Differentialekvationssystem

Relevanta dokument
{ } = F(s). Efter lång tid blir hastigheten lika med mg. SVAR: Föremålets hastighet efter lång tid är mg. Modul 2. y 1

TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B2/A , arctan x x 2 +1

Genom att uttrycka y-koordinaten i x ser vi att kurvan är funktionsgrafen till y = x 2. Lektion 2, Flervariabelanalys den 19 januari 2000

Lösningar till Matematisk analys IV,

Kvalitativ analys av differentialekvationer

Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B1210.

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN

= (x, y) : x 2 +y 2 4, x 0, y (4r2 +1) 3 2

KURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3. P(t)=(x(t),y(t),z(t)) T=(x (t),y (t),z (t)) r(t)=(x(t),y(t),z(t))

Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

Egenvärden och egenvektorer

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: A=kB. A= k (för ett tal k)

Om exponentialfunktioner och logaritmer

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

Tentamen TEN1, HF1012, 16 aug Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Hur simuleras Differential-Algebraiska Ekvationer?

Reglerteknik AK, FRT010

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

KONTROLLSKRIVNING 3. Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

Repetitionsuppgifter

Liten formelsamling Speciella funktioner. Faltning. Institutionen för matematik KTH För Kursen 5B1209/5B1215:2. Språngfunktionen (Heavisides funktion)

TENTAMEN HF1006 och HF1008

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning

1 Elektromagnetisk induktion

Om exponentialfunktioner och logaritmer

Signal- och bildbehandling TSBB14

Föreläsning 19: Fria svängningar I

System med variabel massa

Om de trigonometriska funktionerna

Funktionen som inte är en funktion

VII. Om de trigonometriska funktionerna

Lite grundläggande läkemedelskinetik

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning

5. Tillståndsåterkoppling

5. Tillståndsåterkoppling

Om antal anpassningsbara parametrar i Murry Salbys ekvation

Diskussion om rörelse på banan (ändras hastigheten, behövs någon kraft för att upprätthålla hastigheten, spelar massan på skytteln någon roll?

Dagens förelf. Arbetslöshetstalet. shetstalet och BNP. lag. Effekter av penningpolitik. Tre relationer:

uhx, 0L f HxL, u t Hx, 0L ghxl, 0 < x < a

Kursens innehåll. Ekonomin på kort sikt: IS-LM modellen. Varumarknaden, penningmarknaden

9. Diskreta fouriertransformen (DFT)

a) Beräkna arean av triangeln ABC då A= ( 3,2,2), B=(4,3,3) och C=( 5,4,3).

INSTUDERINGSUPPGIFTER

Laplacetransformen. Från F till L. Den odiskutabla populäriteten hos Fourierintegralen. f HtL - w t t, w œ R (1)

FÖRELÄSNING 13: Tidsdiskreta system. Kausalitet. Stabilitet. Egenskaper hos ett linjärt, tidsinvariant system (LTI)

Tentamen: Miljö och Matematisk Modellering (MVE345) för TM Åk 3, VÖ13 klockan den 27:e augusti.

Datorlaborationer i matematiska metoder E2, fk, del B (TMA980), ht05

Föreläsning 4. Laplacetransformen? Lösning av differentialekvationer utan Laplacetransformen. Laplacetransformen Överföringsfunktion

TENTAMEN Datum: 14 april 09 TEN1: Omfattar: Differentialekvationer, komplexa tal och Taylors formel Kurskod HF1000, HF1003, 6H3011, 6H3000, 6L3000

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik

Laborationstillfälle 4 Numerisk lösning av ODE

1 Diagonalisering av matriser

Tillämpningar av komplex analys på spektralteori

System, Insignal & Utsignal

System, Insignal & Utsignal

3 Rörelse och krafter 1

m Animering m Bilder m Grafik m Diskret representation -> kontinuerlig m En interpolerande funktion anvšnds fšr att

8.4 De i kärnan ingående partiklarnas massa är

Biomekanik, 5 poäng Kinetik Härledda lagar

5B1134 MATEMATIK OCH MODELLER FEMTE FÖRELÄSNINGEN INTEGRALER

Signal- och bildbehandling TSBB14

Anm 3: Var noga med att läsa och studera kurslitteraturen.

