En omparatv stude av ODE-lösare Per-Olo Nlsson U.U.D.M. Proect Report 5:9 Eamensarbete matemat, poän Handledare och eamnator: Warwc Tucer Jun 5 Department o Mathematcs Uppsala Unverst
Innehåll Innehåll... Inlednn... Talors metod ör lösnn av ODE:er.... Lte hstor om Talor.... Talorartmet.... ODE:er... 7 Rune-Kuttas metod.... Lte hstor om Rune och Kutta.... Besrvnn... Jämörelsestude av ODE-lösare.... Vlen metod är bllast?... 5 Slutsatser... 6 Reerenser...
Inlednn Anta att v vll lösa en ordnär derentalevaton ODE med ölande utseende:,,. Fnns det nen analts metod är v tvunna att örlta oss på en numers metod som det nns det en uppsö av och där valet är beroende på vlen norannhet, etc. man vll åstadomma [6]. Denna uppsats handlar om ODE-lösnn va Talors metod. Stet är att örsta hand besrva sälva metoden, men även att belsa att den an vara ett bllt sätt att lösa ODE:er. Talorartmeten örlaras aptel. och läer runden ör hur man sall lösa ODE:er. Specellt ntressant är hur man an srva om standarduntoner de mest spetaulära ormatonerna tll reursva ormler och räna ut Taloroecenterna av odtcl ordnn. Detta räver örvsso att man srver en Talorlass t.e. C, men det torde nte vara svårt ör en prorammernsunn person []. I aptel. besrver v hur v enom att sätta n Taloroecenter potensserer år ram lösnnar tll ordnära derentalevatoner. Rune-Kuttas metod av ordnn är den metod v sall ämöra Talors metod med när det äller att räna antal operatoner. V ommer att aptel att besrva alortmen och specellt dén baom härlednnen av metoden som man av nåon anlednn hoppar över rundböcerna numersa metoder. Kaptel har v döpt tll Vlen metod är bllast?, vlet nnebär att v ommer att räna ut det antal operatoner som rävs ör respetve metod ör nåra ordnära derentalevatoner. Grundurser anals och numersa metoder, samt ännedom om att man an srva en lösnn tll en ordnär derentalevaton som en potenssere ör att det utan nåra svårheter år att örstå nnehållet denna uppsats. Tac tll mn handledare Warwc Tucer ör hans stöd och att han av m mölheten att srva denna uppsats.. Per-Olo Nlsson, Uppsala Ma 5
Talors metod ör lösnn av ODE:er. Lte hstor om Talor Broo Talor öddes den 8/8 685 Edmonton, Mddlese, Enland och do den 9/ 7 Somerset House, London, Enland. Broo väte upp en välbärad aml och c prvatundervsnn hemmet nnan han börade på St John's Collee Cambrde den aprl 7, där Broo c en eden rund matemat. Den aprl 7 blev han nvald Roal Socet, mer på andra matematers reommendatoner än ena publcerade resultat. Broo Talor bdro med en n ren nom matematen allad nta derensall, stcvs nteraton och upptäcte den berömda Talorsereutveclnen. Första omnämnandet Broo orde anående vad v da allar Talors sats, var ett brev tll en annan matemater, Machn, där han örlarar var han ått dén rån. Det var, srev Broo tll Machn, då han på ett aé ommenterade användnnen av "Sr Isaac Newtons serer" ör att lösa Keplers problem och användnnen av "Dr Halles metod att etrahera rötter" ur polnomevatoner.. Talorartmet Anta att untonen är analts en öppen mänd Talorsere en omvnn av punten D D R. Då an v blda en! där d d år ocså att srva som där! Låt och vara Taloroecenter av untonerna och respetve. Då har v ölande reler ör artmeten:
v, Bevs Koecenten blr bestämd enom att samla hop alla potenser vänsterled. Bevs v de. / Multplcera båda sdorna med Talorseren och v öler. och öler av
... ± ± ±...... enlt. För att unna öra berännar m.h.a. Talorartmet denerar v varabler och onstanter som: 5...... 6...... c c Man an utvecla Talorartmeten ör standarduntoner. Om man sätter som en änd Talor- sere, vad blr då? e 7 8 e e e e d d 9 7, 8 och 9 e e Multplcera båda sdorna med e e > e e e e och e e >.
