Tentmen i Linjä lgeb HF9 Dtum: Skivtid: timm Eminto: Amin Hlilovic eempel Fö godkänt betg kävs v m poäng Betgsgänse: Fö betg A B C D E kävs 9 6 espektive poäng Kompletteing: 9 poäng på tentmen ge ätt till kompletteing (betg( F Vem som h ätt till kompletteing fmgå v betget F på MINA SIDOR Kompletteing ske inom se vecko efte tt esulttt meddelts Hjälpmedel: Endst bifogt fomelbld (miniäkne ä inte tillåten Till smtlig inlämnde uppgifte fods fullständig lösning Skiv endst på en sid v pppeet Skiv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på vje bld b (speciellt tdligt på omslget eftesom tentom sknns s och utomtiskt koppls till nmn/pesonnumme som finns på omslget Inlämnde uppgifte skll mkes medd kss på omslget Denn tentmenslpp få ej behålls efte tentmenstillfället utn sk lämns in tillsmmns med lösning Uppgift Låt u (p (Student som = och w ä godkänd på KS hopp öve uppgift = Beäkn vinkelnn melln u och w (Du kn sv med ccos b Bestäm pojektionen poj w u Uppgift (p (Student som ä godkänd på KS hopp öve uppgift Bestäm vståndet fån punkten A=( till plnet 9 b Bestäm vståndet fån punkten O=( till linjen ( ( t t t Uppgift (p (Student som ä godkänd på inlämningsuppgiften hopp öve uppgift i Bestäm Re( Im( och om i --------------------------------------------------------------------------------------- V god vänd Sid v 8
Uppgift (p (p Beäkn en v den pllellogm som spänns upp v vektoen ( och b ( b Beäkn volmen v den pllellepiped som spänns upp v vektoen u ( v ( och w (6 Uppgift 5 (p Följnde ekvtionssstem ä givet Fö vilket väde (vilk väden på h sstemet i oändligt mång lösning ii ekt en lösning iii ingen lösning? Uppgift 6 (p (p Lös mtisekvtionen XA XB C D (med vseende på X dä A B C D Tips: Fktoise vänsteledet i ekvtionen b (p Lös mtisekvtionen MY YN F (med vseende på Y dä M N F 5 Uppgift 7 (p (p Bestäm ll lösning till ekvtionen i Ange lösning på bi fom b (p Ekvtionen 6 5 h en lösning i Bestäm ll lösning Uppgift 8 (p En kopp K bestå v två homogen kube K 6 b= dm och K vs knte ä pllell med ln i ett koodint sstem Den stöe kuben K h ett hön i oigo O=( och vje knt h längden = dm Den minde kuben K ä plcet på den stöe kuben så tt ett hön ligge i punkten ( O (se figuen Vje knt i den minde kuben h längden b= dm Kuben ä gjod v ett homogent mteil med densiteten kg / dm Bestäm msscentum till koppen K Tips: Låt T och T v tngdpunkten fö delkopp K och K med motsvnde msso m och m Om O beteckn oigo och T msscentum då gälle OT ( m OT m OT dä m m m m = dm Lck till! Sid v 8
FACIT Uppgift (p (Student som ä godkänd på KS hopp öve uppgift Låt u = och w = Beäkn vinkeln melln u och w (Du kn sv med ccos b Bestäm pojektionen poj w u Låt v vinkeln melln vektoen u w 6 Vi h cos( u w 9 5 5 Häv ccos( 5 u w 6 b poj w u w ( ( w w 5 Sv: ccos( b poj w v = ( 5 5 Rättningsmll: b: Rätt elle fel Uppgift (p Bestäm vståndet fån punkten A=( till plnet 9 b Bestäm vståndet fån punkten O=( till linjen ( ( t t t Enligt fomelbld h vi tt sökt vstånd d ä: 9 6 9 b En iktningsvekto till linjen ä och en punkt på linjen ä (vilken fås nä t= Enligt fomelbld h vi tt sökt vstånd d ä: 96 Rättningsmll: p fö vje del Uppgift (p (Student som ä godkänd på inlämningsuppgiften hopp öve uppgift Bestäm Re( b Im( och i c om i i i i 6i i i 5 5i i i i i i 5 Sid v 8
