STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 06 04 04. Finansmatematik II Kapitel 1

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 06 04 04 Finansmatematik II Kapitel 1 Ränta

2 Finansmatematik II 1 Rak ränta Med rak ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid (löptid). 1.1 Ränta på ränta Vid förräntning n gånger per år med räntan r/n blir värdet av en krona efter t år R = (1 + r n )nt för n = 1, 2, 3,... och R = lim n (1 + r n )nt = e rt vid kontinuerlig förräntning. För r = 5% och t = 1 ges värdena av följande tabell: n förräntning varje värde 1 år 1.05 = 1.050000 2 halvår (1 + 0.05 2 )2 = 1.050625 4 kvartal (1 + 0.05 4 )4 = 1.050945 12 månad (1 + 0.05 12 )12 = 1.051161 52 vecka (1 + 0.05 52 )52 = 1.051245 365 dag (1 + 0.05 365 )365 = 1.051267 kontinuerligt e 0.05 = 1.051271 Årsräntan beror alltså i detta fall även på n. Vad som är väsentligt här är tillväxtfaktorn, R. Denna kan även uttryckas med hjälp av räntan, r, men då måste man specificera vilken ränta som avses. Vanligast kanske är att definiera räntan som avkastningen r a = R 1. Övning 1 Visa att om avkastningen är r under en del av en tidsperiod och r under återstoden, så är avkastningen r + r + r r under hela tidsperioden. Avkastningen är alltså inte additiv men det är däremot räntan vid kontinuerlig förräntning eller kortare den kontinuerliga räntan: r c = ln R. Övning 2 Visa att om den kontinuerliga räntan är r under en del av en tidsperiod och r under återstoden, så är den kontinuerliga räntan r + r under hela tidsperioden.

Rak ränta 3 Vid konstant tillväxt gäller R = e rct. Den kontinuerliga räntan kan därför även definieras som den momentana avkastningen per tidsenhet: 1.2 Nuvärde e rct 1 lim = r c. t 0 t X 0 kronor idag är värda X T kronor om T år. Här är det framtida värdet av X 0 och X T = R T X 0 X 0 = d T X T nuvärdet (present value) av X T. Här är R T tillväxtfaktorn under T år och d T = R 1 T diskonteringsfaktorn (discount factor). Vi ska även skriva X 0 = P V (X T ). För att värdera framtida utbetalningar jämför man deras nuvärden. Övning 3 Jämför värdet av 417 kronor om ett år och 430 kronor om två år med 395 kronor idag om årsavkastningen är 5% bägge åren. Övning 4 Uttryck dubbleringstiden (den tid det tar att dubblera ett kapital) som funktion av den kontinuerliga räntan. Speciellt: Hur lång tid tar det att dubblera ett kapital då räntan är 5%? 1.3 Betalströmmar En betalström är en följd av reella tal, x = (x 0, x 1,...x n ), samt en följd av tidpunkter 0 = t 0 < t 1 <... < t n. Innehavaren av betalströmmen erhåller x i kronor vid t i. (Detta innebär att innehavaren betalar x i kronor om x i < 0.) Motparten, utställaren av betalströmmen, innehar betalströmmen x. Betalningsförloppret delas alltså in i n perioder; (t i 1, t i ), i = 1,..., n. Här följer tre exempel på betalströmmar: Lån Du lånar idag S kronor och betalar tillbaka K kronor i slutet av varje period. Detta svarar mot betalströmmen (S, K,..., K). Sparande Du sätter in K kronor i början av varje period och tar ut hela sparbeloppet i slutet av den sista perioden. Detta ger betalströmmen ( K,..., K, S). Annuitet Du betalar in S kronor idag och få ut K kronor i slutet av varje period. Detta ger betalströmmen

4 Finansmatematik II ( S, K,..., K). Detta är även den betalström långivaren får när du tar ett lån. När inte annat sägs ska vi anta att perioderna är lika långa; t 0 = 0, t 1 = 1,..., t n = n i någon enhet; dag, månad eller år t.ex. Detta kan man alltid uppnå genom att låta x k = 0 för vissa k. Diskonteringsfaktorn per period betecknas i detta fall med d. Betalströmmens nuvärde ges därför av P V (x) = x 0 + dx 1 +... + d n x n. Övning 5 Du erhåller 2000 kr om året i 10 års tid med början om ett år. Beräkna nuvärdet av denna betalström om avkastningen är 5% per år. Övning 6 Vid skörd av energiskog efter ett år får man tillbaks 1.05 kronor netto för varje satsad krona. Motsvarande siffror vid skörd efter två eller tre år är 1.11 respektive 1.14. Jämför dessa betalströmmar under förutsättning att hela intäkten går att återinvestera i nyplanteringar. 1.4 Effektiv ränta Den effektiva räntan är den ränta för vilken betalströmmen har nuvärdet 0 och bestämms därför av den diskonteringsfaktor för vilken P V (x) = 0. Förutsättningen är att diskonteringsfaktorn är entydigt bestämd. Övning 7 Visa att om x 0 > 0 och x i < 0 för i = 1,..., n (eller om x i < 0 för i = 0,..., n 1 och x n > 0), så är diskonteringsfaktorn entydigt bestämd. Visa även att räntan är positiv (d < 1) i dessa fall om och endast om x 0 < n n 1 x k (eller x n > x k ). k=1 k=0 Låt m beteckna antalet perioder per år. Diskonteringsfaktorn per år är då d m och den kontinuerliga räntan är därför m ln 1 d per år, medan årsavkastningen är 1 d m 1. Övning 8 Ett lån på 1000 kronor betalas av på två månader med 507 kronor per månad. Hur stor är den effektiva räntan?

