Karakteriseringar av rektifierbara mängder

Transkript

1 Karakteriseringar av rektifierbara mängder Robert Brunberg Helsingfors universitet Institutionen för matematik och statistik Handledare: Pertti Mattila

2 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matematisk-naturvetenskapliga fakulteten Tekijä Författare Author Robert Brunberg Työn nimi Arbetets titel Title Institutionen för matematik och statistik Karakteriseringar av rektifierbara mängder Oppiaine Läroämne Subject Matematik Työn laji Arbetets art Level Aika Datum Month and year Sivumäärä Sidoantal Number of pages Pro gradu-avhandling Oktober s. Tiivistelmä Referat Abstract I denna avhandling karakteriseras rektifierbara mängder med hjälp av approximativa tangentplan, densitet och ortogonala projektioner. Karakteriseringarna beskriver den lokala strukturen hos rektifierbara mängder. Eftersom en mängd kan delas upp i en rektifierbar mängd och en helt orektifierbar mängd så definierar karakteriseringssatserna också helt orektifierbara mängder. Inledningsvis presenteras grundläggande definitioner och satser inom måtteori. I kapitel två behandlas måtteoretiska egenskaper för Lipschitz funktioner. Dessa egenskaper utgör grunden för bevisen av karakteriseringssatserna. I kapitlet visas också att definitionen av rektifierbarhet är densamma oberoende av om Lipschitz funktioner eller kontinuerligt deriverbara funktioner används i definitionen för rektifierbarhet. Karakteriseringssatserna bevisas i kapitel tre. Utgångspunkten är en lokal linjär approximering av rektifierbara mängder. Karakteriseringen med approximativa tangentplan följer av detta. Därefter bevisas att en mängd är rektifierbar om och endast om densiteten i nästan varje punkt i mängden är 1. Slutligen karakteriseras rektifierbara mängder med ortogonala projektioner. Federer- Besicovitchs projektionssats utgör ena halvan av denna sats. Satsen bevisas först i det tvådimensionella fallet och generaliseras därefter induktivt till ett euklidiskt rum med ändlig dimension. Avainsanat Nyckelord Keywords Besicovitch-Federers projektionssats, Lipschitz funktioner, Rektifierbara mängder, Tangentplan Säilytyspaikka Förvaringsställe Where deposited Campusbiblioteket i Gumtäkt Muita tietoja Övriga uppgifter Additional information

3 Innehåll 0 Inledning 1 1 Måtteori Definitioner Mätbarhet Grundläggande satser Lipschitz funktioner Differentierbarhet, undre densitet och nivåytor Approximering med C 1 funktioner och approximativt deriverbara funktioner Rektifierbara mängder Definition och uppdelning Lineär approximerbarhet Karakteriseringssatser Approximativa tangentplan Densitet Projektioner

4 Kapitel 0 Inledning En kurva är rektifierbar, även kallat uträtbar, om dess längd är ändlig. Före differentialoch integralkalkylen utvecklades uppskattades längden av godtyckliga kurvor genom att approximera kurvorna med polygoner. I mitten av 1600-talet bidrog Fermat och Heuraet oberoende av varandra till att utveckla den integral som idag används för att bestämma längden av en kurva. Koch snöflingekurva, andra fraktalliknande kurvor och vissa snabbt oscillerande kontinuerliga funktioner är exempel på kurvor som har oändlig längd. Bildmängden för en rektifierbar kurva kan täckas nästan helt med uppräkneligt många bildmängder av Lipschitz funktioner. Begreppet rektifierbarhet är en generalisering av begreppet uträtbar kurva. I denna avhandling kommer vi att använda Mattilas [9] definition för rektifierbarhet: en delmängd av R n är m-rektifierbar om den kan täckas nästan helt med bildmängden av uppräkneligt många Lipschitz funktioner. Av Whitneys utvidgningssats följer att definitionen inte förändras om man i definitionen använder C 1 funktioner istället för Lipschitz funktioner. Därmed är rektifierbara mängder också en måtteoretisk generalisering av C 1 mångfalder. Rektifierbara mängder spelar en central roll i geometrisk måtteori. Federer [4] berättar hur försök att lösa Plateau problemet gav upphov till detta området inom matematiken. Plateau problemet är att bland ytor med given rand finna den yta som har minst area. Morgan [10] förklarar hur begreppet yta kan definieras för att en sådan areaminimerande yta skall existera. Man bör ge avkall på vissa krav på släthet och utvidga den traditionella definitionen av yta för att mängden av ytor som uppfyller randvillkoret skall vara kompakt, vilket gör det möjligt att hitta en lösning. För att kunna karakterisera rektifierbara mängder antas också att de m-rektifierbara mängderna är mätbara och har ändligt m-dimensionellt Hausdorff mått. Besicovitch undersökte rektifierbara mängder i planet och bevisade flera satser med hjälp av geometriska konstruktioner. Federer studerade rektifierbara mängder i euklidiska rum i 1

5 medlet av 1900-talet och har utvidgat Besicovitchs satser. Vad rektifierbara mängder beträffar är kanske Besicovitch-Federers projektionssats hans mest kända sats. White presenterade ett nytt bevis, som bygger på Besicovitch bevis för det tvådimensionella fallet, för satsen år Marstrand, Mattila och Preiss har visat bland mycket annat hur rektifierbara mängder kan karakteriseras med densitet. Fokus i den här magisteravhandlingen ligger på ekvivalenta definitioner av rektifierbara mängder. Tangentmått kommer dock inte att behandlas. Likheter mellan rektifierbara mängder och mångfalder tas ej upp och inte heller tillämpningar. I det första kapitlet samlar vi definitioner och satser inom måtteori som är behövliga i fortsättningen av avhandlingen. I kapitel två behandlas måtteoretiska egenskaper för Lipschitz funktioner som kommer att utgöra en grund för bevisen av karakteriseringssatserna i kapitel tre. Genom att granska fullt likvärdiga definitioner av rektifierbara mängder undersöker vi de inneboende egenskaperna för rektifierbara mängder. Karakteriseringen med hjälp av tangentplan beskriver rektifierbara mängders lokala struktur. Då vi definierar rektifierbara mängder med hjälp av densitet visar vi att m-rektifierbara mängder med positivt mått är detsamma som regelbundna m-mängder. Beviset för den avslutande karakteriseringssatsen skildrar hur det att helt orektifierbara mängder lokalt sett inte kan anpassas väl med plan påverkar måtten för bilderna av de ortogonala projektionerna av mängderna. Med ett fåtal exempel åskådliggör vi också kännetecknande drag för helt orektifierbara mängder. 2

