Hållfasthetslära VT2 7,5 p halvfart Janne Färm
Fredag 27:e Maj 10:15 15:00 Föreläsning 19 Repetition PPU203 Hållfasthetslära Fredagens repetition Sammanfattning av kursens viktigare moment Vi går igenom en gammal tenta PPU203 160108 2
Hållfasthetslära en kurs om stavar Stavar är slanka konstruktionselement som kan belastas olika Vid drag- och tryckbelastning får vi en stång Vid vridbelastning får vi en axel Vid böjning får vi en balk 3
Hållfasthetslära frågor och svar Vi ställer ofta två frågor: Håller det? Är den maximala spänningen tillräckligt låg jämfört den tillåtna spänningen? Funkar det? Blir de maximala förskjutningarna acceptabla? Vi har tre grundsamband Jämviktssamband Materialsamband Deformationssamband För statiskt obestämda problem måste vi lösa alla sambanden gemensamt 4
Stänger Kombination av de tre sambanden ger oss det konstitutiva sambandet för en stång δ = PL, kan ge oss svaret på om det funkar EA Jämvikt: σ = P, Material: ε = σ, Deformation: δ = εl A E σ = P, kan ge oss svaret på om det håller A 5
Axlar Kombination av de tre sambanden ger oss det konstitutiva sambandet för en axel θ = M vl GK v, kan ge oss svaret på om det funkar Jämvikt: τ max = M v, Material: γ = τ, Deformation: θr = γl W v G τ max = M v W v, kan ge oss svaret på om det håller 6
Balkar Kombination av de tre sambanden ger oss det konstitutiva sambandet för en balk δ = PL3, kan ge oss svaret på om det funkar kei Jämvikt: σ max = M b, Material: ε = σ, Deformation: W b E w z = ε σ max = M b W b, kan ge oss svaret på om det håller 7
Axplock av viktiga delar från kursen Superpositionsprincipen Så länge spänningarna är linjärt elastiska och deformationerna små så är problemet linjärt Vid linjära problem gäller superpositionsprincipen Egenskaper för hyperstatiska fackverk För ett statiskt obestämt fackverk kan vi få egenspänningar pga passningsfel eller temperaturvariationer Ett statiskt bestämt fackverk får enbart knutförskjutningar pga passningsfel eller temperaturlast Ett statiskt obestämt fackverk kan uppvisa flytlastförhöjning 8
Hookes lag vid plant spänningstillstånd Vid plant spänningstillstånd har vi bara spänningskomponenter i planet σ x, σ y, τ xy σ z = τ xz = τ yz = 0 σ = Eε, Hookes lag vid enaxligt spänningstillstånd ε = σ E, ε t = νε = ν σ E, ε T = αδt τ = Gγ, γ = τ G Vid plant spänningstillstånd kan vi superponera lösningar i x- resp. y-led ε x = σ x υσ y + αδt E E + αδt ε y = σ y υσ x E E ε z = υ(σ x+σ y ) E γ xy = τ xy G + αδt 9
Vridning av axlar Vridning av cirkulärt tvärsnitt Plana tvärsnitt förblir plana och vi får ren skjuvning Vridning av rektangulärt tvärsnitt Plana tvärsnitt förblir ej plana Tvärsnittet välver Om välvningen förhindras ökar vridstyvheten Välvning kan vara betydande för öppna tunnväggiga tvärsnitt Vlasovsk vridning 10
Vridstyvhetens tvärsnittsfaktor och vridmotstånd Tunnväggigt rör K v = 2πR 3 t W v = 2πR 2 t M v = τ max 2πR 2 t Tjockväggigt rör K v = π 2 (b4 a 4 ) W v = π 2 Massiv axel K v = π 2 b4 W v = π 2 b3 b 4 a 4 b 11
Egenskaper hos tvärsnitt Vi behöver kunna beräkna ett tvärsnitts: Area Tyngdpunkt Yttröghetsmoment Regler för flera delareor (Steiners sats) Huvudtröghets-riktningar och -moment 12
Yttröghetsmoment och deviationsmoment I y = A z 2 da I z = A y 2 da I yz = A yz da 13
Flytlastförhöjning Hur många procent man kan öka lasten från begynnande plasticering till kollaps β = M f M s M s En ideal I-balk har β = 0 % En rektangulär balk har β = 50 % 14
Skjuvcentrum En tvärkraft kan både böja och vrida en balk För att enbart få böjning så måste tvärkraften verka genom skjuvcentrum Skjuvspänningen som uppkommer vid ren böjning har inget resulterande moment kring skjuvcentrum 15
Elastiska linjens ekvation Vi har från jämviktsambanden dt(x) dx = q x dm(x) dx = T x d2 M(x) dx 2 = q(x) Med M x = EI(x)w (x) får vi: d2 (EI(x)w x ) dx 2 w IV x = q(x) EI = q(x) eller med EI konstant Elastiska linjens ekvation 16
Randvillkor 4 randvillkor krävs 2 randvillkor i varje ände av balken 1 av w eller T (eller en kombination, w=ct) 1 av w eller M (eller en kombination, w =cm) Geometriska eller väsentliga randvillkor w eller w Statiska eller naturliga randvillkor M eller T 17
Elementarfall Med elastiska linjens ekvation kan olika elementarfall beräknas Dessa finns i formelsamlingen Då problemet är linjärt elastiskt kan vi superponera olika lösningar 18
Stabilitet - Knäckning Vid trycklast på en struktur kan ibland kraftigt deformerade jämviktslägen uppstå Vid en viss kritisk nivå sker en drastisk ökning av deformationen vid en liten ökning av lasten Strukturen har vid denna lastnivå blivit instabil Den kritiska lasten kallas för knäcklasten Strukturen knäcker när den blir instabil Stabilitetsproblem kan bara analyseras med den deformerade geometrin 19
Utmattningsbrottets faser Utmattningsbrott kan delas in i tre faser: Sprickinitieringsfasen I metaller börjar utmattning med dislokationsrörelser Utmattningsskador ackumuleras Den längsta fasen med störst spridning Kan ofta ske vid en överbelastning Spricktillväxtfasen En mikroskopisk spricka växer sakta till en makroskopisk spricka Brottfasen När sprickan är så stor att spänningen i restytan överskrider en kritisk gräns sker ett restbrott 20
Spänningskoncentrationer Vid skarpa anvisningar uppkommer förhöjda spänningar Små radier skall undvikas Runt hål uppkommer spänningskoncentrationer K t = 3 för litet hål i dragen skiva σ max = K t σ nom 21
Effektivspänning Effektivspänningen är ett mått på hur nära materialet är att plasticera När σ e = R e så plasticerar materialet,materialet flyter Vid enaxlig dragning så är σ e = σ x Vid enaxlig dragning så plasticerar materialet när maximal skjuvspänning är τ = σ x 2 Tresca antog 1864 att plasticering sker när den maximala skjuvspänningen antar ett visst värde Skjuvspänningshypotesen Von Mises antog 1912 att plasticering sker när den octahedrala spänningen når ett visst värde Deviationsarbetshypotesen 22