Häv Re( Im(= och Sv Re( b och c Rättningsmll p fö vje del Uppgift (p (p Beäkn en v den pllellogm som spänns upp v vektoen ( och b ( b Beäkn volmen v den pllellepiped som spänns upp v vektoen u ( v ( och w (6 Pllellogmens e ges v A b A ( ( e e e ( ( ( 8 Sv : Pllellogmens e ä (e b Volmen v pllellepipeden ges v deteminnten fö den mtis som utgös v dvektoen u v och w V 6 6 6 Sv b: Pllellepipedens volm ä (ve Rättningsmll: Rätt elle fel b Koekt uppställning v deteminnten ge p Allt koekt =p Uppgift 5 (p Följnde ekvtionssstem ä givet Fö vilket väde (vilk väden på h sstemet i oändligt mång lösning ii ekt en lösning iii ingen lösning? Sstemet A b h ekt en lösning om det( A Vi beäkn det( A dä A Sid v 8
Sid 5 v 8 8 det( A Vi löse däefte ekvtionen 8 8 det( A och d slutstsen tt sstemet h ekt en lösning då Då löse vi ekvtionssstemet med Gusselimintion Den nedest den tolks som ekvtionen och dämed skn lösning Sv: i Fllet oändligt mång lösning kn inte föekomm i denn uppgift ii Ekvtionen h ekt en lösning då iii Ekvtionen skn lösning då Rättningsmll: Koekt deteminnten 8 D ge p Däefte + poäng fö vje koekt del i ii och iii Uppgift 6 (p (p Lös mtisekvtionen D C XB XA (med vseende på X dä D C B A Tips: Fktoise vänsteledet i ekvtionen b (p Lös mtisekvtionen F YN MY (med vseende på Y dä 5 F N M Bte vi ut X åt vänste i VL få vi XA B sätt nu och Vi beäkn och vi h XG så
X Sv X= b Note tt vi inte kn nvänd smm metod som i -delen eftesom vi kn inte fktoise uttcket MY YN (mtisen Y ligge på olik sido i temen MY och YN b Sätt vi få då tt VL kn skivs som fö tt dett skll stämm med mtisen i HL få vi lltså följnde ekvtionssstem som vi löse med hjälp v Gusselimineing 5 5 5 Dämed Sv b Rättningsmll Koekt invesmtisen b b b Koekt till d c d 5 ge p Allt koekt =p ge p Allt koekt =p Uppgift 7 (p (p Bestäm ll lösning till ekvtionen i Ange lösning på bi fom b (p Ekvtionen 6 5 h en lösning i Bestäm ll lösning i i e Häv k e e i( k i cos i sin i k e i( 7 7 cos i sin 6 6 (it tig cikeln cos i sin = 6 6 i e i( cos i sin cos i sin = 6 6 6 6 i Sid 6 v 8
Sv i i i Rättningsmll Koekt k e i( k k ge p Allt koekt =p Lösning b : Ekvtionen 6 5 h eell koefficiente och en lösning i Däfö ä i också en lösning till ekvtionen Polnomet i vänsteledet ä dämed delbt med ( i( i Polnomdivision ge ( 6 5 /( 5 (kontolle själv Fån ekvtionen 5 få vi (med pq-fomeln två n lösning: i och i Sv b: i i i i Rättningsmll b Koekt till podukten ( i( i ge p Allt koekt =p Uppgift 8 (p En kopp K bestå v två homogen kube K 6 b= dm och K vs knte ä pllell med ln i ett koodint sstem Den stöe kuben K h ett hön i oigo O=( och vje knt h längden = dm Den minde kuben K ä plcet på den stöe kuben så tt ett hön ligge i punkten ( O (se figuen Vje knt i den minde kuben h längden b= dm Kuben ä gjod v ett homogent mteil med densiteten kg / dm Bestäm msscentum till koppen K Tips: Låt T och T v tngdpunkten fö delkopp K och K med motsvnde msso m och m Om O beteckn oigo och T msscentum då gälle OT ( m OT m OT dä m m m m = dm Sid 7 v 8
Kuben ä homogen Dett medfö tt des tngdpunkte ligge i mitten v espektive kub: T ( och T (5 Kubens msso: ( m V m 8 m 6 m 86 (kg K:s msscentum: 7 7 6 7 7 7 OT (8( 6(5 ( ( 9 9 7 7 7 Sv: K:s msscentum ä ( 9 9 Rättningsmll Koekt till (8( 6(5 ge p Allt koekt =p Sid 8 v 8