns för samplingsintervallet h. 9
10 Vikningseffekten (aliaseffekten 3.3. Med f s 48 khz viks början av ljudpulsen med sina 70 khz ner till spökfrekvensen khz vilken knappast kan höras av någon mänsklig varelse. Observera att denna ligger strak under nyquistfrekvensen f s /2 24 khz. Slutet av ljudpulsen viks däremot ner till khz vilken skulle kunna uppfattas av yngre personer med bra hörsel. En intressant observation är att vid svepet från 70 khz ner till 30 khz kommer f s 48 khz passeras. Den frekvensnervikta signalen kommer därför att svepa från 22 khz ner till 0 Hz och därefter upp till 8 khz. I mitten av svepet kommer alltså ganska låga frekvenser att framträda i den samplade signalen även om pulsen är så kortvarig som /20 s (50 ms Med f s / Hz kommer nätbrummet att vikas ner till frekvensen Hz vilken kommer att synas i en logg av den samplade signalen. Diskretiseringsmetoder Med G(s s+ blir de olika diskretiseringarna ( z h Euler-framåt: H(z G h z z +h + h ( z Euler-bakåt: H(z G zh Tustin: H(z G ( 2(z h(z + z zh + 2(z h(z + + zh (+hz h(z + (2+hz 2+h Impulssvarsinv.: H(z Z ( L (G(s tkh Z ( L ( Z ( e t ( tkh Z e kh e h z z z e h Stegsvarsinv.: H(z z ( ( G(s Z L z s tkh z ( ( Z L z s s+ tkh z Z ( ( e kh z z z ( z z z Z z s+ tkh z Z ( ( e t θ(t z tkh z z e h ( (L s(s+ tkh z e h z e h z e h 0
11 Rampsvarsinv.: H(z ( (z 2 Z (L zh (z 2 Z zh ( ( (z 2 G(s Z L zh s 2 s (s+ tkh 2 ( ( L s 2 s + s+ tkh (z 2 Z ( kh +e kh (z 2 zh zh z h + (z 2 h(z e h tkh (z 2 Z ( (t +e t θ(t zh tkh ( zh (z 2 z z + z z ( h z e h z h ( e h z e h ( h ( e h z e h + h ( e h z e h z z e h Med Euler-framåt som approximation blir den tidsdiskreta överföringsfunktionen H(z h z +h Polen är z h så för h 2 s blir systemet instabilt eftersom polen då råkar vara. Polplacering Sambanden Y(z B(z A(z U(z U(z F(z D(z R(z C(z C(z Y(z blir efter substitution av U(z i den övre ekvationen Y(z B(z A(z vilket kan skrivas om som ( F(z D(z R(z C(z C(z Y(z (A(zC(z+B(zD(zY(z B(zF(zR(z Y(z B(zF(z A(zC(z+B(zD(z R(z Eftersom A(zC(z + B(zD(z P(z kan slutna systemet beskrivas med Y(z B(zF(z P(z R(z K rb(z P(z R(z : H closed (zr(z Statiska förstärkningen för slutna systemet fås genom insättning av z i H closed (z: H closed ( K rb( P( K r P( B(
12 3.37. Z-transformering ger först Y(z 0.6z U(z 0.7z vilket möjliggör identifiering av A(z 0.7z och B(z 0.6z. Detta ger n A och n B vilket (enligt gradtalsregeln ger n C n B 0 och n D n A 0. Därför blir regulatorns polynom så enkla som C(z och D(z d 0 (motsvarande P-reglering. Polynomekvationen blir ( 0.7z +d 0 0.6z P(z 0.5z vilket tämligen omgående resulterar i att d 0 ( /0.6 / Börvärdesförstärkningen beräknas sen som K r P( B( / Eftersom A(z 0.7z och B(z 0.65z +0.35z 2 så är n A och n B 2. Utan integrationiregulatornväljs n C n B ochn D n A 0såattregulatorpolynomenblirpå formenc(z +c z ochd(z d 0. Alla poler i 0.5 ger att P(z ( 0.5z 2 (ty n P n A + n B 2. Polynomekvationen A(zC(z+B(zD(z P(z ser då ut så här: ( 0.7z (+c z +(0.65z +0.35z 2 d 0 z +0.25z 2 Koeffecientekvationssystemet blir (förutom den triviala ekvationen : 0.7+c +0.65d 0 0.7c +0.35d med lösning d / och c d Börvärdesförstärkningen blir (om statiska förstärkningen för slutna systemet ska vara K r P(/B( ( /( Regulatorn kan skrivas på formen C(zU(z K r R(z D(zY(z vilket i detta fall blir ( 0.332z U(z 0.25R(z Y(z Vitsen med detta är att det sen är lätt att skriva upp regulatorn på en form som är lämplig för kodning i ett program: u(k 0.332u(k +0.25r(k y(k Motsvarande C-kod blir ju då u 0.332*u *r *y; eller på någotmergeneraliserbarformu u; u 0.332*u *r *y; (sparande av gamla styrsignaler och ärvärden blir viktigt för regulatorer av högre ordning Med A(z 0.7z och B(z 0.6z blir n A och n B. Integration i regulatorn ger villkoret n C n B och n D n A dvs C(z z och D(z d 0 + d z. Då n P n A + n B 2 innebär alla poler i z 0.5 att P(z ( 0.5z 2. Därför blir polynomekvationen AC +BD P i detta fall följande: ( 0.7z ( z +0.6z (d 0 +d z z +0.25z 2 2