Rak ränta 5 Övning 9 Beräkna den effektiva räntan för betalströmmarna i Övning 6. Övning 10 Visa att den effektiva räntan för lånet respektive sparandet ovan ges av de diskonteringsfaktorer som uppfyller d 1 dn 1 d = S K respektive d n 1 dn 1 d = S K. För att lösa d ur ekvationer av denna typ kan man använda Newtons metod att finna nollställen till en deriverbar funktion, F (x): Gissa ett tal x 0 som du tror ligger nära nollstället. Beräkna sedan x 1, x 2,... via formeln x k = x k 1 F (x k 1) F (x k 1 ), för k = 1, 2,... Denna följd konvergerar mot ett nollställe till F. För varje upprepning dubblas antalet rätta decimaler. Övning 11 Visa att x k är den punkt i vilken tangenten till F i punkten x k 1 skär x axeln samt använd detta till att illustrera konstruktionen av x 1, x 2,... grafiskt. Övning 12 Ett lån på 1000 kronor betalas av på tre månader med 338 kronor per månad. Hur stor är den effektiva räntan? Övning 13 Du lånar 200000 kr i en bank och betalar i slutet av varje månad 3000 kr. Den effektiva räntan ges av 0.5% avkastning per månad. Hur stor är årsräntan? Hur lång tid tar det att betala lånet? Hur mycket ska du betala per månad för att lånet ska vara avbetalat på 5 år? 1.5 Obligationer En obligation är en betalström av formen ( P, c/m,..., c/m, c/m + F ). Utbetalningarna sker m gånger per år i T = n/m år. T är obligationens löptid (time to maturity), c kupongen (coupon), F det nominella värdet (face value) och P priset. Den effektiva räntan per år bestäms därför av diskonteringsfaktorn d m, där d uppfyller P = c m n d k + d n F. k=1 Det framgår av detta uttryck att obligationspriset är en avtagande funktion av räntan. Obligationspriserna gå alltså ned då räntan går upp.

6 Finansmatematik II Övning 14 a) Visa att P = c dn d1 m 1 d + dn F. b) Definiera y genom d = 1. D.v.s. y är avkastningen under en period av 1+ y m längd 1/m multiplicerad med m. Visa att P = c y + dn (F c y ). Detta uttryck blir speciellt enkelt då c = yf (pari); P = F. Övning 15 Låt P 1 och P 2 beteckna priserna på två obligationer där den andra har längre löptid än den första men som för övrigt är lika (samma kupong, ränta, nominellt värde och periodlängd). Visa att P 1 < P 2 för y < c/f och P 1 > P 2 för y > c/f. Övning 16 Beräkna den effektiva räntan för en femårig obligation med nominellt värde 100 SEK och årlig kupong 4 SEK som betalas ut med 1 SEK varje kvartal. Obligationens pris är 100 SEK. Genom att sätta samman en portfölj av obligationer kan man bilda nya betalströmmar. Övning 17 Betrakta två obligationer med samma löptid, periodlängd och nominella värde. Den ena har kupongen c 1 och den andra c 2, c 1 < c 2. Priserna är P 1 respektive P 2. a) Konstruera med hjälp av dessa en obligation som har kupongen c men samma nominella värde. Vad blir priset på denna. b) Vilka vikter ska de två obligationerna ha i portföljen för att resultatet ska bli en nollkupongare? c) För vilka värden på c har bägge obligationerna positiv vikt i portföljen? 1.6 Den effektiva räntan som värderingsmått Den effektiva räntan är ett trubbigt verktyg då det gäller att värdera betalströmmar i allmänhet. Betrakta betalströmmen x = (ab, a b, 1). Denna har nuvärdet P V = ab d(a + b) + d 2 = (d a)(d b). Detta nuvärde är noll för d = a och d = b. Den effektiva räntan är alltså inte entydigt bestämd då a b. Dessutom har nuvärdet av betalströmmen x samma nollställen. Det är därför inte omedelbart klart hur man med hjälp av den effektiva räntan ska kunna avgöra vilken av de två betalströmmarna x och x som är att föredra (om någon). Antag att a = 1 och b = 3: x=(3,-4,1). I detta fall är d = 1 eller d = 3. I det första fallet är räntan noll, i det andra negativ. Nuvärdet är positivt för x

