2015-06-01 Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas KTH Mekanik Problemtentamen 1. En bil med massan m kör ett varv med konstant fartökning ( v =) k i en horisontell cirkulär bana med radien R. Bilen har ingen fart i startögonblicket. a) Hur stor blir den slutliga accelerationen? (2p) b) Bestäm den totala kraftens effekt på bilen efter ett varv. 2. En boll (svarta punkten i figuren) med massa m slås så att den hamnar i ett hål på avståndet L längs en plan sluttning. Höjdskillnaden mellan utgångsläget och slutläget är H. Bollens hastighet är från början vinkelrät mot sluttningen. a) Vilken fart v krävs i utslaget? (2p) b) Bestäm bollbanans krökningsradie vid maxhöjden. Försumma luftmotståndet. Tyngdaccelerationen g är känd. 3. En rymdfärja med massan m startar på jordytan med en tillräckligt stark raketmotor så att färjan vid take off kan följa ellipsbanan i figuren med avstängd raketmotor. Maxhöjden ovanför jordytan i banan är 2R. a) Bestäm rymdfärjans fart då den nått maxhöjden. (2p) b) Bestäm även sektorhastigheten i rörelsen. Ledningar: Bortse från jordens rotation kring sin axel. Tyngdaccelerationen g är känd. 4. En (klotformad) kropp med massa m är fastsatt i en vertikal fjäder med fixt övre fäste där fjädelkonstanten k ska bestämmas. Vätskan som kroppen rör sig i har en känd kraftkonstant c för den bromsande viskösa friktionskraften "cv. a) Härled svängningsekvationen för kroppen, och bestäm fjäderkonstanten för kroppens kritiskt dämpade vertikala rörelse. (2p) b) Bestäm även avståndet mellan lägen för ospänd fjäder och massans jämvikt. Tyngdaccelerationen g är känd. Obs: Använd vektorstreck för vektorstorheter. Motivera införda ekvationer och symboler
Open-SG1102 Mekanik 2015-06-01 Teoritentamen 5. a) Vilka (om ens någon) av följande storheter i mekaniken; massa, längd, impuls, fart, effekt, rörelsemängd är vektorstorheter? Inga motiveringar krävs. b) Varför är en pendelrörelse med konstant pendellängd inte en likformig cirkulär rörelse? c) Vilken/vilka av följande ekvation/er är mekanisk/a lag/ar(med kursens beteckningar)? Inga motiveringar krävs. I) F n = ma n, II) T = P, III) M O = r " F, IV) U 0"1 = T 1 " T 0. 6. a) I en stöt mellan två partiklar registreras av en assistent de hastigheter som visas av hen i figuren. Ange värdet på stöttalet. Är denna stöt möjlig? (2p) b) Härled impulslagen för en partikel. 7. a) Härled den potentiella energin för den konservativa kraften en partikel, där y är en koordinat och m, g, k är konstanter. F = ("ky + mg)e y på (2p) b) Bevisa att en satellitbana kring jorden ligger i ett plan. 8. a) Bestäm konstanten C så att lägefunktionen x(t) = Csin"t satisfierar svängningsekvationen x + " 2 n x = bsin"t. Symbolen t är den variabla tiden och ", " n samt b är konstanter. b) Beskriv typiska tidsfunktioner (partikelrörelser) x(t) grafiskt för rak kritiskt dämpad svängning, samt för svagt dämpad svängning. c) Villken/villka av ekvationerna i)...iii) är svängningsekvationer? Ange i så fall vilken/villka svängningstyper som avses. i) x +" n x +" 2 n x = g, ii) x "# n x +# 2 n x = 0, iii) x "# 2 n x = 0. /Thylwe Obs: Använd vektorstreck för vektorstorheter. Motivera införda ekvationer och symboler
Problemlösningar Open-SG1102 Mekanik 2015-06-01 1. Lösning: Accelerationens komposanter efter ett varv införda i figur. Där normalaccelerationen bestäms av slutfarten efter ett varv. a) Slutfarten fås ur rörelsen i tangentriktningen, där Byt tidsvariabel till sträckan s, så att v 2 ( v =) v dv ds v = k (konstant). = k (konstant). Primitiva funktioner i VL och HL ger: 2 = ks + C 0, där C 0 = 0 enligt begynnelsevillkor. Efter ett varv i banan fås v 1 = 2k(2"R) = 2 "kr, som insatt i normalaccelerationen ger a n = 4"k. Den totala accelerationen blir a = k 1+16" 2. b) Den totala kraftens tangentkomponent ger effect (P) på rörelsen. N2 i tangentriktningen ger i detta fall: F t = mk. Effekten är enligt definition P = mkv 1, som blir med slutfarten insatt: P = 2m "Rk 3. ------------------------------------- 2. Lösning: Inför X-axel och Y-axel med origo vid uslaget. I banan verkar bara tyngdkraften vertikalt nedåt. a) Ur N2 med begynnelsevillkor gäller: e X : X = g H L, X = g H L t, och e Y : Y = "g L2 " H 2, L Vid nedslag har det gått en viss tid X = 1 2 g H L t 2. (1) Y = v " g L2 " H 2 t, och L t 1 >0, och då gäller för X och Y: Y = vt " 1 2 g L2 " H 2 L t 2. (2) L = 1 2 g H L t 1 2, samt 0 = vt 1 " 1 2 g L2 " H 2 t 2 L 1. Löses dessa ekvationer fås två uttryck för tiden, som måste vara lika (ska redovisas). Detta ger: (t 1 =) L 2 gh = 2L v => g L 2 " H 2 g v = 2H L2 " H 2. Obs: Använd vektorstreck för vektorstorheter. Motivera införda ekvationer och symboler
