Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L - 00 S 600 = 3 3 5 3850 = 5 7 847 = 7 största gemensamma delare till 600 och 3850: 5 minsta gemensamma multipel till 3850 och 847: 5 7 S a) +6+9 b) 5 0+4 c) 4 8 3 +6 6 d) 4 e)6 8 8 S3 a) ( + ) b) ( + ) c) (z w)(z + w) d) 4(b a)(b + a) e) ( 3 )( 3 + ) f) ( ) S4 a) 5 = 5 och ( ) = 4. b) = 3 eller = c) Inga! S5 a) 3 b) 3 S6 3 i alla tre fall. Nej, a är enligt definitionen alltid icke-negativ! S7 a) z = 3 b) a = S8 N = A(I σ z MZ), Z = I (σ z A N), A = I MA S9 p = 3 och = NI I σ z MZ. S0 till eempel: a) ( )( + ) = 0 = 4 b) = = 4 S a) = 4 S Du har väl inte verkligen multiplicerat ut alla termer? a) resp. b) 4 resp. S3 a) Använd den angivna regeln fär a och b som är positive tal! b) a < 0 och b > 0 (även a 0 och b 0). Till eempel a = och b =. c) Endast om det är 0 på båda två sidor. S5 a) (i), (iv) och (v) är utsagor, de andra bara uttrck. b) Till eempel: En kvadrat har fra rätta vinklar (i) = 7 (iv) (iv) = 0 eller = ±7 S7 Bara b) är ett bevis. S8 Omvändningen till Pthagoras sats. Frhörningen i uppgift T kan inte inskrivas i en cirkel, eftersom summan av två motstående vinklar är inte 80, se för en förklaring av detta Följdsats 3 (på sidan 39 i upplagan 00 i geometrihäftet). S Man får ett cosinusvärde som ligger utanför intervallet [, ]. Alltså finns ingen vinkel som uppfller ekvationen. Detta beror på, det inte finns en triangel med sidolängder,, och 4, eftersom + < 4. S a) en liggande parabel (öppet till höger), b) bara den övre delen c) bara den undre delen av parabeln i a).
S3 3 S5 a = 0 och b =, alltså f() = 6 4 4 + 5. Sätta = t och få så ett tredjegradspolnom som har nollstället t =. Faktoriseringen (t ) (t ) leder till f() = 6 4 4 + 5 = ( ) ( ) = ( ) ( + ) ( )( + ). Alternativt kan man dividera och då får man en kvot som fortfarande har nollställen = och =. S6 a) Till eempel p() = ( + ) 3, men även t.e. 5( + 9)( + ) 3. b) Nej, ett tredjegradspolnom kan ju inte ha 4 olika nollställen! S7 a) Nej, den konstante termen 6 är ju inte jämt delbar med 4- Det löner sig bara för ±, ± ± 3 ± 6. b) eller 3 S8 den andra grafen tillhör g, den tredje grafen g, fjärde g 5, femte g 6, sjätte g, sjunde g 0, och den ottonde g 8 S9 Alla summor utan 5 m= m m är geometriska. S30 eponentialfunktioner: f, f 5 och f 8. potensfunktioner: f (eponent α = ), f 3 (α = ), f 4 (α = ), f 6 (α = 3 ), och f 7() = (α = ) f 9 () = e ln är varken eller. S33 Funktionen måste vara injektiv. T.e. f() = 3. S34 tan = 0 har lösningarna = k, k heltal sin 4 = 0 har lösningarna = l, l heltal 4 Däremot har ekvationen tan sin 4 = 0 bara lösningarna = n, n heltal (OBS: l för udda l ligger inte i definitionsmängden av tan!) 4
S35 a) f () = sin "vanlig sin" sträckt med faktorn i -led b) f () = sin( ) 4 sin flttad 4 steg åt höger c) f 3 () = sin som sin för > 0 och sedan fortsatt som jämn funktion, dvs speglad i -aeln. d) f 4 () = sin "delarna" där sin är negativ är speglade uppåt e) f 5 () = sin cos = cos cos sträckt med faktorn i -led (pga ) och sen uppochnervänd (pga "minustecknet" framme)
