Lösning av två dimensionella spänningsproblem med finit elementmetod i MATLAB. Peter W Möller
|
|
- Per Bergström
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Lösning av två dimensionella spänningsproblem med finit elementmetod i MATLAB Peter W Möller UTKAST 1
2 2
3 1 Introduktion Till MATLAB finns en s k toolbo, Partial Differential Equation (PDE) Toolbo, som kan användas för att approimera lösningen (med finit elementmetod) till en stor uppsättning olika differentialekvationer. Denna verktgslåda innehåller ungefär 50 funktioner och man kan hitta en ganska detaljerad manual på internet: detta laddar ner en pdf fil som innehåller en manual till PDE toolboen. Dokumentet omfattar 446 A4 sidor. Det finns emellertid ett grafiskt användar gränssnitt till toolboen. Detta gränssnitt är till stora delar självförklarande för en användare med lite vana vid finit elementanals, varför man kan klara sig utan att ha studerat manualen, (fast man får då räkna med att missa en del användbara möjligheter). Vårt intresse för PDE toolboen kommer från att den ger möjlighet att lösa plana elasticitetsproblem (plan spänning och plan töjning). Sftet med denna skrift är att ge en kort handledning i användandet av det grafiska användar gränssnittet vid lösningen av två dimensionella spänningsproblem. För fullständighets skull går vi också kortfattat igenom elasticitetsproblemet och finit elementmetod. Materialet är organiserat som följer. I kapitel 2 härleds kortfattat de strande differentialekvationerna för lineär elasticitetsteori och vi visar hur det tre dimensionella problemet under vissa förutsättningar kan reduceras till ett plant problem (d v s till ett två dimensionellt elasticitetsproblem). Vi går också igenom olika tper av randvillkor som behövs för att differentialekvationerna ska få en entdig lösning en viss tonvikt ligger här på hur randvillkoren är formulerade och anges i MATLAB s PDE toolbo. PDE toolboen använder en finit elementmetod (FEM) för att approimera lösningen till randvärdesproblem (differentialekvation(er) med givna randvillkor). En kort och allmänt hållen beskrivning av FEM ges i kapitel 3. Vi går speciellt igenom vilka indata som krävs till ett FE program och hur det s k FE nätet påverkar den approimativa lösningens noggranhet. I kapitel 4 beskrivs PDE toolboens grafiska användargränssnitt. Menernas uppbggnad och funktionerna hos de viktigaste optionerna gås igenom. Detta görs i huvudsak genom att steg för steg beskriva hur ett givet elasticitetsproblem löses med MATLAB s PDE toolbo. 3
4 4
5 2 PDE toolboen i MATLAB 2.1 Introduktion Till MATLAB finns en s k toolbo, Partial Differential Equation (PDE) Toolbo, som kan användas för att approimera lösningen, med finit elementmetod, till en stor uppsättning olika differentialekvationer. Denna verktgslådan innehåller ungefär 50 funktioner. En manual om ca 284 A4 sidor finns tillgänglig via Mathworks hemsidor (se avsnittet Introduktion). Toolboen har emellertid ett grafiskt användargränssnitt, som till en del är självförklarande för en användare med lite vana vid finit elementanals. Vår avsikt med detta avsnitt är att guida en nbörjare genom det grafiska gränssnittet genom att lösa ett elasticitetsproblem. 2.2 Starta det grafiska användargränssnittet Starta MATLAB på vanligt sätt och skriv pdetool vid kommandopromten. Efter ett tag dker ett ntt fönster upp detta är det grafiska gränssnittet; se figur nedan. Större delen av fönstret består av ett ritbord där man kan rita upp sitt område, samt så småningom se beräkningsresultaten; ritbordet är försett med graderade koordinatalar. När man pekar på ritbordet sns ett hårkors och dess koordinater visas uppe till höger i fönstret. Längs översta raden i fönstret finns ett antal rullgardinsmener: File, Edit, Options, etc. Raden därunder består av ett antal knappar som utgör snabbval (genvägar) till några av de kommandon som finns i rullgardinsmenerna. Mellan dessa knappar och hårkorsets koordinater står namnet på den differentialekvation vars lösning ska approimeras. Vanligtvis står där Generic Scalar då man startat pdetool. (, ) Börja alltid med att välja rätt differentialekvation (programmet har en tendens att ibland radera/tappa bort en del data om man ändrar ekvation i efterhand). Ändra alltså Generic Scalar till Structural Mech., Plane Stress (plan spänning) eller till Structural Mech., Plane Strain (plan töjning), beroende på vilken problemtp du vill lösa. Under raden med knappar finns ett fält försett med rubriken Set formula. När man ritar upp sitt område på ritbordet använder man ett eller flera delområden; programmet kommer att ge varje sådant delområde ett namn, och dessa visas i fältet Set formula. Det kommer också att finnas ett + tecken mellan varje namn, vilket innebär att programmet antar att alla de delområden man ritat är en del av det område man vill räkna på. Om så inte är fallet kan man editera uttrcket i Set formula; vi kommer att visa hur detta fungerar i eemplet i nästa avsnitt. 5
6 Snabbvalsknappar för vissa funktioner Differentialekvationens namn Hårkorsets koordinater Menrad ael med koordinater ritbord ael med koordinater 2.3 Ett demonstrationseempel Vi betraktar en konsolbalk med längden L = 1 m som i sin fria ände är belastad med en punktlast H P E, ν P = 10 kn, enligt figuren. Bal- 0 ken har ett rektangulärt tvärsnitt med höjden och bredden t = 0,01 m H = 0,2 m 0 L E = 210 GPa ν = 0,3. Materialet är lineärt elastiskt med och. Bestäm spänningarna. 6
