Balkböjning Teknisk balkteori Stresses in Beams Som den sista belastningstypen på en kropps tvärsnitt kommer vi att undersöka det böjande momentet M:s inverkan. Medan man mest är intresserad av skjuvspänningarna vid vridande momentet, ger det böjande momentet huvudsakligen upphov till normalspänningar (tryck- och dragspänningar). Som vi ska se senare ger böjmomentet även upphov till skjuvspänningar. Utmärkande för en balk, den kropp vi studerar i det här avsnittet, är att den är lång i förhållande till sitt tvärsnitt En balk definieras som en endimensionell kropp som endast är belastad vinkelrätt mot sin längdriktning (till skillnad mot drag- eller tryckbelastade stänger som vi behandlat tidigare). I den här kursen utgår vi ifrån att belastningen alltid sker i ett plan. Exempel på balkar: Skidor, snowboard, rören i en cykelram, framhjulsgafflarna på en cykel, bärande element i en bro, en parkbänk etc. P. Carlsson 1
Lösningsgång för balkböjning 1. Bestäm stödreaktionerna för balken. 2. Ta fram tvärkrafts- och momentekvationerna för den belastade balken 3. Rita tvärkrafts- och momentdiagram, bestäm var maximala påkänningen finns. 4. Beräkna balkens yttröghetsmoment och uppkomna spänningar. Aktuella belastningar Utöver de påkänningar som kommer från stödreaktionerna kommer vi att behandla problem med belastningar av den typ som visas i figurerna nedan, dvs. Punktlaster Utbredda laster, kan även vara utbredda laster med triangulär fördelning Moment 87g [N] 90 cm 45 cm 90 cm 45 cm P. Carlsson 2
Moment- och tvärkrafter i belastade balkar De inre krafternas fördelning blir mer komplicerade i en balk jämfört med en vridbelastad axel. För den vridbelastade axeln i figuren till höger gäller att momenten är konstanta i de olika sektionerna och ändrar sig språngvis i sektionsövergångarna. I en balk har man vanligen en mer komplicerad belastningsbild. Vi ska här, steg för steg, gå igenom hur man tar fram moment- och tvärkraftsekvationer och moment- och tvärkraftsdiagram för olika laster där lastfallen renodlats. Dessa kunskaper är sedan enkla att generalisera till sammansatta lastfall. Vinktigt! För att få en konsekvent uppställning av ekvationer och diagram använder vi oss av den teckenkonvention för utbredd last samt snittmoment och snittkraft som framgår av figur. Krafter och moment räknas som positiva när de har dessa riktningar. P. Carlsson 3
Ex 1. Bestäm moment- och tvärkraftsdiagram för den punktbelastade balken i figuren nedan. Ex 2. Bestäm moment- och tvärkraftsdiagram för den momentbelastade balken i figuren nedan. P. Carlsson 4
Olika typer av infästningar för balkar Balkens infästning har förstås betydelse för de så kallade stödreaktionerna. De typer av stöd som normalt förekommer har vi redan stött på i Biomekaniken, men vi repeterar dem kort med hjälp av figuren nedan. Aktuella stödtyper: Rullager (e), tar endast upp krafter i en riktning Friktionsfri led (g), kan ta upp krafter i två riktningar men inget moment Fast inspänning (h), tar upp krafter i två riktningar och dessutom moment P. Carlsson 5
Samband mellan utbredd last, tvärkraft och böjande moment Som vi ska se kan man enkelt härleda följande samband mellan utbredd last w, tvärkraft V och böjande moment M. dv dx = w( x), dm dx = V För härledningen av sambanden utgår vi från figuren nedan. Den viktigaste lärdomen ur sambanden är att momentet M har extremvärde dm (minimum eller maximum) där tvärkraften V = 0 eftersom = V. Dessutom dx gäller: Om inte tvärkraften byter tecken utefter balken har momentet extremvärde i någon av ändarna. Utseendet på M-kurvans lutning går att avläsa ur tvärkraftsdiagrammet, både storlek på lutningen (dvs. derivatan storlek) och tecken på lutningen. P. Carlsson 6
Samband utbredd last Tvärkrafter och Moment P. Carlsson 7
Samband punktlaster, koncentrerade moment Tvärkrafter och moment P. Carlsson 8
Ur figuren nedan framgår grafiskt hur sambanden mellan belastningar och lutningar i tvärkrafts- och momentdiagram ser ut. Observera hur tvärkrafter och moment i ändarna på den belastade balken återkommer i ändarna på tvärkrafts- och momentdiagrammen. Storlek och tecken på tvärkraft är lika med storlek och riktning på lutning i momentdiagrammet. P. Carlsson 9
Ex 3. Bestäm moment- och tvärkraftsdiagram för balken med utbredd last i figuren nedan. Efter dessa inledande övningar har vi nu verktyg för att ta itu med ett sammansatt lastfall. Ex 4. Bestäm moment- och tvärkraftsdiagram för balken med laster enligt figuren nedan. P. Carlsson 10
Vad händer om balkens infästningar inte ligger ute i ändarna? Som vi ska se i exemplet nedan blir lösningsgången precis densamma, det enda som ändras är placeringen av stödreaktionerna. Ex 5. Bestäm stödreaktionerna för balken i figuren nedan. 40 N/m 30 Nm 2 m 2 m 2 m P. Carlsson 11
Triangulärt fördelade laster (aktuellt i ett av övningsexemplen) fungerar som i figuren med text nedan. Observera att resultanten till en triangulärt fördelad last angriper i triangelns tyngdpunkt (på samma sätt som triangels utbredda massa har sin tyngdpunkt i areans tyngdpunkt). Resultatens storlek är hälften av den utbredda lastens högsta höjd w gånger triangelns längd, se nedan. P. Carlsson 12