MEKANIK I, del 2 Stela kroppens dynamik

Transkript

1 Linköpins tekniska höskola (8) Undervisninsproram i kursen TMME7 MEKNIK I, del Stela kroppens dnamik HT, läsåret Föreläsninar: Lektioner: 8 h (Ulf Edlund) 0 h Eaminator: Lärare: Ulf Edlund, ulf.edlund@liu.se Ulf Edlund (I.a) Joakim Holmber (I.b) Jan-Lucas Gade (I.c) Lars Johansson (I.d) Kjell Simonsson (I.e) Christian usse (I.f) Jonas Stålhand (Ii) Ämnessekreterare: nna Wahlund, anna.wahlund@liu.se, Hemsida: Tentamen: Hjälpmedel: Kursen avslutas med en skriftli tentamen om 5 poän bestående av såväl teoriuppifter (3-5 poän, varav minst poän hämtas från Teoriuppifter i Stelkroppsdnamik) som räkneuppifter. Skrivtiden är 5 timmar. För odkänd deltentamen krävs sammanlat 6 poän. Ett antal tentamina finns på kursens hemsida. Ina. Ett formelblad inklusive en tabell med masströhetsmoment biläes tentamenstesen. Räknedosa ej tillåten!

2 Linköpins tekniska höskola (8) etsränser: Poän del Delbet Summa poän Slutbet del + del Kurslitteratur: J. L. Meriam and L. G. Kraie: Enineerin Mechanics, Dnamics, Seventh Edition, SI Version, 03 John Wile & Sons, Inc. P. Christensen: Kompendium i stelkroppsmekanik I. (Upplaan för I/Ii har rönt försättsblad). (Säljs på okakademin.) U. Edlund: Teoriuppifter i Stelkroppsdnamik. (Finns på hemsidan.)

3 Linköpins tekniska höskola (8) Kursinnehåll Kursmoment Kapitel i komp. (boken) Plan kinematik Hastihets- och accelerationssamband.-.3 (5/-5/4, 5/6) Momentancentrum, rullande hjul.4-.5 (5/5) Plan kinetik Eulers rörelselaar , 3.5 (6/-6/5) Masströhetsmoment 3.4 (/) rbete, effekt, enerimetod (6/6) Impulslaar 3.8 (6/8) Stötar 3.9, ekl (6/8) Tredimensionell kinematik bsolut och relativ tidsderiverin (Coriolis ekv.)., 4. (5/7, 7/6 ) dditionsreeln för vinkelhastihet 4.3 (Sample Probl. 7/, 7/) Hastihets- och accelerationssamband 4.5 (7/-7/6) Tredimensionell kinetik Eulers rörelselaar 5.-5., 5.4 (7/7, 7/9 3, 7/0) Masströhetsmatrisen 5.5 (/) Obalansproblem 5.6. (7/0) Gromekanik 6. (7/, 7/) Vi behandlar endast tterlihetsfallen med stöttal 0 (fullkomlit plastisk stöt) och stöttal (elastisk stöt). v, a inår ej. Formulerin med rel rel 3 Eneriekvationer i 3D: 7/8 samt s. 55- inår ej.