7 2.3.1 Lösning enligt teknisk balkteori Snittmomentet på avståndet från konsoländen är. Aialspänningen beräknas enkelt med Naviers formel; i ett tvärsnitt kommer spänningen att variera lineärt med ett maimum (dragspänning) vid balkens ovankant och ett lika stort minimum (trckspänning) vid balkens underkant. Längs centrumlinjen är. Man får (kontrollera det- m 3 ta); speciellt fås vid infästningen ( = = ) att σ ma M( ) = P σ σ = 0 σ, ma = L 1 m, = 150 MPa N Tvärkraften i balken är konstant T = P. Den genomsnittliga skjuvspänningen är därför τ, där är tvärsnittsarean. Med ett rektangulärt tvärsnitt fås = P A A = Ht = [ m 2 ] då den maimala skjuvspänningen som τ ma = 3τ 2 = 7, 5 MPa. I tvärsnittet varierar skjuvspänningen som ett andragradspolnom; skjuvspänningen är noll vid ovan samt underkant och har sitt ma värde vid balkens medellinje Lösning med pdetool Starta pdetool enligt beskrivningen i avsnitt 4.2. Börja med att ange rätt differentialekvation: eftersom strukturen är tunn i jämförelse med dimensionerna i plan spänning (välj alltså Structural Mech., Plane Stress). (, ) planet väljer vi att använda 1: Börja med att rita upp området. Gå först in på menn Options och välj Aes Limits; i dialogrutan skriver man sedan in lämpliga start och slutvärden för och koordinaterna så att ritbordet täcker ett tillräckligt stort område. Under Options kan man också välja Grid, varvid ett rutnät visas; detta är ett bra stöd när man ska rita sitt område. Med menvalen Options Grid Spacing kan man ställa in koordinater för första och sista linjen i rutnätet, samt avståndet mellan linjerna. I vårt fall kan det vara lämpligt att ha avståndet 0.05 mellan linjerna. Genom att koppla på snap funktionen (Options Snap), så fastnar vissa punkter (t e polgonhörn, cirkelcentrum, radier, etc) i rutnätets hörn, vilket ofta är till hjälp då man vill rita med precision; har du avståndet 0.05 kan det vara lämpligt att välja Snap. Med Snap påslagen kan man, när man flttar hårkorset, se hur koordinaterna ändras stegvis då man flttar hårkorset; den (, ) koordinat som visas, är den vid vilket objektet kommer att fastna då man klickar, även om hårkorset inte står eakt i denna punkt. Gå nu in i Draw Mode (menn Draw). Vårt område ritas enklast som en rektangel: klicka på snabbvalsknappen längst till vänster (den som har en rektangel på sig), placera hårkorset vid 7
8 (, ) = ( 0, 0) och trck ner vänster musknapp; med musknappen nedtrckt flttas nu hårkorset till (, ) = ( 1, 0,2) släpp knappen och det är klart. 2: Vi har nu specificerat vilken differentialekvation vi vill lösa, samt på vilket område. Dags att ange randvillkoren: gå in boundar mode via menn Boundar. Man ser att programmet färgkodar ränderna. Den röda färgen betder att programmet (default) valt Dirichlet villkor, d v s hela randen är fast inspänd så all förskjutningar är noll på randen. Gå nu in i menn Edit och välj Select All; hela randen blir nu svart, vilket visar att vi valt hela randen. Välj nu Specif Boundar Conditions i menraden Boundar klicka på Neumann i dialogrutan som kommer upp och kontrollera att g1 och g2 är noll, och klicka sedan på OK. Samtliga delränder ska nu bli blå, vilket signalerar Neumann villkor. Neumann villkor innebär att randen är fri (d v s förskjutningarna är inte låsta). Variablerna g1 och g2 kan användas för att ange en eventuell last som verkar på randen. Sådana laster ska anges som kraft/ta, d v s de betraktas som fördelade över kanttan (kantlängd tjocklek). g1 anger lasten i led, och ska vara positiv om lasten verkar i positiv riktning. På samma sätt används g2 för att ange last i led. Vi har ovan angivit att samtliga ränder är fria och obelastade (g1=g2=0). Vi måste nu ange att högra kortsidan är fast, d v s att alla förskjutningar är låsta här. Placera hårkorset på högra kortsidan och dubbelklicka klicka på Dirichlet i dialogrutan som kommer upp. Kontrollera att r1 och r2 är satta till noll, och klicka sedan på OK. Dirichlet villkor innebär att förskjutningarna på randen är kända; variablerna r1 och r2 används för att ange storleken på förskjutningen i respektive led. I vårt fall angav vi r1=r2=0, d v s att förskjutningarna ska vara noll på denna del av randen. Genom att använda från noll skilda värden, kan man analsera problem med påtvingade (men kända) förskjutningar. Dags att införa belastningen. Det är mcket svårt att ange punktlaster i pdetool, så vi väljer här att lägga på lasten P jämnt fördelad över hela änd tvärsnittet. Lastintensiteten blir då P A = [ Pa]. Dubbelklicka på den vänstra kortsidan och klicka på Neumann i dialogrutan som kommer upp. Kontrollera att g1 (d v s lastintensiteten i led) är noll och skriv 5e6 i rutan för g2. -tecknet är för att lasten verkar i negativ led inte för att skjuvspänningen skulle vara negativ (det är den inte heller som vi ska se). 8
9 3: Återstår nu att ge materialdata innan vi kan lösa randvärdesproblemet. Klicka på knappen märkt PDE för att gå in i PDE mode. Välj PDE Specification i menraden under PDE och skriv in värdena för E modulen (210e9) och Poissons tal. 4: Generera nu ett finit elementnät genom att klicka på knappen. Genom att klicka på knappen får man nät med flera element (kan upprepas). Lösningstiden ökar dock snabbt med antalet trianglar i nätet och MATLAB tar också lång tid på sig att plotta resultat; vi undviker därför knappen här har du redan klickat på den, så klicka på knappen igen. Vad är trianglarna för något? Det är dessa som kallas element (i namnet finit elementmetod); de används för att approimera lösningen lokalt (över varje element för sig). I pdetool används en lineär approimation över varje triangel; om t e förskjutningen i led i varje hörn av en triangel är given, kan man genom enkel interpolation beräkna förskjutningen i vilken punkt som helst inom triangeln. Samma gäller för förskjutningen i led. På så sätt blir förskjutningarna givna överallt i området och dess derivator (töjningarna) kan beräknas; efter insättning i Hookes lag fås spänningarna (vilket brukar vara det man egentligen är intresserad