10 Derivator och tillämpningar 1

10 Derivator och tillämpningar 1 10.1 Dagens Teori Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. Övning 10.1 Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x) = 2.15 + 2.1x 0.41x2 där h(x) meter är bollens höjd över golvet x meter är avståndet från utkastet räknat längs golvet. Hur högt når bollen? Det är en ledsen andragradsfunktion, så vi vet redan från början att funktionen har en maxpunkt. Men vi låtsas inte om det. Istället ska vi använda oss av h 00 (x) för att bestämma extrempunktens typ. Vi startar med att derivera funktionen h 0 (x) = 2.1 0.82x När vi nu sätter h 0 (x) = 0 får vi reda på för vilket x som det finns en extrempunkt hos h(x). h 0 (x) = 0 har en rot x = 2.56 Vi vet nu att då x = 2.56 så har h(x) antingen en maxpunkt eller en minpunkt. Vi har två möjligheter att avgöra vilket. Det enklaste är kanske att titta på andraderivatan h 00 (x) h 00 (x) = 0.82 som ju förstås är < 0 för alla x. Detta betyder att då x = 2.56 befinner sig bollen på sin högsta höjd. Vilken är då denna höjd? Får vi genom h(2.56) = 4.84 Svar: Bollen når höjden 4.84 meter

2 Derivator och tillämpningar 1 Övning 10.2 Enligt en enkel modell för befolkningsutvecklingen i Sverige under åren 2000 till 2050 kan folkmängden y(x) miljoner uppskattas med formeln y(x) = 0.000338x 2 + 0.0232x + 8.89 där tiden x är tiden i år räknat från 2000. Vilket är enligt modellen det största värdet på Sveriges folkmängd under denna period? Här har vi för första gången ett intervall 2000 x 2050 att ta hänsyn till. Vad som händer med funktionen utanför detta intervall ska vi inte bry oss om. Åter ett andragradspolynom med minus framför x 2 -termen. Vi vet redan nu att det handlar om en maxpunkt. Vad vi inte vet är om maxpunkten ligger inuti intervallet. Vi startar med att ta reda på y (x) och sedan extrempunkten genom y (x) = 0. y (x) = 0 ger y (x) = 0.0232 0.000676x 0.0232 0.000676x = 0 som har roten x = 34.3195. För detta x-värde finns en extrempunkt hos y(x), som dessutom ligger i det givna intervallet. Genom andraderivatan y (x) kan vi ta reda på om det är en max- eller minpunkt. y (x) = 0.000676 y (x) < 0, alltså en maxpunkt. Vi kan nu bestämma folkmängden vid denna tidpunkten x = 34.3195 genom y(34.3195) = 9.28811 Det betyder att befolkningen år 2034 är ungefär 9288110 själar, om vi nu ska tro på det. Är detta en globalt maxpunkt om vi tittar på hela intervallet? Ja, det måste det vara, så vi bryr oss inte om att bestämma y(0) och y(50) eftersom vi är säkra på att dessa är mindre än y(34.3195). Förresten vad betyder 34.3195 år? 34 år är helt klart, men 0.3195 år är ju 0.3595 365 = 131.218 dygn. Eftersom månaderna januari till april har 31 + 28 + 31 + 30 = 120 dygn så bör detta maximum inträffa 11 maj 2034. Överskjutande tid det vill säga 0.218 24 = 5.232 betyder ungefär kl 5 : 14 på morgonen. Detta får oss osökt att tänka på antalet värdesiffror. Självklart är denna tidsbestämning uppåt väggarna. Förhoppningsvis har ni fått tillräckligt kunskap om detta genom fysiken. Övning 10.3 Christian studerade en sommar tillväxthastigheten y cm/dygn för en solros och fann att den följde en enkel andragradsmodell y(x) = 0.00035x(260 x) där x är solrosens höjd i centimeter. Bestäm den största tillväxthastigheten. Hur lång är solrosen då? Ordet modell, eller matematisk modell används, för till exempel en formel, som här, som