6 Kapitel 1 Måtteori I detta kapitel samlas definitioner och satser inom måtteori som kommer att användas i de följande kapitlen. Definitioner exkluderas ifall det inte är vanligt att begreppet ifråga definieras på olika sätt. Välkända satser utelämnas. Bevis för allmänt använda satser förbigås. 1.1 Definitioner Då E är en icke-tom delmängd av ett normerat rum skriver vi d(e) = sup{ x y : x, y E}. Om E = så är d(e) = 0. Definition 1.1. Hausdorff mått. Låt A R n, s 0 och δ > 0. Då definieras Hδ s så att H s δ(a) = inf{ i d(e i ) s : A i E i, E i R n och d(e i ) δ}. Det s-dimensionella Hausdorff måttet H s för mängden A R n är H s (A) = lim δ 0 H s δ(a). Definition 1.2. Nätmått. Låt A R n, s 0 och δ > 0. Då definieras M s δ sätt: M s δ(a) = inf{ d(q i ) s : A Q i, d(q i ) δ}, i i på följande där Q i = [2 k m 1, 2 k (m 1 + 1)) [2 k m 2, 2 k (m 2 + 1))... [2 k m n, 2 k (m n + 1)) är n- dimensionella halvöppna binära kuber, m 1,, m n är heltal och k är ett icke-negativt heltal. Det s-dimensionella nätmåttet M s för mängden A R n är M s (A) = lim δ 0 M s δ(a). 3

7 Mängden av m-dimensionella delrum av ett affint delrum E R n betecknar vi Gr(m, E). Det m-dimensionella Lebesguemåttet betecknas L n. Då B(0, 1) R n betecknar vi L n (B(0, 1)) = α(n). Med en rotation avser vi en ortogonal avbildning vars determinant är 1. Mängden av rotationer av R n, SO(n), och mängden av m-dimensionella delrum av R n är kompakta topologiska grupper. I respektive grupp kan vi således definiera ett Haarmått som är ett unikt sannolikhetsmått. Det jämnt fördelade sannolikhetsmåttet för mängden SO(n) betecknar vi med θ(n). Nedan ger vi förslag på hur det senare måttet kan definieras på ett mer explicit sätt. I Mattila [9] finns det en övning där man skall visa att följande definition ger det ifrågavarande jämnt fördelade sannolikhetsmåttet. Definition 1.3. Mått för mängden av delrum. Låt 0 < m n och L(v 1,..., v m ) vara ett linjärt hölje för vektorerna v 1,... v m R n. Sannolikhetsmåttet γ n,m för Gr(m, R n ) definieras här på följande sätt: om A Gr(m, R n ) så är γ n,m (A) = α(n) m L } n {{ L n } ({(v 1,..., v m ) (R n ) m : v i 1, L(v 1,..., v m ) A}). m Om m = 0 definierar vi γ n,0 = δ 0. Definition 1.4. Låt 0 s, A R n och a R n. Den övre och nedre s-densiteten för A i punkten a definieras så att Θ s (A, a) = lim sup r 0 Θ s (A, a) = lim inf r 0 H s (A B(a, r)) (2r) s, H s (A B(a, r)) (2r) s. Om de har samma värde så benämns det gemensamma värdet den s-dimensionella densitet för A i punkten a och betecknas Θ s (A, a) = Θ s (A, a) = Θ s (A, a). Definition 1.5. Mängden E R n är en s-mängd, där 0 s n, om E är H s mätbar och 0 < H s (E) <. Definition 1.6. En punkt a A i en s-mängd är en regelbunden punkt för mängden A om Θ s (A, a) = 1. I annat fall är punkten a oregelbunden. En s-mängd A är regelbunden om H s nästan alla punkter i A är regelbundna. En s-mängd A är oregelbunden om H s nästan alla punkter i A är oregelbundna. 4

8 1.2 Mätbarhet Sats 1.7. Om A är en s-mängd så är funktionerna f r0 (a) = H s (A B(a, r)) H s (A B(a, r)) sup och g 0<r<r 0 (2r) s r0 (a) = inf 0<r<r 0 (2r) s Borelfunktioner för alla r 0 > 0 och s > 0. Mängden av alla m-dimensionella affina delrum av ett affint delrum E R n betecknar vi A(m, E) och vi skriver A(a, m, E) = {V A(m, E): a V }. Mängden av alla kompakta mängder i R n betecknas C. Mängden av alla affina avbildningar L: E E är L(E, E). En ortogonal projektion till ett affint delrum V skrivs som π V. Om A är en mängd i ett metriskt rum X så är A(ɛ) = {x X : d(x, A) ɛ}. Definition 1.8. Låt V a, W b A(m, R m ), där V, W Gr(m, R n ), a V och b W. Vi metriserar A(m, R n ) genom att definiera d(v a, W b ) = π V π W + a b, där π V π W betecknar operatornormen av funktionen ifråga. Låt K 1, K 2 C vara icke-tomma mängder. Då definierar vi d H (K 1, ) = och d H (, ) = 0. d H (K 1, K 2 ) = inf{r : K 1 K 2 (r) och K 2 K 1 (r)}, Funktionen (K 1, K 2 ) d H (K 1, K 2 ) är en Hausdorff metrik i C \. Följande fyra lemman kommer att användas enbart i Kapitel Bevisen följer Whites bevis [11]. I kapitel 2 definieras Lipschitz funktioner (och beteckningen L f ) och i kapitel 3 definieras rektifierbara mängder. Lemma 1.9. Följande funktioner är Borel: (1) (2) (3) (4) Hδ m : C R n, H m : C R n, G: C L(E, E) C, där G(K, F ) = F (K), H : C A(m, R n ) C, där H(K, V ) = K V. Bevis. Låt ɛ > 0, C C och H m δ (C) = a. Då kan vi hitta ett sådant öppet δ-täcke {U i} att d(u i) m < a+ɛ. Om d H (C, C) är tillräckligt litet innehålls C i δ-täcket. Följaktligen 5

9 är Hδ k(c ) < a+ɛ, vilket visar att Hδ m : C R är ovanifrån semikontinuerlig och därmed Borel. Därmed är H m (C) = lim j= H m 1 (C), vilket bevisar (2). j Vi bevisar (3). Låt ɛ > 0, C C och F L(E, E). Då finns det ett sådant k > 1 att C B(0, k). Då C B(C, ɛ/2) och F B(F, ɛ/2k) så är G(C, F ) B(G(C, F ), ɛ). Funktionen G är därmed kontinuerlig. Av definitionerna följer också direkt att H är kontinuerlig, ty urbilden av en sluten mängd är en sluten mängd. Lemma Låt E C och Då är φ: C R Borel. φ(e) = sup{h 1 (E C): C är 1-rektifierbar}. Bevis. Låt A vara mängden av Lipschitz funktioner f : R R m och låt B A bestå av Lipschitz funktioner för vilka gäller att f(0) = 0 och L f = 1. Låt C(m) = {f([0, m]): f B}, Fixera m. Mängden C(m) C \ och kan metriseras med Hausdorff metriken. Mängden C(m) är följdkompakt i den topologin som den ifrågavarande metriken inducerar enligt Arzela-Ascolis sats. Då E C gäller att φ(e) = sup H 1 (E f i (R)) f i A = sup H 1 (E f(r)) f A = sup H 1 (E f(r)) f B = sup m = sup m = sup m = sup m sup C C(m) sup C C(m) sup δ sup H 1 (E C) sup Hδ(E 1 C) δ sup C C(m) sup δ Q + C C(m) H 1 δ(e C) H 1 δ(e C). Eftersom E Hδ 1 (E C) är ovanifrån semikontinuerlig och C(m) är kompakt så är funktionen E sup Hδ(E 1 C), C C(m) 6