Räntans beroende av löptiden 7 och negativt för -x då d < 1, vilket gäller i normalfallet. Betalströmmen x torde därför vara att föredra framför -x. Antag att det är ett år mellan utbetalningarna och att du kan låna in pengar mot 5% avkastningasränta per år och låna ut mot 4%. Följande förfaringssätt visar att det är förmånligt att inneha x: Vid t = 0: Acceptera betalströmmen x. Du får 3 SEK som du lånar ut på ett år mot 4% ränta. Vid t = 1: Lånet återbetalas till dig med 3 1.04 = 3.12 SEK. Du lånar 0.88 SEK på ett år och betalar 4 SEK. Vid t = 2: Du får in 1 SEK och återbetalar lånet med 0.88 1.05 = 0.924 SEK. Kvar 0.076 SEK. På detta sätt erhålls betalströmmen (0, 0, 0.076) och man kan alltså göra en riskfri vinst. Vilket även kallas att göra arbitrage. Övning 18 Hur ska in- och utlåningsräntorna vara relaterade i ovanstående exempel för att det ska gå att göra arbitrage på detta sätt? Övning 19 Du är erbjuden två betalströmmar (1000, 3000, 2000) och ( 1000, 3000, 2000). Utbetalningarna sker en gång per år. a) Beräkna betalströmmarnas effektiva räntor. b) Du kan låna pengar mot 5% ränta per år och låna ut mot 4%. Beskriv hur du kan göra arbitrage (riskfri vinst). 2 Räntans beroende av löptiden Vi ska nu ta hänsyn till att räntan varierar med löptiden och se vilka följder detta faktum får. 2.1 Nollkupongsobligationer Innehav av en k-årig nollkupongsobligation innebär att man får 1 kr efter k år. Låt d k beteckna priset på den k-åriga nollkupongsobligationen, k=1, 2,..., n och sätt d 0 = 1. Priset d k definierar värdet idag (nuvärdet) av 1 kr om k år. Dessa priser definierar även den k-åriga spoträntan, r k. genom sambandet d k = e kr k. Vi ska för resonemangets skull idealisera verkligheten och tänka oss att vi kan köpa och sälja dessa obligationer i godtyckliga mängder utan transaktionskostnader. Så till exempel om vi skulle vilja sälja (t.ex. en bråkdel av) en obligation vi inte har kan vi kostnadsfritt låna denna och sälja den för att senare betala tillbaka.

8 Finansmatematik II 2.2 Arbitragefria betalströmmar Nuvärdet av betalströmmen x= (x 0, x 1,..., x n ) är P V (x) = n d k x k. Låt x beteckna den betalström man erhåller genom att göra på följande sätt: Köp vid t = 0 x k k-åringar (detta innebär att man säljer x k om x k < 0), k = 1,..., n. Vänta till t = n. Kostnaden vid t = 0 är k=0 n x k d k = PV(x) x 0 k=1 och man erhåller x k kr vid t = k, k = 1, 2,..., n. Därför x = x p där p = (PV(x), 0,..., 0). Antag att PV(x)> 0. Då kan man genom att acceptera betalströmmarna x och -x erhålla betalströmmen p=x-x och därmed en riskfri vinst. Om istället PV(x)< 0 kan man erhålla betalströmmen -p och därmed en riskfri vinst genom att acceptera -x och x. Detta kallas arbitrage. Om vi antar att man inte kan göra arbitrage så måste alltså PV(x)=0 för alla betalströmmar. Observera att ett geometriskt sätt att uttrycka detta är att säga att x är ortogonal mot diskonteringsvektorn d= (d 0, d 1,..., d n ); x d = 0. Övning 20 Du avser att låna 1000 SEK och har att välja bland följande två alternativ: x=(1000, -866, -181) och y=(1000, -426, -656). Den första återbetalningen görs om ett år och den andra om två år. Ettårsobligationen kostar 0.97 SEK och tvååringen 0.89 SEK. a) Beräkna lånens effektiva räntor. Svar: r a (x) = 4%, r a (y) = 5%. b) Beräkna betalströmmarnas nuvärden. Beräkna även de ett- och tvååriga spoträntorna. Svar: P V (x) = 1.11, P V (y) = 2.94., r 1 = 3%, r 2 = 6% (avrundat). c) Lånet y är alltså att föredra trots att det har högre ränta än x. Beskriv hur du kan göra arbitrage med hjälp av y. d) Beskriv även hur långivaren kan göra arbitrage om du tar lånet x. (Här förutsätts att långivaren kan sälja obligationer kort.) 2.3 Arbitragesatsen Glöm för en stund den konkreta tolkningen av d som obligationspriser. Vi ska här istället visa att det finns en entydig diskonteringsvektor på varje marknad som uppfyller vissa villkor. Låt x 1,x 2,..., x N vara givna betalströmmar i R n+1 och låt L beteckna det vektorrum som genereras av dessa. Vi ska säga att arbitragemöjligheter föreligger om det finns x i L sådant att x 0 och x 0 (det senare betyder x k 0 för alla k = 0, 1,..., n). Annars säges L vara arbitragefri, vilket också kan uttryckas: L R n+1 + = {0}. I detta fall måste dim(l) n. Vi ska också säga att marknaden (d.v.s. L) är fullständig om dim(l)=n.