5 Taloroecenterna ör sn och cos måste beränas parallellt och blr bestämda ur relatonerna cos sn och sn cos sn cos cos sn Se vdare [] ör ler standarduntoner. Den vanlaste sättet att använda dessa reler är att enerera en odlsta av uttrcet. Eempel på hur en odlsta an se ut []: Talorutvecla untonen sn V börar örst med att blda en odlsta och sen ränar v ut Taloroecenterna ör T, T T och tll sst ör.,, 5, 6, och T T snt T T T cost T T t T En vt relaton mellan Taloroecenten ör och Taloroecenten ör är d d! d d.
6 Detta öler av:! d d d d d d d d d d och! d! d d d 5 d d d och 6! d! d d 5 och 6 Ur öler att. 7
7. ODE:er En annan vt tllämpnn av Talorutvecln är utveclnen av untonen, som är ven mplct som en lösnn tll en ordnär derentalevaton. Betrata ODE:n. 8 För små har 8 en potensserelösnn av ormen n a n En potensserelösnn an derveras termvs 9, och 8 n na n n n n n a n n 9 n Med samma oecenter 9 och n n n a n a n n n a n a, n,,,... n a a n, n,,,... n! n och 9 a......!! n! En potenssere är net annat än en Talorsere där oecenterna 9 är la med oecenterna, d.v.s. Se bevs []. a 5! Om v sätter blr beränn av dervatorna: d d [ ],,,... 6
8 6 medör att...! 7 För ler detaler se []. Tttar v på 8 en och använder 6 år v med, nre dervatan :,,, Med bennelsevärdet medör 7 n......!!!! n! vlet är samma som lösnnen.... Den avörande sllnaden mellan 9 och 7 är att värden på oecenterna spottas ut dret 7 m.h.a. 6. Med h, 7 och 7 och tdare resoneman når v äntlen vårt mål, d.v.s. en sere som löser ODE:er m.h.a. Talorartmet: N h h 8 Eempel [5] ρ Lös,,,,,..., m.h.a. Talors metod av ordnn : 7 [ ] [ ] [ ],,,, M.h.a. den reursva ormeln ovan aar v rätt på Taloroecenterna.
9 [ ] [ ] [ ] [ ] M.h.a. dom utränade Taloroecenterna ovan beränar v sedan Talorsereutveclnen ör lösnnen h., 8 och Horner s schema h h h h h h 9 När v sall lösa en ODE med 9 ommer det vare ste h bl en lten N störnn, ett loalt trunernsel O h. När man steat s ram tll slutpunten har dom loala elen samlats tll ett lobalt el. Talors metod av ordnnen N har eensapen att det lobala elet är av ordnnen O h N. N an välas stort så att elet blr ltet och är ordnnen, bestämmer man steländen h så att det lobala elet blr så ltet som önsas.
Rune-Kuttas metod. Lte hstor om Rune och Kutta. Martn Kutta öddes den / 867, Ptchen, Polen och do den 5/ 9, Fursteneldbruc, Tsland. Han studerade Munchen 89-89 och blev däreter assstent. Eter ola poster Munchen, Jena and Aachen blev han proessor Stuttart 9 och blev var där tll pensonen 95. Han är mest änd ör Rune-Kuttas metod 9 ör lösnn av ordnära derentalevatoner. Carle Rune öddes den /8 856, Bremen, Tsland och do den / 97, Göttnen, Tsland. Eter att ha lämnat solan vd 9 års ålder, tllbrnade han 6 månader Italen. När han återvände tll Tsland, börade han studera ltteratur vd unverstetet Munchen, men eter 6 vecor btte han tll matemat och s. Carle c på Ma Planc s öreläsnnar och dom blev nära vänner. 877 återvände han tll Berln och eter att ha lssnat på Weerstrass öreläsnnar änade han s åt den rena matematen, men blev även nluerad av Kronecer. Carle Rune obbade ocså med numersa lösnnar av alebrasa evatoner där rötterna uttrctes oändla serer av oecenter bestående av ratonella untoner.. Besrvnn V börar med en allmän besrvnn av alortmen:,,, steländ h. Alortmen ör Rune-Kuttas metod av :e ordnnen: h h 6 där [, ] h, h h, h [ h h ], 5
tll 5 an srvas som ett schema. Om v t.e. studerar allet, erhålls rännarna ör och h : v v.5.5.5.5.75.75.75.75 medör att det appromatva värdet ör, h och utrännen schemat blr: h h. 7 6 Nedan vsar v runderna tll härlednnen ör att omma man ram tll -5: Ansätt [6]: [, ] [ mh mh ], [ nh h r n r ] 6, [ ph h t s p s t ], a b c d Konstanterna sall bestämmas s.a. h blr en od appromaton tll Genom sereutvecln, se [7], uppstår ölande evatonssstem:.