av). Kruet här är naturligtvis att förskjutningarna i trianglarnas hörn inte är bekanta det är dessa som primärt beräknas med finit elementmetod. Tpiskt beräknas dessa förskjutningar, kallade nodförskjutningar, så att potentiella energin minimeras detta i enlighet med principen om potentiella energins minimum. Spelar det någon roll hur många element (trianglar) man använder? Ja ju fler man använder, desto bättre approimation av lösningen till differentialekvationen fås. Jämför med att approimera en godtcklig kurva med en polgon. Med bara några få polgonsidor fås en grov approimation till kurvan (speciellt i områden där kurvan har stor krökning); med många polgonsidor fås en mcket bättre approimation. Rita t e en cirkel och försök approimera denna med en triangel, kvadrat, pentagon, heagon, etc. På motsvarande sätt vill man med finit elementmetod använda många element (med t e lineär approimation) i områden där (den obekanta) funktionen har stor krökning; i ett elasticitetsproblem inträffar detta tpiskt i områden där spänningarna varierar snabbt (spänningarna har stor derivata). När fler element används ökar också beräkningsarbetet eftersom vi inför fler triangelhörn och vi har 2 obekanta variabler (nodförskjutningarna) i varje hörn. Titta på det nät du genererat. Det innehåller ca 50 triangelhörn (om du inte trckt på knappen). Detta innebär att MATLAB ska lösa ett ekvationssstem med ca 100 ekvationer och lika många obekanta. Om antalet triangelhörn dubblas, fås i stället ca 200 ekvationer med 200 obekanta detta tar ca 8 ggr längre tid att lösa. Beräkningsarbetet ökar ungefär med kuben på antalet ekvationer. 9
10 pdetool har inbggd s k adaptivitet detta innebär att programmet kan uppskatta hur bra den approimativa lösningen är och sedan lägga till element (trianglar) där de gör störst ntta, samt därefter lösa problemet igen. Vi ska använda denna möjlighet. 5: Dags att lösa problemet: Välj Parameters i menraden Solve. Markera Adaptive mode i dialogrutan, och skriv in något lämpligt (inte allt för stort) värde i rutan med teten Maimum number of triangles ; 1000 kan kanske vara lagom här. Trck på OK och sedan på knappen problemet löses nu med adaptiv teknik och i MATLABs kommandofönster kan man följa gången. = 6: När MATLAB är klar med sina beräkningar så visas någon default plot (vanligtvis förskjutningen (kallad u) i färgskalan cool ). Välj nu Parameters under menraden Plot. Överst i andra kolumnen i den dialogruta som dker upp står displacement (u) ändra detta till stress för att få en plot av aialspänningen σ. Längst ner i fönstret står namnet på den färgskala som används vid plottningen ( cool ); vanligtvis brukar det vara lättast att avläsa resultatet om man använder jet ändra. Klicka nu på Plot knappen längst ner till vänster. Titta på resultatet ser (se avsnitt 4.3.1). σ ut som du förväntade dig? Jämför med lösningen enligt teknisk balkteori Välj nu Parameters under menraden Plot igen; ändra stress till shear stress och klicka på Plot knappen längst ner till vänster igen för att nu få en bild över skjuvspänningen τ. Jämför med skjuvspänningen enligt teknisk balkteori (avsnitt 4.3.1). Notera också att man får spänningskoncentrationer i hörnen mellan den fasta inspänningen och de fria torna. (Dessa kan naturligtvis aldrig beräknas med balkteori). Prova gärna också att plotta aialspänningen i led. Den bör vara nära noll överallt, utom vid inspänningen där något händer. Kan du förklara resultatet? Om du använder version 6 av MATLAB, så kanske inte tiopotensen sns. 10
11 Observera: Om du använder version 6 av MATLAB (release 12), så gör en anomali i implementeringen av pdetool att eponenten för färgskalan inte visas automatiskt (se figuren ovan). För att åtgärda detta, måste man (i MATLABs kommandofönster) skriva >> pde_fig = findobj(allchild(0), flat, Tag, PDETool ); >> h = findobj(allchild(pde_fig), flat, Tag, PDESolBar ); >> set(h, YTickLabelMode, Auto ); 7: Hur gör jag för att spara eller skriva ut en bild? Gå in i menn File och välj Print... I dialogrutan som dker upp väljer du först rätt pappersstorlek (A4) och orientering; välj sedan om du vill skicka bilden till en skrivare eller spara i en fil. Vanligtvis brukar det vara bäst att spara bilden i en fil, som sedan kan skrivas ut på vanligt sätt; väljer du att skicka bilden direkt till en skrivare, måste du skriva in skrivarens namn. Skriv sedan in rätt device option (gäller vare sig du skriver till en fil eller skrivare). I MATLABs kommandofönster kan man skriva help print för att få en lista på tillgängliga utskriftsformat; vanligast är att man använder dps2 (svart vit postscript) eller dpsc2 (postscript i färg). När du skrivit in önskad device option klickar du på Page Setup...; i den na dialogruta som visas, klickar man på Center och sedan OK. Avsluta genom att klicka på Print eller Save... (beroende på om du skickar bilden till en skrivare eller sparar i en fil). 8: Kan jag avsluta arbetet och fortsätta vid ett senare tillfälle? För att spara det arbete man gjort väljer man Save As... under menn File. Skriv i namnet på en (n) fil i vilket ditt arbete ska sparas; arbetet sparas i en s k MATLAB m fil. Man kan nu avsluta pdetool och MATLAB (se avsnitt 4.4). För att fortsätta med arbetet startar man först MATLAB; vid MATLAB prompten skriver man sedan namnet på den m fil i vilken man tidigare sparat sitt arbete (pdetool kommer att starta automatiskt). 9: Set formula. I vårt eempel med konsolbalken var det inte svårt att rita upp området eftersom det bara består av en rektangel. Ofta har man emellertid mer komplicerade geometrier och man måste då rita upp flera delområden och kombinera ihop dessa på olika sätt man använder fältet Set formula för att ange hur olika områden ska sättas ihop. Vi ger här en kort beskrivning av hur detta går till. Gå tillbaka till Draw mode genom att välja Draw Mode i menn Draw. Rita en cirkel med centrum någonstans på rektangelns (konsolbalkens) ovansida: klicka på knappen med en ellips som har ett + i centrum, placera hårkorset där du vill ha cirkelns centrum, trck ner vänster musknapp och dra ut cirkels radie. C1 R1 Eftersom och alarna har olika längdskala så ser det kanske ut som en ellips, men detta gör inget (vill du ha samma längdskala på båda alarna så väljer du Aes Equal i menn Op- 11
