Moment 6., 6. Viktiga exempel 6.-6. Övningsuppgifter T6.-T6.6 Matriser Definition. En matris är ett schema med m rader och n kolonner eller kolumner, som vi kallar dem i datalogin innehållande m n element. A a a a... a n a a a... a n a a a... a n... a m a m a m... a mn I denna kurs kommer matrisens elementen alltid att bestå av reella tal. B b b b b b b b b b C c c c c 4 c c c c 4 Matrisen B är kvadratisk har lika många rader som kolonner. En beteckning, som ofta används är B. Matrisen C betecknas C 4 och är rektangulär icke kvadratiska matriser kallas rektangulära. B sägs vara av typ, C av typ 4 och A av m n. Elementens två index bestäms först av den rad r och sedan av den kolonn k, i vilka elementet befinner sig a rk. D d d d... d m F f f f... f n G g Även Dn och F m är matriser, trots att vi oftare kallar dem kolonnvektor respektive radvektor. Det är möjligt men oftast överdrivet att skriva talet g i form av en matris G. H 5 5 I Håkan Strömberg KTH Syd
Både H och I är kvadratiska matriser den första av ordningen och den andra av ordningen 4. Definition. Nedanstående matris är en så kallad enhetsmatris. En enhetsmatris är alltid kvadratisk och dess element är alla utom på huvuddiagonalen där elementen har värdet....... E......... Beteckningen E är reserverad för enhetsmatriser. Definition. Nollmatrisen är rätt och slätt en matris där samtliga element är. Nollmatrisen kan vara av vilken typ, m n, som helst. Definition 4. Transponering. A 4 5 4 B 4 5 4 Efter att ha studerat de två matriserna A och B en stund upptäcker vi att B innehåller samma element som A. Det är bara det att elementen har bytt plats a ik har blivit b ki. B är transponat till A och skrivs A t. Detta leder förstås också till att A övergår från typ 4 till A t med typen 4. För en kvadratisk matris kan vi säga att elementen speglas i huvuddiagonalen när den transponeras. Som redan framgått betecknar vi matriser med versaler och använder företrädesvis A, B och C. Enkolumniga matriser kallar vi fortsättningsvis vektorer, som vi betecknar med gemener, som till exempel u, v och w. Enradiga matriser betraktar vi som transponat av vektorer och betecknar dem därför u t, v t, och w t Definition 5. Symmetrisk matris En symmetrisk matris är en matris där A A t. Håkan Strömberg KTH Syd
Matrisalgebra För matriser finns tre operationer definierade. Detta är en utvidgning av den vanliga algebran och är därför i mångt och mycket lik den. Matrisaddition. Vi skriver additionen av matriserna A och B som A B. Denna matrisaddition är bara möjlig då matriserna är av samma typ. Det vill säga, endast då m m och n n är additionen AB definierad för Am n och Bm n. 4 Additionen av de två matriserna ovan är möjlig därför att de båda är av typen. Multiplikation med skalär. Om λ är ett reellt tal, här kallat skalär och Am n, en matris så skriver vi a a... a n λa λ a a... a n... a m a m... a mn λa λa... λa n λa λa... λa n... λa m λa m... λa mn Det vill säga varje element a ij i matrisen multipliceras med skalären. A innebär alltså att varje element i A byter tecken. Matrismultiplikation där A multipliceras med B, skrivs AB, är inte lika intuitiv, som addition. Först ett litet exempel med multiplikation av två vektorer, som får visa tekniken. Kalle ska köpa st päronglass, burk Coca-Cola och 4 st salta remmar. Styckpriserna för var och en av de tre varorna är 4.5 kr, 7. kr respektive.5 kr. Vi är nu intresserade av vad Kalle ska betala totalt. Först definierar vi två vektorer a och p A 4 p 4.5 7..5 Allt kan uttryckas med en vektormultiplikation, a t p 4.5 4 7. 4.5 7.4.5.5.5 Elementen multipliceras parvis och summeras! Så över till matrismultiplikation mellan en -matris och en -matris. 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 4 4 5 9 4 9 Håkan Strömberg KTH Syd