Räntans beroende av löptiden 9 Sats. Marknaden L är fullständig och arbitragefri om och endast om det finns ett d i R n+1 med d 0 = 1 och d 1 > 0, d 2 > 0,..., d n > 0 så att L = {x; x d = 0}. Diskonteringsvektorn d är entydigt bestämd av L. Bevis. Satsen är geometriskt uppenbar då n = 1 och 2. Eller hur? Antag att L är fullständig och arbitragefri. Låt c 0 ligga i det ortogonala komplementet till L, d.v.s. c x=0 för alla x i L. Då är c entydigt bestämd så när som på en multiplikativ konstant och L = {x; c x = 0} på grund av fullständigheten. Om c k = 0, så e k c=0. Alltså e k L. En motsägelse. Alltså c k 0 för alla k. Antag att ej alla c k har samma tecken. Då finns i och j så att c i > 0 och c j < 0. Sätt u=c i e j c j e i. Då u 0, u 0 och u c=0, d.v.s. u L. En motsägelse. Alltså har alla c k samma tecken. Den ena riktningen följer nu med d k = c k /c 0. Omvänt är det klart att om x d=0 så kan inte x 0 och x 0. Antag att L är fullständig och arbitragefri och att en ny betalström av formen ( p, a 1,..., a n ), där a 1,..., a n är givna tal, introduceras på marknaden. För att denna utvidgade marknad ska vara arbitragefri så måste alltså p = d 1 a 1 +... + d n a n. Nollkupongarna b 1 = ( d 1, 1, 0, 0,..., 0, 0), b 2 = ( d 2, 0, 1, 0,...,, 0, 0),..., b n = ( d n, 0, 0, 0,..., 0, 1) är en bas i L. Eller hur? Övning 21 Marknaden L 1 genereras av de två vektorerna (5, -6, -6) och (5, -5, -4), L 2 genereras av (5, -6, -6) och (-1, 0, 3) medan L 3 genereras av (5, -4, -2) och (-8, 6, 3). a) Avgör vilka av dessa marknader som är arbitragefria. Svar: L 2. b) Ytterligare en betalström av formen (-p, 2, 3) introduceras på marknaden L 2. Prissätt denna (d.v.s. bestäm p) så att den utvidgade marknaden blir arbitragefri. Övning 22 Marknaden L genereras av betalströmmen (2, -2, -1) och är således inte fullständig. Ytterligare en betalström av formen (-p, 1, 1) ska introduceras. För vilka p blir den utvidgade marknaden fullständig? Arbitragefri? Övning 23 Betrakta följande tre obligationer där periodlängden är ett år: A = ( P A, 110, 0, 0)), B = ( P B, 10, 110, 0), C = ( P C, 10, 10, 110). Samtliga räntor nedan är avkastningsräntan per år. a) Bestäm priset, P C, och den effektiva räntan mätt med årsavkastningen för obligation C om spoträntorna är som följer: 1 år = 7%, 2 år =9%, 3 år =11%. b) Bestäm priserna och spoträntorna om A, B och C har de effektiva räntorna 8.5%, 9.0% respektive 11.5%. 2.4 Räntekurvans förändringar J. Frye (Principals of risk: Finding VAR through Factor-Based Interest Rate Scenarios. In VAR: Understanding and applying Value at Risk. Risk Publications, London, 1997, 275-288.) gjorde en statistisk studie över de dagliga