13 Ekvationssystemet för polynomkoefficienterna blir denna gång.7+0.6d d 0.25 vilket direkt ger d 0 0.7/ och d 0.45/ Börvärdesförstärkningenblir K r P(/B( ( / (eller ännuenklare K r D( d 0 +d 0.47pgaattregulatornärintegrerande(funderasjälvut varför detta gäller. Regulatorn skrivs återigen på den implementeringsvänliga formen C(zU(z K r R(z D(zY(z: ( z U(z 0.47R(z ( z Y(z vilket kvickt och lätt översätts till u(k u(k +0.47r(k.67y(k+0.75y(k Med A(z.3z +0.4z 2 och B(z 0.4z +0.4z 2 blir n C n B och n D n A varav ansatsen C(z + c z och D(z d 0 + d z. Med alla poler i z 0.2 och n P n A + n B 3 blir P(z ( 0.2z 3 vilket leder till att polynomekvationen A(zC(z + B(zD(z P(z i det aktuella fallet kan skrivas (.3z +0.4z 2 (+c z +(0.4z +0.4z 2 (d 0 +d z 0.6z +0.2z z 3 Ekvationssystemet för koefficienterna blir.3+c +0.4d c +0.4d d c +0.4d Det kan vara illustrativt att sätta upp detta ekvationssystem på matrisform. För att tydligare se strukturen i ekvationssystemet medtages även den trivialt uppfyllda koefficentekvationen : c d d Det finns naturligtvis flera vägar att lösa detta ekvationssystem men en väg är denna följd av radoperationer:
14 vilket tolkas som c 0.36, d och d Börvärdesförstärkningen blir K r P(/B( ( /( Regulatorn kan skrivas u(k 0.36u(k +0.64r(k 0.85y(k+0.38y(k I C-programkod skulle regulatorn kunna kodas y y; y adin(0; u u; u -0.36*u *r *y *y; adout(0,u; Observera att gamla värden på signalerna måste sparas undan innan signalerna uppdateras. Möjligen hade man klarat sig utan variabeln u men detta fungerar inte längre för högre ordningens regulatorer Samma process som i föregående uppgift dvs A(z.3z +0.4z 2 och B(z 0.4z +0.4z 2 skall regleras, denna gång dock med integralverkani regulatorn. Med gradtalsvillkoren n C n B 2 och n D n A 2 tillsammans med kravet på att C(z skall innehålla faktorn z (integralverkan blir ansatsen C(z ( z (+c z, D(z d 0 +d z +d 2 z 2. Eftersom i detta fall n P n A + n B 4 betyder alla poler i z 0.2 att P(z ( 0.2z 4. Polynomekvationen AC +BD P blir därför denna gång (.3z +0.4z 2 ( z (+c z +(0.4z +0.4z 2 (d 0 +d z +d 2 z 2 vilket kan utvecklas till 4 0.2z z z z 4 ( 2.3z +.7z 2 0.4z 3 (+c z +(0.4z +0.4z 2 (d 0 +d z +d 2 z 2 0.8z +0.24z z z 4 Ekvationssystemet kan direkt skrivas på matrisform som c d d d Denna gång utelämnas detaljer i form av mellanled i ekvationslösningen och lösningen blir c 0.66, d 0 2.2, d 2.38och d Regulatorpolynomen blir alltså C(z ( z (+0.66z 0.384z 0.66z 2 och 4
15 D(z z +0.62z 2. BörvärdetskoefficientblirK r P(/B( ( /( Styrlagen blir u(k 0.384u(k +0.66u(k r(k 2.2y(k+2.38y(k 0.62y(k 2 Denna gång blir C-koden för regulatorn y2 y y y; y adin(0; u2 u; u u; u 0.384*u *u *r - 2.2*y *y *y2; adout(0,u; Systemet G(s 3e 2s +5s diskretiseras med olika samplingsintervall h. a. Om h 2 s blir det diskretiserade systemets överföringsfunktion H(z z 3( e h/5 z e h/5 3( e 0.4 z 2 e 0.4 z vilket ger A(z e 0.4 z +a z och B(z 3( e 0.4 z 2 b 2 z 2. Regulatorpolynomen blir C(z +c z (n C n B och D(z d 0 (n D n A 0. Gradtalsvillkoret n P n A +n B +2 2 blir denna gång lite lurigt att tolka pga att alla polerna placeras i z 0 (deadbeat. Det kan tyckas konstigt att sätta P(z men detta ska tolkas som P(z ( 0 z 2. polynomekvationen A(zC(z+B(zD(z P(z blir alltså (+a z (+c z +b 2 z 2 d 0 och översatt till ekvationssystem på matrisform blir detta 0 0 a 0 c 0 0 a b 2 d 0 0 vilket har lösningen c a e och d 0 a 2 /b 2 e 0.8 /(3( e Börvärdesförstärkningen blir K r P(/B( /b 2.0. Regulatorn kan skrivas u(k c u(k +K r r(k d 0 y(k u(k +.0r(k y(k b. Samplingsintervallet h s innebär två samplingar på tidsfördröjningen (2 s. Den här gången blir därför överföringsfunktionen för det diskretiserade systemet H(z z 23( e h/5 z e h/5 5 3( e 0.2 z 2 e 0.2 z