10 ovanifrån semikontinuerlig. Vi visar detta. Låt E C. Vi gör motantagandet att sup Hδ(E 1 C) = c C C(m) och att det finns en sådan följd kompakta mängder (E n ) att E n E och sup Hδ(E 1 n C) > c + ɛ för något ɛ > 0. C C(m) Eftersom C(m) är kompakt kan vi hitta sådana mängder D n C(m) att H 1 δ(e n D n ) = sup Hδ(E 1 n C). C C(m) Då finns det en kompakt mängd D C(m) och sådana delföljder E nk och D nk att E nk E och D nk D. Detta implicerar att det för alla ɛ 1 > 0 finns ett sådant k 0 N att då k k 0 så är E nk D nk (E D)(ɛ 1 ). Låt U vara ett ändligt öppet δ-täcke för E D. Det vi visat implicerar att det finns ett sådant k N att U också är ett δ-täcke för E nk D nk. Följaktligen skulle sup Hδ(E 1 C) Hδ(E 1 D) Hδ(E 1 nk D nk ) > c + ɛ, C C(m) vilket är en motsägelse. Eftersom φ är supremum av en uppräknelig mängd Borelfunktioner så är φ en Borelfunktion. Lemma Låt E R n vara ett affint delrum, L Gr(1, E), K E en kompakt delmängd och låt j µ L (K) = lim L (K), där Låt j µ 1 µ δ L(K) = inf { d(π L K i ): K K i, d(k i ) < δ för alla i N}. ν L (K) = sup{µ L (K C): C är 1-rektifierbar}. Då är (L, K) µ L (K) och (L, K) ν L (K) Borelfunktioner. Bevis. Det räcker att visa att funktionerna f 1 (K) = µ L (K) och f 2 (K) = ν L (K) är Borelfunktioner för ett fixerat L, ty om L är en linje så är µ L (K) = µ L (ρ L,LK), 7

11 där ρ L,L L(E, E) är en isometri som avbildar L på L. Funktionerna ρ L,L väljs så att avbildningen L ρ L,L är Borel. Funktionen G: C L(E, E) C definierad som G(K, ρ L,L) = ρ L,LK är Borel enligt Lemma 1.9 (3). Vi fixerar L. Enligt definitionen för µ L är därmed beviset för att µ δ L (K) är ovanifrån semikontinuerlig analogt med beviset för att Hδ 1 är ovanifrån semikontinuerlig. Följaktligen är f 1 och f 2 Borelfunktioner. Följande definition och lemma kommer att användas då vi granskar projektioner av rektifierbara mängder. Närmare bestämt kommer lemmat att användas i beviset för Lemma Definition Låt K R n vara en kompakt mängd med 0 < H m (K) <. Låt (V, L) vara par där V Gr(n m + 1, R n ) och L Gr(1, V ). Vi säger att paret är fint med avseende på K om (1) (2) H 1 (K V ) < och K V = A B, där A kan täckas med uppräkneligt många bilder av C 1 -kurvor och H 1 (π L B) = 0. Lemma Om K är kompakt och H m (K) <, så är mängden av par (V, L) som är fina med avseende på K en Borelmängd. Bevis. Paret (V, L) är fint med avseende på K om och endast om (1 ) (2 ) H 1 (K V ) < och µ L (K V ) = ν L (K V ). Att villkor (2 ) är ekvivalent med villkor (2) i Definitionen 1.12 följer av att H 1 (π L K) = 0 implicerar att µ L K = 0. Om K V = A B är som i villkor (2) så är nämligen µ L (K V ) = µ L ((K V ) \ B) = ν L (K V ). Om villkor (2 ) är uppfyllt så gäller villkor (2), ty definitionen av rektifierbarhet är densamma oberoende om man använder C 1 -funktioner eller Lipschitz funktioner. Enligt Lemma 1.9 (2) och (4) är (V, K) H 1 (K V ) en sammansatt funktion av två Borelfunktioner och således en Borelfunktion. Därmed är också (V, L) H 1 (K V ) en Borelfunktion eftersom funktionsvärdet ej beror av L. Detta visar att mängden av par (V, L) som uppfyller (1) för en given kompakt mängd K är Borel. Enligt Lemma 1.11 och 1.9 (4) är f 1 (V, L, K) = µ L (K), f 2 (V, L, K) = ν L (K) och g(v, L, K) = K V Borelfunktioner. Därmed är h i (V, L, K) = f i (V, L, g(v, L, K)) Borelfunktioner, där i = 1, 2. Således är mängden tripplar (V, L, K) som uppfyller (2) Borel. I och med detta är mängden par (V, L) som uppfyller (2) för en given kompakt mängd K Borel. 8

12 1.3 Grundläggande satser Sats Låt 0 s <, A R n och H s (A) <. Då gäller att (1) (2) 2 s Θ s (A, x) 1 för H s nästan alla x A och om A är H s mätbar, så är Θ s (A, x) = 0 för nästan alla x R n \A. Korollarium Låt A och B vara H s mätbara delmängder av R n för vilka gäller att B A och H s (A) <. Då gäller för H s nästan alla x B att Θ s (B, x) = Θ s (A, x) och Θ s (B, x) = Θ s (A, x). Korollarium Om E är en s-mängd så är mängden av regelbundna punkter i E regelbunden och mängden av oregelbundna punkter i E är en oregelbunden mängd ifall respektive mängder har positivt H s mått. Sats Om E R n och H m (E) < R n så är för H m nästan alla x E. lim δ 0 sup U x, d(u)<δ H m (E U) d(u) m = 1, Följande två lemman är hämtade ur Mattila [9]. De kommer att användas då vi karakteriserar rektifierbara mängder med densitet och projektioner. Lemma Låt k och m vara sådana heltal att 0 k n 1, 0 m n 1, k + m n och låt W Gr(k, R n ). Då är γ n,m ({V Gr(m, R n ): V W {0}) = 0. Korollarium Om W Gr(m, R n ) så är π V W : W V är bijektiv för γ n,m nästan alla V G(m, R n ). De två följande satserna respektive lemmana behandlar nätmått och bevisas på nästan exakt samma sätt som i Falconer [3]. Sats 1.23 kommer att användas då vi karakteriserar rektifierbara mängder med projektioner. Sats Om E R n så är där c n = 3 n 2 n2. Därmed är H s δ(e) M s δ(e) c n H s δ(e) då 0 < δ < 1, H s (E) M s (E) c n H s (E). 9