I detta exempel har vi sex gånger genomfört den rutin, som vi utförde endast en gång i förra exemplet. Alla raderna i den första matrisen har kombinerats med samtliga kolumner i den andra. Ett krav för att matrismultiplikationen AB, Am n och Bp q ska vara möjlig är att n p. Det vill säga att det finns lika många kolonner i A, som det finns rader i B. Om nu AB är möjlig betyder inte det att BA är möjlig eftersom detta i så fall kräver att q m. Då AB beräknas där Am n och Bn p blir resultatet av typen m p. Vi avslutar detta avsnitt med ett generellt uttryck som bestämmer c ik, ett godtyckligt element i C AB, där Am n och Bn q. För att bestämma elementet i rad i och kolonn k i C, kombineras alltså rad i i A med kolonn k i B. Båda innehåller n tal. c ik a i b k a i b k...a in b nk Det är frestande att skriva detta uttryck med hjälp av summasymbolen. c ik n a is b sk s Definition 6. En diagonalmatris är en kvadratisk matris där elementen utanför huvuddiagonalen är. a... a......... a mm För element a ij på huvuddiagonalen gäller i j. Dessa element kallas diagonalelement. En enhetsmatris E är ett specialfall av en diagonalmatris. Definition 7. En kvadratisk matris där alla element ovanför huvuddiagonalen är kallas undertriangulär matris. A a... a a... a a a...... a m a m a m... a mm Följdaktligen kallas en kvadratisk matris där alla element under huvuddiagonalen är för övertriangulär matris. a a a... a m a a... a m A a... a m...... a mm Håkan Strömberg 4 KTH Syd
Definition 8. Trace. Summan av diagonalelementen i en kvadratisk matris kallas trace och betecknas tr. Ibland används på svenska ordet spår. A Vi skriver tra a a a a 44 a a a a 4 a a a a 4 a a a a 4 a 4 a 4 a 4 a 44 Invers matris Ekvationen ax b är en linjär ekvation där a och b är givna reella tal. Om a har ekvationen en entydig lösning, x a b. Om a och b saknar ekvationen lösning. Om däremot både a och b finns det oändligt många lösningar eftersom alla reella tal x löser ekvationen. Det är möjligt att tänka sig en liknande ekvation uttryckt med matriser och vektorer. A x b Där An n, xn och bn. Med detta kan vi till exempel mena, för n a a a a a a a a a där vektorn x innehåller de tre obekanta och resten av elementen är kända reella tal. Genom att utföra multiplikationen i vänsterledet ser vi tydligt att matrisekvationen inte är något annat än ett ekvationssystem. x x x a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b Lösningen till matrisekvationen eller ekvationssystemet skrivs x A b I den inledande ekvationen multiplicerade vi båda leden med a. I vänstra ledet leder a a. I den senare ekvationen multiplicerar vi båda leden med A där A A E. Vi är alltså på jakt efter en matris A α α α α α α α α α sådan att A A E. Om vi finner denna matris har vi också lösningen till matrisekvationen eftersom x A b x α b α b α b x α b α b α b x α b α b α b b b b Håkan Strömberg 5 KTH Syd
Det reella talet i första ekvationen motsvarar alltså enhetsmatrisen En n i den andra. Matrisen A till A kommer framöver att visa sig spela en viktig roll i matrisalgebran. Från början hade vi tre obekanta nu har vi 9. Det är därför rimligt att fråga sig vad det är för vits med detta! Vi återkommer senare med ett helt kapitel om linjära ekvationssystem, där vi på liknande sätt som ovan kommer att diskutera antalet lösningar. Just nu koncentrerar oss i stället bara på att A n n är en matris sådan att och fastslår AA A A E Definition 9. Den kvadratiska matrisen A sägs vara inverterbar om det finns en matris A sådan att A A AA E Matrisen A sägs vara invers till A. Matrisen A har inversen A eftersom A A AA E. 5 5 A A 5 5 5 5 Att för hand finna A till en given matris A är ofta ett mödosamt arbete som vi med varm hand överlämnar åt Mathematica. Det finns ett antal mer eller mindre effektiva metoder för detta arbete, där vårt program är utrustat med god kunskap. Håkan Strömberg 6 KTH Syd