16 dvs A(z e 0.2 z +a z och B(z 3( e 0.2 z 3 b 3 z 3. Då n C n B 2 och n D n A 0 blir C(z + c z + c 2 z 2 och D(z d 0. Med deadbeat (polerna i z 0 blir polynomekvationen eller i utvecklad form (+a z (+c z +c 2 z 2 +b 3 z 3 d 0 +(a +c z +(a c +c 2 z 2 +(a c 2 +b 3 d 0 z 3 Matrisvarianten av ekvationerna blir a 0 0 c 0 a 0c a b 3 d 0 0 Ekvationssystemet har lösningen c a e , c 2 a 2 e och d 0 a 3 /b K r blir P(/B( /b så att styrlagen blir u(k 0.887u(k u(k r(k+.009y(k Systemet ZOH-diskretiseras till G(s 20 s(s+4 5 s 5 s+4 H(z 5h 5 z 4 ( e 4h b z +b 2 z e 4h z 2 b z +b 2 z 2 +a z +a 2 +a z +a 2 z 2 där b 5(h 4 e 4h, b 2 5( he 4h + 4 ( e 4h, a (+e 4h och a 2 e 4h. Med h 0.05 s erhålles b , b , a.887 och a Villkoren på ordningstalen är n C n B och n D n A vilket lyckligtvis överensstämmer med förslaget i uppgiften. Ordningen på P(z blir n P n A +n B 3. Sätt därför P(z +p z +p 2 z 2 +p 3 z 3 så att polynomekvationen kan skrivas (+a z +a 2 z 2 (+c z +(b z +b 2 z 2 +p z +p 2 z 2 +p 3 z 3 Matrisversionen av koefficientekvationssystemet blir a b 0 c a 2 a b 2 b d 0 p p 2 0 a 2 0 b 2 d p 3 De två fallen löses separat (detaljer utelämnade. a. P(z ( 0 z 3 vilket ger p p 2 p 3 0. Lösningen blir c , d och d K r blir P(/B( /(b +b b. P(z ( 0.5z 3 vilket ger p.5, p och p Lösningen blir c , d och d K r blir P(/B( ( /(b +b Den tydligaste skillnaden på de båda regulatorerna är att deadbeat-regulatorn (a innehåller betydligt högre förstärkningar än regulatorn i (b. 6
17 Minsta-kvadrat-metoden a. Parametervektorn utgörs av ( a θ b Observera att parametriseringen skiljer sig lite från definitionen av Φ i det förberedande avsnittet. Från tabellen kan Y och Φ hämtas: y( 0.5 y(0 u(0 0 y(2 Y y( u( och Φ y(5 0.6 y(4 u( Först beräknas matrisen Φ T Φ: Φ T Φ ( 5 k (y(k 5 2 ky(k u(k 5 k y(k u(k 5 k (u(k 2 Därefter beräknas Φ T Y: Φ T Y ( 5 ky(k y(k 5 k u(k y(k ( Till sist beräknas lösningen (skattningen ˆθ enligt ( ( ˆθ (Φ T Φ Φ T Y ( ( (â Detta tolkas som att MK-skattningarna av parametrarna a och b är â respektive ˆb b. Denna gång antas a vara känd (a a vilket innebär att parametervektorn av okända parametrar nu reducerats till θ b. Konsekvensen av detta är att definitionen av Y och Φ måste ändras (a 0 0.4: y( a 0 y(0 0.5 y(2 a 0 y( Y y(5 a 0 y( Nu blir skattningen av den enda okända parametern b ˆb ˆθ (Φ T Φ Φ T Y u(0 u( och Φ u(4 0 ˆb c. Det minimala värdet på förlustfunktionen i deluppgift (a blir 5 V(ˆθ (y(k ây(k ˆbu(k 2 (Y Φˆθ T (Y Φˆθ k 7
18 RMS-värdet på skattningens fel blir alltså a. Först beräknas P( utgående från att P(0 I (där Ienhetsmatrisen och att ϕ(0 (y(0 u(0 T (0 T : ( 0 0 (0 ( P( P(0 P(0ϕ(0ϕT (0P(0 0 +ϕ T (0P(0ϕ(0 0 ( ( 0 ( ( 0 ( ( Därefter kan felet ( a priori beräknas ε( y( ϕ T (ˆθ(0 0.5 ( 0 ( Nu kan nästa parameterskattning beräknas: ( ( ˆθ( ˆθ(0+P(ϕ(ε( ( ( På samma sätt erhålles i tur och ordning i nästa iteration: ( ( (0.5 ( 0 ( 0 P(2 P( P(ϕ(ϕT (P( 0 +ϕ T (P(ϕ( ( ( ( ε(2 y(2 ϕ T (2ˆθ( 0.2 ( ( ( ( ( ( ˆθ(2 ˆθ(+P(2ϕ(2ε( b. Med P(0 0I blir resultatet istället ( ( P(, ε( 0.5, ˆθ( 0 0/ 5/ ( ( och P(2 ( ( 20/7 0 2/7, ε(2 0.2, ˆθ(2 0 0/ 5/ ( I Fig. visas samtliga iterationer både för (a och (b. 8
19 In och utsignal Parametrarna a och b (2 olika fall b a Figur : Konvergens hos parametrar för två olika initialvärden på P. 9
Övningar i Automationsteknik FK
Övningar i Automationsteknik FK Tidsdiskret reglering: Diskretisering av analoga regulatorer Det mest grundläggande när det gäller tidsdiskret reglering är att på ett enkelt och rättframt sätt översätta
Läs merFormelsamling i Automationsteknik FK
Formelsamling i Automationsteknik FK Z-transformation Antag att f(k),k = 0,,2, är en tidsdiskret signal Z-transformen av f(k) definieras av Slutvärdesteoremet F(z) = Z(f(k)) = lim k f(k)z k k=0 f(k) =
Läs merLösningar till tentan i Automationsteknik FK
