Om Gauss skosnöreformel och planimetrar

Om Gauss skosnöreformel och planimetrar Anders Källén MatematikCentrum TH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln ska vi härleda en formel för arean av ett område som innesluts av ett polygon. Genom att sedan approximera allmänna områdens rand med polygon kan vi från det härleda en formel från vilken man kan beräkna arean av ett område genom att göra en lämplig integration längs områdets rand. Vi ser också hur man omsatt denna insikt i ett mekaniskt hjälpmedel som kan användas till att beräkna just arean av olika områden.

Om Gauss skosnöreformel och planimetrar 1 (9) Introduktion Hur beräknar en kartograf ytan av ett område? Om terrängavsnittet begränsas av räta linjer är detta enkelt med klassisk geometri, men i många sammanhang begränsas området av mycket mer komplicerade kurvor än räta linjer. Denna typ av problem dök också upp i andra områden när industrialismen tog fart. Ett klassiskt exempel är när mans skulle beräkna en motors arbetsförmåga, som ges just av arean av ett område som begränsas av en kurva av mätdata. Det visade sig att man kan beräkna sådana areor endast genom att se vad som händer på randen till området. Metoden är dessutom så enkel att man kunde konstruera mekaniska hjälpmedel för att beräkna arean, s.k. planimetrar. Det fanns olika typer av sådana, men grundprincipen är att man för ett stift längs kurvan samtidigt som en räknare beräknar arean. I den här artikeln ska vi beskriva vilken princip dessa bygger på. Historien börjar dock med att hitta en användbar formel för hur man beräknar arean av ett område vars rand är en polygonkurva. Arean av en rektangel Alla vet att arean av en rektangel beräknas som hälften av produkten av dess bas och dess höjd. Men frågan är, om triangeln är given i ett koordinatsystem genom att hörnen anges med koordinater, hur beräknar vi då arean? Betrakta figuren till höger, där vi lagt ett av hörnen i origo. De andra två betecknas med (a, b) och (c, d). Problemet här är att hitta ett uttryck för arean av rektangeln som endast beror av de fyra talen a, b, c, d. Det mest omedelbara sättet att beräkna triangelns area är nog att skriva in rektangel vars sidor är parallella med axlarna. Då kommer kommer den rektangeln att delas upp i fyra trianglar, nämligen den ursprungliga triangeln samt d tre stycken rätvinkliga trianglar. Som framgår av figuren till höger gäller då rektangelns area är lika med summan av fyra triangelareor (tre gröna och en blå). Om A är den ursprungliga triangelns area, så gäller alltså att ad = A + ab 2 + dc (d b)(a c) + 2 2 (0, 0) c (c, d) a a c A = 1 (ad bc). 2 (a, b) d b b Det är dock inte självklart att denna formel gäller för alla trianglar. Den i figuren är spetsvinklig, men vad händer sådana trianglar som har en trubbig vinkel? Figuren överst på nästa sida visar att det inte gör någon direkt skillnad. Nu har vi istället sambandet som leder till samma formel. ab = ab 2 + A + cd 2 + c(b d) + (b d)(a c) 2

Om Gauss skosnöreformel och planimetrar 2 (9) Ett alternativt geometriskt bevis som inte innebär något räknande illustreras nedan. I den har vi skapat ett parallellogram av triangeln genom att spegla den i den sida som hörn i punkterna (a, b) och (c, d). Dess area är två gånger triangelns area. Rita sedan, som tidigare, in den axelparallella rektangel som omfattar triangeln. Detta definierar de två rätvinkliga trianglar som är gröna i den vänstra figuren nedantill. b d c a c b d (c, d) a (a, b) (0, 0) Betrakta nu den högra figuren, i vilken vi har flyttat de två gröna trianglarna. De övertäcker då varandra i det område som begränsas av den gula rektangeln. Den stora rektangeln har arean ad medan den lilla ha arean bc. En kort reflektion visar nu att arean av parallellogrammet är skillnaden mellan arean av den röda rektangeln och arean av den gula rektangeln. Alltså, arean = ad bc. Det finns en kortformel för detta som är mycket användbar. Man skriver ad bc = Pilarna visar vilka tal som ska multipliceras. Dessa ska sedan adderas så att talet som fås av den nedåtgående pilen ska ha ett plustecken, medan talet som fås av den uppåtgående pilen ska ha ett minustecken. Anmärkning Men inför ofta en speciell beteckning för detta tal: a b c d. Uttrycket kallas determinanten av matrisen ( ) a b, c d som i sin tur endast är ett kvadratiskt schema av tal. Anmärkning En viktig observation är vilken punkt som ska utgöra första och vilken som ska utgöra andra raden i determinanten. För att få en positiv area ska de räknas i den ordning som innebär att vi genomlöper hörnen i följande ordning: (0, 0), (a, b), (c, d), så genomlöper vi randen på sådant sätt att området hela tiden ligger till vänster om oss. Man säger då att man genomlöper randen till området i positiv omloppsriktning. Byter vi omloppsriktning så får vi den negativa arean! a c b d.