10.1 Dagens Teori 3 beskriver ett naturfenomen. Man måste förstå att den bara är tillämplig på ett ungefär. Här nämns till exempel inte om solrosen står på en skuggig eller solig plats. Inte heller hur mycket det regnade denna sommar. Det här är en liten finurlig uppgift. Normalt förknippar vi hastighet, eller tillväxthastighet med derivatan till given funktion. Men eftersom y(x) är hastighet, så måste y (x) vara någon form av tillväxtacceleration. Solrosen axar! Man behöver kanske inte filosofera över detta, även om det känns bättre när man vet vad man håller på med. Vår plan blir, som vanligt just nu, att ta fram y (x). Lösa ekvationen y (x) = 0. Ta reda på vilken typ av extrempunkter som finns. Bestämma y(x) för dessa. Men hur deriverar man y(x) = 0.00035x(260 x) Vi klarar det inte på något annat sätt än att utveckla parentesen och få som vi nu deriverar y (x) = 0 ger y(x) = 0.091x 0.00035x 2 y (x) = 0.091 0.0007x 0.091 0.0007x = 0 som har roten x = 130. Vi vet att y(x) har en maxpunkt eftersom y (x) = 0.0007. Återstår att bestämma y(130) = 5.9. Vad betyder nu detta. Att solrosen växer som snabbast, 5.9 cm/dygn när den har en längd av 130 cm. Övning 10.4 Av en plåt som är 36 cm bred ska man bocka en öppen ränna med rektangulärt tvärsnitt. Vilka mått ger största möjliga tvärsnittsarea? Detta är en ny kategori av problem. Vi ska alltså bestämma en maxpunkt. Men ingen funktion är given! Det handlar om geometri och genom att studera figuren kan vi lista oss till funktionen Figur 10.1: Den eftersökta arean är A = B H. Vi vet att H + H + B = 36. Om H = x så måste B = 36 2x och då kan vi skriva arean som A(x) = x(36 2x) = 36x 2x 2 eller hur? Vi har funktionen. Frågan är nu för vilket x som arean är som störst?

4 Derivator och tillämpningar 1 Vi gör väl som vanligt, beräknar A (x) och löser ekvationen A (x) = 0 A (x) = 36 4x A (x) = 0 ger oss nu 36 4x = 0 med roten x = 9. För x = 9 har funktionen en maxpunkt. A(18) = 162, som är rännans största tänkbara area. Finns det något intervall här, inom vilka värden på x kan variera? x största möjliga värde är 18, men då blir det inte mycket över till rännans bas, B = 0 och arean blir 0. x minsta värde är 0, det vill säga man viker inte upp någon kant alls. Då är också arean 0. Alla andra värden däremellan är möjliga för x. Intervallet för x blir då 0 x 18. Vi avslutar med att visa grafen 150 125 100 75 50 25 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 Figur 10.2: Övning 10.5 Figuren visar grafen y = f(x) i intervallet a x f. Figur 10.3: a) När är funktionen f(x) växande? b) När är funktionen f(x) avtagande? c) I vilka punkter har f(x) lokala extrempunkter? d) När har f(x) globalt maximum? e) När har f(x) globalt minimum?

10.1 Dagens Teori 5 a) b) c) Maxpunkter i a, c, e. Minpunkter i b, d, f d) e e) b b < x < c d < x < e a < x < b c < x < d e < x < f Övning 10.6 Vilka punkter på kurvan y = f(x) har horisontell tangent. a) f(x) = x 3 x 2 x + 1 b) f(x) = 2x 3 3x 2 12x + 87 En horisontell tangent innebär att f(x) har en extrempunkt: max-, min- eller terrasspunkt. Nu bör det vara självklart hos alla att dessa punkter, får man genom att ta fram f (x) och lösa ekvationen f (x) = 0 a) f (x) = 3x 2 2x 1 3x 2 2x 1 = 0 har rötterna x 1 = 1 3 och x 2 = 1. det står inget om att vi behöver avgöra vilken typ av extrempunkter det handlar om, så då glömmer vi det. Däremot vill man veta f( 1 3 ) och f(1) f( 1 3 ) = ( 1 3 )3 ( 1 3 )2 ( 1 3 ) + 1 = 32 27 f(1) = 1 3 1 2 1 + 1 = 0 b) Vi har då punkterna ( 1 3, 32 27 ) och (1, 0) f (x) = 6x 2 6x 12 6x 2 6x 12 = 0 har rötterna x 1 = 1 och x 2 = 2 f( 1) = 2( 1) 3 3( 1) 2 12( 1) + 87 = 94 f(1) = 2 1 3 3 1 2 12 1 + 87 = 67 Vi har då punkterna ( 1, 94) och (1, 67) Jag tror att ni sett mig lösa minst 100 andragradsekvationer på tavlan denna termin, så nu tänkte jag inte plåga er längre med det. Alla vet ju hur det går till, eller hur? Övning 10.7 Bestäm arean hos den största triangel man kan skapa där summan av triangelns höjd h och dess bas b, b + h = 12 cm. Om höjden h sätts till x, så återstår 12 x till basen b, h = x, b = 12 x. Med hjälp av formeln för triangelns area A = b h 2