Lösningar till tentan i Automationsteknik FK 206-0-5. a. Systemet kan skrivas på formen ẋ Ax+Bu, y Cx där ( ) ( 2 0 2 A, B, C ) ( 0 ) Överföringsfunktionen kan nu beräknas: G(s) C(sI A) B ( 0 )( ( ) s+2
Läs merREGLERTEKNIK Laboration 5
6 SAMPLADE SYSTEM 6. Sampling av signaler När man använder en dator som regulator, kan man endast behandla signaler i diskreta tidpunkter. T.ex. mäts systemets utsignal i tidpunkter med visst mellanrum,
Läs merTentamen i Reglerteknik. 7,5 hp varav tentamen ger 4,5 hp
KTH-ICT-ES Tentamen i Reglerteknik. 7,5 hp varav tentamen ger 4,5 hp Kurskod: IE304 Datum: 0-03-4 Tid: 9.00-3.00 Examinatorer: Jan Andersson och Leif Lindbäck Tentamensinformation: Hjälpmedel: Bilagd formelsamling,
Läs merTentamen i Reglerteknik. 7,5 hp varav tentamen ger 4,5 hp
KTH-ICT-ES Tentamen i eglerteknik. 7,5 hp varav tentamen ger 4,5 hp Kurskod: IE304 Datum: 20-06-09 Tid: 9.00-3.00 Examinatorer: Jan Andersson och Leif Lindbäck Tentamensinformation: Hjälpmedel: Bilagd
Läs merFöreläsning 10, Egenskaper hos tidsdiskreta system
Föreläsning 10, Egenskaper hos tidsdiskreta system Reglerteknik, IE1304 1 / 26 Innehåll Kapitel 18.1. Skillnad mellan analog och digital reglering 1 Kapitel 18.1. Skillnad mellan analog och digital reglering
Läs merLaboration i Automationsteknik FK: Del 1: Polplacering. Del 2: Markovkedjor
Laboration i Automationsteknik FK: Del 1: Polplacering. Del 2: Markovkedjor Inledning I del 1 av denna laboration utnyttjas Matlab och Simulink för att simulera polplaceringsbaserad regulatordesign för
Läs merFöreläsning 9, Bestämning av tidsdiksreta överföringsfunktioner
Föreläsning 9, Bestämning av tidsdiksreta överföringsfunktioner Reglerteknik, IE1304 1 / 20 Innehåll Kapitel 17.1. Inledning 1 Kapitel 17.1. Inledning 2 3 2 / 20 Innehåll Kapitel 17.1. Inledning 1 Kapitel
Läs merFöreläsning 8, Introduktion till tidsdiskret reglering, Z-transfomer, Överföringsfunktioner
Föreläsning 8, Introduktion till tidsdiskret reglering, Z-transfomer, Överföringsfunktioner Reglerteknik, IE1304 1 / 24 Innehåll 1 2 3 4 2 / 24 Innehåll 1 2 3 4 3 / 24 Vad är tidsdiskret reglering? Regulatorn
Läs merFöreläsning 11, Dimensionering av tidsdiskreta regulatorer
Föreläsning 11, Dimensionering av tidsdiskreta regulatorer KTH 8 februari 2011 1 / 28 Innehåll 1 Kapitel 19.2. Polplaceringsmetoden 2 3 4 5 6 2 / 28 Innehåll 1 Kapitel 19.2. Polplaceringsmetoden 2 3 4
Läs merÖVNINGSTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp
ÖVNINGSTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp Tid: Denna övn.tenta gås igenom 25 maj (5h skrivtid för den riktiga tentan) Plats: Ansvarig lärare: Bengt Carlsson Tillåtna hjälpmedel: Kurskompendiet
Läs merReglerteknik. Kurskod: IE1304. Datum: 12/ Tid: Examinator: Leif Lindbäck ( )
Tentamen i Reglerteknik (IE1304) 12/3-2012 ES, Elektroniksystem Reglerteknik Kurskod: IE1304 Datum: 12/3-2012 Tid: 09.00-13.00 Examinator: Leif Lindbäck (7904425) Hjälpmedel: Formelsamling, dimensioneringsbilaga,
Läs merTSIU61: Reglerteknik
TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 11 Tidsdiskret implementering Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se TSIU61 Föreläsning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 17 Innehåll föreläsning 11 ˆ Sammanfattning av föreläsning
Läs merSystem. Z-transformen. Staffan Grundberg. 8 februari 2016
Z-transformen 8 februari 2016 Innehåll Z-transformen Tidsdiskreta LTI-system Överföringsfunktioner Frekvensegenskaper Z-transformen Z-transformen av en tidsdiskret signal y[n] ges av Y (z) = Z[y] = y[n]z
Läs merTSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 5
TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning 5 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar / 23 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Läs merLösningar till tentamen i styr- och reglerteknik (Med fet stil!)
