TENTAMEN Kurs: HF9 Matematik, moment TEN (anals) Datum: okt Skrivtid :-7: Eaminator: Armin Halilovic Rättande lärare: Erik Melander, Elias Said, Jonas Stenholm För godkänt betg krävs av ma poäng Betgsgränser: För betg A, B, C, D, E krävs, 9,, respektive poäng Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betg F) Vem som har rätt till komplettering framgår av betget F på MINA SIDOR Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad Om komplettering är godkänd rapporteras betg E, annars rapporteras F Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten) Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med krss på omslaget Skriv klass på omslaget, A, B eller C (eller omregistrerad) Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar Uppgift (p) (Har du klarat KS hoppar du över uppgift ) ) Låt f ( ) e a) Bestäm f ( ) (p) b) Bestäm definitionsmängden för f () (p) c) Bestäm f () (p) d) Låt (, e Bestäm z g ) g (p) Var god vänd!
+ + Uppgift (p) Vi betraktar funktionen f ( ) + a) Bestäm samtliga asmptoter (lodräta/vågräta/sneda) b) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär (min/ma/terrass) c) Rita grafen Uppgift (p): Bestäm alla stationära punkter till funktionen f (, ) + ln( + ) samt ange dess tp (ma, min eller sadel) Uppgift (p): a) Bestäm Talorpolnomet av första ordningen kring punkten (,) till funktionen f (, ) + ln( + ) b) Beräkna approimativt f (, ) Uppgift 5 (p): Beräkna följande integraler a) sin d (p) + b) d + (p) Uppgift (p): Bestäm volmen av den kropp som uppstår då (obegränsade) området e, < roterar kring -aeln Uppgift 7 (p) En tunn, homogen platta P är formad som området som ges av och, där både och ges i meter a) Bestäm arean av plattan (p) b) (p) Bestäm plattans tngdpunkt Om a) inte har gjorts kan man använda sig av en uppskattning av arean till /5 kvadratmeter Lcka till
FACIT Uppgift (p) (Har du klarat KS hoppar du över uppgift ) ) Låt f ( ) e a) Bestäm f ( ) (p) b) Bestäm definitionsmängden för f () (p) c) Bestäm f () (p) d) Låt z g ) (, e Bestäm g (p) a) Lös ut : f ( ) e e ln (ln ) eller ln Bta plats på och : ln Vi får: f ( ) ln b) c) d) ( är definierad för alla f ) e f ( ) e (använd kedjeregeln) (pga roten) e, Derivera med avseende på och behandla därvid som en konstant g Svar: a) f ( ) (ln ) b) c) e f ( ) d) g e a d: Rätt eller fel + + Uppgift (p) Vi betraktar funktionen f ( ) + a) Bestäm samtliga asmptoter (lodräta/vågräta/sneda) b) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär (min/ma/terrass) c) Rita grafen
a) f ( ) + + + + + + ( + ) + + + + + + Detta kan man också få genom polnomdivision Lodrät asmptot då - (nämnaren är då noll, men inte täljaren) lim, dvs f ( ) +, då är stort positivt eller stort negativt ± + Funktionen har alltså en sned asmptot, +, åt höger och åt vänster Därmed saknar den vågräta asmptoter b) f ( ) + + + + ( + ) f ( ) ( + ) + ( + ) Stationära punkter då f ( ) : f ( ) ( + ) ( + ) + ±, (två stationära punkter) ( + ) f ( ) ( ) ( + ) ( + ) f ( ) > alltså ett minimum ( + ) f ( ) < alltså ett maimum ( + ) Minvärde och mavärde: f ( ) + + + f ( ) + + +
c) Enkel skiss av denna kurva: Svar: a) En lodrät ( ) och en sned ( + ) asmptot b) Ett minimum i (,) och ett maimum i (, ) c) Se ovan a) poäng om båda asmptoter är korrekta b) p för korrekta två stationära punkter p om en stationär punkt och punktens tp p för två korrekta stationära punkter och deras tp c) korrekt skiss +p Uppgift (p): Bestäm alla stationära punkter till funktionen f (, ) + ln( + ) samt ange dess tp (ma, min eller sadel) Stationära punkter:
f +, f + + Detta i sin tur ger att + + och Vi har två stationära punkter (,) och (, ) Andra derivator: ( + ) f, f, f ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) A f (,), B f (,), C f (,) ( + ) ( + ) ( + ) AC B 9 < 9 punkten (,) är sadelpunkt A f (,), (,), > B f C f (,) ( + ) ( + ) ( + ) AC B > punkten (,) är en minpunkt 9 Svar: (,) sadelpunkt, (,) minpunkt Korrekta två stationära punkter ger p Fel stationära punkter ger p En korrekt stationär punkt och punktens tpp Allt korrektp Uppgift (p): a) Bestäm Talorpolnomet av första ordningen kring punkten (,) till funktionen f (, ) + ln( + ) b) Beräkna approimativt f (, ) Talorpolnomet av första grad kring punkten ( ) : f ( ) + ln f (,) ; f f + + Talorpolnomet: T + ( ) + ( ) + 7 f (, ) () + 7 9 Svar: a) T + 7 b) f (, ) 9 f (,) Rätt Talorpolnom kring punkten () ger p Fel Talorpolnom ger p Resten rätt ger tterligare p
Uppgift 5 (p): Beräkna följande integraler a) sin d (p) + b) d + (p) a) t t, t sin d t sin tdt [ P I ] t( cost) ( cost) dt tdt d t cost + sin t + C cos + sin + C b) + d [ polnomdivision] + d + + ( ) ( ) Svar: a) t cost + sin t + C cos + sin + C b) ln + ln + C + d ( )( ) [ Partialbråkuppdela sista termen] + d ln + ln + C Rätt variabelsubstitution ger p Fel variabelsubstitution ger p Rätt polnomdivision samt partialbråksuppdelning ger p Fel polnomdivision ger p Uppgift (p): Bestäm volmen av den kropp som uppstår då (obegränsade) området e, < roterar kring -aeln b e π V π ( f ( )) d π e d π π ( ) a π Svar:
Rätt till e π p Allt rätt p Uppgift 7 (p) En tunn, homogen platta P är formad som området som ges av och, där både och ges i meter a) Bestäm arean av plattan (p) b) (p) Bestäm plattans tngdpunkt Om a) inte har gjorts kan man använda sig av en uppskattning av arean till /5 kvadratmeter a) Området D som ges av : Arean(D) ( ) d b) c dd Arean( D) D Först D c [ ] dd d d d ( ) d ( Därför (Anmärkning Man kan inse med hjälp av smmetrin att c Arean( D) Först D dd ) d c )
5 ) ( ) ( 5 + + d d d d d dd D Därför c Svar: a) Arean/ b) T(/, /) a) Rätt till ger p Korrekt arean ger +p b) -koordinat: +p för rätt till ) ( d +p för korrekt c -koordinat: +p för rätt till ) ( d +p för korrekt c