a b c d bm cn dp bm bm cn dp cn dp cmr d nt ms 6 cmnr dp nt ms 8 cm r d n t m s dmrt V har 8 evatoner med obeanta och om v antar att m n år v: m n, p, a d, b c, s t, cr, rt. 6 6 Väler v sen b c, år v b c vlet medör att: m n, s, a d, p, t, b c, r. 7 6 Sätter v sedan n 7 6-5 där. 6 Rune-Kuttas metod unerar så att man ör ra appromatva lutnnsberännar m.h.a. untonsvärdena -6 ändpunterna och h, samt mtten vd h och däreter beränar det vtade medelvärdet, varvd öler. Jämör med Talors metod som beränar höre ordnnens lutnnar punten och låter den vara onstanta ett ste h ramåt. Se även raerna på nästa sda., Precs som Talors metod ommer det vare ste h bl en lten störnn ett N loalt trunernsel O h. När man steat s ram tll slutpunten har dom loala elen samlats tll ett lobalt el. Rune-Kuttas metod av ordnnen N har eensapen att det lobala elet är av ordnnen O h N. N an välas stort så att elet blr ltet och är ordnnen, bestämmer man steländen h så att det lobala elet blr så ltet som önsas.
8 Talorsereutveclnen t.o.m. ordnn punten. ep 7 6 N N 5 N N Euler...6.8...6.8 8 7 Lutnnsvärdena - som beränas Rune-Kuttas metod..75 6 5 ep.5.75...6.8...6.8
Jämörelsestude av ODE-lösare. Vlen metod är bllast? V sall nu lösa tre ODE:er m.h.a. av dom två metoder av ordnn v besrvt tdare så att v an undersöa vlen metod som är bllast, d.v.s. räver mnst operatoner ör att lösas. Det år att räna på ola sätt. Ja ommer att använda tenen Ramon E. Moores Mathematcal Elements o Scentc Computn, d.v.s. örenla örst och däreter räna operatonerna [5]. E. V börar med, Talors metod: [ ] [ ],,...,,, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] h h h h h h Antal operatoner: - er addtoner och 9 multplaton. er multplatoner och addtoner. h Summan av antalet operatoner blr 6 addtoner och multplatoner ör att lösa ODE:n och vd vare halvern av h öar summan av antalet operatoner med atorn. h
5 Rune-Kuttas metod: h h 6 där, ] [ h, h h, h [ h, h ] Antal operatoner: Rune-Kuttas metod räver evaluernar av plus 7 addtoner och 6 multplatoner ör att evaluera h. Vare evaluern av det här allet blr multplaton eller sammantaet multplatoner. Summan av antalet operatoner blr 7 addtoner och multplatoner ör att lösa ODE:n h. Detta nnebär att det rävs addton mndre, men multplatoner mer Talors metod, vlet ör att Rune-Kuttas metod vnner det här allet.