6 Derivator och tillämpningar 1 får vi x(12 x) A(x) = = 6x x2 2 2 Det är denna funktion vi ska finna en maxpunkt hos. Vi kan på vägen konstatera att 0 x 12. Vi deriverar och får A (x) och löser sedan ekvationen A (x) = 0 A (x) = 6 x 6 x = 0 ger x = 6. Vi deriverar en gång till och får A (x) = 1 Alltså är extrempunkten i x = 6 en maxpunkt, men det visste du ju redan. Hur som helst ser vi nu att då h = 6 och b = 6 får vi den maximala arean A = 18. Figur 10.4: Övning 10.8 En låda ska tillverkas av en kvadratisk pappskiva som har sidan 12 dm. I skivans fyra hörn klipps lika stora kvadratiska bitar bort. Det som återstår viks så att en låda, med idel, räta vinklar bildas. Hur stora ska de kvadratiska bitarna vara för att lådans volym ska bli så stor som möjligt? Vi ska bestämma volymen av lådan med hjälp av formeln V = b h l där b är bredden, l längden och h höjden. Men just i denna uppgift är l = b. Lådans botten är kvadratisk. De små kvadraterna som ska klippas bort antar vi har sidan x. Sidan hos den stora kvadraten vi har från början är 12. Hur stor är då bredden b? Jo, b = 12 2x och då är också l = 12 2x. Höjden är förstås h = x. Vi har tecknat alla måtten och kan nu teckna lådans volym V(x) = x(12 2x)(12 2x) = x(12 2x) 2 Sedan är det bara att tuffa på som vanligt. Derivera V(x). Sätta V (x) = 0 och lösa ekvationen för att få extrempunkterna. Vilket intervall befinner sig x i? 0 x 6, större kan ju inte x vara. Fört utvecklar vi parenteserna i V(x)

10.1 Dagens Teori 7 V(x) = x(12 2x) 2 = x(144 48x + 4x 2 ) = 144x 48x 2 + 4x 3 Nu är det dags att derivera V (x) = 144 96x + 12x 2 Ekvationen 144 96x + 12x 2 = 0 har rötterna x 1 = 2 och x 2 = 6. Två extrempunkter! Vi ska nu avgöra vilken typ punkterna x = 2 och x = 4 tillhör, genom att derivera en andra gång. V (x) = 96 + 24x Då V (2) = 96 + 48 = 48 < 0 som betyder att vi funnit en maxpunkt. Då V (6) = 96 + 24 6 = 48 > 0 som betyder att det här handlar om en minpunkt. V(4) = 2(12 2 2) 2 = 128 Svar: Den maximala volymen är 128 cm 3, som vi får när de de små kvadraterna har sidan 2 cm. Övning 10.9 Om priset för en parfym sätts till x kr/liter kan man räkna med att det under ett år säljs f(x) = 100 5x 100 liter, så länge priset x är 800 x 1200. Teckna en funktion I(x) för intäkten, det belopp man får från ett års försäljning. Beräkna sedan med hjälp av I(x) den maximala intäkten. Om parfymen till exempel kostar x = 900 kr, så kommer man att sälja f(900) = 100 4500 100 = 55 liter Intäkten blir då I = 55 900 = 49500 kr. Den funktion vi är ute efter kan skrivas: ( I(x) = x 100 5x ) = 100x 5x2 100 100 Det är den här funktionen vi ska finna en maxpunkt hos. Det luktar inte parfym, men det luktar derivering I (x) = 100 10x 100 = 100 x 10 Sedan löser vi ekvationen I (x) = 0 100 x 10 = 0 som har roten 1000. Vi tar fram andraderivatan för att bestämma typen hos extrempunkten. I (x) = 1 10 som alltid är negativ. Alltså är speciellt I (1000) < 0 vilket betyder att vi funnit, som väntat, en maxpunkt.