4 Linköpins tekniska höskola (8) Kursplan * = Etrauppifter, se sid. 6, R = Räkneföreläsnin, r = räknestua (huvudsaklien een räknin). {} = Uppifter lämplia att öra själv, efter föreläsninen. Innehåll Komp. (bok) Fö Kinematik (Hastiheter) {*(a)},.-.3 Le 5/59, 5/65, 5/8 4, 5/84, 5/86, *, 3* (5/-4) Fö Kinematik (Momentancentrum. Rullande hjul. cc.) {*(b)} Fö 3 (R) 5/40, 5/4, 5/09, 4*, 5* Le (r) 5/, 5/6, 5/70, 5/95, 5/3, 5/37 (för pkt ), 5/44 Fö 4 Plan kinetik (Rörelsemänd(-smoment), Euler I, Euler II m.a.p. G) {6/38(b) och anv. Euler II på formen Σ M = α och sätt I G = mr } Le 3 G I G 6/, 6/3, 6/, 6/7, 6/76, 6/87 (bestäm end. snörkraften), 8/6, 6* Fö 5 forts. (Tröhetsmoment. Euler II m.a.p. odt. pkt.) {6/38(b) och använd ΣM = I Gα + magd } Fö 6 (R) 6/83, 6/84, 6/04 (lös för θ = 30 ), /40 (beräkna I zz ) Le 4 (r) 6/5, 6/9, 6/5, 6/69, 6/95, /39, 7* Fö 7 forts. (Euler II m.a.p. fi pkt, rörelseekv. som diff.ekv) {6/38(b) och använd Euler II m.a.p. en fi och kroppsfast pkt: Σ M = α )} 0 I 0 Le 5 6/33, 6/58, 6/59, 6/68 5, 6/99, 8*, 9*, 0*.,.4-.5 (5/5-6) (6/-5) forts., (6/-5, pp. /) 3.3, 3.6 (6/-5) Fö 8 rbete, eneri, effekt {6/09} (6/6) Le 6 6/4, 6/5, 6/7, 6/8, 6/3 Fö 9 Impulslaar (Stötar) {6/65, 6/67 6 } (6/8) Le 7 6/80, 6/99, 6/07, *, *, 3* Fö 0 Coriolis ekv, 3D-kinematik {5/63 7 }., , Fö (R) 7/, 7/8 (beräkna även a 4.5 ), 7/36, 4* Le 8 (r) 7/9, 7/5, 7/3, 7/46, 5* (7/-6) Fö 3D-kinetik {/59} 5.-5., 5.4- Fö 3 (R) 6*, 7*, 8*, /57 (teckna hela matrisen) 5.5, 5.6. Le 9 (r) 7/79, 7/8, 7/85, 7/87, 7/89, /63, 9*, 0* (7/7, 9-0, pp. /) Fö 4 3D-kinetik (Tillämpnin: rodnamik) 6. Metod (7/-) Le 0 7/33, *, *, 3* 4 Lös endast med vektoruttrcket för hastihet; ej med eometr of the vector polon. 5 N ldelse: Släpps från vila från horisontellt läe. eräkna krafterna vid O omedelbart efter släppet. t e τ 6 orde stå: M = 0( ), där τ = s (så att eponenten blir dimensionslös). 7 N ldelse: eräkna hastihet v och acceleration a med hjälp av Coriolis ekv.

5 Linköpins tekniska höskola (8) Teoriuppifter Se skriften Teoriuppifter i Stelkroppsdnamik som finns på hemsidan. Teoriuppift Fö Fö 4, 3, 4, 5, 6, 7 Fö 5 9, 0,,, 3 Fö 7 3 Fö 8 4, 5, 6, 7 Fö 9 8, 8, 9 Fö 0 0, 4 Fö,, 5 En anm. beträffande betecknin av vektorer När vi löser tal kommer vi ofta att definiera vektorer med en pil och en skalär 8 F : F Detta definierar vektorn F enlit följande: Själva pilen definierar en enhetsvektor e F enlit e F så att F = F e F Vi ser att skalären F är vektorns komponent i pilens riktnin. Om vi löser ett tal och finner att F är neativ så betder det att vektorn är riktad motsatt pilriktninen. 8 Så här ör de flesta läroböcker (inkl. Meriam) utan att påpeka det eplicit.

6 Linköpins tekniska höskola (8) Etrauppifter (etecknas med * i kursplanen). En arm ODC sitter fast på en ael som roterar med vinkelhastiheten och vinkelaccelerationen α. eräkna (a) hastihetsvektorn och (b) accelerationsvektorn i ändpunkten C i det avbildade läet. z C D 4b O 3b α räta vinklar!. Den hdrauliska clindern E trcker punkt uppåt med farten v. estäm hastihetsvektorerna i punkterna och D i det avbildade läet. j k i 3. Två stäner och D är ledat ihopkopplade enlit Fiur. eräkna stänernas vinkelhastiheter i det avbildade läet om farten i punkt D är v D. 5b D 6b vd 9b 5b