Om Gauss skosnöreformel och planimetrar 3 (9) Arean av ett slutet polygonområde Betrakta nu ett polygonområde, alltså ett område vars rand är ett slutet polygon, och antag a) polygonet inte skär över sig själv, b) origo ligger inne i området. c) området är stjärnformat med avseende på origo, d.v.s. varje rät linje från origo till en punkt på randen ligger helt i området. åt antalet hörn i polygonet vara n+1, och kalla dem P 0 = (x 0, y 0 ), P 1 = (x 1, y 1 ),..., P n = (x n, y n ). Vi vill då bestämma arean av det område som begränsas av detta polygon. Figuren till vänster ovan visar hur ett sådant område typiskt ser ut. P 2 P 0 P 3 P 1 O P 5 T 2 T 1 T 0 T 5 O T 3 T 4 P 4 Figuren till höger hur man gör för att bestämma dess area. Eftersom vi har formeln arean av T k = x k y k x k+1 y k+1, k = 0,..., n 1 men arean av T n = x n y n x 0 y 0, så får vi att arean av polygonet = n x k y k x k+1 y k+1, k=0 4 4 0 1 2 5 6 0 1 4 5 2 4 4 där vi satt (x n+1, y n+1 ) = (x 0, y 0 ). Vi kan också skriva detta uttryck på den form som beskrivs till höger, vilket förklarar varför vissa kallar denna en skosnöreformel. Dessutom är den lätt att konstruera, man ska bara komma ihåg att sätta den översta punkten längst ned också. Vad händer då om området inte är stjärnformat? Vi antar alltjämnt att origo ligger inuti området. Vi kan illustrera det med figuren till höger, där vi lagt till ett hörn så att området inte längre är stjärnformat nära det hörnet. Det är området mellan origo och den del av randen som ligger mellan P 2 och P 5 som vi är intresserade av att förstå närmare. De trianglar som ingår i beräkningsformeln är OP 2 P 3, OP 3 P 4 och OP 4 P 5. Men dessa är nu överlappande och innefattar dessutom ett P 4 P 3 P 2 P 5 P 1 O P 0 P 6

Om Gauss skosnöreformel och planimetrar 4 (9) område som inte ska vara med. Men, triangeln OP 3 P 4 genomlöps medurs, vilket betyder att formeln applicerad på den triangeln ger den negativa arean. I detta fall har vi alltså att formeln ger area(op 2 P 3 ) area(op 3 P 4 ) + area(op 4 P 5 ), vilket är precis den area vi söker. Motsvarande gäller generellt, så vi har visat formeln för alla polygonområden som innehåller origo. Det återstår att också ta bort förutsättningen att origo ligger i området. Betrakta därför figuren till höger, där origo ligger utanför polygonområdet. Som vanligt är det arean av det gråa området vi söker. Formeln ger oss arean av alla trianglar som utgör uppdelningen av polygonområdet vars rand är OP 0 P 1... P 5. Av dessa noterar vi att OP 3 P 4 och OP 4 P 5 är trianglar som inte ingår i det gråa området, utan triangulerar det området som förbinder den nedre delen av området med origo. P 3 T 2 P 2 T 1 P 1 O T 0 T 3 P 4 T 4 Men de trianglarna genomlöps medurs, så formeln ger den negativa arean för dem. Med andra ord, skosnöresformeln ger arean av området med rand OP 0 P 1... P 5 minus arean av området OP 5 P 4 P 3, vilket är precis det gråa området ifråga. Villkoret att polygonen inte får skära över sig själv kan emellertid inte elimineras. Om vi har ett polygon som skär över sig själv får vi ett antal separata områden vars ränder är polygonkurvor som inte skär över sig själva, men formeln kommer att ge motsvarande areor omväxlande med plustecken och minustecken, beroende på om randen genomlöps i positiv eller negativ omloppsriktning. Så totalsumman blir i allmänhet inte arean av det inneslutna området. T 5 P 0 P 5 Arean av ett slutet område med en styckvis C 1 rand Vad gäller då om vi har ett område vars rand inte är en polygonkurva, utan en glatt (eller styckvis glatt) kurva? Svaret är att om vi kan approximera randen godtyckligt väl med en polygonkurva, vilket vi kan om den är styckvis C 1, så kan vi använda metoden ovan, med den skillnaden att summan ovan övergår i en integral. För att se varför, betrakta ett område Ω i planet vars rand är en styckvis C 1 kurva. åt oss anta att randen kan parametriseras enligt = {c(t) = (x(t), y(t)); a t b} där c är deriverbar i alla utom eventuellt ändligt många undantagspunkter, vilka i så fall svarar mot eventuella hörn. Gör en indelning a = t 0 < t 1 <... t n = b av intervallet [a, b], så vald att alla hörn svarar mot någon indelningspunkt (d.v.s. om P är ett hörn, så gäller att P = c(t k ) för något k). Vi kan då definiera en approximation av Ω som det område som innesluts av polygonen med hörn i punkterna P k = c(t k ), k = 0,... n. ägg märke till att P 0 = P n, d.v.s. polygonen är sluten. Detta illustreras i figuren till nedan.