8 Derivator och tillämpningar 1 Övning 10.10 En misslyckad raketuppskjutning från ett fartyg kan beskrivas med ekvationen: y = 4.8t 2 + 9.6t + 38.2 där y m är raketens höjd över havet t sekunder efter avfyrningen. Hur högt når raketen? KTH: Jaha, då sätter vi väl igång då. Är du pigg idag? TB: Så där. Det börjar bli lite mycket nu, men jag ska försöka samla mig och göra mitt bästa. En funktion är given. Jag väljer lite andra beteckningar än de som föreslås i boken. h(t) = 4.8t 2 + 9.6t + 38.2 Genom den här funktionen kan jag ta reda på hur högt över vattnet raketen befinner sig. Efter till exempel t = 10 blir h(10) = 4.8 10 2 + 9.6 10 + 38.2 = 345.8. Oj då, raketen är på väg mot botten, om det nu överhuvudtaget är så djupt där. Men nu var det inte det vi skulle ta reda på. Vid vilken tid som raketen når sin högsta punkt får jag reda på genom att derivera h(t) och lösa h (t) = 0 h(t) = 4.8t 2 + 9.6t + 38.2 h (t) = 9.6t + 9.6 h (t) = 0 då 9.6t + 9.6 = 0 t = 1 Snälla värden eller hur. Redan efter 1 sekund vänder raketen och börjar falla igen. Hur högt den då befinner sig över vattenytan får jag reda på genom att beräkna h(1) = 4.8 1 2 + 9.6 1 + 38.2 = 43 meter. Det var inte högt. KTH: Kan du se hur högt över havet själva startrampen ligger? TB: Då t = 0, innan uppskjutningen, befinner sig raketen h(0) = 38.2 meter över havet. Så själva skuttet är inte högre än knappa 5 meter! KTH: Om du fick i uppgift att bestämma när raketen slår i vattnet, hur skulle du göra då? TB: Nu frågas det faktiskt inte om det, men antagligen skulle jag lösa ekvationen h(t) = 0. KTH: h(t) = 0 är en andragradsekvation och en sådan har ju som bekant två rötter. Betyder det att raketen landar två gånger? TB: Nu går vi till nästa uppgift föreslår jag. KTH: Jag vill bara berätta att rötterna är t 1 = 1.99305 och t 2 = 3.99305 och att funktionen inte är definierad för t < 0. Detta förklarar min fråga. TB: Vi kommer aldrig att bli klara om du ska hålla på och utvidga uppgifterna på det här sättet. Övning 10.11 En förening försöker beräkna intäkterna y kr från en kommande nyårsrevy. Tidigare erfarenheter visar att formeln y = 1000x 5x 2 där x är biljettpriset, bör kunna användas. Vilket biljettpris ger maximal intäkt?

10.1 Dagens Teori 9 TB: Finns det sådana här funktioner i verkligheten? Funktioner med vars hjälp man kan bestämma vilken vinst man får för olika priser. KTH: Jo man försöker nog bestämma sådana inom ekonomin, men de bygger förstås på psykologi och blir därför ganska osäkra. TB: Hur som helst har vi funktionen v(p) = 1000p 5p 2. Vinsten v, som funktion av priset p. Jag är på jakt efter ett maximum. Jag vet sedan tidigare andragradspolynom med en negativ koefficient till x 2 har just ett maximum. För vilket pris p som maximal vinst uppkommer, får jag genom att bestämma v (p) = 0 v(p) = 1000p 5p 2 v (p) = 1000 10p v (p) = 0 då 1000 10p = 0 p = 100 Svaret är att den maximala vinsten får jag om biljettpriset sätts till 100 kr. Jag behöver inte beräkna v(100) som skulle ge mig den maximala vinsten. Tack för det. Övning 10.12 Under en oktoberdag varierade temperaturen y C enligt ekvationen y = 0.5t 2 5t + 10 där 0 t 6 är antalet timmar från midnatt. Vilken var den lägsta temperaturen under dessa 12 timmar och när inträffade den? TB: Det är förunderligt att det finns funktioner för en sådan här sak. KTH: Egentligen så finns det ju inte det. Den här funktionen är på sin höjd en modell av verkligheten. Kanske tillräckligt bra för att kunna användas i någon situation. TB: Funktionen T(t) = 0.5t 2 5t + 10 har ett minimum, det vet jag säkert. Om detta minimum ligger i intervallet 0 t 12 kan jag inte omedelbart säga. Om inte så är det värdet vid något av intervallets ändpunkter som ger det sökta värdet. T(t) = 0.5t 2 5t + 10 T (t) = t 5 T (t) = 0 då t 5 = 0 t = 5 Minimat ligger i intervallet. 5 timmar efter midnatt, alltså kl 5 : 00 är temperaturen som lägst T(5) = 2.5 C 28-x x 2 y m