7 Linköpins tekniska höskola (8) 4. De tre stänerna i Fiuren är ledat ihopkopplade. Stån har vinkelhastiheten moturs. estäm vinkelhastiheterna till storlek och riktnin för de övria stänerna i läet enlit Fiuren. 4b C 3b b 60 D 5. Hjulet rullar utan att lida på ett horisontellt underla. Stånen är ledat infäst i hjulet vid och ände kan endast röra si vertikalt. I det avbildade läet rullar hjulet med vinkelhastiheten moturs och vinkelaccelerationen α moturs. estäm vinkelaccelerationen för stånen och accelera- hj tionen i till storlek och riktnin. 6b hj G 8b R = 3b 6. Två stäner (masslös) och P är ledat ihopkopplade med varandra och med en van som oscillerar horisontellt enlit t ( ) = bsin t, där b och är konstanter. eräkna, och rita en raf, som visar hur kraften i den horisontella stånen varierar med tiden. masslös t ( ) = bsin t (Föreskriven förskjutnin) m, L P

8 Linköpins tekniska höskola (8) 7. En stån med massan m och länden L kan röra si friktionsfritt i ett horisontalplan enlit Fiur. När stånen är i vila och θ = 45, läs ett kraftparsmoment C på stånen krin ändpunkt. eräkna krafterna på stånen vid och precis efter att kraftparsmomentet lats på. C ml, G θ 8. Ett snöre är lindat krin en trumma som kan betraktas som en homoen skiva med massa m och radie R. I fall (a) häns en vikt med massan m i snöret och anordninen släpps från vila. I fall (b) appliceras en konstant kraft m i snöränden och sstemet släpps från vila. estäm trummans vinkelacceleration i de båda fallen. Snöret kan inte lida relativt trumman. (a) R O (b) R O m m m m

9 Linköpins tekniska höskola (8) 9. En homoen clinder med massan m och radien R kan rotera friktionsfritt krin centrumpunkten O. En rem löper över clindern och i remmens ena ände är en fjäder med fjäderkonstanten k fastsatt, se Fiur. Remmen är hela tiden sträckt och den kan inte lida relativt clindern. Vinkeln θ aner clinderns rotation och är definierad så att θ = 0 när fjädern är ospänd. När clindern är i vila, θ = 0 och fjädern är ospänd, läs en konstant kraft P 0 på i remmens andra ände. a) Ställ upp rörelseekvationen för clindern uttrckt i vinkeln θ och dess tidsderivator, samt tillhörande bennelsevillkor. b) eräkna θ () t och ( t), dvs θ ( t). Skissa raferna. c) eräkna vinkelhastiheten θ ( ), dvs θθ ( ). θ O mr, rem som ej kan lida mot clindern k P 0 0. En homoen cirkulär skiva med massan m och radien R sitter fast i en fjäder med fjäderkonstanten k, och rullar utan att lida på ett strävt plan som lutar vinkeln ϕ, se Fi. Fjädern är parallell med det lutande planet. nordninen släpps från vila med ospänd fjäder vid tiden t = 0. a) Ställ upp den differentialekvation uttrckt i (se Fiur) och dess tidsderivator, samt tillhörande bennelsevillkor, som beskriver rörelsen t ( ). b) eräkna t () och vt ( ), dvs t ( ). c) eräkna hastiheten v ( ), dvs ( ). R G k = 0 när fjädern är ospänd ϕ

10 Linköpins tekniska höskola (8). En homoen kub med massan m och kantländen b lider läns en horisontell friktionsfri ta med farten v. Vid stöter kuben mot en liten klack vars höjd är försumbar. Vid stöten häktar kubens kant fast i klacken och kuben börjar rotera krin denna. estäm den maimala fart v som kuben får ha om den inte får välta 9 över klacken efter stöten. ll rörelse äer rum i ett vertikalplan. v b b. En smal stån med massan m och länden L faller, utan att rotera. Precis före stöten har stånen hastiheten v och vinkeln mot lodlinjen är 30. Vid stöten kopplas stånens ände ihop med en fi punkt D så att stånen endast kan rotera krin denna punkt. (a) eräkna farten i spetsen omedelbart efter stöten. (b) eräkna -komponenten av stötimpulsvektorn på stånen i. (c) Ta nu bort stödet vid D och anta att stöter emot ett friktionsfritt underla utan att studsa. eräkna -komponenten av stötimpulsvektorn på stånen i. Precis före stöten: 30 v j k i D 9 Den får alltså inte läa si till höer om.