Determinanten till en matris I detta kapitel definierar vi determinanten till en kvadratisk matris endast som ett tal och återkommer i senare kapitel med en geometrisk tolkning av detta tal Definition. Determinanten för en matris av typ är det tal som definieras av a a det A det a a a a a a a a a a Definition. Determinanten för en matris av typ är det tal som definieras av a a a a a a det A det a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a När vi nu ska definiera determinanten för en matris An n måste vi först införa begreppet permutation. Definition. En permutation av heltalen {,,,... n} är en uppräkning av dessa n tal i någon ordning utan att repetera eller utelämna något tal. Talen {,, } kan räknas upp på 6 olika sätt och talen {,,, 4} på 4. Kanske känner du till att n olika element kan ordnas på n! olika sätt. En permutation av heltal kan ha en defekt. Om vi betraktar två av talen, vilka som helst, i permutationen och finner att det vänstra talet är större än det högra har vi upptäckt en defekt. Permutationen {, 4,, } har 4 defekter. > > 4 > 4 > Betraktar vi definitionerna av determinanten för matriser av ordning och, ser vi att i varje term finns exakt ett element från varje rad och kolumn de n! termerna består var och en av n faktorer. Framför hälften av de n! termerna finns ett minustecken och framför den andra häften ett plustecken. Det är här defekterna kommer in i bilden! Definition. En permutation kallas jämn om den har ett jämnt antal defekter och udda om den har ett udda antal defekter. En term i utvecklingen av en determinant a p a p a p...a npn kan alltid ordnas i stigande radindex. Det finns ju exakt ett element från varje rad i termen. Genom att efter det betrakta termens kolonnindex kan vi avgöra om permutationen av dessa är udda eller jämn. En udda permutation leder till ett minustecken och en jämn permutation till ett plustecken. Definition 4. Determinanten till en matris An n betecknas det A och innehåller n! termer a p a p a p...a npn där kolonnindex genomlöper samtliga n! permutationer. Tecknet för varje term beror på om permutationen är udda eller jämn. Håkan Strömberg 7 KTH Syd
Att bestämma determinanten till A innebär, så långt vi vet, att bestämma värdet hos! 68 8 termer. Varje term innehåller i sin tur 9 multiplikationer. Totalt behövs 6 87 999 operationer, inklusive additionerna, för att fullfölja beräkningarna. Att matematiker jagat metoder att förenkla detta arbete är lätt att förstå. Dessa metoder bryr vi oss dock inte om här eftersom vi har en dator som kan göra jobbet och ett program som känner till effektiva metoder. Vilken roll determinanten spelar i den linjära algebran kommer du själv att upptäcka längre fram. Extra. Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkterna,,,,, och,,4. Svara på parameterfri form normalform. Vi bildar först två vektorer v P P,, och u P P,,4. Sedan använder vi, för att variera oss, formeln: Med punkten P x,y,z och riktningsvektorerna r a,b,c och r a,b,c får man ekvationen med hjälp av följande determinant x x y y z z a b c a b c I vår uppgift x y z 4 4 x 4y z x 48y6z Svar: x8y6z 4 eller något enklare 6x4yz Extra. Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkterna,,,,, och,, 4. Svara på parameterform. En betydligt enklare uppgift, speciellt om vi använder v och u från uppgiften ovan. Vi kan då direkt skriva x s t y st z s4t x s t y s z 4t Extra. Bestäm avståndet från origo till planet 6x4yz. Åter ska vi använda en rak formel som snabbt leder till svaret Med punkten P x,y,z och planets ekvation AxByCzd kan avståndet direkt bestämmas med hjälp av följande formel: d Ax By Cz D A B C Det ger i vår uppgift d 6 4 6 4 6 Håkan Strömberg 8 KTH Syd