f) f 6 () = sin cos = sin sin sträckt med faktorn i -led (pga ) och sträckt med faktorn framför sin) i -led (pga faktorn S36 sin 3 = sin( + ) =... = 3 cos sin sin 3. Om man vill kan man förenkla vidare till 3 sin 4 sin 3. cos = +cos i boken, sidan 04. Sen följer cos +cos = när 4k 4k + dvs alla så att cos 0 +cos när 4k + 4k + 3 dvs alla så att cos 0 S37 En formel gäller för alla, medan för en ekvation söker man precis de, för vilka ekvationen gäller (som vanligtvis inte är alla...). En formel bevisas ("man kollar att den verkligen stämmer för alla ") och en ekvation löses ("man söker alla som uppfller ekvationen"). S38 a) Vi vet för 0 < < att < tan. Eftersom > 0 och tan > 0 i intervallet med för olikheten: < eller ekvivalent cot <. tan b) OBS: Enligt a) ligger funktionsgrafen av cot alltid under funktionsgrafen av! = = cot S39 Se eempel 59 på sidan 8 (i den gamla upplagen var det eempel 55.). S40 Utförligt blir det antingen eller f() = + e e e = e + e 0 + 0 + e lim f() = lim + + e e =, då + = lim + e + e = 0 + 0 =.
S4 a) I Sats 4 har man förutsättningen att bara gränsvärdet av funktionerna f och g eisterar, det finns ingen förutsättning om gränsvärdet av h. OM olikheten är uppflld och f och g har samma gränsvärde, så kan man dra slutsatsen att även gränsvärdet av h eisterar (och i så fall är lika med de andra). Däremot förutsätter man i Sats 5 redan för alla förekommande funktioner att gränsvärdet eisterar. Slutsatsen handlar bara om en relation (olikhet) mellan dem. b) Nej, Sats 5 gäller inte med stränga olikhetstecken. T.e. 0 < men 0 = lim. S43 Man säger att en serie n= b n är konvergent om gränsvärdet lim N N b n eisterar (se också analsboken på sidan 7. OBS: Indeet n heter k där!). N Serien n är inte konvergent, eftersom följden n = N har inget (egentligt) gränsvärde. Serien n= ( ) n är inte heller konvergent, eftersom n= S44 a) 4a 3 b) 77a 76 c) e a S45 Derivatan av funktionen a) f(a) = a 4 b) f(a) = a 77 c) f(a) = e a. n= N ( ) n = S46 a) Ett eempel är () = 7 6 5 + 8 b) Ett eempel är () = c) Nej, varje deriverbar funktion är kontinuerlig! n= n= { om N ojämn 0 om N jämn. S47 Se den analoga härledningen för D arcsin på sidan 08 (98 i den gamla upplagan) i analsboken. f () > 0. a) f () = ( )(+), alltså är f strängt väande i intervallen ], ] och +4 [, [. I intervallet [, ] är den strängt avtagande. b) f ln () =, alltså är f strängt väande i intervallet [e, [. (ln ) I båda intervall ]0, [ och ], e[ är funktionen strängt avtagande (OBS: f är inte definerad i =!) c) f () = + som kan också skrivas som f 3 () = (+ ) 3/ (+ ) 3/ (+. Alltså är + ) f strängt väande i intervallet [ 3, 3] och strängt avtagande i de båda intervall ], 3] och [ 3, [. S49 Medelvärdessatsen ger arctan arctan = + ξ ( ) med något ξ i intervallet ], [. Eftersom +ξ gäller alltså för alla och. arctan arctan
S50 a) Om f(), då a, så gäller lim a f() = 0 b) f(), då a lim a f() = 0 c) g() 0 +, då a lim a g() = d) g() 0, då a lim a g() = e) g() 0, då a lim a g() : måste man undersöka vidare S5 Enligt påstånde (5) på sidan 49 i analsboken gäller att varje funktion, som är kontinuerlig på ett begränsad och slutet intervall, har ett minsta och ett största värde på detta intervall. Endast definitionsmängderna till funktionerna f och m är begränsade och slutna intervall. Eftersom f och m är kontinuerliga på sina respektiva definitionsmängder, så har båda två säkert ett största och ett