12 tions). Titta nu på figuren: rektangeln har till delats namnet R1 medan cirkeln heter C1 (E1 om du råkat rita en ellips). I rutan Set formula står R1+C1, där + tecknet ska tolkas som union ; vårt område består alltså av alla punkter som ligger i R1 och/eller C1. Gå nu in i Boundar mode genom att välja Bondar Mode i menn Boundar. (Notera att alla ttre begränsningslinjer är röda igen pedtool har ändrat alla randvillkor till default (Dirichlet villkor) eftersom vi ändrat på området). De inre begränsningslinjerna är gråa och delar vårt na område i 3 delområden. Man kan ge olika materialdata för olika materialdata för olika sådana områden; om detta inta är aktuellt är det bäst att ta bort de inre ränderna, vilket görs genom att välja Remove All Subdomain Borders i menn Boundar (prova detta). Gå nu tillbaka till Draw mode och ändra till R1 C1 i Set formula. Här ska - tecknet utläsas snitt, så uttrcket betder att vårt område består av alla punkter i R1 som inte också finns i C1. Gå tillbaka till Boundar mode och titta på hur detta ser ut; området ska bestå av en raktangel med en utskuren halvcirkel. Ändra nu Set formula till C1 R1 (du måste vara i Draw mode för att göra detta) och gå sedan tillbaka till Boundar mode området ska nu vara en halvcirkel. Gå till Draw mode igen och skriv R1*C1 i Set formula. * tecknet ska här utläsas intersektion, så uttrcket betder att vårt område består av alla punkter som ligger i R1 och C1. Gå tillbaka till Boundar mode och titta på hur detta ser ut. I eemplet ovan använde vi oss bara av 2 objekt (en rektangel och en cirkel). Med mera komplicerade geometrier kan man behöva avsevärt fler, och uttrcket i Set formula kan bli komplicerat. För att då få till en formel som ger önskat område måste man vara lite bevandrad i mängdlära eller så får man prova sig fram i båda fallen gäller det att veta hur pdetool utvärderar uttrcket i Set formula. Detta sker i 2 steg: först utförs alla - operationer i den ordning de kommer (från vänster till höger), och därefter utförs alla + och * -operationer (också från vänster till höger). Man kan ändra på ordningen genom att använda sig av paranteser alla uttrck som ges inom parantes utvärderas först. Kan du nu fundera ut hur områdena R1 C1+C1 R1 respektive (R1+C1) (C1*R1) ser ut? (Kan vara svårt att uppfatta rätt i boundar mode, så generera ett nät genom att trcka på knappen. 2.4 Avsluta pdetool Man stänger det grafiska gränssnittet genom att klicka på knappen Eit längst ner till höger (eller genom att välja Eit i menn File). Har man inte sparat sitt arbete eller gjort några ändringar sedan man sparade sist, så får man frågan om man vill spara. Avsluta sedan MALAB på vanligt sätt. 12
En kort introduktion till. FEM-analys
En kort introduktion till FEM-analys Kompendiet är framtaget som stöd till en laboration i kursen PPU203, Hållfasthetslära, och är en steg-för-steg-guide till grundläggande statisk FEM-analys. Som FEM-verktyg
Angående skjuvbuckling
Sidan 1 av 6 Angående skjuvbuckling Man kan misstänka att liven i en sandwich med invändiga balkar kan haverera genom skjuvbuckling. Att skjuvbuckling kan uppstå kan man förklara med att en skjuvlast kan
Tekniska Högskolan i Linköping, IKP Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära grk, TMHL07, kl 8-12 DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) LÖSNINGAR
TENTAMEN i Hållfasthetslära grk, TMHL07, 040423 kl -12 DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) LÖSNINGAR 1. Skjuvpänningarna i en balk utsatt för transversell last q() kan beräknas med formeln τ y = TS A Ib
Spänning och töjning (kap 4) Stång
Föreläsning 3 Spänning och töjning Spänning och töjning (kap 4) Stång Fackverk Strukturmekanik FM60 Materialmekanik SMA10 Avdelningen för Bggnadskonstruktion TH Campus Helsingborg Balk Ram Spänning (kraftmått)
Belastningsanalys, 5 poäng Balkteori Moment och tvärkrafter. Balkböjning Teknisk balkteori Stresses in Beams
Balkböjning Teknisk balkteori Stresses in Beams Som den sista belastningstypen på en kropps tvärsnitt kommer vi att undersöka det böjande momentet M:s inverkan. Medan man mest är intresserad av skjuvspänningarna
Träff 1 Skissa & Extrudera
Skapa en folder Jag rekommenderar att samla filer och övningar i en egen folder som man har full kontroll på. Muff-foldern som vi delar är tänkt som en gemensam övningsyta. Innehåll som du vill komma åt
CHALMERS Finit Elementmetod M3 Institutionen för tillämpad mekanik. Teorifrågor
Teorifrågor : Visa att gradienten till en funktion pekar i den riktning derivatan är störst och att riktingen ortogonalt mot gradienten är tangent till funktionens nivåkurva. Visa hur derivatan i godtycklig
= 1 E {σ ν(σ +σ z x y. )} + α T. ε y. ε z. = τ yz G och γ = τ zx. = τ xy G. γ xy. γ yz
Tekniska Högskolan i Linköping, IKP /Tore Dahlberg LÖSNINGAR TENTAMEN i Hållfasthetslära - Dimensioneringmetoder, TMHL09, 060601 kl -12 DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) 1. Spänningarna i en punkt i ett
B3) x y. q 1. q 2 x=3.0 m. x=1.0 m
B1) En konsolbalk med tvärsnitt enligt figurerna nedan är i sin spets belastad med en punktlast P på de olika sätten a), b) och c). Hur böjer och/eller vrider balken i de olika fallen? B2) Ett balktvärsnitt,
Studio 6: Dubbelintegral.