Om Gauss skosnöreformel och planimetrar 5 (9) Vi vet nu att polygonen omsluter ett område vars area är A n = 1 n 2 x(t k) y(t k ) n x(t k+1 ) y(t k+1 ) = (x(t k )y(t k+1 ) y(t k )x(t k+1 )). k=0 Men om c är deriverbar i punkten t k och t k+1 t k = k t är litet gäller att x(t k+1 ) = x(t k ) + x (t k ) k t + k t något som går mot 0 då k t 0, och motsvarande för y. Vi får därför att x(t k )y(t k+1 ) y(t k )x(t k+1 ) = (x(t k )y (t k ) y(t k )x (t k )) k t + k t något försumbart. Men detta betyder att A n är en Riemannsumma, nämligen för integralen och vi har att A = 1 2 b a k=0 (x(t)y (t) y(t)x (t))dt = b A n A då n. a ( y(t)x (t) + x(t)y (t))dt, Eftersom integralen är oberoende av vilken parametrisering vi väljer (det är ju samma area i alla fall), så vill man skriva denna formel på ett sätt som inte refererar till en speciell parametrisering av randen. För detta observerar vi att vi kan skriva integranden som en skalärprodukt: y(t)x (t) + x(t)y (t) = ( y(t), x(t)) (x (t), y (t)). Men här är c (t) = (x (t), y (t)) en tangentvektor till punkten c(t) på randen som pekar i rörelsens riktning (vi genomlöper randen moturs). åt T (p) beteckna enhetsnormalen i rörelsens riktning i punkten p. Då får vi ( y(t), x(t)) (x (t), y (t))dt = ( y(t), x(t)) T (c(t)) c (t) dt = ( y(t), x(t)) T (c(t))ds, där ds står för båglängden längs kurvan. Vi skriver därför A = 1 ( y, x) T (x, y) ds. 2 Vi ser att arean ges av en integration längs randen m.a.p. båglängden. För att få en positiv area måste vi genomlöpa randen i positiv omloppsriktning, d.v.s. går längs randen så att området hela tiden ligger till vänster om oss.

Om Gauss skosnöreformel och planimetrar 6 (9) Kommentar om differentialformer När man integrerar en funktion på formen f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) T (x, y) längs en kurva (m.a.p. båglängden) så skriver man gärna integralen på ett annorlunda sätt. Vi har ju nämligen att f(x, y)ds = (u(x, y), v(x, y)) (x, y )dt = (u(x, y), v(x, y)) (dx, dy) = u(x, y)dx + v(x, y)dy. I detta uttryck är x = x(t), y = y(t), men man inför s.k. differentialformer ω(x, y) = u(x, y)dx + v(x, y)dy, vilka inte har med en speciell kurva att göra. Sådana differentialformer är storheter som kan integreras längs kurvor, och för att göra detta inför man en parametrisering av kurvan, γ = {c(t) = (x(t), y(t)); a t b} och har att ω = u(x, y)dx + v(x, y)dy = (u(c(t))x (t) + v(c(t))y (t))dt. γ γ Speciellt betyder det att vi kan skriva formeln från föregående avsnitt som att 1 ydx + xdy = arean av Ω. 2 Men man måste inte använda Cartesiska koordinater. Om man använder polära koordinater x = r cos θ, y = r sin θ, får vi att γ dx = dr cos θ + r( sin θ)dθ, dy = dr sin θ + r(cos θ)dθ och därför att ydx + xdy = r 2 dθ. Vi får därför att 1 r 2 dθ = arean av Ω, 2 vilket i det här sammanhanget är mest användbart om vi beskriver i polära koordinater Vi får då formeln = {c(θ) = r(θ)e iθ ; 0 θ 2π}. 1 2π r 2 (θ)dθ = arean av Ω. 2 0 En avslutande kommentar. Om det finns en funktion F sådan att ω = df, så gäller alltid att df = 0. Observera att vi integrerar längs en sluten kurva!

