Kursinformation TMME13. MEKANIK Dynamik. HT1, läsåret Ulf Edlund (examinator) Lars Johansson

Transkript

1 Linöpins tenisa hösola 3-8- () Kursinforation TMME3 MEKNIK Dynai HT, läsåret 3-4 Lärare: Föreläsninar: Letioner: änehallar: Änessereterare: Hesida: Tentaen: Hjälpedel: Kurslitteratur: Ulf Edlund (exainator) Lars Johansson h Partieldynai (UE) h Stelroppsdynai (LJ) 6 h DPU: Ulf Edlund DPU: Lars Johansson 6 h (självversahet ed lärare) nna Wahlund, anna.wahlund@liu.se Kursen avslutas ed en sriftli tentaen o 5 poän bestående av såväl teoriuppifter (3-5 poän) so räneuppifter. Srivtiden är 4 tiar. För odänd tentaen rävs saanlat 6 poän. För bety 4 rävs 9 poän och för bety 5 rävs poän. Ina. Ett forelblad sat en opia på Mass Moents of Inertia (från ursboen) biläes tentaenstesen. änedosa ej tillåten! J. L. Meria and L. G. Kraie: Enineerin Mechanics, Dynaics, Sixth Edition, SI Version, 8 John Wiley & Sons, Inc. (Säljs på oaadein.)

2 Linöpins tenisa hösola 3-8- () Kursplan (* avser opletterande uppifter på sid. 4) Innehåll Fö Meaniens odeller. Kineati och ineti (Newtons laar) i artesisa oord. Le /, /47, /93, /3, /4, 3/6, 3/3, 3/4, 3/7, 3/4, *, * Fö Svänninar I. Vitit: repetera hooena diff.ev av :a ordninen. Karateristis ev. etc. Le 8/3, 8/4, 8/9, 8/4, 8/9, 8/36, 8/43a, 3* H (een versahet) Fö 3 Svänninar II. Vitit: repetera ice-hooena diff.ev av :a ordninen. Partiulärlösnin etc. Ch. /rticles, /-/4, /9 3/-3/4 Le 3 8/7, 4* Ställ upp diff.ev ed däpnin, en lös för c=: 8/48, 8/5, 8/65 Fö 4 Kineati och ineti i polära och cylinderoord. /6, /7 (exl. spherical Le 4 /35, /36, /4, 3/57, 3/58, 3/66, 3/67, 3/89, 3/, 5* coord.), /9, 3/5 Fö 5 rbete, eneri, effet 3/6, 3/7 Le 5 3/9, 3/, 3/, 3/3, 3/3, 3/47, 6*, 7* Fö 6 Moentlaen för en partiel. Centralrörelse. 3/9, 3/, 3/3 (end. s. 34) Le 6 3/7, 3/8, 3/9, 3/3, 3/3, 3/46 H (een versahet) Fö 7 Stelroppsineati, inlednin. Hastihet & acceleration för punter i en stel ropp. Coriolis ev. Le 7 5/, 5/3, 5/8, 5/85, 5/6, 5/6, 8* 8/ 8/3 5/-5/4 (uto rullnin), 5/6, 5/7 (t.o.. s 397), 7/6 Fö 8 ullvillor. Moentancentru. 5/5, Saple Le 8 5/73, 5/96, 5/, 5/3, 9* Prob. 5/4 Fö 9 Eulers rörelselaar i planet. 6/, 6/ (t.o.. Le 9 6/8, 6/8, 6/75, 6/76, /3, /6 Plane-Motion Eqs.), 6/3, pp. Le 6/37, 6/38, 6/4, 6/8, 6/94, / ( 78/ 3 ) stål / Fö Eulers rörelselaar i tre diensioner. 7/7, 7/9 (t.o.. Fö Le 6/3, 6/44, 6/6, 8/3, /5, /53, /57 Eulers rörelselaar i tre diensioner, forts. Le 7/75, 7/8, 7/84, 7/89 H 3 (een versahet) Le 3 *, *, *, 3*, 4*,5* Moentu Eqs.), pp. / Ny probleforulerin: eräna hastiheten v och acclerationen Ny probleforulerin: Lös för fritionsoentet lia ed noll. a ed hjälp av Coriolis ev.