13 Bevis. Låt E R n. I och med att infimimum är över en mindre mängd för M s δ så är Hδ s(e) Ms δ (E). Låt δ > 0 och låt U vara en sådan godtycklig mängd att 0 < d(u) < δ. Vi väljer ett sådant k R att 2 k 1 < d(u) < 2 k. Låt Q U vara en n-dimensionell halvöppen binär kub med sidlängden 2 k som skär U. Då täcks U av mängderna i Q U som är de 3 n binära kuber som utgörs av Q U och dess närmaste grannar av binära kuber. Vi delar in varje kub i Q U i 2 n2 mindre kuber som är sinsemellan kongruenta. Därmed har vi visat att U tillhör en union av c n = 3 n 2 n2 binära kuber vars diameter är 2 k n n < 2 1 n n 1 2 d(u) < d(u) < δ. Låt {U i } vara ett δ-täcke för E. För alla i N gäller att U i {Q ij } cn j=1, där Q ij är binära kuber vars diameter är mindre än d(u i ). Således är M s δ (E) c nhδ s (E) och därmed är också M s (E) c n H s (E). Lemma Låt (E j ) vara en sådan växande följd av delmängder av R n att varje E j är en ändlig union av binära kuber. Då är M s δ( lim j E j ) = lim j M s δ(e j ). Bevis. Om s > n är både leden likamed noll. Vi kan därför anta att s n. Vi betecknar E = lim j E j = E j. Eftersom M s δ (E j) M s δ (E) för alla j så är Ms δ (E) lim j M s δ (E j). Vi fixerar ett j. Då E j är en ändlig union av binära kuber och s n så existerar det åtminstone ett sådant ändligt δ-täcke A j av disjunkta binära kuber att A A j d(a) s = M s δ(e j ). Varje täcke A j kan väljas så att det är det numerärt sett minsta av dylika täcken. Anta att P A j. Då måste P innehålla en punkt x E j. Då E j E j+1 så existerar en mängd Q A j+1 i vilken x är ett element. Med tanke på hur familjen av binära kuber definierades så bör nu gälla att P Q eller Q P. Om Q är en äkta delmängd av P så kan vi antingen byta ut P mot de kuber i A j+1 som är delmängder av P för förminska A A j d(a) s, eller så kan vi byta ut kuberna i A j+1 som finns i P mot Q och på så sätt antingen förminska A A j+1 d(a) s eller förminska A j+1 numerärt. Detta skulle leda till motsägelser och vi kan därför sluta oss till att P är en delmängd av Q. Låt Q vara mängden av kuber som är element i j=1a j. Låt {Q i } vara mängden av kuber i Q som inte är en äkta delmängd av något annat element i Q. Då är E j Q i för alla j N. Därmed är E Q i och M s δ(e) d(q i ) s. 10

14 För ett givet k N existerar ett sådant j(k) N att Q i A j(k) då i k. Därmed är M s δ(e) lim k k d(q i ) s lim vilket skulle bevisas. k Q A j(k) d(q) s = lim k M s δ(e j(k) ) lim k M s δ(e j ), Lemma Låt A R, låt (I i ) vara en följd av binära intervall som utgör ett δ-täcke till A, låt (a i ) vara en följd av positiva tal och låt c vara en sådan konstant att för alla x A. Då är {i: x I i } a i > c a i I i s cm s δ(a). Bevis. Vi antar först att följderna (I i ) och (a i ) är ändliga. Genom att förminska varje a i något så att antagandet fortfarande gäller kan vi utgå från att varje a i är rationellt. Vidare kan vi genom att multiplicera med en gemensam nämnare för talen a i anta att alla a i är heltal. Om a j = k(j) N kan vi förändra följden (I i ) så att intervallet I j innehålls k(j) antal gånger. Därmed räcker det att bevisa påståendet då a i = 1 för alla i. Under dessa antaganden kommer varje x A att höra till åtminstone c intervall i följden (I i ). Med stöd av nätegenskapen för (I i ) kan vi genom att välja alla de intervall I j i följden som inte är delmängder av något annat intervall bilda ett täcke av disjunkta mängder för A. Vi kallar unionen av dessa intervall för A 1. Analogt gäller nu att varje x A hör till åtminstone c 1 intervall i följden (I i ) som inte hör till A 1. På motsvarande sätt kan vi nu bilda mängden A 2. Proceduren kan upprepas totalt c gånger. Därmed är I i s M s δ(a), I i A j för j = 1, 2,..., c. Satsen är därmed bevisad för fallet då (I i ) är ändlig. Om (I i ) är en oändlig följd av binära intervall låt A k = {x R {i:x I i } i k a i > c} 11

15 för varje k. Av det ändliga fallet följer att k I i s cm s δ(a k ). Varje A k är en ändlig union av binära intervall, följden (A k ) är växande och A A k = lim k A k. Av Lemma 1.21 följer att I i s c lim k M s δ(a k ) = cm s δ( lim k A k ) cm s δ(a). Då E R 2 betecknar vi E x1 = {(x, y) E : x = x 1 }. Sats Låt E R 2, låt A vara en delmängd av x-axeln och låt c > 0. Om H t (E x ) > 0 för alla x A så är H s+t (E) bch s (A), där b = b(s, t) = s 1 2 (s+t) 144. Bevis. Med stöd av Sats 1.20 räcker det att bevisa påståendet för konstanten s 1 2 (s+t) med Hausdorffmåttet H utbytt mot nätmåttet M. Låt δ > 0 och låt {S i } vara en familj binära kuber som utgör ett δ-täcke till E. För varje x E gäller att E x (S i ) x. Därmed är Om A δ = {x A: M t δ (E x) > c} så är M t δ(e x ) (S i ) x t. c < (S i ) x t = t S i t, {i: x π 1 S i } för alla x A δ, där π 1 S i är en ortogonal projektion av S i till x-axeln. Således är S i s+t = S i t S i s = s S i t π 1 S i s (s+t) cm s δ(a δ ). 12

16 Den sista olikheten följer av Lemma 1.22 då I i = π 1 S i och a i = S i t. Ovanstående gäller för varje δ-täcke bestående av binära kvadrater {S i }. Således är dcm s δ(a δ ) M s+t δ (E) Ms+t (E), där d = s 1 2 (s+t). Eftersom A δ växer mot A då δ går mot 0 så är om δ ρ. Om ρ > 0 så är följaktligen dcm s δ(a ρ ) dcm s δ(a δ ) M s+t (E) dcm s (A ρ ) M s+t (E). Eftersom måttet M är ytterregelbundet är M s (lim ρ 0 A ρ ) = M s (A) även om mängderna i fråga inte är mätbara. Därmed är dcm s (A) M s+t (E). Vi bevisar inte de två följande satserna. I Holopainen [6] bevisas Sats 1.24 för fallet c = 5. En smärre förändring av beviset ger nedanstående sats. Beviset för den senare satsen hittas i exempelvis Mattila [9]. I litteraturen kallas också den senare satsen för Vitalis täckessats. Satserna bevisas med standardmetoder inom måtteori. Sats Vitalis täckessats. Låt c > 3 och B vara en godtycklig familj av sådana slutna kulor i R n att sup{d(b): B B} <. Då finns det en uppräknelig (möjligen ändlig) följd av sådana disjunkta kulor B i B att B cb i. B B Sats Låt A R n och låt F vara en sådan familj av slutna kulor i R n att inf {d(b): x B F} = 0 då x A Då existerar det sådana disjunkta kulor B i F att L n (A \ B i ) = 0. Dessutom kan vi för ett givet ɛ > 0 välja sådana kulor B i F att L n (B i ) L n (A) + ɛ. 13

