VOLYMÄNDRINGSARBETE Volymändringsarbete = arbete p.g.a. normalkrafter mot ytor (tryck) vid volymändring. Beteckning: W b (eng. boundary work); per massenhet w b. δw b = F ds = P b Ads = P b dv Exempel: Betrakta en gasmassa innesluten i en cylinder med lättrörlig kolv. Gasen expanderar och skjuter ut kolven; volymen ökar. Antag homogent tryck P b mot systemgränsen (kolvens inneryta). W b = 2 1 F ds = 2 1 P bdv Antag nu att processen är kvasistatisk. Trycket är då homogent i hela cylindern under hela processen, P b = P. W b = 2 1 P dv W b = ytan under kurvan i ett P-V diagram. Arbetet beror på vägen Arbete är ingen tillståndsstorhet! Ch. 4-1 Termodynamik C. Norberg, LTH
KVASISTATISKT VOLYMÄNDRINGSARBETE Betrakta en gas innesluten i en behållare med lättrörlig kolv. System = gasen. Kvasistatisk process. Kvasistatiskt volymändringsarbete: W b = 2 1 P dv (a) Fixera kolven, volymen konstant isokor process. W b = 2 1 P dv = 0 ty dv = 0 (b) Belasta kolven med en vikt, trycket konstant isobar process. W b = 2 1 P dv = P 2 1 dv = P(V 2 V 1 ) = P 1 V 1 (V 2 /V 1 1) (c) Systemet expanderar alt. komprimeras så att temperaturen hålls konstant isoterm process. Ideal gas, d.v.s. P = RT/v = mrt/v W b = mrt 2 1 dv V = mrt lnv 2/V 1 = P 1 V 1 lnv 2 /V 1 (d) Systemetexpanderaralt.komprimerassåattPV n = C = konst. polytrop process, n = polytropexponent. W b = C 2 1 V n dv =... = P [ 1V 1 1 (V2 /V 1 ) 1 n] n 1 Ch. 4-1 Termodynamik C. Norberg, LTH
ENERGIÄNDRINGAR SLUTNA SYSTEM E = E 2 E 1 = Q W (OBS! teckenkonvention) Ändring i Potentiell energi Lyft adiabatiskt massan m (system) vertikalt sträckan h under inverkan av gravitationen: W = mgh, Q = 0 E = PE = W = mgh Ändring i Kinetisk energi Accelerera adiabatiskt och horisontellt massan m från hastigheten V 1 till hastigheten V 2 (F = ma = m dv dt, V = ds dt ): W = 2 1 Fds = m V 2 V 1 V dv = 1 2 m(v 2 2 V2 1 ),Q = 0 E = KE = W = 1 2 m(v 2 2 V2 1 ) Ändring i Inre energi = U = m(u 2 u 1 ) Total energiändring: E = U + KE+ PE = Q W Infinitesimal process: de = δq δw (de = δq δw) Enkelt kompressibelt system (försumbara ändringar i KE och PE): E = U = Q W Uppdelning 1 i arbetsformer: W = W b +W sh +W e +... }{{} W other d.v.s. E = Q W other W b 1 Denna kurs: W other = W sh +W e (tekniskt arbete). Ch. 4-2 Termodynamik C. Norberg, LTH
KRETSPROCESSER Betrakta kvasistatisk expansion/kompression av en gas. 1 2: expansion, systemet utför arbetet (W b ) out 2 1: kompression, systemet mottar arbetet (W b ) in Netto arbete ut: W net,out = (W b ) out (W b ) in (W b ) out > (W b ) in W net,out > 0, arbetsgivande process. 1:a HS Q net,in > 0, värme måste tillföras. Om cykeln reverteras (byter riktning) fås en arbetskrävande process, värme måste bortföras. Ch. 4-2 Termodynamik C. Norberg, LTH
SPECIFIK VÄRMEKAPACITET Specifik värmekapacitet eller värmekapacitivitet (eng. specific heat) =detenergiutbytesomkrävsförattökatemperaturenengrad(1 C = 1 K) för 1 kg av ett ämne vid viss föreskriven typ av process. Energiutbyten som är förknippade med ev. volymsförändringar för ämnet självt skall ej medräknas. c v = isokor värmekapacitivitet; c p = isobar värmekapacitivitet. c p c v (gäller alltid!) Enkelt kompressibelt system: δq δw other = cdt = du+p dv = dh vdp (dh = du+p dv +vdp) (a) v = konst. dv = 0 c v dt = du, d.v.s. c v = u (4-19) T (b) P = konst. dp = 0 c p dt = dh, d.v.s. c p = h (4-20) T P Inkompressibelt system i en fas: v c p = c v = c (4-32) där värmekapacitiviteten endast är temperaturberoende, c(t); används normalt som approximation för alla vätskor och fasta ämnen. Ch. 4-3 Termodynamik C. Norberg, LTH