Studio 6: Dubbelintegral. Analys och Linjär Algebra, del C, K1/Kf1/Bt1, vt09 20 februari 2009 1 Repetition av enkelintegral I ALA B skrev du en MATLAB-funktion minintegral som beräknar integralen av en
INSPIRA. Microsoft. Excel 2007 Grunder
INSPIRA Microsoft Excel 2007 Grunder Del 1 1. Introduktion till Excel 8 2. Hantera en arbetsbok 15 3. Formler och format 38 1 INTRODUKTION TILL EXCEL INTRODUKTION TILL EXCEL Starta programmet 8 Avsluta
Numerisk lösning av PDE: Comsol Multiphysics
J.Oppelstrup p 1 (5) Numerisk lösning av PDE: Comsol Multiphysics I denna lab ska du bekanta dig med programmet Comsol Multiphysics för numerisk lösning av PDE med finita element. Programmet har många
Tentamen i Balkteori, VSMN35, , kl
Tentamen i Balkteori, VSMN35, 2012-10-26, kl 08.00-13.00 Maimal poäng på tentamen är 40. För godkänt tentamensresultat krävs 16 poäng. Tentamen består av två delar: En del med frågor och en del med räkneuppgifter.
Manual för ett litet FEM-program i Matlab
KTH HÅLLFASTHETSLÄRA Manual för ett litet FEM-program i Matlab Programmet består av en m-fil med namn SMALL_FE_PROG.m och en hjälp-fil för att plotta resultat som heter PLOT_DEF.m. Input För att köra programmet
LÖSNINGAR. TENTAMEN i Hållfasthetslära grk, TMHL07, kl DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel)
ÖSNINGAR DE 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) 1. Spänningarna i en balk utsatt för transversell last q(x) kan beräknas med formeln σ x M y z I y Detta uttryck är relaterat (kopplat) till ett koordinatsystem
Kompositberä kning i Solidworks
Kompositberä kning i Solidworks Uppdaterad 2014-12-03 Här följer en kort beskrivning av hur en komposit kan beräknas i SolidWorks. Beräkningen utgår från ett enkelt lastfall, som på bilden. Kriterier Modell
Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning
Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning
Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA 081 20 AUGUSTI 2010
Institutionen för tillämpad mekanik, halmers tekniska högskola TENTEN I HÅFSTHETSÄ F H 8 UGUSTI ösningar Tid och plats: 8.3.3 i V huset. ärare besöker salen ca 9.3 samt. Hjälpmedel:. ärobok i hållfasthetslära:
Tentamen i kursen Balkteori, VSM-091, , kl
Tentamen i kursen Balkteori, VSM-091, 008-10-1, kl 08.00-13.00 Maimal poäng på tentamen är 0. För godkänt tentamensresultat krävs 18 poäng. Tillåtna hjälpmedel: räknare, kursens formelsamling och Calfemmanual.
diverse egenskapspaletter
OBJEKTORIENTERADE RITPROGRAM Det fi nns två typer av ritprogram. Ett objektbaserat program ritar i form av matematiska kurvor med noder och styrnoder medan ett pixelbaserat program ritar genom att fylla
Program A2.06 Stabiliserande väggar
SOFTWARE ENGINEERING AB Beräkningsprogram - Statik Program A2.06 Stabiliserande väggar Software Engineering AB Hisingsgatan 0 417 0 Göteborg Tel : 01 5080 Fa : 01 508 E-post : info@bggdata.se 2001-08-29,
Extramaterial till Matematik Y
LIBER PROGRAMMERING OCH DIGITAL KOMPETENS Extramaterial till Matematik Y NIVÅ TVÅ Geometri ELEV Desmos Geometry är ett matematikverktyg som bland annat kan hjälpa dig att avbilda geometriska figurer och
Belastningsanalys, 5 poäng Balkteori Deformationer och spänningar
Spänningar orsakade av deformationer i balkar En från början helt rak balk antar en bågform under böjande belastning. Vi studerar bilderna nedan: För deformationerna gäller att horisontella linjer blir
Lösning: ε= δ eller ε=du
Tekniska Högskolan i inköping, IEI /Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära - Enkla bärverk TMH02, 2008-06-04 kl ÖSNINGAR DE 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) 1. Definiera begreppet töjning (ε) och ange
Extramaterial till Matematik Y
LIBER PROGRAMMERING OCH DIGITAL KOMPETENS Extramaterial till Matematik Y NIVÅ ETT Geometri ELEV Desmos Geometry är ett matematikverktyg som bland annat kan hjälpa dig att avbilda geometriska figurer och
Tentamen i Balkteori, VSMF15, , kl
Tentamen i Balkteori, VSMF15, 2011-10-18, kl 08.00-13.00 Maimal poäng på tentamen är 40. För godkänt tentamensresultat krävs maimalt 18 poäng. Tentamen består av två delar: En del med frågor och en del
K-uppgifter. K 12 En träregel med tvärsnittsmåtten 45 mm 70 mm är belastad med en normalkraft. i regeln och illustrera spänningen i en figur.
K-uppgifter K 12 En träregel med tvärsnittsmåtten 45 mm 70 mm är belastad med en normalkraft på 28 kn som angriper i tvärsnittets tngdpunkt. Bestäm normalspänningen i regeln och illustrera spänningen i
Utforska cirkelns ekvation
Utforska cirkelns ekvation Målet med denna aktivitet är att eleverna förstår definitionen av en cirkel som en uppsättning av punkter som är lika långt från en given punkt. eleverna förstår att koordinaterna
Material, form och kraft, F2
Material, form och kraft, 2 Repetition Genomgång av orcepd uppgift 1 Spänning Töjning Huvudspänning Stvhet Krafter Krafter Vektorstorhet: storlek, riktning, angreppspunkt Kontaktkraft, kraft som verkar
Att skapa en bakgrundsbild och använda den i HIPP
Att skapa en bakgrundsbild och använda den i HIPP Bakgrundsbilder i HIPP kan användas till olika saker, t ex som ett rutnät för en tabell eller en grundkarta. Här visas hur man gör en grundkarta som en
Matrismetod för analys av stångbärverk
KTH Hållfasthetslära, J aleskog, September 010 1 Inledning Matrismetod för analys av stångbärverk Vid analys av stångbärverk är målet att bestämma belastningen i varje stång samt att beräkna deformationen
Till flera av ovanstående finns det dessutom varianter, vilka kommer att presenteras i de olika avsnitten.