17 Kapitel 2 Lipschitz funktioner Lipschitz funktioner kommer att spela en essentiell roll i definitionen av rektifierbara mängder. Egenskaper för Lipschitz funktioner och egenskaper för rektifierbara mängder är nära besläktade. 2.1 Differentierbarhet, undre densitet och nivåytor Definition 2.1. En funktion f : A R m R n är en Lipschitz funktion om det finns en sådan konstant L < att f(x) f(y) L x y för x, y A. Infimumet av sådana konstanter L betecknar vi L f. Nästa lemma bevisas med standardmetoder inom reell analys. För bevis se exempelvis Hajlasz [5]. Lemma 2.2. Låt Ω R n vara en öppen mängd. Om f L 1 loc (Ω) och f(x)ϕ(x)dx = 0 för Ω alla ϕ C0 (Ω) så är f = 0 L n nästan överallt. Med f L 1 loc (Ω) avses att funktionen f är integrerbar i varje kompakt mängd i Ω. Funktionen ϕ C0 är slät och {x Ω: ϕ(x) 0} är kompakt. De kommande bevisen i detta kapitel följer minutiöst bevisen i Mattila [9]. Beviset för Rademachers sats finns också i Simon [11]. Sats 2.3. Rademachers sats. Om f : R m R n är en Lipschitz funktion, så är f deriverbar L m nästan överallt i R m. 14

18 Bevis. För att bevisa Rademachers sats bör man enligt definitionen för differentierbarhet visa att det existerar en sådan lineär funktion J x0 : R m R n att f(x 0 + h) f(x 0 ) J x0 (h) lim h 0 h för nästan alla x 0 R m. Vi antar att fallet då m = n = 1 är känt. För bevis se Holopainen [6]. Vi antar inledningsvis att n = 1. Då e S m 1 och x R m betecknar vi derivatan för f i riktning e med e f(x). Vi betecknar Funktionerna x = 0 B e = {x R n : e f(x) existerar inte}. f(x + he) f(x) f(x + he) f(x) sup och x inf 0<h<h 1 h 0<h<h 1 h är Borelfunktioner för alla h 1 > 0, ty f är kontinuerlig och således förändras inte supremum och infimum om vi antar att h Q. Därmed är B e en Borelmängd. Genom att tillämpa specialfallet då m = n = 1 på t f(x + te) kan vi sluta oss till att det för alla x R m gäller att H 1 (B e {x + te: t R}) = 0. Vi betecknar linjen i riktning e med L e. Vi betraktar R m som den kartesiska produkten L 1 L m 1 L e där L 1,..., L m 1 är linjer som är parvis vinkelräta och vinkelräta mot L e. Av Fubinis sats följer då att L m (B e ) = 0. Därmed har vi visat att för ett godtyckligt e S m 1 så existerar e f(x) för nästan alla x R m. Härnäst visar vi att (1) e f(x) = e f(x) för L m nästan alla x R m. Vi betecknar i f(x) = ei f, där {e i } m 1 är standardbasen för R m. Låt ϕ C0 (R m ). Då h 0 gäller att h 1 [f(x + he) f(x)]ϕ(x)dx = h 1 f(x + he)ϕ(x)dx h 1 f(x)ϕ(x)dx = h 1 f(x)ϕ(x he)dx h 1 f(x)ϕ(x)dx = h 1 [ϕ(x) ϕ(x he)]f(x)dx. 15

19 Eftersom både f och ϕ är Lipschitz så är f(x + he) f(x) ϕ(x + he) ϕ(x) L f och L ϕ. h h Därmed kan vi tillämpa dominerade konvergenssatsen och erhålla e f(x)ϕ(x)dx = f(x) e ϕ(x)dx = = f(x)(e ϕ(x))dx = m e e j j=1 ϕ(x) j f(x)dx = m e e j j=1 f(x) j ϕ(x)dx ϕ(x)(e f(x))dx. Eftersom detta gäller för alla ϕ C 0 (R m ) så följer (1) av Lemma 2.2. Låt {d 1, d 2,...} vara en tät mängd i S m 1. För varje i N låt A i vara mängden av alla x R m för vilka f(x) och di f(x) existerar och di f(x) = d i f(x). Vi betecknar A = A i. Då följer av det vi redan bevisat att L m (R m \ A) = 0. Vi visar nu att f är deriverbar i alla punkter i A. För a A, e S m 1 och h > 0, låt Om e, e S m 1 så är Q(x, e, h) = f(x + he) f(x) h e f(x). Q(x, e, h) Q(x, e, h) ( m + 1)L f e e. Låt ɛ > 0. Eftersom S m 1 är kompakt så existerar det ett sådant N N att om e S m 1 så är e e 1 < ɛ/(2( m + 1)L) för något i {1,..., N}. Av definitionen för A följer att lim h 0 Q(x, e i, h) = 0 för alla i. Följaktligen existerar det ett sådant δ > 0 att Q(x, e i, h) < ɛ, då 0 < h < δ och i {1,..., N}. 2 Därmed gäller att om e S m 1 och 0 < h < δ så kan vi välja ett i {1,..., N} så att e e 1 < ɛ/(2( m + 1)L) och Q(x, e, h) Q(x, e, h) Q(x, e i, h) + Q(x, e i, h) < ( m + 1)L f e e + ɛ 2 < ɛ. Anta slutligen att funktionen f : R m R n har komponentfunktionerna f 1,..., f n, d.v.s. f = {f 1,..., f n }. Komponentfunktionerna till den sökta funktionen J x0 är därmed h h f i (x 0 ). 16

20 Sats 2.4. Om f : R m R n är en Lipschitz funktion, s 0 och A R m, så är vilket implicerar att H s (fa) L s fh s (A), dim(fa) dim A. Sats 2.5. Om f : R m R n är en Lipschitz funktion så är H m ({f(x): f (x) existerar och dim(f (x)r m ) < m}) = 0. Bevis. Vi kan anta att m n, annars är beviset trivialt. Låt 0 < R < och låt A R = {x B(0, R): f (x) existerar och dim(f (x)r m ) < m}. Fixera R. Låt 0 < ɛ < L, där L = L f. Det räcker att visa att H m (f(a R )) = 0. Vi skriver W x = f (x)r m + f(x) = {f (x)y + f(x): y R m }. Då kommer det för tillräckligt små r > 0 gälla att fb(x, r) B(f(x), Lr) W x (ɛr), enligt definitionen för derivata och W x. Eftersom dim W x m 1 så är fb(x, r) innesluten i ett n-dimensionellt rätblock med måttet 2Lr } {{ 2Lr } 2ɛr } {{ 2ɛr }. Det m 1 n (m 1) n-dimensionella rätblocket kan täckas med ( L + ɛ 1)m 1 n-dimensionella kuber med sidlängden 2ɛr. Således är H n (fb(x, r)) ( 2L ɛ )m 1 (2ɛr n) m = cɛr(lr) m 1, där c = c(n, m) = 2 2m 1 n m 2. Enligt Sats 1.25 finns det sådana disjunkta kulor B i = B(x i, r i ) att L m (A R \ B i ) = 0 och L m (B i ) < L m (A R ) + ɛ. 1=1 Därmed är fa R ( fb i ) f(a R \ B i ) och H m f(a R \ B i ) = 0 enligt Sats 2.4. Följaktligen är H (fa m R ) H (fb m i ) cl m 1 ɛ cl m 1 ɛ (Lm (A R ) + ɛ). α(m) Detta implicerar att H m (fa R ) = 0 eftersom ɛ > 0 var godtyckligt. r m i 17