Open-SG1102 Mekanik 2015-06-01 b) Maxhöjden innebär att hastigheten är enbart horisontell och den horisontella komponenten v h är konstant vid kaströrelse. Ur begynnelsevillkor bestäms den horisontella hastigheten till: v h = v H L. Krökningsradien " bestäms ur normalaccelerationen som vid maxläget är 2 v tyngdaccelerationen: h = g. Allt insatt i uttrycket för normalaccelerationen ger " " = v h 2 g = H 2 # g & gl 2 % ( $ 2H '( L 2 ) H 2 ). Dvs " = H $ 2 1# H 2 ' & % L 2 ). ( ------------------------------------- 3. Lösning: För rörelsen i figurens ellipsbana krävs enligt banenergiformeln den totala energin E = " mgr2 4R = " mgr, där storaxelns längd är 4R. Vid maxhöjden är enligt energiprincipen 4 rörelseenergin mv 2 = E "V, där v är den sökta farten och V = " mgr2 2 3R = " mgr är den 3 potentiella energin där. a) Uträkningar (bör redovisas) av farten ger efter förenklingar v 2 2 = # " gr & % $ 4 ' ( " # " gr & % $ 3 ( => ' v = gr 6. b) Dubbla sektorhastigheten uträknad vid maxhöjden: ------------------------------------- h = 3R gr 6 = R 3gR 2. Obs: Använd vektorstreck för vektorstorheter. Motivera införda ekvationer och symboler
4. Open-SG1102 Mekanik 2015-06-01 Lösning: a) N2 (x-riktningen): Svängningsekvationen: m x = mg " kx " c x. Kritiskt dämpad rörelse innebär " =1, dvs x + c { m x + k x = g, där standardparametrar införs. { m 2"# n # n 2 b) Det ospända läget är valt som origo. Jämviktsläget fås ur svängningsekvationen: c m = 2 k. Löser k: m k = 1 4 mc 2. x j = mg k. Obs: Använd vektorstreck för vektorstorheter. Motivera införda ekvationer och symboler
Open-SG1102 Mekanik 2015-06-01 Teoridelen 5. a) Impuls och rörelsemängd. b) Farten är inte konstant och accelerationen ej riktad hela tiden mot den fixa trådändänden (cirkelcentrum). c) I, II. 6. a) Stöttalet är 1, men stöten är omöjlig. Det krävs en negativa massa för att stötlagen (bevarande av totala rörelsemängden) ska kunna gälla, och stötlagen gäller. Negativa massor har inte påträffats ännu. b) Rörelsemängden definieras som en vektor: p = mv. Newtons 2:a lag kan då skrivas som p = F. Om den är sann, så är det också sant att: t 2 t 2 " p dt = " F dt. Vänsterledet kan räknas ut formellt till en rörelsemängdsändring t 1 t 1 "p = p t ( 2 ) # p ( t 1 ). t 2 Högerledet får bli kraftens impuls: I = " F dt. Slutligen har vi härlett den så kallade impulslagen (eller impulsekvationen): 7 a) Definition av potentiell energi: V r aktuella fallet fås: r } V ( r ) = " # (("ky + mg)e y ) dr = } = redovisa r ref k 2 y 2 " mgy + konst Obs: Använd vektorstreck för vektorstorheter. Motivera införda ekvationer och symboler t 1 r ( ) = " F dr r ref redovisa "p = I. #, för ett läge r i rummet. I det y " ("ky + mg)dy = Konstanten innehåller den godtyckliga referenspunktens koordinater från integralernas undre gränser. Potentiella energin är oberoende av andra koordinater än y. b) Gravitationskraften på satelliten F = " mgr2 e r är radiellt riktad och ger inget kraftmoment med avseende på kraftcentrum (origo), så att momentlagen blir H O = 0. Dvs rörelsemängdsmomentet H O = { r " mv = konst. Vektorriktningen för H O är def konstant och är då alltid ortogonal mot rörelsevektorerna r och v så att rörelsen därför blir plan. 8. a) Rörelsen x(t) = Asin"t ska satisfiera svängningsekvationen x + " 2 n x = bsin"t. Tidsderivering av rörelsen ger x (t) = "# 2 Asin#t. Insättning av detta i svängningsekvationen ger (" 2 n #" 2 )Asin"t = bsin"t. Om detta alltid ska gälla måste A vara A = b " 2 n #" 2. b) Med ord: -Kritiskt dämpad rörelse har max en jämviktspassage. -Svagt dämpad rörelse har regelbundna avstånd mellan maxima respektive minima. Succesiva amplituder för maxima har ett konstant förhållande (kvot). r 2 # y ref
Open-SG1102 Mekanik 2015-06-01 c) i) är en svagt dämpad svängning. Övriga alternativ är inga svängningsekvationer. Obs: Använd vektorstreck för vektorstorheter. Motivera införda ekvationer och symboler