10 Finansmatematik II förändringarna av räntan, hos tio amerikanska statspapper under 1543 dagar mellan 1989 och 1995. Covariansmatrisen för dessa 1543 vektorer av dimension 10 beräknades (skattades) och spektraluppdelades. Egenvektorerna a 1,..., a 10 är givna i Tabell 2. Dessa är parvis ortogonala och har längden 1. Motsvarande egenvärden betecknas σ 2 1,..., σ 2 10. Förändringen r har koordinaterna ξ k = r a k i denna bas: r = ξ 1 a 1 +... + ξ 10 a 10. De stokastiska variablerna ξ 1,..., ξ 10 är okorrelerade och ordnade efter avtagande standardavvikelser, σ 1 > σ 2 >... > σ 10 : Tabell 1 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 σ i 17.49 6.05 3.10 2.17 1.97 1.69 1.27 1.24 0.80 0.79 Enheten är baspunkter (bp), d.v.s. 1/100 %=0.0001. Tabell 2 Löptid 3 mo. 6 mo. 1 yr. 2 yr. 3 yr. 4 yr. 5 yr. 7 yr. 10 yr. 30 yr. a 1 0.21 0.26 0.32 0.35 0.36 0.36 0.36 0.34 0.31 0.25 a 2 0.57 0.49 0.32 0.10 0.02 0.14 0.17 0.27 0.30 0.33 a 3 0.50 0.23 0.37 0.38 0.30 0.12 0.04 0.15 0.28 0.46 a 4 0.47 0.37 0.58 0.17 0.27 0.25 0.14 0.01 0.10 0.34 a 5 0.39 0.70 0.52 0.04 0.07 0.16 0.08 0.00 0.06 0.18 a 6 0.02 0.01 0.23 0.59 0.24 0.63 0.10 0.12 0.01 0.33 a 7 0.01 0.04 0.04 0.56 0.79 0.15 0.09 0.13 0.03 0.09 a 8 0.00 0.02 0.05 0.12 0.00 0.55 0.26 0.54 0.23 0.52 a 9 0.01 0.01 0.00 0.12 0.09 0.14 0.71 0.00 0.63 0.26 a 10 0.00 0.00 0.01 0.05 0.00 0.08 0.48 0.68 0.52 0.13 Väntevärdet av r är försumbart jämfört med fluktuationerna och därför är standardavvikelsen det väsentliga. Vi har därför E r 2 σ 2 = σ 2 1 +... + σ 2 10 = 367.9. Ränteförändringar längs a 1 står för 17.49 2 /367.9 = 83% av den totala variansen och förändringar längs a 2 står för 10%. Tillsammans 93%. Genom att lägga till a 3 kommer man upp till 96%. I Figur 1är a 1, a 2 och a 3 plottade. Den första svarar i grova drag mot en parallellförskjutning av räntekurvan, den andra mot en brantning; räntor med löptid under c:a 2 år går åt ett håll och de övriga åt det andra hållet. Den tredje faktorn motsvarar en krökning; korta och långa räntor går åt ett håll och de övriga åt det andra hållet. Vi ska inte använda de exakta uttrycken för a 1, a 2 och a 3 utan approximera dessa med enkla analytiska uttryck. Skäl för detta är (förutom att det är behändigt): 1 Undersökningen omfattar en marknad under en tidsperiod och det är inte klart att man skulle få exakt samma resultat under andra omständigheter. 2 Undersökningen avser Yieldkurvan som beskriver den effektiva avkastningen och inte spoträntan. 3 Avkastningen är inte exakt densamma som den kontinuerliga räntan. Antag att räntan med löptid k är r k för k = 1, 2,..., n och att räntan ändrar sig från r = (r 1,..., r n ) till r + r. De analytiska uttryck som approximerar r

Räntans beroende av löptiden 11 0.6 0.4 a1 0.2 a2 0 0.2 a3 0.4 0.6 0 5 10 15 20 25 30 Figur 1: De tre viktigaste komponenterna som förklarar räntekurvans förändringar. kan väljas på olika sätt. Vi ska här i första hand betrakta parallellförskjutning, och i andra hand brantning, r = 1 p, där 1 = (1,..., 1) r = r b. Genom att även betrakta förändringar av formen r = r 2 c, där r 2 = (r 2 1,..., r 2 n), kan man även efterlikna en viss typ av krökning. Genom att lägga till r k = (r k 1,..., r k n) för k = 3, 4,... kan man öka precisionen (men också komplikationen) i approximationen av r för att vid k = n 1 få perfekt anpassning. Övning 24 Antag att r 1,..., r n alla är olika. Visa att r k, k = 0, 1,..., n 1 spänner R n. Det är klart att a 3 inte går att efterlikna med en parabel men detta faktum har inte någon avgörande betydelse. Vi ska senare använda resultaten i detta avsnitt till att immunisera obligationsportföljer. En möjlighet är att gruppera obligationerna genom att dela in löptiden i några intervall och behandla varje grupp för sig. I Figur 2 visas en del av Yieldkurvorna för svenska statspapper den 4 augusti och den 4 september 2000. Vi har använt minsta kvadratskattningarna (i lodled) för att anpassa polynom av grad 0, o, grad 1, *, och grad 2, +, till den undre kurvan.