21 Sats 2.6. Om f : R m R n är en Lipschitz funktion och A R m är L m mätbar så är Θ m (fa, x) > 0 för H m nästan alla x fa. Bevis. Vi kan anta att L m (A) <, ty om så inte är fallet kan vi ersätta A med A B(0, r), där r > 0. Låt ɛ > 0, C ɛ = {y fa: Θ m (fa, y) < ɛ}, och låt U vara en sådan öppen mängd att A U och L m (U) <. Det räcker att visa att H m (C ɛ ) < cɛl m (U), där c beror endast av L f och m. Måttet H m C ɛ är ett Radonmått eftersom H m (C ɛ ) < och H m är ett Borelmått. Enligt Vitalis täckessats för Radonmått finns det därmed sådana disjunkta slutna kulor B i = B(y i, r i ) och sådana punkter x i A, i = 1, 2,... att f(x i ) = y i C ɛ, H m (fa B i ) < ɛd(b i ) m, D i = B(x i, r i ) U och L f H m (C ɛ \ B i ) = 0. Då är D i disjunkta mängder eftersom fd i B i. Följaktligen är H m (C ɛ ) = = cɛ där c = c(l f, m) = (2L f ) m (α(m)) 1. H m (C ɛ B i ) ɛ d(b i ) m L m (D i ) cɛl m (U), Då vi karakteriserar rektiferbara mängder med hjälp av densitet kommer vi att visa att om f : R m R n är en Lipschitz funktion och A R m är L m mätbar så är Θ m (fa, x) = 1 för H m nästan alla x fa. I följande sats som behandlar Hausdorff måttet för nivåytor betecknar vi med den övre integralen. Satsen kommer att användas i Lemma 3.51 då vi undersöker projektioner av rektifierbara mängder. 18

22 Sats 2.7. Låt A R n och låt f : A R m vara en Lipschitz funktion. Om m s n så är H s m (A f 1 {y}) dl m y α(m)l m f H s (A). Bevis. För varje k = 1, 2,... täcker vi mängden A med sådana mängder E k,1, E k,2,... att d(e k,i ) 1/k och d(e k,i ) s H s 1 (A) + 1 k k. Vi betecknar F k,i = {y R m : E k,i f 1 {y} }. Om y 1, y 2 F k,i så finns det sådana x 1, x 2 A E k,i att f(x 1 ) = y 1 och f(x 2 ) = y 2, ty definitionsmängden för funktionen f är A. Då är och följaktligen är y 2 y 1 L f x 2 x 1 L f d(e k,i ) (1) L m (F k,i ) α(m)(l f d(e k,i )) m. Då är H s m (A f 1 {y}) dl m y = lim H s m 1 k k lim inf k lim inf k lim inf k (A f 1 {y}) dl m y d(e k,i f 1 {y}) s m dl m y d(e k,i f 1 {y}) s m dl m y F k,i d(e k,i ) s m L m (F k,i ) α(m)l m f lim inf k α(m)l m f lim inf d(e k,i ) s k (Hs 1 k α(m)l m f H s (A). (A) + 1 k ) I den andra olikheten ovan använde vi Fatous lemma och den fjärde olikheten följde av (1). 19

23 2.2 Approximering med C 1 funktioner och approximativt deriverbara funktioner Definition 2.8. Låt f : A R m R n. Punkten l R n är ett approximativt gränsvärde för funktionen f i punkten x A, vilket vi betecknar ap lim y x f(y) = l, om det finns en sådan mängd B A att Θ m (B, a) = 1 och lim f(y) = l. y x y B Definition 2.9. Låt f : R m R n. Funktionen f är approximativt deriverbar i punkten x 0 R m om det existerar en sådan linjär funktion L x0 : R m R n att ap lim x x0 f(x) f(x 0 ) L x0 (x x 0 ) x x 0 Sats Låt f : A R m R n vara en Lebesgue mätbar funktion. Då är följande villkor ekvivalenta: = 0 (1) (2) (3) Funktionen f är approximativt deriverbar nästan överallt i A. De approximativa partialderivatorna ap D i f, 1 i m, existerar nästan överallt. Det existerar sådana mängder A i A att H m (A \ A i ) = 0 och f Ai är Lipschitz. Sats Whitneys utvidgningssats. Om A R n är sluten, f : C R och v : C R n är kontinuerliga i varje kompakt mängd K C och om där och lim ρ K(δ) = 0, δ 0 ρ K (δ) = sup{ R(x, y) : 0 < x y δ, x, y K} R(x, y) = f(y) f(x) v(x) (y x), x y, y x så finns det en sådan C 1 funktion g : R n R att g = f och g = v i mängden A. 20

24 Vi bevisar inte de två ovanstående satser. Se exempelvis Federer [4] för beviset av den tidigare satsen. Beviset liknar beviset för Rademachers sats. Den senare satsen är bevisad i Evans och Gariepy [2]. Ett bevis för Whitneys utvidgningssats då n = 1 kan också hittas i Simon [11]. Följande sats är ur Evans och Gariepy [2]. Sats Anta att f : R n R är en Lipschitz funktion. För varje ɛ > 0 existerar en sådan C 1 -funktion g : R n R att L n {(x: g(x) f(x) eller g (x) f (x)} ɛ. Bevis. Enligt Rademachers sats finns det en sådan mängd A R n att L n (R n \ A) = 0 och f är deriverbar i A. Låt ɛ > 0. Enligt Luzins sats finns det en sådan sluten mängd B A att f B är kontinuerlig och L n (R n \ B) < ɛ/2. Vi skriver v(x) f (x) och R(x, y) f(y) f(x) v(x) (y x), då x y. x y Vi definierar ytterligare funktionen Då är η k (x) sup{ R(x, y) : y B, 0 < x y 1 k }. lim η k(x) = 0, för alla x B. k Av Egorovs sats följer att det existerar en sådan sluten mängd C B att L n (B\C) < ɛ/2 och η k 0 då k 0 likformigt i kompakta delmängder av C. Antagandena i Whitneys utvidgningssats gäller således för funktionerna f och v i mängden C. Vi visar detta. Låt ɛ 1 > 0, fixera x 0 C och låt K = B(x 0, 1) C. Låt x, y C. Då existerar ett sådant 0 < δ < 1 att då x K är η 1 (x) < ɛ 1. Om x x 0 < δ 2δ och y x 0 < δ, så är naturligtvis x, y K. Detta implicerar då x y att R(x, y) < ɛ 1, vilket bevisar påståendet. 21

25 Kapitel 3 Rektifierbara mängder 3.1 Definition och uppdelning Definition 3.1. En mängd E R n är m-rektifierbar, även kallat m-uträtbar, om det existerar sådana Lipschitz funktioner f i : R m R n, i = 1, 2,..., att H m (E\ f i (R m )) = 0. En mängd F är helt m-orektifierbar om H m (E F ) = 0 för alla m-rektifierbara mängder E. Av definitionen följer omedelbart att alla delmängder av R n är m-rektifierbara om m n. En 0-rektifierbar mängd är en uppräknelig mängd. I fortsättning kommer vi därför att anta att 0 < m < n. Av Sats 2.12 följer att definitionen inte förändras om vi kräver att funktionerna är kontinuerligt deriverbara istället för Lipschitz. För att en mängd E R n skall vara m-rektifierbar krävs inte att mängden är mätbar eller har ändligt H m mått. Då vi karakteriserar rektifierbara mängder kommer dock användningen av Sats 1.14 (2) leda till att vi gör dessa antaganden. Sats 3.2. Låt A R n vara sådan att H m (A) <. Då är A = E F, där E är m-rektifierbar, F är helt m-orektifierbar och H m (E F ) = 0. Bevis. Låt M = sup H 1 (A B), där supremum är över alla rektifierbara mängder B. Välj sådana rektifierbara mängder E i att H 1 (A B) > M 1/i. Då är E = E i och F = A \ B de sökta mängderna. 22