Lösningar till tentamen i styr- och reglerteknik (Med fet stil!) Uppgift 1 (4p) Figuren nedan visar ett reglersystem för nivån i en tank.utflödet från tanken styrs av en pump och har storleken V (m 3 /s).
Läs merERE 102 Reglerteknik D Tentamen
CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för signaler och system Reglerteknik, automation och mekatronik ERE 02 Reglerteknik D Tentamen 202-2-2 4.00 8.00 Examinator: Bo Egar, tel 372. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merÖvningar i Reglerteknik
Övningar i Reglerteknik Stabilitet hos återkopplade system Ett system är stabilt om utsignalen alltid är begränsad om insignalen är begränsad. Linjära tidsinvarianta system är stabila precis då alla poler
Läs merReglerteknik AK. Tentamen 24 oktober 2016 kl 8-13
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 24 oktober 26 kl 8-3 Poängberäkning och betygsättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt
Läs merReglerteknik. Datum: 20/ Tid: Examinator: Leif Lindbäck ( ) Hjälpmedel: Formelsamling, dimensioneringsbilaga, miniräknare.
Tentamen i Reglerteknik (IE1304) 20/3-2014 ES, Elektroniksystem Reglerteknik Kurskod: IE1304 Datum: 20/3-2014 Tid: 09.00-13.00 Examinator: Leif Lindbäck (7904425) Hjälpmedel: Formelsamling, dimensioneringsbilaga,
Läs merTENTAMEN Reglerteknik 3p, X3
OBS: Kontrollera att du har fått rätt tentamen! Denna tentamen gäller i första hand för Reglerteknik 3p. På sista sidan av tentamen finns ett försättsblad, som ska fyllas i och lämnas in tillsammans med
Läs merLABORATIONSINSTRUKTION DIGITAL REGLERTEKNIK. Lab nr. 3 DIGITAL PI-REGLERING AV FÖRSTA ORDNINGENS PROCESS
LABORATIONSINSTRUKTION DIGITAL REGLERTEKNIK Lab nr. 3 DIGITAL PI-REGLERING AV FÖRSTA ORDNINGENS PROCESS Obs! Alla förberedande uppgifter skall vara gjorda innan laborationstillfället! Namn: Program: Laborationen
Läs merTENTAMEN Reglerteknik 4.5hp X3
OBS: Kontrollera att du har fått rätt tentamen! Denna tentamen gäller i första hand för Reglerteknik 4.5hp. På sista sidan av tentamen finns ett försättsblad, som ska fyllas i och lämnas in tillsammans
Läs merLösningar till övningar i Reglerteknik
Lösningar till övningar i Reglerteknik Stabilitet hos återkopplade system 5. Ett polynom av andra ordningen har båda rötterna i vänstra halvplanet (Res < ) precis då alla (3) koefficienterna har samma
Läs merReglerteknik Z / Bt/I/Kf/F
Reglerteknik Z / Bt/I/Kf/F Kurskod: SSY 050, ERE 080, ERE 091 Tentamen 2007-05-29 Tid: 8:30-12:30, Lokal: M-huset Lärare: Knut Åkesson tel 3717, 0701-74 95 25 Tentamen omfattar 25 poäng, där betyg tre
Läs merLösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT19)
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT9) 26-3-6. (a) Systemet är stabilt och linjärt. Därmed kan principen sinus in, sinus ut tillämpas. Givet insignalen u(t) sin (t) sin ( t) har vi G(i )
Läs mer1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B
RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Torsdag 5 december 206, kl. 3.00-6.00 Plats: Fyrislundsgatan 80, sal Ansvarig lärare: Fredrik Olsson, tel. 08-47 7840. Fredrik kommer och svarar på frågor
Läs merRegulator. G (s) Figur 1: Blockdiagram för ett typiskt reglersystem
Rs) + Σ Es) Regulator G s) R Us) Process G s) P Ys) Figur : Blockdiagram för ett typiskt reglersystem Något om PID-reglering PID-regulatorn består av proportionell del, integrerande del och deriverande
Läs merFöreläsning 11 Reglerteknik AK
Föreläsning 11 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för Reglerteknik, KH 4 oktober, 2016 2 Förra gången: Introduktion Alternativa regulatorstrukturer Dagens program: Implementering: Regulator System
Läs merFöreläsning 11. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 8 oktober Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik
Föreläsning 11 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 8 oktober 2014 Introduktion Förra gången: Alternativa regulatorstrukturer Dagens program:
Läs mer6. Stabilitet. 6. Stabilitet
6. Stabilitet 6. Stabilitet Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt
Läs merA
Lunds Universitet LTH Ingenjorshogskolan i Helsingborg Tentamen i Reglerteknik 2008{05{29. Ett system beskrivs av foljande in-utsignalsamband: dar u(t) ar insignal och y(t) utsignal. d 2 y dt 2 + dy du
Läs merImpulssvaret Betecknas h(t) respektive h(n). Impulssvaret beskriver hur ett system reagerar
6 Sjätte lektionen 6.1 Transformvärlden 6.1.1 Repetera Rita upp en tankekarta över följande begrepp där du anger hur de hänger ihop och hur de betecknas. Vad beskriver de? Impulssvaret Amplitudsvaret (frekvensgången)
Läs merTENTAMEN Reglerteknik I 5hp
TENTAMEN Reglerteknik I 5hp Tid: Tisdag 8 juni 00, kl 8.00 3.00 Plats: Polacksbackens skrivsal Ansvarig lärare: Kjartan Halvorsen, tel 08-473070. Kjartan kommer och svarar på frågor ungefär kl 9.30 och
Läs merLösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL1000/EL1100/EL
Lösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL000/EL00/EL20 20-0-3 a. Överföringsfunktionen från u(t) till y(t) ges av Utsignalen ges av G(s) = y(t) = G(iω) A sin(ωt + ϕ + arg G(iω)) = 2 sin(2t). Identifierar
Läs merLunds Tekniska Högskola Avdelningen för industriell elektroteknik och automation
Lunds Universitet LTH Ingenjörshögskolan i Helsingborg Lunds Tekniska Högskola Avdelningen för industriell elektroteknik och automation REGLERTEKNIK Laboration 2 Empirisk undersökning av PID-regulator
Läs merTENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp
TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp Tid: Fredag 8 mars 0, kl. 4.00-9.00 Plats: Gimogatan 4 sal Ansvarig lärare: Hans Norlander, tel. 08-473070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl 5.30 och kl 7.30.