12 Finansmatematik II 0.054 0.052 4/8 0.05 0.048 0.046 4/9 0.044 0.042 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Figur 2: Yieldkurvans förändring samt approximationer med polynom av grad 0, o, grad 1, *, och grad 2, +. 5 Medelavståndet mellan de två Yieldkurvorna, d = 1 (r i r i) 2 /5, är 31 baspunkter medan medelavståndet mellan den undre kurvan och de olika approximationerna är 7.6, 4.3 respektive 3.8. Parallellförskjutning förklarar alltså merparten av ränteförändringen i detta fall. 2.5 Räntekänslighet Priset på en T -årig nollkupongare med nominellt värde 1 ges av P = e rt, där r är den T-åriga spoträntan. I nästa övning ges förändringen, P, i obligationens pris då r r + r. Övning 25 Visa att om man negligerar termer av storleksordningen ( r) 2 och mindre, så gäller P = T r P för priset på en nollkupongare med löptid T. I detta fall är alltså den relativa prisförändrigen proportionell mot löptiden. Nollkupongare med lång löptid är speciellt känsliga för ränteförändringar. För att studera effekten av en ränteförändring r r+ r, där r = (r 1,..., r n ) och r = ( r 1,..., r n ), på en allmän betalström x = ( P, x 1,..., x n ) skriver vi P (r) = n d k x k k=1

Räntans beroende av löptiden 13 för nuvärdet av de framtida utbetalningarna som funktion av r. Vi har P (r + r) = P (r) + P (r) r + O ( r 2). Övning 26 Visa att Det följer att P r k = kd k x k. Här är så där P P = D r + O( r 2). D = (1v 1, 2v 2,..., nv n ) och v k = d kx k P. Speciellt gäller att om spoträntekurvan förändrar sig genom parallellförskjutning, P P = D p + O( p 2), D = D 1 = 1v 1 + 2v 2 +... + nv n är durationen för x. Observera att denna är ett viktat medelvärde av utbetalningstidpunkterna 1,...,n och där vikterna är proportionella mot nuvärdena av de utbetalade beloppen. (Här förutsatte vi att x k 0 för alla k.) Övning 27 Visa att om två obligationsportföljer har priserna P 1 och P 2 och durationerna D 1 och D 2, så har den sammanslagna portföljen durationen P 1 P 1 + P 2 D 1 + P 2 P 1 + P 2 D 2. Det följer att om man sammansätter en obligationsportfölj av ett antal obligationer och dessa har positiva vikter, så kommer portföljens duration att ligga mellan den minsta och den största av de ingående obligationernas durationer. Övning 28 Betrakta följande tre obligationer där periodlängden är ett år: A = ( P A, 5, 5, 5, 5, 105), B = ( P B, 4, 4, 4, 104, 0), C = ( P C, 0, 100, 0, 0, 0). Beräkna priserna och durationerna i det fall (de kontinuerliga) spoträntorna är 4.69, 4.88, 5.07, 5.17 respektive 5.19%. Övning 29 Betrakta en obligation med nominellt värde F och kupongen c som delas ut m gånger per år i T = n/m år. Periodlängden är alltså 1/m år. Antag att räntan är rak; d k = d k, där d = e r/m = 1. Visa att 1+ y m a) D = 1 ( c n kd k + nd n F ) /P år. m m k=1

14 Finansmatematik II b) c) d) då c = yf. n k=1 D = kd k 1 = 1 (1 d n+1 (n + 1)d n) 1 d 1 d ( c ( 1 y y + m) 1 (1 d n ) + T ( F c ) ) d n /P y D = ( 1 y + 1 ) (1 d n ) m där Om räntekurvan förändras genom brantning, r = r b, så P P = D(1) b + O ( b 2), D (1) = D r = r 1 v 1 + 2r 2 v 2 +... + nr n v n är ett viktat medelvärde av räntorna fram till de olika utbetalningstidpunkterna. På motsvarande sätt ger ränteförändringen r = r 2 c prisförändringen där P P = D(2) b + O ( c 2), D (2) = D r 2 = r 2 1v 1 + 2r 2 2v 2 +... + nr 2 nv n. Ränteförändringar av formen r k = π p+βr k b+γrk 2 c ger alltså prisförändringen P P πd p βd(1) b γd (2) c. Övning 30 Beräkna D (1) och D (2) för obligationerna i Övning 28. Antag att Figur 2 beskriver spoträntan (och inte den effektiva avkastningen). I Tabell 3 ges den relativa prisförändringen, P/P, för de tre obligationerna A, B och C. I de tre kolumnerna till höger ges πd p, πd p βd (1) b och πd p βd (1) b γd (2) c, där minsta kvadratskattningarna i som visas i figuren har använts. Enheten är baspunkter. Tabell 3 P/P parallell +brantning +krökning A 108 138 117 106 B 103 115 99 92 C 82 61 67 75 I detta fall förbättras approximationerna för alla tre obligationerna om man även immuniserar mot brantning men endast för A och C om man dessutom immuniserar mot krökning.