Extra 4. Ange på parameterfri form ekvationen för planet Vi har givet x,y,z,,5 s,, t,, x s t y st z 5st och kan plocka ut en punkt P,,5 och två riktningsvektorer v,, och u,,. Sedan kan vi direkt använda formeln från uppgift ovan: Svar: x yz 5 x y z 5 xz 5 y x yz 5 Vi har följande vektorer och matriser, som du ska använda för att lösa följande fem uppgifter 5 6 a b C D 7 8 9 Extra 5. Beräkna a b Ej möjligt att utföra a b Extra 6. Beräkna b T a Extra 7. Beräkna bc T b T a Ej möjligt att utföra bc T Extra 8. Beräkna C D Ej möjligt att utföra CD T Extra 9. Beräkna D T C D T C 5 7 9 6 8 8 9 7 9 Givet de två matriserna A B Använd dessa för att lösa de tre följande uppgifterna Håkan Strömberg 9 KTH Syd
Extra. Beräkna C AB C AB Extra. Beräkna C då A C 4B Då AC 4B blir C 4 B A C 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Extra. Beräkna C då A C BC A C BC ger C A B C Extra. Lös ut X X 6 4 4 4 4 6 X 4 7 8 4 Använd dessa matriser i de två följande uppgifterna A 5 B 4 5 5 Extra 4. Visa att tr AB tr AtrB C 4 5 5 4 tr AB tr AtrB ger AB 5 4 5 5 4 9 7 6 trab 46. tra och trb, som ger tratrb Håkan Strömberg KTH Syd
Extra 5. Bestäm D så att AD C D C A C A 4 5 5 4 Extra 6. Bestäm x, y, z och t från ekvationen x y xt t z z 5 6 Vi ser direkt att x och z, som i sin tur ger t och till sist y, y Extra 7. Bestäm α, β och γ då α β γ α β β γ γ Vi får genom huvudräkning γ, β och α Extra 8. Bestäm λ, µ och ν då λ µ ν λ λ µ µ µ ν Vi får först µ, som direkt leder till λ. Därefter får vi ν Extra 9. Har den här ekvationen någon lösning? λ µ ν λ λ µ µ µ ν Håkan Strömberg KTH Syd
Givet matriserna A B C Använd dem för att lösa följande fem uppgifter: Extra. Bestäm AB AB Extra. Bestäm AC AC Extra. Bestäm BC BC Extra. Bestäm CA CA Extra 4. Bestäm BA T BA T Använd dessa matriser för att lösa följande tre uppgifter A B 4 C Håkan Strömberg KTH Syd
Extra 5. Vilka av följande beräkningar är möjliga? AB, AC, BC, AB T, AC T, BC T Matriserna har följande ordning A, B, C Följande multiplikationer är möjliga: AC ger,bc ger, AB T ger. Extra 6. Beräkna de uttryck som är möjliga. AC 6 4 66 9 7 7 BC 4 46 89 6 8 8 5 AB T 4 4 4 6 9 5 8 Extra 7. Beräkna A T B C och A T BC och jämför resultaten. A T B C 4 4 6 8 6 4 4 4 7 6 8 6 4 5 5 4 878 86 68 45 855 7 6 6 9 8 A T BC 4 8 8 5 7 6 6 9 8 Extra 8. Bestäm AB och BA då A 5 4 B 4 5 Gäller detta resultat för alla kvadratiska matriser? AB 5 4 4 5 66 Håkan Strömberg KTH Syd
4 BA 5 5 4 Det är endast i undantagsfall AB BA Extra 9. Lös ekvationen: då A 5 4 8 8 55 BA x B, T B 4 5 x x x Ekvationen BA x B, T x x 4 5 x x 4 5 Ger x och x 5 Extra. Visa att för alla x är A E då cosx sinx A sinx cosx cosx sinx sinx cosx cosx sinx sinx cosx cos xsin x cosx sinx cosx sinx cosx sinx cosx sinx cos xsin x Trigonometriska ettan : sin αcos α. För matriserna Beräkna följande två uppgifter A Extra. Beräkna AB och A ABB. A ABB AB AB B 4 4 Håkan Strömberg 4 KTH Syd
Extra. Beräkna ABA B och A B A B ABA B A B Extra. Visa att för en kvadratisk -matris gäller att A T A T a a A a a A T a a a a A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A T a a a a a a a a a a a a a a A T a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a " Håkan Strömberg 5 KTH Syd