Areaelementet blir. ds =

Transkript

1 Lektion 5, Flervariabelanals den 7 februari Bestäm arean av den del av sfären + + 4a som ligger innanför clindern + a. Vi skriver om clinderns ekvation i standardform + a + a a. Clindern är alltså cirkulär med mittpunkt i,, a och radie a. fären + + 4a har mittpunkt i origo och radie a. Den del av sfären som är innanför clindern består av två tstcken. Området D är en cirkeldisk och areaelementet innehåller bara och i kombinationen + så vi inför polära koordinater, Disken D beskrivs då som θ π, r a sin θ. r cos θ, r sin θ. a a r θ a a + r ar cos π θ Den övre tan är funktionstan f, 4a över området D : + a a. P.g.a. smmetrin är arean av det undre tstcket lika med det övre tstckets area. Eftersom sfären är -nivåtan till funktionen f,, + + 4a Areaelementet blir d Arean av de två tstckena är d D a a ar r dr dr. 4a r cos θ r sin θ 4a r 4a a sin θ ar 4a r dr { t 4a r ; dt r dr } 4a cos θ ds s 4a / 6a cos θ 6a θ sin θ ] 4a π s 8a 4a cos θ a a cos θ ] π/ 8a π 6a. ges areaelementet av d f,, + f/ d d d d + { 4a a } d d. 4a d d

2 5.5.4 Bestäm d där är den del av konen + som ligger under planet +. En punkt,, på konen ligger under planet om +, d.v.s. om Punkterna på är alltså de punkter med - och -koordinat innanför ellipsen E : +. För att beskriva området innanför ellipsen på ett enkelt sätt gör vi koordinatbtet r cos θ, + r sin θ, omskalade polära koordinater centrerade kring,. Området ges då av och areaelementet är d 3 d d 3 θ π, r, r r θ θ dr cos θ 3 sin θ 3 r cos θ + r sin θ dr 6 r dr. Ytintegralen blir d 6 π π + r sin θ 6 r dr r 3 r3 cos θ ] 6 π r sin θ dr r cos θ + 3 cos θ 6 π. Areaelementet i tintegralen är d + + d d d d d d 3 d d. E Bestäm d där är den del av tan som ligger i första oktanten och innanför paraboloiden 3. Innanför paraboloiden betder i detta fall under paraboloiden. Ytan ska alltså begränsas till området som uppfller olikheterna 3,,,.

3 Eftersom vi på tan har att ger dessa olikheter att 3,,,, +, /,. Projicerar vi alltså ner på, -planet får vi en kvartsellips E med mittpunkt i origo och halvalar och. E Ytan består därmed av de punkter på funktionstan med - och - koordinater innanför området E. Området E kan vi i kartesiska koordinater beskriva som Areaelementet är d, 4. + Ytintegralen blir d d / + d d + + d d + 4 d d. d / d 4 3 d / { t 6 4 ; dt 64 3 d } 64 ] 64 3 t t d d t dt 5.6. Bestäm flödet av vektorfältet ut ur sfären + + a. fären är -nivåtan till funktionen och har det vektoriella telementet d ± f f/ F,, e + e + e f,, + + a, ±,, d d ±,, d d. I den övre halvan av sfären väljer vi +:tecknet eftersom vi söker flödet ut ur sfären och +,, pekar då ut ur sfären. övre I den undre halvan måste vi välja :tecknet. Flödesintegralen blir F d,,,, d d övre +,,,, d d undre d d d d övre undre a a d d d d. undre Den övre och undre halvan av ges av a, där + a,

4 respektive a, där + a. Flödesintegralen blir alltså a d d F d { polära koordinater } + a a π a a a r r dr { t a r ; dt r dr } π a a Bestäm flödet av vektorfältet dt t a π a 4πa 3. F,, e + e ut ut randtan till konen +. Randtan till konen består dels av manteltan +, dels av undersidan. Det vektoriella telementet på de två torna ges av d ±,, d d ± +, d ±,, d d ±,, d d, +, d d, där vi i första formeln väljer :tecknet och i andra formeln väljer +:tecknet, så att d pekar ut från konen. Flödet blir F d,, mantel +, +, d d +,,,, d d under mantel + + d d + d d under d d + d d under + { polära koordinater } π π π r cos θ sin θ r + r r dr ] 3 r3 cos θ sin θ + r 3 r3 3 cos θ sin θ π. +

5 5.6.6 Bestäm flödet av Bestäm flödet av F e + e + e upp genom den del av tan innanför clindern + a. F e upp genom den del av sfären + + a som ligger i första oktanten. Punkter innanför clindern har - och -koordinater som uppfller + a. Eftersom är en funktionsta är d ±,, d d ±,, d d som pekar uppåt om vi väljer :tecknet -koordinat positiv. Flödet genom tan är F d,,,, d d + + d d { polära koordinater } + a π π π π a r cos θ + r cos θ sin θ + r dr ] r4 cos θ + r4 cos θ sin θ + a r a4 cos θ + a4 cos θ sin θ + a 4 a4 4 a4 cos θ + a { integral av cos och sin över en hel period } 4 a4 π + a π πa a. I första oktanten,, är sfären en funktionsta a över kvartsdisken D : + a,,. Det vektoriella telementet är d ±,, d d ± a, a, d d och väljer vi :tecknet pekar d uppåt. Flödet blir F d,, a, a, d d d d a d d + a { polära koordinater } / / ] a r a 4 r4 a / a r r dr a4 4 a4 πa4 8.

6 5.6. Bestäm flödet av 5.6. Bestäm flödet av F e + e + e F e e + + e upp genom tan upp genom tan r ru, v u v e + uv e + v 3 e u, v. r ru, v e u cos v e + e u sin v e + u e där u och v π. Eftersom tan är parametriserad ges telementet av d ± dr du dr dv du dv ±uv, v, u, uv, 3v du dv e e e ± uv v du dv 3v 4, 6uv 3, 3u v du dv, u uv 3v där vi väljer +:tecknet så att d pekar uppåt. Flödet är F d,, d u v, uv, v 3 3v 4, 6uv 3, 3u v du dv 6u v 5 6u v 5 + 3u v 5 du dv 3 u du v 5 dv Ytelementet ges av d ± dr du dr dv e e e du dv ± e u cos v e u sin v du dv e u sin v e u cos v ± e u cos v, e u sin v, e u du dv. Med +:tecken pekar d uppåt. Flödet är F d,, + d ue u sin v, ue u cos v, e u e u cos v, e u sin v, e u du dv + e 4u du dv e 4u du dv 4 e4 π.