LINGUS32 Handledning Anne Börjesson Introduktion Lingus32 är ett program som främst är avsett att användas för att göra multimedia-baserade språkövningar. Programmet är skrivet för PC. Det finns möjlighet
Lösning: B/a = 2,5 och r/a = 0,1 ger (enl diagram) K t = 2,8 (ca), vilket ger σ max = 2,8 (100/92) 100 = 304 MPa. a B. K t 3,2 3,0 2,8 2,6 2,5 2,25
Tekniska Högskolan i Linköping, IEI /Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära - Enkla bärverk TMHL0, 009-03-13 kl LÖSNINGAR DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) 1. Du har en plattstav som utsätts för en
Paneler - VCPXX.2. Programmeringsmanual för VCP-paneler. Revision 2
Paneler - VCPXX.2 Programmeringsmanual för VCP-paneler Revision 2 Innehållsförteckning Innehållsförteckning... 2 1 Symbolfiler för kommunikation via IndraLogic... 3 2 Uppsättning i IndraWorks... 6 3 Programmering
6. Nu skall vi ställa in vad som skall hända när man klickar på knappen samt att markören skall ändra sig till en hand när markören är på knappen.
Fiskar Arbetsbeskrivning knappmeny (Mediator 8) I detta exempel kommer du att lära dig Att göra en mastersida med knappar Att använda en mastersida på andra sidor Att använd funktionen Alignment Arbetsgång
Symprint Snabbstartsguide
Symprint Snabbstartsguide Artikelnummer: 12020, 12021, 12022 v.1 0.10 1 Innehåll Välkommen till SymPrint... 3 Installation av medföljande mjukvara:... 3 Komma igång... 4 Skapa nytt dokument från mall...
3.1 Derivator och deriveringsregler
3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,
6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Manual till Båstadkartans grundläggande funktioner
Manual till Båstadkartans grundläggande funktioner Webbfönstret När du klickar på kartlänken öppnas Båstadkartan i eget fönster eller egen flik, beroende på inställningen i din webbläsare. Bilden nedan
PM Banläggning i OCAD 12 CS
PM Banläggning i OCAD 12 CS 2017-02-23 // Jakob Emander 1 Arbeta i Ocad OCAD är det mest spridda programmet för att framställa orienteringskartor och lägga banor och finns i olika versioner. Denna manual
Göra ljudinspelningar med GoldWave.
Ljudinspelningar. Numera är ljudkortet i datorn oftast integrerat i systemet och användaren får själv skaffa de program han önskar till detta. För ljudinspelningar och bearbetande av ljudfiler kan GoldWave
Hantera andragradskurvor del 2
Hantera andragradskurvor del I den första aktiviteten om andragradsfunktioner tittade vi på hur utseendet på kurvorna när vi hade olika värden på k, a och b i ut- trcket k ( x a) b. Se nedan. Vi ser att
8 Teknisk balkteori. 8.1 Snittstorheter. 8.2 Jämviktsekvationerna för en balk. Teknisk balkteori 12. En balk utsätts för transversella belastningar:
Teknisk balkteori 12 8 Teknisk balkteori En balk utsätts för transversella belastningar: 8.1 Snittstorheter N= normalkraft (x-led) T= tvärkraft (-led) M= böjmoment (kring y-axeln) Positiva snittstorheter:
Introduktion till Matlab
Introduktion till Matlab Inledande matematik, I1, ht10 1 Inledning Detta är en koncis beskrivning av de viktigaste delarna av Matlab. Till en början är det enkla beräkningar och grafik som intresserar
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade
Steg 8 OpenOffice Presentation
Steg 8 OpenOffice Presentation Mac OS X Sept -13 Liljedalsdata.se Liljedalsdata Steg 8 Mac Sida 1 Inledning Förkunskaper Steg 1, 2. Datorns funktion OpenOffice Presentation är ett program som du kan använda
TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA FÖR F (MHA081)
TENTAMEN I HÅFASTHETSÄRA FÖR F (MHA81) Tid: Fredagen den 19:e januari 27, klockan 14 18, i V-huset ärare: Peter Hansbo, ankn 1494 Salsbesök av lärare: c:a kl 15 och 17 ösningar: anslås på kurshemsidan
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall
P R O B L E M
Tekniska Högskolan i Linköping, IEI /Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära - Dimensioneringmetoder, TMHL09, 2008-08-14 kl 8-12 P R O B L E M med L Ö S N I N G A R Del 1 - (Teoridel utan hjälpmedel)
Laboration: Grunderna i MATLAB
Laboration: Grunderna i MATLAB 25 augusti 2005 Grunderna i MATLAB Vad är MATLAB? MATLAB är ett interaktivt program för vetenskapliga beräkningar. Som användare ger du enkla kommandon och MATLAB levererar
Innehåll. Vad är MATLAB? Grunderna i MATLAB. Informationsteknologi. Informationsteknologi.
Grunderna i MATLAB eva@it.uu.se Innehåll Vad är MATLAB? Användningsområden MATLAB-miljön Variabler i MATLAB Funktioner i MATLAB Eempel och smakprov: Grafik Beräkningar Bilder GUI Vad är MATLAB? Utvecklat
Tentamen i kursen Balkteori, VSM-091, , kl
Tentamen i kursen Balkteori, VSM-091, 009-10-19, kl 14.00-19.00 Maximal poäng på tentamen är 40. För godkänt tentamensresultat krävs 18 poäng. Tillåtna hjälpmedel: räknare, kursens formelsamling och alfemmanual.
Välj bort om du vill. 96 Internet och e-post. 2. Mail-programmet finns i datorn. 1. Skriv mail i sökrutan. Windows Live Mail i Aktivitetsfältet.