26 3.2 Lineär approximerbarhet Definition 3.3. Mängden E R n är m-lineärt approximerbar om följande gäller för H m nästan alla a E: om η är ett positivt tal så existerar det positiva tal r 0 och λ som beror av a och η och det finns ett sådant affint plan W A(a, m, R n ) att det för alla 0 < r < r 0 gäller att (3.4) H m (E B(x, ηr)) > λr m för x W B(a, r) och (3.5) H m (E B(a, r)\w (ηr)) < ηr m. Definition 3.6. Mängden E R n är svagt m-lineärt approximerbar om det för H m nästan alla a E gäller att: om η är ett positivt tal så existerar det positiva tal r 0 och λ som beror av a och η och det dessutom finns ett sådant affint plan W A(a, m, R n ) som beror av r att 3.4 och 3.5 gäller för alla 0 < r < r 0. Det följer direkt av definitionen att dessa villkor implicerar att Θ m (E, a) > 0 för H m nästan alla a E. Lemma 3.7. Låt E R n vara en sådan mätbar (svagt) m-lineärt approximerbar mängd att H m (E) < och låt F E vara en mätbar mängd. Då är F (svagt) m-lineärt approximerbar. Bevis. Låt mängderna E och F vara som i lemmat ovan och låt 0 < η < 1. Om H m (F ) = 0 finns inget mer att bevisa. I annat fall fixera ett sådant a F att Θ m (E \ F, a) = 0 och för vilket det finns sådana r 0 > 0, λ > 0 och W att 3.4 gäller för a. Enligt antagandet i lemmat och Sats 1.14 (2) gäller detta för nästan alla a F. Låt ɛ = λ/2. Låt det positiva talet r 1 r 0 vara så att då 0 < 2r < r 1 är H m (E \ F B(a, 2r)) < ɛr m. Detta implicerar att då x W B(a, r) och 0 < r < r 1 /2 så är H m (E \ F B(x, ηr)) H m (E \ F B(a, 2r)) < ɛr m för x B(a, r), vilket i sin tur implicerar att H m (F B(x, ηr)) = H m (E B(x, ηr)) H m (E \ F B(x, ηr)) > λ 2 rm. Detta visar att 3.4 gäller. Det är trivialt att 3.5 gäller för delmängder. I följande lemma som är hämtat från Mattila [9] visar vi explicit att de behövliga mängderna är mätbara. I fortsättningen gör vi allmänhet inte det. 23

27 Sats 3.8. Om E är en H m mätbar m-rektifierbar delmängd av R n och H m (E) < så är E m-lineärt approximerbar. Bevis. Låt E vara som ovan. Det finns en sådan Borelmängd B att E B, H m (B) < och B är m-rektifierbar. Med stöd av Lemma 3.7 kan vi därmed anta att E är en Borel mängd. Vi kan också anta att 0 < η < 1. Då E är m-rektifierbar finns det sådana Lipschitz funktioner f i : R m R n att H m (E \ i,j f i (B(0, j))) = 0. Låt B i,j = f 1 i (f i (B(0, j)) E). Då är B i,j Borelmängder, H m (f i (B i,j )) < och f i (B i,j ) E för alla i och j. Därmed räcker det att visa påståendet för H m nästan alla punkter i en godtyckligt vald sådan mängd f i (B i,j ). Vi fixerar i och j och betecknar B = B i,j och f = f i. Låt ɛ > 0. Av Sats 2.6 och Sats 1.7 följer att det finns en sådan Borelmängd D B att H m (B \ D) < ɛ och sådana tal r 0 > 0 och λ > 0 att (1) H m (E B(a, r)) λr m för a fd, då 0 < r < r 0. Det räcker att visa påståendet för mängden D. Om f är deriverbar i punkten x R m så definierar vi L x (y) = f (x)y f (x)x + f(x) och W x = L x R m. Då dim W x = m och y R m så definierar vi och c(x, y) = sup{c: L x (y) L x (x) c y x } l(x) = inf{c(x, y): y R m }. Då existerar l(x) > 0 för H m nästan alla x D, ty enligt Rademachers sats 2.3 existerar en sådan mängd A 0 D att H m (A 0 ) = 0 och f är deriverbar i mängden D \ A 0. Om l(x) = 0 kunde vi hitta ett sådant y R m att c(x, y) = 0 eftersom S m 1 kompakt. Detta skulle i sin tur innebära att L x inte är en bijektion, vilket implicerar att dim W x < m, men enligt Sats 2.5 kan detta bara gälla för en mängd C 0 D med H m (C 0 ) = 0. Genom att förändra D i en nollmängd kan vi således anta att l(x) > 0 existerar för alla x D. Enligt Sats 2.4 förändras fd då också bara i en nollmängd. Låt δ 1 > 0. Av ovanstående följer att L m (D \ N=1 A N) = 0 och L m (D \ N=1 A N ) = 0, där A N = {x D : f(y) L x (y) δ 2 1 x y för y B(x, 1 N )}, A N = {x D : l(x) > 1 N } 24

28 och av Lebesgues densitetssats följer att L m (D \ N=1 A N ) = 0, där A N = {x D : det finns sådana r och y att 0 < r < 1 N, y B(x, r δ 1 ) och d(y, B) δ 2 1r}. Med stöd av Luzins sats finns det en sådan kompakt mängd D D att f är kontinuerlig i D och L m (D \ D ) < ɛ. Då är A N sluten och A N öppen i D för alla n N. Att mängden A N är mätbara följer omedelbart av att D är mätbar och mängden U = {x: det finns sådana r och y att 0 < r < 1 N, y B(x, r δ 1 ) och d(y, B) δ 2 1r} är öppen. Eftersom A N, A N och A N är mätbara mängder, så finns det en kompakt mängd C D och sådana positiva tal r 0 och δ < min{ η, 1 } att r L Lm (D \ C) < ɛ och om x C så är (2) (3) (4) f(y) L x y δ 2 x y för y B(x, r 0 ), l(x) > 2δ och d(y, B) δ 2 r för y B(x, r δ ), 0 < r < r 0. Då mängden C är kompakt kan den delas in i ändligt många sådana Borel delmängder C i att d(c i ) < r 0. Fixera i och låt a C i, a = f(x), vara sådan att Θ m (E \ fc i, a) = 0. Av Sats 1.14 (2) följer att det räcker att bevisa att 3.4 och 3.5 gäller för sådana a. Låt 0 < r < δr 0 /2 och b W x B(a, r), b = L x y. Enligt (3) är y B(x, r/δ). Enligt (4) finns ett sådant z B att y z < δ 2 r. Därmed är x z r/δ + δ 2 r < 2r/δ. Med stöd av (2) och det faktum att f (x) L 1/δ är f(z) b f(z) L x z + L x z L x y < δ 2 x z + L z y < 3δr. Eftersom 4δ < η, så följer av (1) att H m (E B(b, ηr)) H m (E B(f(z), δr)) λδ m r m, vilket visar att 3.4 gäller. Av (2) följer att f(c i B(x, r/δ)) W x (δr) W x (ηr). Av (3), (2) och det faktum d(c i ) < r 0 följer att f(c i \ B(x, r/δ)) R n \ B(a, r), 25

