Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR, SF676 Sysem v lijär DE Sid v 6 SYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER GRUNDLÄGGANDE BEGREPP Iehåll: Mrisorm Begyelsevärdesprobleme Eises- och eydighessse ör lijär sysem Fudmel lösigsmägd ill e ill e homoge sysem -------------------------------------------------------------------------- Här berr vi e sysem med lijär DE v örs ordige d d d d d d sys,,, är obe uioer v vribel Ovsåede sysem sriver vi os på mrisorme F A sys,, A och F Eempel: Sriv syseme
Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR, SF676 Sysem v lijär DE d d d d 4 3 på mrisorme si cos Lösig: Vi hr, 4 si A, F 3 cos Syseme srivs som 4 si A F dvs 3 cos Sysem sys är HOMOGENT om ll eller evivle F= i mrisorme Allså är A e homoge sysem Ss Om h är de llmä lösige ill homoge syseme p e priulär lösig ill ice-homoge A F då är A och H p de llmä lösige ill ice-homoge A F BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEMET E begyelsevärdesproblem besår v sys och begyelsevillor b, b,, b är giv begyelsevillor På mrisorme sriver vi begyelsevärdesprobleme som A F, IV och b b b Sid v 6
Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR, SF676 Sysem v lijär DE Ss Eises- och eydighessse ör sys Om ll oeicieer ij och är oiuerlig uioer på e öppe iervll I och I så hr begyelsevärdesproblem IV e e lösig: Lösige är deiierd på hel iervlle I Uppgi Besäm de sörs eisesiervll ör öljde begyelsevärdesproblem d 4 d 3, d 4 3, 43 3 d b c 34 Lösig: Noer ll oeicieer är deiierde och oiuerlig om och 3 Frå eises- och eydighessse öljer öljde svr: I, b I,3, I 3, Uppgi Besäm de sörs eisesiervll ör öljde begyelsevärdesproblem d 3 4 d, d 3, 43 cos d Lösig: Noer ll oeicieer är deiierde och oiuerlig på, Därmed hr IV e e lösig som är deiierd på, ovse hur vi väljer Svr:, SUPERPOSITION ör homoge sysem Ss 3 Lå,,, vr lösigr ill A Då är vrje lijärombiio v de lösigr, c c c, ocså e lösig Bevis Beec z c c c Eersom, både, deriv och mrismulipliio är lijär operorer hr vi VL c c c elig gde c A c A A c c c A HL VSB c A Sid 3 v 6
Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR, SF676 Sysem v lijär DE Deiiio Lijär beroede/ oberoede lösigr Lå,,, vr lösigr ill A Vi säger,,, är lijär beroede lösigr på iervlle I om de is oser c, c,, c, mis e os är sild rå, såd c c c ör ll I Ars är,,, lijär oberoede lösigr Deiiio Fudmel lösigsmägd Vi säger,,, bildr udmel lösigsmägd ill de homoge syseme A sys,, A om,,, är syce lijär oberoede lösigr ill sys Els sä vgör om,,, är e udmellösigsmägd ill sys är med hjälp v WRONSKIS mris Koloer i Wrosis mris är själv veorer,,, Om,, så är W illhörde Wrosis deermi Noer vi hr ie derivor i Wrosis mris ör e örsordiges DE sysem ill silld rå Wrosis mris ör e DE v :e ordige Följde gäller: W= ör ll I lösigr,,, är beroede W ör mis e I lösigr är oberoede Sid 4 v 6
Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR, SF676 Sysem v lijär DE DEN ALLMÄNNA LÖSNINGEN ill sys ges v h c c,, c, är e udmellösigsmägd ill syseme Uppgi 3 Vis och e är e udmellösigsmägd ill syseme d y d dy 4y d b Age de llmä lösige ill syseme Lösig: Syseme på mrisorme är A, y och A y 4 i Förs orollerr vi om är e os lösig ill syseme A VL d d d d, HL A, 4 Allså VL=HL, dvs är e lösig ill syseme ii Nu ollr vi på smm sä om e e är e lösig ill syseme e VL d d d e e, d e e HL A e 4e e e, Sid v 6
Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR, SF676 Sysem v lijär DE Därmed är ocså e lösig ill syseme iii Med hjälp v Wrosis deermi olr vi om lösigr är lijär oberoede W e e lösigr är oberoede e Därmed bildr syseme och e e udmellösigsmägd ill e b De llmä lösige är h e c c = c c e Alleriv vi ge lösigr på slärorme: c ce y c c e Sid 6 v 6