10 Derivator och tillämpningar 1 Övning 10.13 I ett hörn där två murar möts avgränsas ett rektangulärt trädgårdsland med hjälp av ett 28 m långt nät. a) Arean är y m 2. Bestäm y som funktion av x. b) Ange funktionens definitionsmängd c) Vilken är den största area som trädgårdslandet kan få? TB: Jag ritar inte om figuren som finns i boken. Det finns ingen funktion given den här gången, men allt är ganska väl tillrättalagt. Jag kan skriva A(x), x som funktion av arean som A(x) = x(28 x) A(x) = 28x x 2 A (x) = 28 2x A (x) = 0 då 28 2x = 0 x = 14 Det är inte speciellt överraskande att x = 14 m, det vill säga att båda sidorna av staket är lika långa så att hagen blir en kvadrat. A(14) = 196 m 2 420-3x x Övning 10.14 Med ett 420 m långt stängsel inhägnas två lika stora rektangulära hagar mot en mur. a) Deras sammanlagda area är y m 2. Bestäm y som funktion av x. b) Ange funktionens definitionsmängd c) Vilken är den största värde som hagarnas sammanlagda area kan ha? TB: Återigen en inhägnad, men nu vill man ha skilda hagar får (förlåt för) tackor och baggar! Figuren säger allt och jag får följande funktion A(x) = x(420 3x) A(x) = 420x 3x 2 A (x) = 420 6x A (x) = 0 då 420 6x = 0 x = 70 Långsidan skrivs 420 3x eftersom det behövs tre kortsidor, var och en med längden x m. Då x = 70 m får vi den maximala arean A(70) = 70(420 3 70) = 14700 m 2. Var den här uppgiften svårare än den förra eller? KTH: Nej, men eftersom upprepning är pedagogikens moder så gör vi detta endast för att det ska sitta.

10.1 Dagens Teori 11 r h Övning 10.15 En vattenbehållare ska ha formen av en rät cirkulär cylinder med basradien r och höjden h m. Radien och höjden ska tillsammans vara 12 m. a) Behållarens volym är V m 3. Bestäm V som funktion av r. b) Ange funktionens definitionsmängd c) Vilka dimensioner ska behållaren ha för att få maximal volym? TB: Konstigt villkor: Summan av höjden h och radien r ska vara r + h = 12. Men jag bryr mig inte. Men nu blir jag lite osäker. Vi ska beräkna volymen för en cylinder. Hur gjorde man det nu igen? KTH: Här har du formeln Den kan du hitta i formelsamlingen. V c = π r 2 h TB: Tack. Ja, här finns två storheter h och r!? Nu vet jag. Jag ska använda r + h = 12. Skriva om det som h = 12 r och substituera h med detta uttryck i den formel du gav mig. Lite småklurigt faktiskt. Är det rätt tänkt? KTH: Javisst, bra TB: Jag kommer nu in på samma spår som i tidigare uppgifter. Jag får V c (r) = π r 2 (12 r) V c (r) = 12πr 2 πr 3 V c(r) = 24πr 3πr 2 V c(r) = 0 då 24πr 3πr 2 = 0 r 1 = 0, r 2 = 8 Funktionen kan bara fungera för 0 < r < 12. Här kommer två grafer. Först V c (r) och sedan V c(r). V c (r) är ett polynom av tredje graden, som verkar ha ett maximum vid r = 8 vilket stämmer med mina beräkningar.

12 Derivator och tillämpningar 1 800 600 400 200 2 4 6 8 10 12 Figur 10.5: Det finns två extrempunkter i det aktuella intervallet, allt enligt teorin. Vi vet att V c(r) = 0, som är en andragradsekvation, ska ha (kan ha) två (reella) rötter. Den första är ett minimum då r = 0, som är ointressant här. 150 100 50-50 -100-150 -200 2 4 6 8 10 12 Figur 10.6: TB: De efterlyser för vilka värden på r och h som burken har maximal volym under gällande villkor. Svaret är r = 8 som ger h = 4 och volymen V c (8) (för den som har lust att räkna ut den). 10.2 Gamla tentauppgifter Övning 10.16 Bestäm det minsta och största värdet för funktionen y = x 3 3x 2 + 3 i intervallet 1 x 4 Svar: Minsta värde: 1, största värde: 19 Övning 10.17 Bestäm en ekvation för tangenten till kurvan y = x, x 0, i den punkt där x-koordinaten är 4. Svar: y = x 4 + 1 Övning 10.18 Kurvan y = x 2 2x + k tangerar räta linjen med ekvationen y = x för ett visst värde på konstanten k. Bestäm detta värde. Svar: k = 9 4

10.2 Gamla tentauppgifter 13 Övning 10.19 Den totala begränsningarean av ett rätblock är 24 dm 2. En av rätblockets sidokanter är dubbelt så lång som en annan kant. Beräkna rätblockets maximala volym. Svara exakt Svar: 16 2 3 dm 3