Om Gauss skosnöreformel och planimetrar 7 (9) Detta är helt enkelt analysens huvudsats: om vi parametriserar randen står här b d F (c(t))dt = a dt F (c(b)) F (c(a)) = 0, eftersom c(b) = c(a). Men det betyder t.ex. att ydx + xdy = d(xy) = 0, och från det får vi de alternativa area-formlerna xdy = ydx = arean av Ω. Den första av dessa ska vi använda i diskussionen i nästa avsnitt om planimetrarna. Planimetern En planimeter består i princip av en horisontell stång och en s.k. integraltrissa som gör själva mätningen. Stångens ena ände bär en vertikal spets, med vilken vi följer randen ett varv moturs, medan den andra änden, som kallas pivån, genom konstruktionen tvingas att förflytta sig längs en godtycklig linje som kallas instrumentets direktris. I praktiken använde man som direktris antingen en rät linje, man talar då om en linjärplanimeter, eller en cirkel, som används i en polarplanimeter. Bilderna nedan, lånade från internet, illustrerar detta. Själva trissan består av ett hjul och en räknare för antalet varv detta hjul snurrar. Hjulet avläser stångens sidoförflyttning, alltså hur stor rörelsen är vinkelrät mot stångens riktning. I den kommande diskussionen antar vi att stången har längden och att hjulet sitter på avståndet a ifrån pivån. Matematik för linjärplanimetern Vi lägger planimetern i ett koordinatsystem så att direktrisen, som är en rät linje, sammanfaller med y- axeln. När spetsen på stången befinner sig i punkten (x, y) befinner sig då pivån i en punkt (0, b(x, y)) på avståndet ifrån spetsen. Då gäller att (x + dx, y + dy) (x, y + db) (x, y) x 2 + (y b(x, y)) 2 = 2 och dess enhetsnormal i hjulets rörelseriktning riktning är N(x, y) = ( (y b(x, y)), x)/. b + db b

Om Gauss skosnöreformel och planimetrar 8 (9) Det följer att den totala sträckan som hjulet mäter upp är s = 1 (y b(x, y))dx + xdy. För att beräkna detta, betraktar vi rörelsen av stiftet då det rör sig en liten bit längs kurvan, från punkten (x, y) till punkten (x+dx, y +dy) moturs. Denna rörelse kan vi dela upp i två rörelser: (1) basen rör sig från (0, b) till (0, b + db) på sådant sätt att armens vinkel α med y-axeln är fix vilket leder till att spetsen är i punkten (x, y + db), och (2) en rotation en vinkel dθ så att stiftet slutar i (x + dx, y + dy). Då kommer hjulet att röra sig sträckan sin αdb + adθ = x db + adθ, eftersom det endast är rörelsen vinkelrät mot armen som resulterar i att hjulet roterar. När vi går runt ett varv på detta sätt kommer den totala rotationen (θ) att vara 0, vilket betyder att den totala sträcka som hjulet roterat är s = 1 xdb(x, y). Om vi nu återvänder till vårt tidigare uttryck för s så kan vi använda de två observationerna d(xy) = ydx + xdy, d(b(x, y)x) = b(x, y)dx + xdb(x, y) till att se att Vi får därför att och alltså att Med andra ord: xdy = ydx, s = s = b(x, y)dx = xdb(x, y) = s. (y b(x, y))dx + xdy = 2 xdy s. xdb(x, y) = xdy = arean av Ω. Den totala rotationen av hjulet = 1 arean av Ω. Matematik för polarplanimetern Vi börjar med att räkna med komplexa tal. I detta fall ska vi ersätta linjen (0, b) från linjärplanimeterfallet med cirkeln som ges av talen be iφ och är streckad i figuren till höger. När vi nu rör oss från z till z + dz rör sig pivån från be iφ till be i(φ+dφ) = be iφ (1+idφ)+... (lägg märke till att dφ är negativ i figuren till höger). iksom tidigare kan vi dela upp denna rörelse i två: a) en parallell-rörelse av de andra armen då spetsen rör sig från z till z +ibe iφ dφ. Sträckan hjulet dφ z + dz dθ z

Om Gauss skosnöreformel och planimetrar 9 (9) roterar, som är rörelsen vinkelrät mot axeln, ges då av 1 Re(i(z beiφ ))ibe iφ dφ) = b Re(zeiφ b) = b (x cos φ + y sin φ) (detta svarar mot skalärprodukten för vektorer). b) en rotation av armen en vinkel dθ. Sammanlagt kommer därför hjulet att snurra sträckan s = b (x cos φ + y sin φ b)dφ + adθ = b eftersom totalvariationen i θ är noll. Men vi kan också beräkna sträckan som hjulet roterat genom 1 sin φ y)dx + (x b cos φ)dy = 2 (b 2 xdy b (x cos φ + y sin φ)dφ, (x cos φ + y sin φ)dφ, och kombinerar vi dessa formler i analogi med hur vi gjorde ovan får vi att Den totala rotationen av hjulet = 1 arean av Ω.