Välj bort om du vill Om du är nöjd med att ha din e-post på nätet, kan du lugnt hoppa över detta avsnitt. Har du tid och tycker att det är roligt, kan du testa att använda e-postprogrammet Windows Live
Fönster och dörr. Kapitel 3 - Fönster och dörr... 3
25.05.2009 Kapitel 3... 1 Kapitel Innehåll... Sida Kapitel 3 -... 3 Fönster...3 Placera med gitter...5 Hur ser fasaden ut?...5 Öppningsbara fönster...7 Relativ positionering...7 Se på 3D-modell...9 Ytterdörrar...9
Innehåll Modulmanual Arbetsflöde
Innehåll Om arbetsflöden...2 Objektdata...3 Objektidentifikation...3 Datum och villkor...4 Beskrivning...5 Ganttchart...6 Objektstruktur...6 Skapa objekt...6 Ta bort objekt...10 Sorteringsordning...10
Tekniska Högskolan i Linköping, IKP Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära; grk, TMMI17, kl DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel)
DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) 1. Vilken typ av ekvation är detta: LÖSNINGAR γ y 1 G τ y Ange vad storheterna γ y, τ y, och G betyder och ange storheternas enhet (dimension) i SI-enheter. Ett materialsamband
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
En introduktion till WeavePoint Mini demo version
En introduktion till WeavePoint Mini demo version Åsa Martinsson Till programmet WeavePoint Mini finns en handledning i pdf-format att läsa direkt på skärmen eller skriva ut. Texten i introduktionen här
caeec301 Snittkontroll stål Användarmanual Eurocode Software AB
caeec301 Snittkontroll stål Analys av pelarelement enligt SS-EN 1993-1-1:2005. Programmet utför snittkontroll för givna snittkrafter och upplagsvillkor. Rev: C Eurocode Software AB caeec301 Snittkontroll
Gran Canaria - Arbetsbeskrivning knapplänkar (Mediator 8)
Gran Canaria - Arbetsbeskrivning knapplänkar (Mediator 8) I detta exempel kommer du att lära dig Att skapa en ny presentation från början Att skapa en enkel knapp Att använda händelseinställningar, events
Svar och anvisningar till arbetsbladen
Svar och anvisningar till arbetsbladen Repetitionsmaterial (Facit) Anders Källén Notera att detta är första versionen av svaren Både felräkningar och feltrck kan förekomma! Fingeröfningar Övning,, c) 0,
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 26 november 2015 Sida 1 / 28
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 26 november 2015 Sida 1 / 28 Föreläsning 6 Minsta kvadrat problem. Polynom. Interpolation. Rötter. Tillämpningar:
b) Vi använder cylindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt.
Viktiga tillämpningar av integraler b) Vi använder clindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt. 7.. Finn volmen av kroppen S som genereras av rotation kring -aeln av området Ω som
Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA JUNI 2014
Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I ÅLLFASTETSLÄRA F MA 081 JUNI 014 Lösningar Tid och plats: 14.00 18.00 i M huset. Lärare besöker salen ca 15.00 samt 16.0 jälpmedel:
Matematik CD för TB = 5 +
Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:
Lösningsskisser till Tentamen 0i Hållfasthetslära 1 för 0 Z2 (TME017), = @ verkar 8 (enbart) skjuvspänningen xy =1.5MPa. med, i detta fall,
Huvudspänningar oc uvudspänningsriktningar n från: Huvudtöjningar oc uvudtöjningsriktningar n från: (S I)n = 0 ) det(s I) =0 ösningsskisser till där S är spänningsmatrisen Tentamen 0i Hållfastetslära för
PixlrGuiden - av AlizonWeb PIXLRGUIDEN. av AlizonWeb. Copyright Notice: Copyright AlizonWeb, All rights reserved. Sida 1
PIXLRGUIDEN av AlizonWeb Copyright Notice: Copyright AlizonWeb, All rights reserved. Sida 1 Innehåll Introduktion 3 Vad är Pixlr? 3 Fördelar med Pixlr 3 Om denna guide 3 Kapitel 1: Genomgång av arbetsyta
Hotspot låter användaren skapa genvägar till andra sidor.
Hotspot låter användaren skapa genvägar till andra sidor. Du kan låta bilder och/eller text bli knappar för genvägar eller navigering. Genvägarna kan leda till en annan sida i din resurs (intern sida)
vilket är intervallet (0, ).
Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..3 Lös olikheten > 4 och uttrck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös olikheten 3( ) < (3 + ), och uttrck lösningen som ett intervall
Formelsamling i Hållfasthetslära för F
Formelsamling i Hållfasthetslära för F Avd. för Hållfasthetslära Lunds Universitet Oktober 017 1 Spänningar τ σ Normalspänning: σ = spänningskomponent vinkelrät mot snittta Skjuvspänning: τ = spänningskomponent
Kompendium om. Mats Neymark
960L09 MATEMATIK FÖR SKOLAN, Lärarlftet 2009-02-24 Matematiska institutionen Linköpings universitet 1 Inledning Kompendium om KÄGELSNITT Mats Nemark Detta kompendium behandlar parabler, ellipser och hperbler
skapa genvägar till andra sidor (externa och interna)
Hotspot skapa genvägar till andra sidor (externa och interna) Du kan låta bilder och/eller text bli knappar för genvägar eller navigering. Genvägarna kan leda till en annan sida i din resurs (intern sida)
Verktygsfält. Hantering av webbkarta Grundinstruktion. Sida 1 av 6. De olika verktygen och delarna förklaras i detalj längre ner i dokumentet.
De olika verktygen och delarna förklaras i detalj längre ner i dokumentet. Flytta i sidled Zooma in Zooma ut Panorera Hela utbredningen Tillbaka Framåt Förstoring av kartdel Kartskikt Förstora/ förminska
GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare
GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare 19-20 april Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra 0 Introduktionsövningar till GeoGebra När man startar GeoGebra är det
Laboration1 Vektorgrafik med Illustrator Innehåll: Filter Text Objekt Knappar Kurvor Ritverktyget Formverktyget Symboler Övertoning Effekt Lager
Laboration1 Vektorgrafik med Illustrator Innehåll: Filter Text Objekt Knappar Kurvor Ritverktyget Formverktyget Symboler Övertoning Effekt Lager Uppgift 1 Designa en webbknapp Rita en form Håll ned musen
Lösningsförslag, Inlämningsuppgift 2, PPU203 VT16.
Lösningsförslag, Inlämningsuppgift 2, PPU203 VT16. Deluppgift 1: En segelbåt med vinden rakt i ryggen har hissat spinnakern. Anta att segelbåtens mast är ledad i botten, spinnakern drar masttoppen snett
Förberedelseuppgift inför datorlaborationen
Förberedelseuppgift inför datorlaborationen Det finns datorprogram som följer strålar genom linssystem. Rätt använda kan de vara extremt kraftfulla verktyg och bespara dig många timmars beräkningar. Datorlaborationen
Introduktion till Word och Excel
Introduktion till Word och Excel HT 2006 Detta dokument baseras på Introduktion till datoranvändning för ingenjörsprogrammen skrivet av Stefan Pålsson 2005. Omarbetningen av detta dokument är gjord av
Manual fö r webbkartörnas grundla ggande funktiöner
Manual fö r webbkartörnas grundla ggande funktiöner Webbfönster När du klickar på en kartlänk öppnas kartan i ett nytt fönster eller en ny flik, beroende på inställningen i din webbläsare. Bilden nedan
GUIDE TILL ANVÄNDARHANTERINGEN
Sida 1 av 9 Version: 1 (EL) GUIDE TILL ANVÄNDARHANTERINGEN Användarhanteringen sker i ett verktyg som heter Användaradmin och man kan också göra en del saker direkt på intranätet. I användarhanteringen
Ikonen för ett Microsoft Word-dokument.
