Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter I

Transkript

1 Pass 1 Linjära ifferentialekvationer me konstanta koefficienter I I. initioner och elementära satser Ett system av första orningens ifferentialekvationer t u(t) = A(t) u(t) + f(t), u(t) C n - tillstånsvektor A(t) n n systemmatris, f(t) C n - rivvektor. Konstanta koefficienter: A A(t). Homogent system: f = 0: u(t) = A(t) u(t). t Ekvationen F (u) = 0 kallas för linjär omm u 1, u 1 två gotyckliga lösningar till ekvationen α, β två gotyckliga komplexa tal } αu 1 + βu 2 är en lösning till ekvationen. 1

2 3.1 Det homogena systemet u(t) = A(t) u(t) t är linjärt,.v.s. varje linjärkombination av lösningar är också en lösning. Varje lösningen till et inhomogena systemet t u(t) = A(t) u(t) + f(t), kan skrivas på formen u(t) = u p (t) + u hom (t), är u p är en (partikulär) lösning till systemet, u hom (t) är en lösning till et homogena systemet. II. Synkrona lösningar A X λ = λ X λ λ C - egenväre; X λ 0 - egenvektor. Antag att X λj, λ j, j = 1, 2,..., k är egenvektorer och egenvären till matrisen A. Då är funktionen c 1 e λ 1t X1 + c 2 e λ 2t X c k e λ kt Xk är c 1, c 2,..., c k är gotyckliga komplexa tal, en lösning till et homogena systemet u = A u(t). t 2

3 III Diagonalisering av matriser Pass 2 AX λ = λx λ, X λ 0 { Xλ är en egenvektor λ är ett egenväre Karakteristiskt polynom p A (λ) = et(a λi) Att iagonalisera en n n matris 1) bestäm alla egenvären λ k, k = 1, 2,..., n 2) bestäm samtliga n egenvektorer S k, k = 1, 2,..., n 3) bila S = (S 1, S 2,..., S n ) och D = iag(λ 1, λ 2,..., λ n ) Då gäller: A = SDS 1 Följane matriser är säkert iagonaliserbara: 1) symmetriska, 2) unitära, 3) me n olika egenvären. IV Matristeori: egenvären En matris A är likformig me B omm et finns en inverterbar matris S såan att S 1 AS = B( AS = SB) Spåret av A : tr A = a 11 + a a nn. A - iagonaliserbar matris A och B - likformiga { tr A = λ1 + λ λ n et A = λ 1 λ 2...λ n tr A = tr B et A = et B p A (λ) = p B (λ) 3

4 VI Komplexa egenvären och reella lösningar A reell matris λ C \ R ett egenväre me egenvektor X λ } λ är ett egenväre till A me egenvektor X. VII Icke-iagonarliserbara matriser Slutsats: Icke-iagonaliserbara matriser leer till ej synkrona lösningar me potenser. 4

5 Pass 3 Stabilitet och stationära lösningar I initioner Systemet u = A u, A- konstant sägs vara: t stabilt omm varje lösning till systemet går mot 0 å t + ; neutralt stabilt omm alla lösningar till systemet är begränsae för stora t, men et finns lösningar som inte går mot 0 å t + ; instabilt omm et finns lösningar som är obegränsae för stora t. σ(a) = max 1 k n Re λ k (4.1) För varje linjärt homogent system u = A u me iagonaliserbar konstant systemmatris t gäller: σ(a) < 0 stabilitet σ(a) = 0 neutral stabilitet σ(a) > 0 instabilitet (4.2) För varje linjärt homogent system u = A u me gotycklig kvaratisk konstant systemmatris t gäller: σ(a) < 0 stabilitet σ(a) = 0 neutral stabilitet eller instabilitet σ(a) > 0 instabilitet 5

6 III Tvungna svängningar Pass 4 t u = A u + f(t) (1) a) Superpositionsprincip I (repetition) Varje lösningen till et icke-homogena systemet (1) kan skrivas på formen u(t) = u p (t) + u hom (t), är u p är en (partikulär) lösning till systemet, u hom (t) är en lösning till et homogena systemet. b) Stationära lösningar f(t) = be st u part (t) = (A si) 1 be st, s λ j (A) Resolventmatrisen c) Superpositionsprincip II (4.9) t u = A u + f(t) w = A w + g(t) t ) Insignalstabilitet R A (λ) = (A λi) 1 funktionen v = u + w är en lösning till ekvationen t v = A v + ( f(t) + g(t)) Systemet (1) sägs vara insignalstabilt om för varje begränsa insignal f tillstånsvariablerna är begränsae funktioner av tien. (4.5) σ(a) < 0 systemet är insignalstabilt. 6