Läs mer] så att utflödet v( t) Vattennivån i tanken betecknas h(t) [m]. Nivån h är tankprocessens utsignal. u h Figur: Vattentank
Tenta-uppgifter på reglerteknikdel, Reglerdel-ovn- 4 (3p) En tankprocess beskrivs av följande - se även figuren nedan: En cylindrisk vattentank har bottenarean 30 m 2. Vattenflödet in till tanken betecknas
Läs mer6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner. 6. Stabilitet. 6.2 Poler och stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner
Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt kan bli instabilt genom för
Läs merLösningar Reglerteknik AK Tentamen
Lösningar Reglerteknik AK Tentamen 060 Uppgift a G c (s G(sF (s + G(sF (s s + 3, Y (s s + 3 s ( 3 s s + 3 Svar: y(t 3 ( e 3t Uppgift b Svar: (i insignal u levererad insulinmängd från pumpen, mha tex spänningen
Läs merReglerteknik AK. Tentamen 27 oktober 2015 kl 8-13
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 27 oktober 205 kl 8-3 Poängberäkning och betygsättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3. Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3 Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula Sammanfattning av förra föreläsningen 2 Vi modellerar system
Läs merTentamen i Tillämpningar av fysik och dynamik i biologiska system, 7p
UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Åke Fransson Stefan Berglund Björn Ekenstam Bo Tannfors Tentamen i Tillämpningar av fysik och dynamik i biologiska system, 7p Datum: 2001-08-31, kl 9.00-15.00,
Läs merTENTAMEN I REGLERTEKNIK TSRT03, TSRT19
TENTAMEN I REGLERTEKNIK TSRT3, TSRT9 TID: 23 april 29, klockan 4-9 KURS: TSRT3, TSRT9 PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Johan Löfberg, 7-339 BESÖKER SALEN: 5.3, 7.3 KURSADMINISTRATÖR:
Läs merLösningar till tentamen i Industriell reglerteknik TSRT07 Tentamensdatum: Martin Enqvist
ösningar till tentamen i Industriell reglerteknik TSRT7 Tentamensdatum: 28-3-2 Martin Enqvist a) Z-transformering av sambanden som beskriver den tidsdiskreta regulatorn ger Iz) = KT Sz T i z ) Ez) = Kz
Läs merReglerteknik AK Tentamen
Reglerteknik AK Tentamen 20-0-7 Lösningsförslag Uppgift a Svar: G(s) = Uppgift b G c (s) = G(s) = C(sI A) B + D = s. (s+)(s+2) Slutna systemets pol blir s (s + )(s + 2). G o(s) + G o (s) = F (s)g(s) +
Läs merÖVNINGSTENTAMEN Reglerteknik I 5hp
ÖVNINGSTENTAMEN Reglerteknik I 5hp Tid: När det passar dig Plats: Där det passar dig Ansvarig lärare: Någon bra person. Tillåtna hjälpmedel: Kursboken (Glad-Ljung), miniräknare, Laplace-tabell och matematisk
Läs merExempel. Komplexkonjugerade rotpar
TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 15-18, 30/11-12/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W 0-0-9 Sammanfattning av föreläsningarna 5-8, 30/ - / 0. Z-transformen ska avslutas och sedan blir det tentaförberedelser.
Läs mer1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B
RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Tisdag 23 oktober 208, kl. 4.00-7.00 Plats: Polacksbackens skrivsal Ansvarig lärare: Hans Rosth, tel. 08-473070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl
Läs merFigure 1: Blockdiagram. V (s) + G C (s)y ref (s) 1 + G O (s)
Övning 9 Introduktion Varmt välkomna till nionde övningen i Reglerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se Repetition Känslighetsfunktionen y ref + e u F (s) G(s) v + + y Figure : Blockdiagram Känslighetsfunktionen
Läs mer3 differensekvationer med konstanta koefficienter.