3 Linöpins tenisa hösola () En an. beträffande betecnin av vetorer När vi löser tal oer vi ofta att definiera vetorer ed en pil och en salär F. Detta definierar vetorn F enlit följande: F F Själva pilen definierar en enhetsvetor e F ; e F så att F F e F Ett ott råd För att unna tillodoöra si ursen är det absolut nödvändit att behärsa vetoralebra sat lösnin av hooena och ice-hooena linjära differentialevationer av andra ordninen. epetera o du änner di osäer! Så här ör de flesta läroböcer (inl. Meria) utan att påpea det explicit.

4 Linöpins tenisa hösola () Kopletterande uppifter (arerade ed * i ursplanen). En partiel es beynnelsefarten v då den befinner si i punten på ett latt lutande plan ed lutninsvinel 3. eynnelsehastiheten är parallell ed anten C och avståndet ellan punt och är h. estä avståndet d till den punt på anten C där partieln länar planet. v y h 3 x d C d v h. En partiel sjuts från för att nå ett ål vid. a) estä, för en iven utsjutninshastihet v, sabandet ellan astländen och utsjutninsvineln. b) estä ur resultatet i uppift a, de vinlar och so er saa astländ för en iven utsjutninshastihet v. Data: v 3 /s, 5. c) estä tid t till nedsla för de båda utsjutninsfallen. v v v a) sin b) arcsin( ) ( 6.5 ), ( 73.5 ) v c) t v cos (=7.4, resp s)

5 Linöpins tenisa hösola () 3. Två partilar och har vardera assan. De lias ihop, varvid lifoen axialt an överföra raften 3. De ihopliade partilarna och häns upp i en fjäder ed fjäderonstanten och ospända länden L. Från början är och understödda så fjädern är ospänd. Vid tiden t rycer an undan stödet. estä det värde på t vid vilet lossnar från., L 3 Lifo 4. Ett anonrör har ett reylsyste bestående av en linjär fjäder och en linjär däpare so är parallellopplade. Eldrörets assa är, fjäderonstanten är och däponstanten är sådan att systeet är ritist däpat. eylhastiheten oedelbart efter avfyrninen är v. estä reylens länd, dvs den axiala försjutninen hos systeet efter avfyrninen. v e 5. Ett salt rör ed länden L roterar ed onstant vinelhastihet 5L rin en fix punt. örelsen äer ru i ett vertialplan och är fritionsfri. Inuti röret finns en partiel ed assan so sitter fast i ett snöre. Snöret, so har länden L, löper eno ett hål i ett loc vid och är fäst vid C. Partieln rör si således från till i röret då vineln varierar från till 6. eräna raften i snöret oedelbart innan partieln når, d.v.s. då 6. L C 3 ( ) 4 L

6 Linöpins tenisa hösola () 6. Två lådor och, ed assorna respetive, är förbundna ed ett snöre. Fritionsoefficienten ellan låda och underlaet är. När systeet släpps från vila oer låda att börja lida. eräna ed vilen hastihet låda, so från början befinner si på höjden h, oer att träffa underlaet. h ( ) h v 4 7. En van en assan an röra si fritionsfritt läns en ra bana. Vanen är i vila när en tidsberoende raft Ft () läs på. eräna Ft () o den effet P so raften utveclar är onstant. F Ft () P t

7 Linöpins tenisa hösola () 8. En ar ODC sitter fast på en axel so roterar ed vinelhastiheten och vinelaccelerationen α. eräna a) hastihetsvetorn och b) accelerationsvetorn i ändpunten C i det avbildade läet. z C D 4b x O 3b räta vinlar! y a) vc 3bi 4b b) a b b i b b C (4 3 ) ( 3 4 ) 9. Två stäner och D är ledat ihopopplade enlit Fiur. eräna stänernas vinelhastiheter i det avbildade läet o farten i punt D är v D. 5b D 6b v D 9b 5b v 55 b 3 v (edurs) 55 b D D (oturs), D

8 Linöpins tenisa hösola (). En siva ed radien har hela sin assa oncentrerad till sin periferi. Sivan är via en axel vid upphänd i en affelhållare och roterar ed onstant vinelhastihet rin denna axel. Gaffelhållaren roterar i sin tur ed onstant vinelhastihet enlit Fiur. eräna raftparsoentet (so en vetor) på sivan från axeln vid. z x y C j. En tunn hooen siva ed assa och radie roterar ed onstant vinelhastihet relativt affeln. Sivans axel är onterad i affeln så att den lutar 3 enlit Fiur. Gaffeln roterar ed onstant vinelhastihet. eräna sivans a) vinelhastihetsvetor och b) raftparsoentet (so en vetor) från axeln på sivan. Tola Eulers II:a la eno att rita en fiur ed HHoch, oentvetorn. Sivan lier i yz -planet 3 C ( 4 ) j 6