6 E. Beränn av sn, Talors metod: [ ],,,,,... och sn cos cos sn 5 ρ,,,...,,,,... V börar med att örst beräna, då sn sn cos cos 5 och 7 sn cos cos sn
7 sn cos cos cos sn sn sn cos cos cos cos - sn sn sn sn cos cos cos cos behöver v e räna ut. cos h h h h h h Antal operatoner: er addtoner och 8 multplatoner. er trometrs operaton, 6 addtoner och 6 multplatoner. cos cos er trometrs operaton, addtoner och 9 multplatoner. h er multplatoner och addtoner. Summan av antalet operatoner blr trometrsa operatoner, 7 addtoner och multplatoner ör att lösa ODE:n h.
8 Rune-Kuttas metod: h h 6 där, ] [ h, h h, h [ h, h ] Antal operatoner: Rune-Kuttas metod räver evaluernar av plus 9 addtoner och 7 multplatoner ör att evaluera h. Vare evaluern av det här allet blr multplaton och trometrs operaton eller sammantaet multplatoner och trometrsa operatoner. Summan av antalet operatoner blr 9 addtoner, multplatoner och trometrsa operatoner ör att lösa ODE:n h. Detta nnebär att det rävs 8 addtoner och 9 multplatoner mer, men trometrsa operatoner mndre Talors metod, vlet ör att v nte an avöra vlen metod som vnner det här allet då v nte undersöt hur måna artmetsa operatoner sn och cos räver sn tur.
9 E. ρ Beräna,,,,,..., Talors metod: [ ] [ ] [,,,, ] [ ] [ ] [ ] [ ] h h h h{ h[ h ] } Antal operatoner: - er 5 addtoner och multplatoner. h er multplatoner och addtoner. Summan av antalet operatoner blr 9 addtoner och multplatoner ör att lösa ODE:n h.
Rune-Kuttas metod: h h 6 där, ] [ h, h h, h [ h, h ] Antal operatoner: Rune-Kuttas metod räver evaluernar av plus 9 addtoner och 7 multplatoner ör att evaluera h. Vare evaluern av det här allet blr addton och multplatoner eller sammantaet addtoner och 8 multplatoner. Summan av antalet operatoner blr addtoner och 5 multplatoner ör att lösa ODE:n h. Detta nnebär att det rävs addtoner och multplaton mndre Talors metod, vlet ör att Talors metod vnner det här allet.
5 Slutsatser V har den här uppsatsen löst nåra ordnära derentalevatoner m.h.a. Talors metod och Rune-Kuttas metod ör att undersöa vlen metod som rävt mnst antal operatoner ör en lösnn. Då an man undra varör man vll veta det. När man sall väla en numers stemetod är det nåra rterer man vll sall beatas: Enelhet Norannhet Stabltet Talors metod och Rune-Kuttas metod är lvärda på dom här punterna om dom har samma ordnn och då an ocså ostnaden ör att lösa problemet vara av ntresse. Förvsso an Talors metod lätt es en höre/läre ordnn, då Rune-Kuttas metod är ör vare ordnn, men detta blr tll en höre ostnad u höre ordnn man väler Talors metod. Utrån våra eperment har v vsat att vlen metod som blr bllast beror på hur den ordnära derentalevatonen är onstruerad och detta er upphov tll ett antal ortsättnnsvs ntressanta undersönnar: Konstruera en Talorlass med lopränn ör att undersöa ett större urval av ordnära derentalevatoner. Specellt epermentera med ola ordnnstal..undersöa vad elementära untoner ostar multplatoner och addtoner då de är mcet dra ämörelse. Är det så att en ce-autonom ordnär derentalevaton &, alltd är bllare med Talors metod?, där
6 Reerenser [] W. Tucer. Auto-valderande numersa metoder, Lecture notes. Uppsala,. [] Bendtsen/Staunn. Tad, A leble C pacae or automatc derentaton, Techncal report, IMM-REP-977-7, Lunb, 997. [] Persson/Böers. Anals en varabel. Studentltteratur, 99. [] Mathews/Fn. Numercal methods usn matlab. Pearson Prentce Hall,. [5] Ramon E. Moore. Mathematcal Elements o Scentc Computn. Holt, Rnehart & Wnston Inc, 975. [6] C-E Fröber. Lärobo numers anals. Bonners, 96. [7] J. Todd. Surve o numercal analss. McGraw-Hll, 96.