Matematiska institutionen Carl-Henrik Fant 17 november 2000 3 differensekvationer med konstanta koefficienter 31 T Med en menar vi en av rella eller komplexa tal varje heltal ges ett reellt eller komplext
Läs merTIDSDISKRETA SYSTEM SYSTEMEGENSKAPER. Minne Kausalitet Tidsinvarians. Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet. System. Tillämpad Fysik och Elektronik 1
TIDSDISKRETA SYSTEM TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 SYSTEMEGENSKAPER x[n] System y[n] Minne Kausalitet Tidsinvarians Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK,
Läs merReglerteknik AK, FRTF05
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK, FRTF05 Tentamen 3 april 208 kl 4 9 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar
Läs merFörsättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet
Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 216-8-19 Sal (1) (Om tentan går i flera salar ska du bifoga ett försättsblad till varje sal och ringa in vilken sal som
Läs merFöreläsning 3. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 9 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik
Föreläsning 3 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 9 september 2013 Introduktion Förra gången: PID-reglering Dagens program: Stabilitet Rotort
Läs merTSRT21 Dynamiska system och reglering Välkomna till Föreläsning 10
TSRT21 Dynamiska system och reglering Välkomna till Föreläsning 10 Johan Löfberg Avdelningen för Reglerteknik Institutionen för systemteknik johan.lofberg@liu.se Kontor: B-huset, mellan ingång 27 och 29
Läs merEn översikt av Kap 7. Tillbakablick, återkoppling Informationsteknologi Reglering av vätskenivån i en tank. Framkoppling. Informationsteknologi
Bengt Carlsson Avd f... och även i reningsverk En översikt av Kap 7 Tekniken i Kap 7 är vanlig i många industriella tillämpningar (t ex kärnkraftver och för klimatreglering i byggnader llbakablick, återkoppling
Läs merFör ett andra ordningens system utan nollställen, där överföringsfunktionen är. ω 2 0 s 2 + 2ζω 0 s + ω0
Övning 5 Introduktion Varmt välkomna till femte övningen i glerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se petition lativ dämpning För ett andra ordningens system utan nollställen, där överföringsfunktionen
Läs merLösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y/D (TSRT12)
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y/D (TSRT) 0-03-8. (a) Nolställen: - (roten till (s + ) 0 ) Poler: -, -3 (rötterna till (s + )(s + 3) 0) Eftersom alla poler har strikt negativ realdel är systemet
Läs merLösningar Reglerteknik AK Tentamen
Lösningar Reglerteknik AK Tentamen 15 1 3 Uppgift 1a Systemet är stabilt ( pol i ), så vi kan använda slutvärdesteoremet för att bestämma Svar: l = lim y(t) = lim sg(s)1 t s s = G()1 = 5l = r = 1 Uppgift
Läs mer6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner. 6. Stabilitet. 6.2 Poler och stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner
Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt kan bli instabilt genom för
Läs merREGLERTEKNIK, KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000, EL1110 och EL1120
REGLERTEKNIK, KTH REGLERTEKNIK AK EL1000, EL1110 och EL1120 Tentamen 20111017, kl 14:00 19:00 Hjälpmedel: Observandum: Kursboken i Reglerteknik AK (Glad, Ljung: Reglerteknik eller motsvarande), räknetabeller,
Läs merREGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL En tillståndsmodell ges t.ex. av den styrbara kanoniska formen: s 2 +4s +1.
REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL20 Lösningsförslag till tentamen 2009 2 5, kl. 4.00 9.00. (a) Laplacetransform av () ger s 2 Y (s)+4sy (s)+y (s) =U(s), och överföringsfunktionen blir G(s)
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merFigur 2: Bodediagrammets amplitudkurva i uppgift 1d
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y (för Y och D) (TSRT) 008-06-0. (a) Vi har systemet G(s) (s3)(s) samt insignalen u(t) sin(t). Systemet är stabilt ty det har sina poler i s 3 samt s. Vi kan
Läs merREGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 2015 04 08, kl. 8.00 13.00
REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL0 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 05 04 08, kl. 8.00 3.00. (a) Signalen u har vinkelfrekvens ω = 0. rad/s, och vi läser av G(i0.) 35 och arg G(i0.)
Läs merLösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 juni 2, kl. 8: 3: Uppgift (av 8 (5 poäng. i. sant, ii. falskt, iii. falskt, iv. sant, v.