7 I Polynomfunktioner Matrisfunktioner Pass 5 P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 P (A) = a n A n + a n 1 A n a 1 A + a 0 I, om A är en kvaratisk matris. (Cayley-Hamilton) Varje kvaratisk matris uppfyller sin egen karakteristisk ekvation p A (A) = 0. II Exponentialmatrisen 1-3 Exponentialmatrisen e A efinieras genom om A = iag ( 1, 2,..., n ) iagonalmatrisen e e D = iag (e 1, e 2,..., e n ) = 0 e e n A = SΛS 1 iagonaliserbar matrisen e A = Se Λ S 1 A är en kvaratisk matris e A = k=0 III Tillstånsekvationer A - kvaratisk konstant matris. 1 k! Ak Då har begynnelseväresproblemet { t u = A u + f(t) u(t 0 ) = b en entyiga lösningen t u = e A(t t 0) b + e A(t τ) f(τ)τ. t 0 7

8 Symmetriska och ortogonala matriser I Rummet C n (x1, x2,..., x n ) C n, xj C Pass 6 Skalärproukt x, y = n j=1 x jy j Norm x = n j=1 x j 2 (Cauchy-Schwarz-Bunjakovskys olikhet) x, y x y cos( x, ˆy) = x, y x y Ortogonala vektorer: x y x, y = 0. Pythagoras sats: x y x + y 2 = x 2 + y 2. Triangelolikheten: x + y x + y. II Projektion och spegling Projektion på planet som är vinkelrät mot vektorn n : P : x x = x x, n n 2 n P 2 = P Spegling i planet som är vinkelrät mot vektorn n : x, n S : x x = x 2 n 2 n 8

9 III Ortogonala matriser Q är en ortogonal (=unitär) matris omm Q 1 = Q = Q t. Raerna i Q utgör en ortonormera bas; Kolonnerna i Q utgör en ortonormera bas. Ett ortonormerat koorinatbyte bevarar skalärproukten och längen. Q ortogonal x = Qˆx y = Qŷ IV Symmetriska matriser A - är en Hermitesk matris omm A = A = A t { x, y = ˆx, ŷ x = ˆx A - är en symmetrisk matris omm A = A t Alla reella symmetriska matriser är hermiteska. (6.9) Alla egenvären till en hermitesk matris är reella. (6.10) Egenvektorer som hör till olika egenvären till en hermitesk matris är ortogonala. Alla hermiteska matriser kan iagonaliseras me hjälp av ortogonala matriser. 9

10 I Kvaratiska former Kvaratiska former Pass 7 Kvaratisk form är ett homogent anragras polynom. Varje reell kvaratisk form K( x, x) kan entyigt skrivas på formen K( x, x) = x, A x, är A är en reell symmetrisk matris. II Taylorapproximation f är en två gånger eriverbar funktion f( x + δ x) = f( x) + f( x), δ x δ x, Kδ x + o( x 2 ), ( f x 1, f f = x 2,..., f - graienten av funktionen f, { } n K = 2 f x j x k - Hessianen av funktionen f - en j,k=1 symmetrisk matris. x n ) Klassifikation av kvaratiska former (efinition) K(x, x) > 0 för alla x 0 positivt efinit; K(x, x) < 0 för alla x 0 negativt efinit; K(x, x) antar båe positiva och negativa vären inefinit; K(x, x) 0 för alla x 0 positivt semiefinit; K(x, x) 0 för alla x 0 negativt semiefinit. 10

11 III Diagonalisering av kvaratiska former A) Genom att iagonalisera matrisen A. A = SΛS t ˆx = S t x K(ˆx, ˆx) = b) Me hjälp av kvaratkomplettering n λ jˆx 2 j j=1 A = R t DR, är R är en högertriangulär matris me ettor på huvuiagonalen och D = iag ( 1, 2,..., n ) är en iagonalmatris n x = R t x K( x, x) = j x 2 j j=1 Klassifikation av kvaratiska former II K(x, x) är positivt efinit alla egenvären till A är positiva funktionen f(x) = K(x, x) har minimum i origo; K(x, x) är negativt efinit alla egenvären till A är negativa funktionen f(x) = K(x, x) har maximum i origo; K(x, x) är inefinit K har båe positiva och negativa egenvären funktionen f(x) = K(x, x) har saelpunkt i origo. Följane villkor är ekvivalenta för reella symmetriska matriser K: 1) en kvaratiska formen K(x, x) är positivt efinit; 2) alla egenvären till matrisen K är positiva; 3) K = R t DR, är R är högertriangulär me ettor på huvuiagonalen, och D är iagonal me positiva iagonalelement. 11