Räntans beroende av löptiden 15 2.6 Immunisering Antag att vi redan idag vill säkra framtida betalningsåtaganden; x 1, x 2,..., x n, där x k ska betalas vid tiden k. Detta kan även formuleras som att vi innehar betalströmmen x 0 = (0, x 1,..., x n ) och vill ersätta den med en betalström av formen ( P, 0,..., 0). En tänkbar möjlighet är att idag köpa x k nollkupongare med nominellt värde 1 och löptid k, för k = 1,..., n, d.v.s. att skaffa betalströmmen där x = ( P, x 1,..., x n ), P = d 1 x 1 +... + d n x n är det pris vi får betala för obligationerna. Våra betalningsåtaganden har nu reducerats till x 0 + x = ( P, 0,..., 0) och därmed har vi eliminerat de framtida åtagandena, förutsatt att obligationerna är riskfria. Det kanske inte finns nollkupongare med exakt dessa löptider eller utbetalningarna kanske är så många och små att ovanstående förfaringssätt inte är lämpligt. I detta fall är ett alternativ att skaffa sig en obligationsportfölj, y, som kanske består av färre obligationer och som kanske har andra löptider men som har samma nuvärde som x och som reagerar på ränteförändringar på liknande sätt. Vi har P y (r + r) P x (r + r) = P y (r) P x (r) + ( P y (r) P x (r) ) r + O ( r 2) och därför om P y (r + r) P x (r + r) = O ( r 2) P y (r) = P x (r) och ( P y (r) P x (r) ) r = 0. Om vi vill immunisera y-x mot parallellförskjutningar av spoträntekurvan, så tar det andra villkoret formen D y = D x medan identiteten D y (1) = D x (1) immuniserar mot brantning. Portföljen behöver balanseras om vid första utbetalningen och eventuellt även tidigare om räntan förändrar sig väsentligt.

16 Finansmatematik II Antag att portföljen y är sammansatt av obligationerna b 1,..., b l och att a k är antalet av obligationen b k, k = 1,..., l, i portföljen; y = a 1 b 1 +... + a l b l. Låt P k, D k etc beteckna priserna, durationerna etc för b k. Ovanstående ekvationer tar då formen a 1 P 1 +... + a l P l = P x a 1 P 1 D 1 +... + a n P l D l = P x D x a 1 P 1 D (1) 1 +... + a l P l D (1) l = P x D x (1) eller v 1 +... + v l = 1 v 1 D 1 +... + v l D l = D x, där v 1 D (1) 1 +... + v l D (1) l = D x (1) v k = a kp k P x är vikten av obligationen b k i portföljen. Exempel 1 Antag att spoträntorna är som i Övning 28 och att vi vill imitera betalströmmen x=(-p,100,100,100,100,100) med hjälp av obligationerna i den övningen. Beräkningar visar att P = 430.47, D = 2.89 och D (1) = 0.15. Låt oss först behandla fallet då vi använder endast två av de tre obligationerna och vill immunisera mot parallellförskjutningar. Om vi vill att vikterna ska vara positiva, så kan vi inte välja A och B eftersom detta ger en portfölj med duration 3.77 > D. Vi måste därför välja C och en av de andra, B t.ex. Vi får ekvationerna v B + v C = 1 v B D B + v C D C = D vilket har lösningen v B = D D C D B D C, v C = D B D D B D C. Portföljen erhålls alltså genom att köpa obligation B för v B P = 217.50 SEK och C för v C P = 212.98 SEK. Antalet av obligationerna B och C i portföljen blir v B P/P B = 2.28 respektive v C P/P C = 2.35. Om vi antar att spoträntan förändrar sig som i Figur 2, så blir P x /P x = 81 bp att jämföras med P y /P y = 93 bp. Övning 31 Gör en portfölj med hjälp av obligationerna A och C som är immun relativt x mot parallellförskjutningar. För denna portfölj gäller P y /P y = 91 bp om spoträntan förändrar sig som i Figur 2.