11 Linköpins tekniska höskola (8) 3. En homoen smal stån C med massan m och länden L kan rotera krin infästninen vid. Den släpps från vila från vinkeln θ = 90 och träffar stödet vid. Stöden vid vid och är sådana att rörelse endast är möjli i vertikalled; inen rörelse är möjli i horisontell led. eräkna stötimpulsvektorn på stånen vid om: (a) stånen vid stöten börjar rotera krin utan att studsa; (b) stöten är elastisk. (Det får i båda fallen antas att det aldri uppstår nåon stötimpuls vid och att sstemet är friktionsfritt.) m, L C θ L 4. En tunn skiva med radien R roterar med konstant vinkelhastihet s relativt affeln, krin aeltappen vid D. Skivan sitter fast i en affel OD med länden L som roterar krin en ael med konstant vinkelhastihet. eräkna accelerationen i punkten P på skivan i det avbildade läet! z O L = OD OD OD DP L D R s P

12 Linköpins tekniska höskola (8) 5. En tunn skiva ( R = 0.3 m) roterar krin en vinkelrät arm ( L = 0.45 m) med vinkelhastiheten relativt armen, samtidit som armen roterar krin -aeln med vinkelhastiheten. Varken eller är konstanta. I det öonblick då anordninen är i läet enlit Fiuren äller = 3 rad/s, = 4 rad/s, = 6 rad/s, = 5 rad/s. För detta läe beräkna (a) hastiheten i punkten Q och (b) accelerationen i punkten Q. z Q G R O L L P 6. En smal 0 stån med länden L och massan m är upphänd enlit Fiur där vinkeln θ aner vinkeln mellan stånen och lodaeln. Vid infästninen kan stånen vrida si krin aeltappen enom O-O utan friktion. Den lodräta aeln roterar med konstant vinkelhastihet 0. Ställ upp den differentialekvation uttrckt i θ och dess derivator, som beskriver rörelsen. Du behöver inte lösa ekvationen. z 0 Fiuren är alltså lite missvisande!

13 Linköpins tekniska höskola (8) 7. En tunn likbent trianulär skiva med massan m är fastsvetsad på en masslös stån enlit Fiur. Laerpunkten är utformad så att den kan ta upp krafter i -, - och z-led. Vid kan den ta upp krafter i - och z-led. Inen av laerpunkterna kan ta upp kraftparsmoment. estäm de dnamiska krafterna (d.v.s., bortse från de statiska) som uppkommer på aeln vid laerpunkterna och om aeln roterar med konstant vinkelhastihet 0. Problemet analseras lämplien i ett rörlit koordinatsstem enlit Fiur. z b b O b 0 8. En tunn homoen skiva med massa m och radie R roterar med konstant vinkelhastihet relativt affeln. Skivans ael är monterad i affeln så att den lutar 30 enlit Fiur. Gaffeln roterar med konstant vinkelhastihet. eräkna skivans (a) vinkelhastihetsvektor och (b) kraftparsmomentet (som en vektor) från aeln på skivan. Tolka Eulers II:a la enom att rita en fiur med HH, och momentvektorn. z-planet lier i skivans plan

14 Linköpins tekniska höskola (8) 9. En smal stån med massan m och länden L sitter fast på en lodrät ael med en affel-formad infästnin vid, se Fiur. Ett horisontellt snöre håller upp stånen så att vinkeln θ mot det horisontalplanet är konstant. Hela anordninen roterar med konstant vinkelhastihet 0. estäm kraften i snöret. Snöre m, L θ 0= konstant 0. Två smala stäner E och CF är fastsvetsade på en masslös stån D med länden 4b. Stån E och CF har länden b och massan m. Laerpunkten är utformad så att den kan ta upp krafter i -, - och z-led. Vid D kan den ta upp krafter i - och -led. Inen av laerpunkterna kan ta upp kraftparsmoment. estäm de dnamiska krafterna (d.v.s. bortse från de statiska) som uppkommer på aeln vid laerpunkterna och D om aeln roterar med konstant vinkelhastihet 0. Problemet analseras lämplien i ett rörlit koordinatsstem enlit Fiur. F Stänerna E och CF lier i zplanet. b m, b b C m, b b D E z 0