9 Linöpins tenisa hösola (). ren roterar rin x-axeln ed onstant vinelhastihet 5 rad/s. I det öonblic då aren är i horisontellt läe roterar den tunna hooena sivan ed vinelhastiheten 6 rad/s och den ändras ed rad/s. eräna sivans a) vinelhastihet, b) raftparsoentet (so en vetor) från axeln på sivan.. z L 5 x y a) ( i j) b) C j ( ) 3. En stån ed assan och länden L sitter fast på en lodrät axel ed en affel-forad infästnin vid, se Fiur. Ett horisontellt snöre håller upp stånen så att vineln ot det horisontalplanet är onstant. Hela anordninen roterar ed onstant vinelhastihet. estä raften i snöret. Snöre, L onstant Lcos tan 3

10 Linöpins tenisa hösola 3-8- () 4. En hooen cylinder ed assa och radie b är fastsatt på ett roterande bord ed laer vid och. Cylindern roterar ed onstant vinelhastihet s relativt bordet och bordet själv roterar ed onstant vinelhastihet. Laerpunten är utforad så att den endast an ta upp rafter i x-, y- och z-led. Vid an den endast ta upp rafter i x- och y-led. eräna dessa rafter. 3b y x 3b s z x, y ( b s), z 6 x, y ( bs) 6 5. En stel ropp består av en tunn hooen siva och en puntassa so sitter fast på en asslös axel. Sivan har radien och assan och puntassan har assan. Kroppen roterar ed onstant spinnhastihet s rin ett laer vid O. Laret i sin tur roterar rin en lodrät axel ed onstant vinelhastihet. estä avståndet d o axeln är hela tiden vårät. y z s b O d x d b 4 s

11 Linöpins tenisa hösola 3-8- () Svar till jäna uppifter sat uppifter ed ändrad lydelse i Meria & Kraie, Sixth Edition / 56.7 /36 v.38 /s, a.67 /s /4 a. /s 3/ /4 Kopplin släpper först. P.8 N 3/4 a) 3.7 /s b).89 /s 3/58 r s tan (.549) cos 3/66.5 3/ e e r( ) ( sin ) 3/ 957 N/ 3/ v.4/s 3/6 a) v.889 /s b) v.9 /s 3/3 v 5.5 /s 3/3 vc 3.59 /s 3/8 a) G.99 i 7.5 j /s b) H. /s c) T 37.5 J 3/3 a) H ( rv ) r r, H r 3/46 v l b) H rvc r r H ( ), 5/ vp.4i j /s, ap.4i.3 j /s 5/6 vd.596 /s, x.33 /s 5/96 vg.77 /s 5/ v 4.8/s, v 3. /s, vc 4.8 /s, vd 3.9 /s 5/6 3rad/s, oturs 5/6 Svar för ny lydelse: v cos i vsin j vcos v v a vsin i ( )cos j sin 5/6 Svar för ny lydelse: v di ( u L) j a ( d u L) i ( u L d) j 6/8 T 4.5 N, 3.9 N 6/8 T b sint, där T är definierad so positiv so draraft 6/38 a) 3. rad/s, b) 3.49 rad/s 6/4 Svar för ny lydelse:.94 rad/s (oturs)

12 Linöpins tenisa hösola 3-8- () 6/44 b 53.6, 7.6 N 6/6 Fn.7 sin, Ft.64 cos 6/76 v.98 /s, 6.4 rad/s 6/8 sin, sin, s,, s, tan r r 6/94 3M 3M i, j l l 7/84 M 79.i N (på axeln). 8/4 x( t) 5cos8t, vax.9 /s, aax 6. /s 8/4 8/36 c 8 53 Ns/ 8/48 Svar för ny lydelse: Med x då fjädern är obelastad blir DE: c x x x F cost F Lösn. för c : x( t) cost. plituden X F.7 8/5 Svar för ny lydelse: Med x då fjädern är obelastad blir DE: c x x x F cost Med för c : F 4.99 d rad/s, F d 6.86 rad/s 8/65 Svar för ny lydelse: Saa svar so i boen. 8/7 F x( t) ( cos nt), där n 8/78 fn 3r 8/3 3 s x / I. /6 Iaa r, Ib b r ( )