12 Kontinuerliga insignal-utsignal moeller I Approximation av linjära system Pass 8 Linjärt system S(c 1 w 1 (t) + c 2 w 2 (t)) = c 1 S(w 1 (t)) + c 2 S(w 2 (t)). { 1, t > 0 Stegfunktion = Heavisie funktion Θ(t) = 0, t < 0 { 1 Enhetspuls p (t) =, 0 < t < 0, annars Sampling f(t) f sampl (t) = k f(τ k)p k (t τ k ) k S(f) S(f sampl ) = k f(τ k )S (p k (t τ k )) k Impulssvar k(t, τ) = lim 0 S (p (t τ)) (Sw)(t) = + k(t, τ)w(τ)τ II Tisinvarians Systemet S är tisinvariant omm w(t) S y(t) w(t a) S y(t a) Systemet (Sw)(t) = + k(t, τ)w(τ)τ är tisinvariant omm k(t, τ) = h(t τ) för något h,.v.s. (Sw)(t) = + h(t τ)w(τ)τ. III Stabilitet 12

13 Systemet (Sw)(t) = + h(t τ)w(τ)τ är insignalutsignal stabilt omm + h(t) t <.

14 Kontinuerliga insignal-utsignal moeller II IV Kausalitet Ett lineärt system S är kausalt omm w(t) = 0 å t < t 0 (Sw)(t) = 0 å t < t 0 för alla t 0. Det tisinvarianta systemet (Sw) (t) = + h(t τ)w(τ)τ är kausalt omm h(t) 0, å t < 0. V Tillstånsbeskrivningar t u(t) = A u(t) + bw(t) y(t) = c, u(t) + w(t) w() = 0; u() = 0 Pass 9 A - n n matris, b, c - n-imensionella vektorer, - reell konstant (= 0). Lösningen y(t) = t c, e A(t τ) b w(τ)τ + w(t) Impulssvaret för et kausala systemet { t u(t) = A u(t) + bw(t) y(t) = c, u(t) ges av h(t) = c, e At b Θ(t). 13

15 I inition (f g) (t) = Faltning + f(t τ)g(τ)τ Pass 10 Faltningen f g existerar om f och g är styckvis kontinuerliga och uppfyller minst ett av följane villkor a) f, g L 1 ; b) f L 1, g - begränsa; c) f, g är kausala ( f(t) = g(t) = 0 för t < 0). II Räkneregler Antag att funktionerna f, g och h uppfyller minst ett av följane villkor a) f, g, h är kausala; b) f, g, h L 1, eller omvänt; c) f, g L 1, h - begränsa; ) f, g, h 0. Då gäller 1. f g = g f; 2. f (g + h) = f g + f h; 3. f (g h) = (f g) h; 4. T a (f g) = T a f g = f T a g är T a är en translation; 5. t (f g) = ( t f) g = f ( t g). III Stegsvaret Stegsvaret (Sθ)(t) för ett lineärt tisinvariant system S är lika me utsignalen å insignalen är ett enhetssteg θ(t) i t = 0. Sθ - stegsvaret, h - impulssvaret, å gäller h(t) = t (Sθ)(t). 14

16 Generaliserae funktioner I Deltaistribution Pass 11 Deltaistributionen (eltafunktionen) δ efinieras genom δ, ϕ = ϕ(0); δ a, ϕ = ϕ(a). II Distributioner Testfunktioner: D = C 0 (R) : 1) ϕ(t) = 0 utanför en begränsa mäng; 2) ϕ är oänligt många gånger eriverbar. lim n ϕ n = ϕ i D 1) alla funktioner är lika me 0 utanför en begränsa mäng; 2) lim n ϕ (l) n (x) = ϕ (l) (x), x R, l N. En istribution f D är en linjär kontinuerlig avbilning som till varje testfunktion ϕ D ornar ett tal f, ϕ R. Kontinuerlig: ϕ n D ϕ f, ϕn f, ϕ å n. Linjär: f, c 1 ϕ 1 + c 2 ϕ 2 = c 1 f, ϕ 1 + c 2 f, ϕ 2. III Derivation Multiplikation: f, ϕ = f, ϕ ψf, ϕ = f, ψϕ, ψ C Antag att f är styckvis glatt me brytpunkterna t 1,..., t m. Då är istributionserivatan av f lika me f = [f ] p +(f(t 1 +0) f(t 1 0))δ t (f(t m +0) f(t m 0))δ tm, är [f ] p betecknar en punktvisa erivatan av f. 15

17 Generaliserae funktioner II Några viktiga istributioner Pass 12 δ : δ, ϕ = ϕ (0); δ (k) : δ (k), ϕ = ( 1) k ϕ (k) (0); δ a : δ a, ϕ = ϕ(a). Distributioner me stö i origo f = N c k δ (k). k=0 IV Konvergens i istributionsmening f n D f å n f n, ϕ f, ϕ, å n för varje testfunktion ϕ V Distributioner och lösningar till ifferentialekvationer f (t) + af(t) = h(t), h(t) C 0 (R). (2) Beräkna Greens funktion g: g (t) + ag(t) = δ g(t) = { e at, t > 0 0 t < 0. En lösning till ekvationen (2) ges av f(t) = + g(t τ)h(τ)τ = t e a(t τ) h(τ)τ. 16