SPECIFIC HEATS c p och c v c p och c v är tillståndsstorheter! Enkelt kompressibelt system, enhetligt ämne i en fas, process 1 2: u = u(v,t) du = u dv + u dt = Adv +c v dt v T T v du = u 2 u 1 = u 2 u }{{ 1 +u } 2 u 2 }{{} Adv c v dt Adv +c v dt = h = h(p,t) dh = h P T dp + h T Ideal gas A = B = 0! P dt = BdP +c p dt Ch. 4-3 Termodynamik C. Norberg, LTH
REALA OCH IDEALA GASER Experiment med gaser(joule, 1843) visar att om gasen är ideal, d.v.s. gasen uppfyller ideala gaslagen (P v = RT), så beror inre energin endast av temperaturen, u = u(t). Detta kan även visas rent matematiskt (Ch. 12). Dessutom gäller ju då att c v = c v (T). För reala gaser, gaser där Pv RT, gäller u = u(t,v); du = c v dt kan då endast användas som grov approximation. Ideal gas: u = u(t), du = c v (T)dT h = u+pv = u(t)+rt = h(t) dh = c p (T)dT IDEAL GAS: u = u(t), h = h(t) samt c p c v = R c p och c v beror var för sig av temperaturen men skillnaden är konstant (= gaskonstanten R)! Ex. torr luft (R = 287 Jkg 1 K 1 ) vid P 1 atm (Table A-2): T [K] c p c v c p c v 300 1005 718 287 600 1051 764 287 900 1121 834 287 h 2 h 1 = T 2 T 1 c p (T)dT = c p,avg (T 2 T 1 ) c p,avg = c p (T avg ), T avg (T 1 +T 2 )/2 Ch. 4-4 Termodynamik C. Norberg, LTH
PERFEKTA GASER Perfekt gas = ideal gas med konstanta c p och c v Ideal gas: du = c v dt, dh = c p dt, c p c v = R = konst. Konstanta c p och c v : u = c v T, h = c p T För de flesta enatomiga gaser, speciellt ädelgaserna, kan temperaturberoendet för c p och c v anses försumbart. c v /R 3 2 samt c p/r 5 2 d.v.s. k = c p c v 5 3 = 1.67 För fleratomiga gaser finns ett temperaturberoende som normalt sett inte är försumbart. Dock gäller approximativt tvåatomiga gaser, k 7 5 = 1.40 tre- eller fleratomiga gaser, k 4 3 = 1.33 Över begränsade temperaturintervall kan medelvärden användas, vilket förenklar analysen, t.ex. vid studium av olika gasprocesser. Ch. 4-4 Termodynamik C. Norberg, LTH
ÄMNESDATA VÄTSKOR Vätska = komprimerad vätska (eng. compressed liquid) En vätska kan vid inte alltför stora ändringar i tryck betraktas som ett inkompressibelt medium. Volymitet v för vätskor uppvisar därför extremt svagt tryckberoende, detsamma gäller inre energi u och entropi s (Ch. 7). För v, u och s gäller approximativt: v(p,t) v f@t, u(p,t) u f@t, s(p,t) s f@t För entalpi h är dock inte alltid tryckberoendet försumbart. Med endast tillgång till mättnadsdata finns följande approximation: 2 h(p,t) h f@t +v f@t (P P sat@t ) Exempel. Bestäm v, u och h för vatten vid (P = 15 MPa, T = 60 C) och jämför med approximationerna ovan. I Table A-7 finns ämnesdata för vatten vid olika tryck s.f.a. temperatur. Härur avläses direkt: v = 0.0010105 m 3 /kg, u = 248.58 kj/kg, h = 263.74 kj/kg Jämför med mättad vätska vid T = 60 C; Table A-4: v f = 0.001017 m 3 /kg, u f = 251.16 kj/kg, h f = 251.18 kj/kg För v och u är approximationerna ovan inom ca. 1%. För h däremot är avvikelsen ca. 5% ( 4.8%). Med P sat@60 C = 19.947 kpa (Table A-4) fås dock enligt ekv. ovan: h (251.18+0.001017(15 10 3 19.947)) kj/kg = 266.42 kj/kg vilket är 1% högre än tabellvärdet. OBS! h h f@t duger oftast; kan användas i denna kurs! 2 Gäller inte vid höga temperaturer, för vatten inte högre än ca. 310 C, T/T cr > 0.9. Ch. 4-5 Termodynamik C. Norberg, LTH