15 Linköpins tekniska höskola (8). En homoen clinder med massa m och radie R = b är fastsatt på ett roterande bord med laer vid och. Clindern roterar med konstant vinkelhastihet s relativt bordet och bordet själv roterar med konstant vinkelhastihet. Laerpunkten är utformad så att den endast kan ta upp krafter i -, - och z-led. Vid kan den endast ta upp krafter i - och -led. (Inen av laerpunkterna kan således ta upp moment.) eräkna dessa krafter vid och. (Data: m = 40 k, b = 0.5m, = rad/s, s = 00 rad/s) 3b 3b m s R z. rmen roterar krin -aeln med konstant vinkelhastihet = 5 rad/s. I det öonblick då armen är i horisontellt läe roterar den tunna homoena skivan med vinkelhastiheten = 60 rad/s relativt armen och den ändras med = 0 rad/s. eräkna i det avbildade läet (a) skivans vinkelhastihet, (b) reaktionerna (d.v.s. kraften och kraftparsmomentet) från armen på skivan vid G, (c) reaktionerna på den masslösa armen vid leden O. z L = 0 mm O R = 50 mm m = k G

16 Linköpins tekniska höskola (8) 3. En stel kropp består av en tunn homoen skiva och en punktmassa som sitter fast på en masslös ael. Skivan har radien R och massan m och punktmassan har massan m. Kroppen roterar med konstant spinnhastihet s krin ett laer vid O. Laret i sin tur roterar krin en lodrät ael med konstant vinkelhastihet. estäm avståndet d om aeln är hela tiden vårät. z s R b O d m m

17 Linköpins tekniska höskola (8) Svar till etrauppifter. (a) vc = 3bi 4bk (b) ac = (4 b+ 3 αbi ) + ( 3 b+ 4 αbk ). v v = v( i j), =, vd = bi + ( v b 3 b) j 3. vd 3 vd = (moturs), D = (medurs) 55 b 55 b = (moturs), = (medurs) CD 4 C a = ( hj + 4 α ) b (uppåt), där α = ( hj + 3 αhj) (moturs) F = mb sint där F har definieras positiv som drakraft C 3 C F = åt höer, F = nedåt L L 8. (a) α = (Notera: snörkraften blir 3 R 3 m ), (b) α = R 9. 0 (a) θ + θ = P m mr θ (0) = 0, θ (0) = 0 P 0 k P0 k k (b) θ ( t) = cos( t), ( t) = sin( t) kr m kr m m (c) θ ( ) = ± ( P0 θ krθ ) mr 0. k (a) + = sin ϕ. ennelsevillkor: (0) = 0, (0) = 0 3m 3 m k (b) t ( ) sinϕ cos( t) m k k =, vt ( ) = sinϕ sin( t) k 3 m k 3m 3m (c) v ( ) = ± 4 k sinϕ 3 3m. 8 vma = ( ) b (a) v() = v, (b) L = mv ( L = stötimpulser på stånen; + ) (c) L = mv 7 3. (a) L = m 3L j, (b) L = m 3L j (dvs dubbelt så stor stötimpuls)

18 Linköpins tekniska höskola (8) 4. ap = sri Lj + srk 5. (a) vq = Li + Rj Rk, (b) aq = ( R R+ Li ) + R j ( L+ R ) k 6. 3 sin θ + θ = 0 sin θ cos θ, θ (0) = θ0, θ (0) = 0 L 7. 5 mb = mb0k, = mb 0 k, (nm. IO, z = ) a) = ( + ) i + k b) C = mr ( + 4 ) j 6 9. Snörkraften S = m + ml0cosθ tanθ 3 0. mb0 mb0 = i, D= i 8 8. = 0, = ( m + mb s) = 777N, z = 0, 6 = 0, = ( m mbs ) = 577N 6. (a) = ( i j) (b) RG = mlj + mk, CG = mr ( j + k ) (c) RO = RG, CO = CG + mli 3. R d b s 4 Svar till uppifter med ändrad ldelse i Meriam & Kraie, Seventh Edition 5/63 Svar för n ldelse: v = ΩRcosθi vsinθ j + vcosθk v v a = Ωvsin θi ( +Ω R)cosθ j sinθk R R 7 6/68 Svar för n ldelse: = 0, = m, där m = 8 k 7 6/87 Svar för n ldelse: Snörkraften (3 4sin 0 ) mm S = +, (3 m 8 ) + m där m = clinderns massa, m = massan som häner i snöret π R 7/8 (a) α (Se boken). Etrauppift: a = ( ) τ ( r + r) i + Rk 8 0 /57 I0 = ml 0 7, d.v.s. I0, z = ml etc. 3