minsta värde. För de andra funktionerna kan man inte bestämma utan att titta närmare, men detta var inte uppgiften... S5 Bestäm först derivatan f och dess nollställen. Jämföra sen funktionsvärdena på de "kritiska" punkterna, dvs beräkna f( k ) där k står för derivatans nollställen, 0 och 0 (definitionsmängdens randpunkter) och (punkt där f inte är deriverbar). Största/minsta värde bland de är också funktionens största/minsta värde. Den är rätt, t båda två uttrck är det positiva talet för vilket kvadaten är lika med 5 + 6. 3 Kvadrera och använd identiteten a b = a b 4 Ja 5 Använd Ptagoras sats. 6 a) 0 (Observera att tan 45 o = och därmed en faktor i produkten like med noll.) b) 0 eftersom ln tan(90 o o ) = ln cot( o ) = ln = ln tan ) tan( o ) o 8 I u och v blir ekvationen u + v =, dvs. en ellips i de na koordinaterna, vilka beskriver faktiskt ett koordinatsstem vriden om 45o. Kolla t.e. vad är u = 0 och v = 0. (Denna uppgift var jättesvår!) 0 Om S n betecknar skuldbeloppet efter n år, så får man: S 0 = K och S n+ = S n ( + p) K (Det antars att hela beloppet K 0 0 av året.). Detta ger betalas i slutet S n = Kq n K 0 ( + q + q +...q n ) = Kq n K 0 qn, där q = + p. q Ur olikheten S n < 0 (inga skulder kvar) får man q n > 0p ln( 0p) och slutligen n > ln( + p). För p = 0.04 behövs alltså 4 år och för p = 0.07 8 år.
Använd binomialsatsen. Då tar termerna som innehåller ( 5) k med jämna eponenter k ut varandra. De andra termer delas ju med 5 och så blir a n ett rationellt tal. Vi sätter f() = C. Observera att C > 0 eftersom f() = ( f( )). Vidare får vi ( f( )) n n = f(), alltså f( ) = C n för n N. Använd nu igen n ekvationen för att få f( m ) = ( ) C m m n n = C n där även m N. Observera slutligen = f(0) = f() f( ) och därmed har vi f() = C för alla rationella. 3 Omkrets av den inskrivna n-hörningen Omkrets av den omskrivna n-hörningen I n = n r sin n = rsin n n O n = n r tan n lim I n = lim = r n n Observera: I n A r O n, där A r är cirkelns omkrets 4 lim n n k=0 ( cos( + k) )k = lim n ( cos)n+ lim n + cos = 0 gradp < gradq n k=0 ( ( ) k cos )k = lim n + cos = + tan n ( cos )k = k=0 p() 5 lim q() = p n q n gradp = gradq = n + gradp > gradq och koefficienterna framför de högsta termerna har samma tecken gradp > gradq och koefficienterna framför de högsta termerna har olika tecken 6 a) konvergent (teleskopsumma som eempel i boken) b) divergent (uppskattning analogt som i boken) c) konvergent (t.e. uppskattning med hjälp av a) ) d) divergent (redan själva termer väer över alla gränser) e) divergent (OBS: Termerna är konstanta, eftersom n förekommer inte!) 7 f är deriverbar med kontinuerlig derivatan för alla 0. För = 0 gäller följande: f är kontinuerlig i = 0, eftersom lim 0 sin = 0 = f(0) f är även deriverbar i = 0, eftersom lim sin 0 0 är inte kontinuerlig, efter- { sin Men derivatan f () = cos 0 0 = 0 som lim f () inte finns! 0 = lim 0 sin finns (= 0).
n 8 a) k= k k = (n )n n n + ( ) b) 9 + = 8434 9 Minsta värde 0, största värde 7 (OBS: första kvadranten är sluten, dvs även alarna tillhör kvadranterna) Funktionen som måste maimeras/minimeras är f(a) = 3a 4 a 3 + a då a [0, 3] (definitionsmängden följer av kravet att punkten ska ligger i den första kvadranten, dvs a 0 och (a) 0).