18 Frekvensanalys I Överföringsfunktion Pass 13 (12.1) 1) S är ett tisinvariant system y(t) = h(t τ)w(τ)τ; 2) Insignalen w(t) = e st är en komplex svängning me frekvensen s; 3) Integralen H(s) = h(τ)e sτ τ konvergerar utsignalen y(t) är en komplex svängning me samma frekvens II Frekvensfunktionen y(t) = H(s)e st. H(iω) = A(ω)e iϕ(ω) A(ω) - amplitufunktionen; ϕ(ω) - fasfunktionen. (12.4) 1) S - ett reellt stabilt tisinvariant system; 2) insignalen w(t) = cos ωt är en harmonist svängning me vinkelfrekvensen ω utsignalen y(t) är en harmonisk svängning y(t) = A(ω) cos(ωt + ϕ(ω)), är amplitufunktionen A(ω) är kvoten mellan utsignalens och insignalens reella amplituer; fasfunktionen ϕ(ω) är fasförskjutningen mellan utsignalen och insignalen. III Superposition och frekvens w(t) = + k= IV Resonanser c k (w)e ikωt S y(t) = + k= 1 H(s) k s (α + iβ) A(ω) H(ikΩ)c k (w)e ikωt k α 2 + (ω β) 2 17

19 Fouriertransformation I I inition och inversionsformel Pass 14 f(t) = 1 2π f(t) e iωt ˆf(ω)ω F ˆf(ω) = F 1 ˆf(ω) e iωt f(t)t Gaußpuls e t2 F πe 1 4 ω2 II Räkneregler c 1 f 1 + c 2 f 2 f(t) t f itf(t) F c1 ˆf 1 + c 2 ˆf 2 F ˆf( ω) F F iω ˆf(ω) ω ˆf III Faltningsatsen (13.5) f, g L 1 F(f g) = Ff Fg. 18

20 IV Parsevals formel Fouriertransformation II Pass 15 f, g L 2 (R) f, g = f(x)g(x)x Parsevals formel eller f, g = 1 2π ˆf, ĝ f(x)g(x)x = 1 2π ˆf(x)ĝ(x)x Slutsats: Fourier transformen avbilar rummet L 2 (R) till rummet L 2 (R) : f 2 = 1 2π ˆf 2 Fouriertransformationen av istributioner δ δ (k) F 1 F (iω) k 19

21 I inition Laplacetransformationen Pass 16 (Lf)(s) = e st f(t)t II Inversionsformeln (14.7) Antag att Laplacetransformen (Lf)(s) = F (s) av funktionen f konvergerar i strimlan α < Re s < β. Då gäller om α < σ < β. III Räkneregler f(t) = 1 2πi σ+i σ i e st F (s)s, linearitet c 1 f 1 (t) + c 2 f 2 (t) skalning f(at) förskjutning f(t t 0 ) ämpning e s0t f(t) konjugering f(t) tiserivation frekvenserivation t f(t) tf(t) L L 1 L L c 1 F 1 (s) + c 2 F 2 (s) a F ( s a ) e st 0 F (s) F (s s 0 ) L L L F ( s) sf (s) s F (s) 20

22 Pass Laplacetransformationen II-III IV Laplacetranformation av istributioner (Lδ)(s) = 1 V Inverstransformation av rationella funktioner A) Partialbråksuppelning B) Resiykalkyl f(t) = { Res<σ Res(est F (s)), t > 0 Res>σ Res(est F (s)), t < 0 VI Lösning av ifferentialekvationer a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 1 y + a 0 y = f(t) Y (s) = 1 a n s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 F (s) VII Lineära system och Laplacetransformationen (14.12) Faltningsatsen h = f g H(s) = F (s)g(s) omm Laplacetransformationerna H, F, G är efinierae i en strimla α < s < β. 21

23 (14.13) Överföringsfunktionen H(s) till ett tisinvariant lineärt system y(t) = h(t τ)w(τ)τ är lika me Laplacetransformen av impulssvaret: H(s) = e st h(t)t. H(s) = Y (s) W (s) är Y, W är Laplacetransformerna av ut- och insignalerna. VIII Den ensiiga Laplacetransformationen (L I f) (s) = 0 e st f(t)t (14.18) (L I f (n) ) (s) = s n (L I f) (s) f (n 1) (0) sf (n 2) (0)... s n 1 f(0) (Faltningssatsen) ( t )) (L I f(t τ)g(τ)τ (s) = (L I f) (s) (L I g) (s) 0 IX Faltningsekvationer Ex y(t) + 0 e 2(t τ) y(τ)τ = e 2t, t > 0