Egenvärden och egenvektorer

shetstalet och BNP Arbetslöshetstalet lag Blanchard kapitel 10 Penningmängd, inflation och sysselsättning Effekter av penningpolitik.

Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA KF OCH F MHA AUGUSTI 2017

INSTUDERINGSUPPGIFTER

Kolla baksidan på konvolut för checklista Föreläsning 6

TSBB31 Medicinska bilder Föreläsning 1

TENTAMEN Datum: 12 mars 07. Kurs: MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK 6H3000, 6L3000, 6A2111 TEN 2 (Matematisk statistik )

Signal- och bildbehandling TSBB14

Demodulering av digitalt modulerade signaler

ES, ISY Andra kurser under ht 2014! Räkna inte med att ha en massa tid då! Och ni har nog glömt en del så dags...

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, betecknar temperaturen i punkten x vid tiden t.

Skattning av respirationshastighet (R) och syreöverföring (K LA ) i en aktivslamprocess Projektförslag

Regelstyrd penningpolitik i realtid

Lösningsforslag till tentamen i SF1624 den 22/ e x e y e z = 5e x 10e z = 5(1, 0, 2). 1 1 a a + 2 2a 4

2 Laboration 2. Positionsmätning

Lösningar till tentamen i Kärnkemi ak den 21 april 2001

( ) är lika med ändringen av rörelse-

1. Geometriskt om grafer

Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA APRIL 2016

SDOF Enfrihetsgradssystemet

Dagens ämnen. Kvadratiska former. Andragradskurvor. Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär

Rörelse. Hastighet. 166 Rörelse Författarna och Zenit AB

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I

Egenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle

Livförsäkringsmatematik II

D-UPPSATS. Prisutvecklingen av järnmalm

Strategiska möjligheter för skogssektorn i Ryssland med fokus på ekonomisk optimering, energi och uthållighet

Mat Grundkurs i matematik 3-II

Mat Grundkurs i matematik 3-II

Lösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 1, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 19 oktober 2011, kl. 8:00 13:00.

Egnahemsposten i konsumentprisindex. KPI-utredningens förslag. Specialstudie Nr 2, maj 2002

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Kylvätska, tappa ur och fylla på

Optimering, exempel. Funktionens enda stationära punkt är alltså origo. Den ligger också i det inre av mängden.

5 VÄaxelkurser, in ation och räantor vid exibla priser {e ekter pºa lºang sikt

Transkript:

3227 Differenialekvaionssysem Behållaren A innehåller 2 lier, behållaren B innehäller 3 lier och behållaren C 4 lier salvaen Vid idpunken är salhalen i behållaren A 4 g, i behållaren B 2 g och i behållaren C 3 g sal per lier väska Till behållaren A pumpas med hasigheen 2 lier per minu ren vaen Väskan i behållaren A blandas och 3 lier väska pumpas per minu över ill behållarenb Till behållarenb pumpas också2 lier per minu av en väska som innehållerf() g sal per lier vid idpunken, och av den väl blandade väskan pumpas lier per minu illbaka ill behållarena och 5 lier per minu pumpas ill behållarenc Till behållarenc pumpas lier ren vaen per minu Innehålle i behållarenc blandas och lier väska pumpas ill behållaren B och 5 lier per minu pumpas u också väl Ge e differenialekvaionssyem ur vilke man kan lösa salmängderna i behållarna, (men du behöver ine lösa syseme) Lösning: Lå x() vara salmängden i behållaren A, y() salmängden i behållaren B och z() salmängden i behållaren C vid idpunken Efersom väskemängderna hela iden förblir oförändrade så är salhalerna x()/2, y()/3 och z()/4 (g/l) Differenialekvaionssyeme blir därför x () x() 2 3 + y() 3 y () x() 2 3 y() 3 6 + z() 4 + 2f() med z () y() 3 5 z() 4 5 x() 8, y() 6, z() 2 Dehär differenialekvaionssyseme kan skrivas i formen Y () AY () + F() där A 3 2 3 3 6 2 3 4 och F() 2f() 5 3 5 4 2 Beräkna e A med hjälp av Cayley-Hamilons eorem då A 3 Lösning: Vi räknar u egenvärden ill marisen A och efersom den karakerisiska ekvaionen är () ( λ) de(a λi) de λ (3 λ) 2 4λ + 4 så får vi som lösningar, λ 2 ± 4 4 { 2, 2,