2 Dokument Du kan skapa både enkla och mer komplicerade dokument på din dator. Det beror på vilket datainnehåll du vill ha i ditt dokument. Datainnehållet kan vara till exempel text och grafiska objekt,
Kapitel 4 Tak... 3. Tak Kapitel 4
2014.02.21 1 Kapitel Innehåll... Sida Kapitel 4 Tak... 3 Tak i våning 2... 3 Underlagsritning... 4 Tak... 5 Hur ser taket ut?... 7 Yttervägg... 8 Gavel fönster... 11 Golv i takvåning... 12 Koppla golv
Juni 2003 PlanCon Viewer Handledning PlanCon PROJEKT
PlanCon Viewer Med PlanCon Viewer kan du som inte har PlanCon öppna PlanCon projekt (*.prj) och skriva ut dessa. Inga ändringar i projektet kan göras. Filtreringar, sorteringar och vissa ändringar i utseendet
Tidtagning med Eresults Lite programmet
Tidtagning med Eresults Lite programmet Till en början: Börja med att anlsuta i EMIT läsaren till datorn genom att plugga in den gråa USB kabeln till USBporten där det står EMIT -> Starta sedan EResults
Egna genvägar. Subhashish Pradhan T.C. Hollingsworth Översättare: Stefan Asserhäll
Subhashish Pradhan T.C. Hollingsworth Översättare: Stefan Asserhäll 2 Innehåll 1 Inledning 4 2 Hantera genvägar och grupper 4 2.1 Lägga till grupper...................................... 4 2.2 Lägga till
Manual GISportalen (MapGuide) På Internet
Manual GISportalen (MapGuide) På Internet Manual Internet 2006 Du måste ha installerat ett program (plugin) Det hittar du här: Spara filen, stäng kartan och installera programmet genom att dubbelklicka
Manual för banläggning i OCAD8 170706 IF ÅLAND
Manual för banläggning i OCAD8 170706 IF ÅLAND Alla filer och program vi behöver finns under katalogen c:/ocad8/. Kartorna vi använder som bakgrundsfiler finns under c:/ocad8/kartor/. De är sedan indelade
Book Creator App för Ipad
Book Creator App för Ipad Book Creator är en enkel App för den som snabbt vill sätta ihop en interaktiv bok med text, ljud, bild och video. Här på Sjöhistoriska arbetar vi med Appen Book Creator på ipad-plattor,
Material, form och kraft, F11
Material, form och kraft, F11 Repetition Dimensionering Hållfasthet, Deformation/Styvhet Effektivspänning (tex von Mises) Spröda/Sega (kan omfördela spänning) Stabilitet instabilitet Pelarknäckning Vippning
Exempel på hur man kan bygga enkla former i Illustrator
Exempel på hur man kan bygga enkla former i Illustrator Öppna ett nytt dokument (ctrl-n), storleken spelar ingen större roll eftersom innehållet är vektorbaserat kan det alltid skalas om senare. Välj Pennverktyget
Miljön i Windows Vista
1 Miljön i Windows Vista Windows Aero Windows Aero (Aero Glass), som det nya utseendet eller gränssnittet heter i Vista, påminner mycket om glas och har en snygg genomskinlig design. Det är enklare att
Tekniska Högskolan i Linköping, IKP Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära; grk, TMMI17, kl DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel)
Tekniska Högskolan i inköping, IK DE 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) NAMN... 1. Vilken typ av ekvation är detta: ε = d u(x) d x Ange vad de ingående storheterna betyder, inklusive deras dimension i SI-enheter.
Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 2
Flervariabelanals I Vintern Översikt öreläsningar läsvecka Denna vecka ägnas nästan uteslutande åt problemet att hitta största och minsta värden till en unktion av lera variabler. Vi kommer att studera
www.eurocodesoftware.se
www.eurocodesoftware.se caeec220 Pelare betong Program för dimensionering av betongtvärsnitt belastade med moment och normalkraft. Resultat är drag-, tryckarmering och effektiv höjd. Användarmanual Rev
Skapa professionella försättsblad i Pappersvyn
Skapa professionella försättsblad i Pappersvyn Ett sätt att göra en offert unik och professionell kan till exempel vara att skapa ett försättsblad som ger ett stilrent och organiserat intryck, se vårt
Liten handledning i Excel och StarOffice Calc i anslutning till Datorövning 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET 2004-11-04 MATEMATISK STATISTIK Sannolikhetslära och statistik för lärare Liten handledning i Excel och StarOffice Calc i anslutning till Datorövning 1 Programmet StarOffice Calc
NU NÄR DU BEKANTAT DIG MED RAMARNAS EGENSKAPER OCH VET. hur man markerar och ändrar dem, är det dags att titta lite närmare på
6 Arbeta med ramar NU NÄR DU BEKANTAT DIG MED RAMARNAS EGENSKAPER OCH VET hur man markerar och ändrar dem, är det dags att titta lite närmare på hur du kan arbeta med dem i en design. De flesta designers
Laboration: Grunderna i Matlab
Laboration: Grunderna i Matlab Att arbeta i kommandofönstret och enkel grafik Den här delen av laborationen handlar om hur man arbetar med kommandon direkt i Matlabs kommandofönster. Det kan liknas vid
Introduktion till Matlab
Introduktion till Matlab Analys och Linjär Algebra, del A, K1/Kf1/Bt1, ht10 1 Inledning Ni kommer använda Matlab i nästan alla kurser i utbildningen. I matematikkurserna kommer vi ha studio-övningar nästan
Rättelseblad till M 2b
Rättelseblad till M 2b 47-08592-7 Trckfel (första eller andra trckningen) Sida Var Står Skall stå 5 Rad nerifrån Ekvationen 209 Ekvationen 2 = 3 209 65 Uppg 269...tillsamman tillsammans 44 Eempel 2 2 2