Räntans beroende av löptiden 17 Exempel 2 Vi ska här immunisera även mot brantning genom att använda alla tre obligationerna A, B och C. I detta fall har vi ekvationerna v A + v B + v C = 1 v A D A + v B D B + v C D C = D v A D (1) A + v BD (1) B + v CD (1) C = D(1) som har lösningen: -0.27, 0.89, 0.38. Här krävs det alltså en kort position i obligationen A. För denna portfölj gäller P y /P y = 94 bp om spoträntan förändrar sig som i Figur 2. En försämring jämfört med de två portföljerna i Exempel 1 och Övning 31. Övning 32 Antag att det finns nollkupongare med valfri löptid. Låt y bestå av ett antal av en nollkupongare. Vilket villkor ska vara uppfyllt för att immunisera mot a) parallellförskjutning. b) brantning. Om man immuniserar nollkupongaren i a) relativt x mot parallellförskjutningar och spoträntekurvan förändar sig som i Figur 2, så blir den relativa prisförändringen 72 bp, att jämföras med 81 bp för x. Övning 33 Antag att du ska betala 1 kr om T år och vill säkra utbetalningen genom att köpa en nollkupongare med löptid T år. En sådan finns inte men däremot finns nollkupongare med löptider T 1 och T 2 år, där T 1 < T < T 2. a) Bilda en obligationsportfölj bestående av T 1 åringar och T 2 åringar. Bestäm vikterna så att portföljen har samma nuvärde och duration som den T åriga nollkupongaren. b) Låt 0 (r) beteckna skillnaden mellan portföljens och den T åriga nollkupongarens värde vid tiden 0 som funktion av räntan r. Visa att 0 (r + 1 p) = d T 2 (T T 1)(T 2 T )( p) 2 + O(( p) 3 ). Uttrycket i b) är alltså positivt för små p. Om man kunde lita på att räntan förändras genom parallellförskjutning, så vore det bättre att bilda ovanstående portfölj även om den T-åriga nollkupongaren finns. Men man kan inte lita på det: Om vi antar att spoträntekurvan förändar sig som i Figur 2 och vi låter T 1 = T 1, T 2 = T + 1 år för T = 2, 3, 4, så blir 0 (r + 1 p) : -26, 23 respektive -13 bp. Att jämföras med de absoluta förändringarna i d T : 75, 59 respektive 88 bp. Litteratur Luenberger, D.G., Investment Science. Oxford University Press 1998 Detta är en bred framställning som berör många områden inom finansmatematiken.

18 Finansmatematik II Svar till övningarna 3 P V (417) = 417/1.05 = 397.14, P V (430) = 430/1.05 2 = 390.02 4 T = ln 2/r = 13.86 år=13 år 10 månader och 11 dagar. 5 15443 kr 6 Om hela intäkten återinvesteras, så har man efter sex år 1.34, 1.37 respektive 1.30. Skörd efter 2 år är alltså att föredra. 8 Kontinuerlig ränta=0.1113, avkastning=0.1177 per år. 9 Den effektiva räntan ges av årsavkastningarna 0.050, 0.054 respektive 0.045 per år. 12 Kontinuerlig ränta=0.0835, avkastning=0.0871 per år. 13 Årsavkastning=6.2%, 81.30 månader, 3867 kr. 16 Årsavkastning=4.06%. 17 a P = (c 2 c)/(c 2 c 1 )P 1 + (c c 1 )/(c 2 c 1 )P 2 b c = 0, c 2 /(c 2 c 1 )P 1 /P respektive c 1 /(c 2 c 1 )P 2 /P. c För c mellan c 1 och c 2. 18 3r u > r i /(1+r i ), där r u och r i står för ut- respektive inlåningsräntan angiven som årsavkastning. 19 a Den effektiva avkastningen är 0 eller 100% för båda. b Vid t = 0: Låna 1000 kr och acceptera den andra betalströmmen. Vid t = 1: Amortera lånet med 1000 1.05 = 1050 kr. Låna ut återstoden 3000 1050 = 1950 kr. Vid t = 2: Lånet återbetalas till dig med 1950 1.04 = 2028 kr och du betalar 2000 kr. Kvar 28 kr. Du får alltså betalströmmen (0, 0, 28). 20 c: Ta lånet och köp 426 ettåringar och 656 tvååringar. Detta ger dig betalströmmen (2.94, 0, 0). 20 d Långivaren säljer kort 866 ettåringar och 181 tvååringar. Detta ger långivaren betalströmmen (1.11, 0, 0). 21 b p = 2. 22: Fullständig för alla p. Arbitragefri för 1 < p < 2. 23 a) Pris 98.19. Effektiv ränta 10.74. b) Pris 101.38 101.76 96.37, Effektiv ränta 8.50% 9.02% 11.79. 28 Priser: 98.67, 95.45, 90.70. Durationer: 4.54, 3.77, 2.00. 30 D (1) : 0.235, 0.194, 0.098 D (2) : 0.012, 0.010, 0.005 31 Köp A för 150.83 SEK och C för 279.64 SEK: 32 a) T = D, b) T r T = D (1). 33 a) v T1 = T2 T T 2 T 1, v T2 = T T1 T 2 T 1