så a vi har e dubbel egenvärde λ λ 2 2 Med söd av Cayley-Hamilons eorem kan vi besämma e A genom a räkna u koefficienerna c och c 2 så a e A c I + c A Enlig Cayley-Hamilons eorem är λ 2 e dubbel nollsälle ill funkionen e λ (c + c λ) så a vi får ekvaionerna e 2 c + c 2, e 2 c Lösningarna är försås c e 2 och c e 2 2e 2, och därför är e A ( e 2 2e 2) I + e 2 A e 2 I + e 2 3 Lös differenialekvaionen Y () AY (), Y () 2 då A 3 4 2 3 Du kan unyja de fakum a A har egenvärdena λ och λ 2 med egenvekorer X och X 2 och a Y 2 2 är en generaliserad egenvekor för de dubbla egenvärde Lösning: De fakum a Y 2 är en generaliserad egenvekor innebär a (A ( )I)Y 2 X 2 som man lä kan konsaera Vi besämmer lösningen i formen Y () c e λ X + c 2 e λ 2 X 2 + c 3 ( e λ 2 X 2 + e λ 2 Y 2 ) För a konsaera a Y verkligen är en lösning obsreverar vi a Y () c e λ λ X + c 2 e λ 2 λ 2 X 2 + c 3 e λ 2 λ 2 X 2 + c 3 e λ 2 (X 2 + λ 2 Y 2 ), och efersom AX j λ j X j och AY 2 λ 2 Y 2 + X 2 så gäller fakisk Y () AY () För a besämma c, c 2 och c 3 säer vi in och får 2 c + c 2 + c 3 2, och ur dehär ekvaionssyseme kan vi lösa c, c 2 2 och c 3 Lösningen blir allså Y () e 2e 2e e e e 4 Beräkna e A då A Lösning: Förs räknar vi u egenvärdena och vi får () λ de(m λi) de λ λ 2 +,

så a λ ±i Enlig Cayley-Hamilons sas har vi e A c I + c A och denna ekvaion gäller också då vi isälle förm säer in egenvärdena, dvs e i c + c i, e i c c i Genom a addera ekvaionerna får vic cos() och genom a a skillnaden får vic sin() Då blir cos() sin() e A cos() + sin() sin() cos() I 5 LåA och B där X X 2 2, I I 2 2 och X AB, BA, e A, e B, e A e B, e B e A och e A+B Vad kan man konsaera Lösning: En enkel räkning visar a A n X n, och efersom e A n n! An så ser vi a e A I e X Vi kan också konsaera med hjälp av indukion a X B n n X n vilke innebär a Efersom så ser vi också a e B n n! Bn I n e A+B n! Xn n n! Xn A + B ] I, 2X I 2 X (e 2X I) e 2X I X (e X I) e X 2π Beräkna 2π Efersom e X e 2X I så har vi e A e B e A+B I så a e A e B e B e A e A+B Men I I X AB X X X 2 ja BA X X X 2 Här har vi allså e exempel på marisera och B sådana a AB BA men e A e B e B e A e A+B

6 Lå Y () vara en lösning ill differenialekvaionen Y () AY () + F() där A är en n n-maris med egenvärden λ j så a Re(λ j ) µ <, j,,n och F är en koninuerlig funkion så a lim F() F Visa a lim Y () Y där Y är lösningen ill ekvaionen AY + F Du kan ana a e A c( + k )e µ Lösning: Ana förs a F Efersom µ < gäller också e A C η e η, där < η < µ och C η är någon konsan Lösningen ill differenialekavionen kan skrivas i formen och vi får Y () e A Y () + Y () e A Y () + e A( s) F(s) ds, e A( s) F(s) ds C η e η Y () +C η e η( s) F(s) ds Om F är koninuerlig och lim F() så finns de en konsan c F så a F() c F för all Därför får vi Y () C η e η Y () + C η 2 e η( s) c F ds + C η 2 C η e η Y () + C ηc F e η( s) max 2 s F(s) ds η e η C η 2 + η max F(s) 2 s Efersom lim F() så gäller också lim max 2 s F(s) och vi ser a lim Y () efersom η > Om F löser vi Y ur ekvaionen AY + F (vilke är möjlig efersom A är invererbar vilke i sin ur är en följd av a inge egenvärde är Om vi nu låerz() Y () Y ser vi a Z uppfyller ekvaionen Z () AZ() + F() F Efersom lim (F() F ) kan vi illämpa de resula vi bevisa ovan och vi får lim Z() vilke är vad vi skulle visa Sabilie 7 Lå y() vara lösningen ill differenialekvaionen y (y 2 + y)(y 2 2y + ), y() a Har ekvaionen en asympoisk sabil jämvikslösning? Skissera olika lösningar Lösning: Funkionens f(x) (x 2 + x)(x 2 2x + ) graf ser ungefär u på följande sä: Av dea ser vi a f(x) > då x <, < x < ja x >, så a för de -inervall där y() <, < y() < och y() > så äry sräng växande På mosvarande sä är f(x) < då < x < så a i sådana inervall där < y() < så är funkioneny sräng avagande Av dea kan vi dra slusasen a lim y() ifall y() < eller ifall < y() <, och lim y() ifall y() >, för i de falle kommer de a finnas en punk så a