Läs merG(s) = 5s + 1 s(10s + 1)
Projektuppgift 1: Integratoruppvridning I kursen behandlas ett antal olika typer av olinjäriteter som är mer eller mindre vanligt förekommande i reglersystem. En olinjäritet som dock alltid förekommer
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Läs merERE103 Reglerteknik D Tentamen
CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för signaler och system System- och reglerteknik ERE03 Reglerteknik D Tentamen 207-0-2 08.30-2.30 Examinator: Jonas Fredriksson, tel 359. Tillåtna hjälpmedel: Typgodkänd
Läs merDel I: Lösningsförslag till Numerisk analys,
Lösningsförslag till Numerisk analys, 2016-08-22. Del I: (1) Nedan följer ett antal påståenden. Använd nyckelbegreppen därunder och ange det begrepp som är mest lämpligt. Skriv rätt bokstav (a)-(l) i luckan
Läs mer1. Vi har givet två impulssvar enligt nedan (pilen under sekvenserna indikerar den position där n=0) h 1 (n) = [ ]
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LUND Institutionen för elektro- och informationsteknik Kurskod: ESS00 Tentamen i Digital Signalbehanding Datum: 0 5 Time period: 08.00 3.00 Bedömning: Sex uppgifter. Varje uppgift
Läs merExempelsamling Grundläggande systemmodeller. Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University
Exempelsamling Grundläggande systemmodeller Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University Version: 0.11 September 14, 2015 Uppgifter markerade med (A)
Läs merReglerteknik AK, FRT010
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK, FRT Tentamen januari 27 kl 8 3 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt
Läs merTENTAMEN Reglerteknik 4.5hp X3
OBS: Kontrollera att du har fått rätt tentamen! Denna tentamen gäller i första hand för Reglerteknik 4.5hp för X3. På sista sidan av tentamen finns ett försättsblad, som ska fyllas i och lämnas in tillsammans
Läs merReglerteknik AK. Tentamen kl
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 20 0 20 kl 8.00 3.00 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt
Läs merTENTAMEN: DEL A Reglerteknik I 5hp
TENTAMEN: DEL A Reglerteknik I 5hp Tid: Torsdag 9 mars 05, kl. 8.00-.00 Plats: Fyrislundsgatan 80, sal Ansvarig lärare: Hans Norlander, tel. 08-473070. Tillåtna hjälpmedel: Kursboken (Glad-Ljung), miniräknare,
Läs merVälkomna till Reglerteknik Föreläsning 2
Välkomna till Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av föreläsning 1 Lösningar till differentialekvationer Karakteristiska ekvationen Laplacetransformer Överföringsfunktioner Poler Stegsvarsspecifikationer
Läs merREGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Tentamen , kl
REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Tentamen 2013 05 31, kl. 8.00 13.00 Hjälpmedel: Kursboken i Reglerteknik AK (Glad, Ljung: Reglerteknik eller motsvarande) räknetabeller, formelsamlingar
Läs merTSRT62 Modellbygge & Simulering
TSRT62 Modellbygge & Simulering Föreläsning 4 Christian Lyzell Avdelningen för Reglerteknik Institutionen för Systemteknik Linköpings Universitet C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 1
Läs merTillämpningar av fysik och dynamik i biologiska system 2007-11-21, kl. 09:00-15:00
Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Staffan Grundberg Bo Tannfors Tentamen i elektronik: Hjälpmedel: Tillämpningar av fysik och dynamik i biologiska system 2007--2, kl. 09:00-5:00 Reglerteknikformelsamling,
Läs merTSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning från föreläsning 3 (2/4) ˆ PID-reglering. ˆ Specifikationer. ˆ Sammanfattning av föreläsning 3.
TSIU6 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT 207 / 22 Innehåll föreläsning 4 TSIU6: Reglerteknik Föreläsning 4 PID-reglering Specifikationer Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se ˆ Sammanfattning av föreläsning
Läs merTSIU61: Reglerteknik. PID-reglering Specifikationer. Gustaf Hendeby.
TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 4 PID-reglering Specifikationer Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 22 Innehåll föreläsning 4 ˆ Sammanfattning av föreläsning
Läs merCrash Course Envarre2- Differentialekvationer
Crash Course Envarre2- Differentialekvationer Mattehjälpen Maj 2018 Contents 1 Introduktion 2 2 Integrerande faktor 2 3 Separabla diffekvationer 3 4 Linjära diffekvationer 4 4.1 Homogena lösningar till
Läs merLaplacetransform, poler och nollställen
Innehåll föreläsning 2 2 Reglerteknik, föreläsning 2 Laplacetransform, poler och nollställen Fredrik Lindsten fredrik.lindsten@liu.se Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY)
Läs merIndustriell reglerteknik: Föreläsning 2
Industriell reglerteknik: Föreläsning 2 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 33 1 Sekvensstyrning: Funktionsdiagram, Grafcet. 2 Grundläggande
Läs merDT1120 Spektrala transformer för Media Tentamen
DT Spektrala transformer för Media Tentamen 77 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: 3:9 p, 4: 3 p, 5: 7 p Tillåtna hjälpmedel: räknare,
Läs merReglerteknik AK, FRTF05
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK, FRTF05 Tentamen 23 augusti 207 kl 8 3 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar
Läs merTENTAMEN I REGLERTEKNIK Y TSRT12 för Y3 och D3. Lycka till!
TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y TSRT2 för Y3 och D3 TID: 7 mars 25, klockan 4-9. ANSVARIGA LÄRARE: Mikael Norrlöf, tel 28 27 4, Anna Hagenblad, tel 28 44 74 TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: Läroboken Glad-Ljung: Reglerteknik,
Läs merLösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007
Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 7. Låt Y (s beteckna Laplacetransformen till funktionen y. Laplacetransformering av den givna ekvationen ger: varav följer att. (a För s > a är Y (s + s Y
Läs mer( ), så kan du lika gärna skriva H ( ω )! ( ) eftersom boken går igenom laplacetransformen före
Några allmänna kommentarer gällande flera av lösningarna: Genomgående används kausala signaler och kausala system, vilket innebär att det är den enkelsidiga laplacetransformen som används. Bokens författare
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT Spektrala transformer Tentamen 72 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp
TENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp - 0 Tid: måndag 8 Maj 0, kl 4-9 Plats: Polacksbacken Ansvarig lärare: Bengt Carlsson, tel 070-674590. Bengt kommer till tentasalen ca kl 6 och besvarar ev frågor.
Läs merLösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp (a) Statiska förstärkningen = (0), och ( )= [ ( )].
Lösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp --5. (a) Statiska förstärkningen (), och ( ) [ ( )]. ( ) [ 4 +4 ] +4 + 4 + () 5 (b) Systemet står på observerbar kanonisk form, så vifår direkt att ( ) 3 +5.
Läs mer