lim y() +, dvs lösningen exiserar ine för alla Av dea kan vi dra slusasen a endas är en asympoisk sabil jämvikslösning Lösningarna ser ungefär u på följande sä: 2 2 3 4 2 8 Besäm jämvikspunkerna ill differenialekvaionssyseme y () y () y 2 () + 2y ()y 2 (), y 2 () y () y 2 () Vilka av dessa är asympoisk sabila? Lösning: För jämvikspunkerna gäller y y 2 + 2y y 2, y y 2, av vilke följer a y y 2 så a 2y + 2y 2 och y y 2 eller y y 2 Jämvikspunkerna är allså och ] ] y y Vi definierar F(Y ) 2 + 2y y 2 y då Y Då blir derivaan av funkionen y y 2 y 2 F F (Y ) I punken får vi derivaan ] ( + 2y2 ) ( + 2y ) () F Vi beräknar denhär marisens egenvärden: () λ de ( λ) λ 2 +, av vilke följer a λ ± i och efersom den reella delen är negaiv så är jämvikslösningen asympoisk sabil ] Funkionen F har i punken derivaan ] () F ]

Vi räknar u denhär marisens egenvärden: () λ de λ λ 2 2, av vilke följer a λ ± 2 och efersom de ena egenvärde är posiiv så är jämvikslösningen ] ine asympoisk sabil 9 Anag a F : R n R n är koninuerlig, F(Y ), F är deriverbar i Y och derivaans F (Y ) egenvärden har alla negaiv reell del Visa a Y är asympoisk sabil jämvikspunk för differenialekvaionssyseme Y () F(Y ()) Lösning: Anag a Y (I anna fall gör man e variabelbye Z() Y () Y ) Lå A F () och G(Y ) F(Y ) AY så af(y ) AY +G(Y ) Differenialekvaionssyseme kan nu skrivas som Y () AY () + G(Y ()),, och lösningen är då Y () e A Y () + e A( s) G(y(s)) ds Efersom A:s egenvärden har negaiv reell del finns de e al µ > och en konsan c < så a e A ce µ, (Om A har flerdubbla egenvärden kan man bli vungen a välja µ så a µ > Re (λ j ) för alla j men om alla egenvärden är enkla kan man välja µ max{re (λ(j))}) Efersom A är deriverbar finns de e al δ > så a Om nu Y () δ då, T] så får vi Y δ G(Y ) µ Y 2c Y () ce µ Y () + Lå nu z vara lösningen ill ekvaionen z() e µ z() + µ 2 vilke är ekvivalen med a ce µ( s) G(y(s)) ds e µ c Y () + µ 2 e µ( s) Y (s) ds, e µ( s) z(s) ds,, z () µz() + m u 2z() µ 2 z(), T] Av dea följer a z() e µ 2 z() Om vi nu väljer z() δ och om Y () är sådan a c Y () < δ så finns de e al T > så a Y () z() då T Nu får vi Y (T) e µt c Y () + µ 2 T e µ(t s) Y (s) ds < e µt + µ 2 T e µ(t s) z(s) ds z(t),

och dea innebär, efersom z() och Y () är koninuerliga, a de finns e al T > T så a Y () z() då T Av dea kan vi dra slusasen a Y () z() för alla och vi ser a är en asympoisk sabil jämvikspunk