29 eftersom det för alla y C i \ B(x, r/δ) gäller att a f(y) L x x L x y L x y f(y) 2δ x y δ 2 x y δ x y > r. Således är B(a, r) fc i W x (ηr). Emedan Θ m (E \ fc i, a) = 0 finns det ett sådant positivt tal r 1 < r 0 att 3.5 gäller då r < r Karakteriseringssatser Approximativa tangentplan Satserna, lemmana och definitionerna i detta kapitel är hämtade ur Mattila [9]. Om a R n, V Gr(n m, R n ), 0 < s < 1 och 0 < r < så betecknar vi X(a, V, s) = {x R n : π V (x a) < s x a } och X(a, r, V, s) = X(a, V, s) B(a, r). Definition 3.9. Låt A R n, a R n och V Gr(m, R n ). Då är V ett approximativt m-tangentplan för mängden A i punkten a om Θ m (A, a) > 0 och H m (A B(a, r) \ X(a, V, s)) lim = 0 då 0 < s < 1. r 0 + r m Mängden av alla tangentplan för mängden A i punkten a betecknar vi ap T an m (A, a). Lemma Låt A och B vara sådana H m mätbara mängder att B A och H m (A) <. Då gäller för H m nästan alla a R n att ap T an m (B, a) = ap T an m (A, a). Bevis. Lemmat följer av Sats 1.14 och dess korollarium

30 Sats Låt E R n vara en mätbar delmängd och H m (E) <. Då är följande utsagor ekvivalenta: (1) (2) (3) (4) E är m-rektifierbar. E är m-lineärt approximerbart. För H m nästan alla a E finns det ett unikt approximativt m-tangentplan för mängden E i punkten a. För H m nästan alla a E finns det något approximativt m-tangentplan för mängden E i punkten a. Vi bevisar tre lemman innan vi bevisar satsen. Lemma Låt E R n, V Gr(n m, R n ), 0 < s < 1 och 0 < r <. Om är E m-rektifierbar. E X(a, r, V, s) = då a E Bevis. Låt E, V, s och r vara som ovan. Eftersom det finns en sådan uppräknelig mängd {x j } av punkter i R n att E = E j=1b(x j, r/2) kan vi anta att d(e) < r. Låt a E. Om π V a π V b < s a b och a b < r, så är b X(a, r, V, s) och av antagandet följer då att b E. Följaktligen innebär det att om a, b E så är π V a π V b s a b. Därmed är π V E bijektiv och har en invers funktion f = (π V E ) 1 som är Lipschitz, L f 1/s. Eftersom bildmängden för funktionen π V E hör till det m-dimensionella planet V och E = f(π V E) så finns det en Lipschitz funktion g : R m R n vars bild täcker E. Följaktligen är E m-rektifierbar. Lemma Låt V Gr(n m, R n ), 0 < s < 1, 0 < r 0 < och 0 < c <. Om F R n är helt m-orektifierbar och så är H m (F X(a, r, V, s)) cr m s m då x F och 0 < r < r 0 H m (F B(a, r 0 6 )) 2 6m cr m 0 då a R n. Bevis. Låt V, s, r 0, c och F vara som ovan. Det räcker att bevisa satsen då F B(a, r 0 6 ). Vi kan enligt Lemma 3.12 anta att F X(x, V, s ) då x F. 4 27

31 Låt t(x) = sup{ y x : y F X(x, V, s )} då x F. 4 Då är 0 < t(x) r 0 /3. Vi väljer ett sådant y F X(x, V, s) att y x 3 t(x). Vi 4 4 betecknar C x = π 1 (π V V B(x, st(x) 4 )). Då följer med förhållandevis enkel slutledning att F C x X(x, 2t(x), V, s) X(y, 2t(x), V, s) då x F. (Se Mattila [9] för ett detaljerat bevis och en geometrisk skiss av situationen.) Av antagandet i lemmat följer därmed att H m (F C x ) 2c(2t(x)) m s m. Eftersom mängden F är begränsad finns det enligt Vitalis täckessats 1.24 en sådan följd av disjunkta kulor (π V B(x i, st(x i )/13)), x i F för alla i N, att π V F π V B(x i, st(x i) ). 4 Av detta följer omedelbart att F C xi. Mängden V B(y, r) är isomorf med B(0, r) R m då y V. Således är H m (V B(y, r)) = (2r) m då y V. Detta implicerar att H m (F ) H m (F C xi ) 2c2 m (st(x i )) m = 2 m+1 c13 m 2 m (V B(π V x i, st(x i )/13)) 2 13 m ch m (V B(π V a, r 0 5 )) 2 6m cr m 0 Lemma Låt V Gr(n m, R n ), 0 < s < 1 och låt F R n vara en sådan helt m-orektifierbar mängd att H m (A) <. Då är (1) Θ m (A X(a, V, s), a) m s m för H m nästan alla a A. 28

32 Bevis. Låt C vara mängden av punkter av a F för vilka (1) inte gäller. Då är F = F i, där F i = {a F : H m (F X(a, r, V, s)) < cs m r m för 0 < r < 1 i } och c = m. Fixera i. Om 0 < δ < 1, så är i H m (F i B(a, δ 6 )) 2 6m cδ m då a R n, enligt Lemma Följaktligen är Θ m (F i, a) 2 18 m c < 2 m. Därmed följer av Sats 1.14 (1) att H m (F i ) = 0, vilket bevisar påståendet. Vi bevisar nu Sats Bevis. Att (1) implicerar (2) är Sats 3.8. Anta att (2) gäller. Vi kan vidare anta att E. Låt ɛ > 0 och 0 < s < 1. Låt a E vara så att Θ m (E, a) 1 och låt r 0 och λ vara sådana positiva tal att villkoren 3.4 och 3.5 gäller för a då vi i definitionen ifråga väljer η = ɛs. Låt W vara planet som uppfyller de ifrågavarande villkoren. Det är klart att B(a, r) \ X(a, W a, s) (B(a, r) \ W (ɛsr)) B(a, 2ɛr). Följaktligen kunde vi valt r 0 så litet att H m (E B(a, r) \ X(a, W a, s)) sup (ɛs + 2 m ɛ m ). 0<r<r 0 r m Således är W a ett tangentplan för E i punkten a eftersom ɛ och s var godtyckliga och W a inte beror av dem. Anta att V Gr(m, R n ) och V W a. Välj ɛ och s så små att η < min{1, d(v, W a)/2}. Av 3.4 följer att det finns sådana positiva tal s 1, λ 1 och r 1 och en sådan följd (x N ) i W som konvergerar mot a och vars alla element är olika a att X(a, V, s 1 ) B(x N, η x N a ) = och H m (E B(x N, η x N a )) λ 1 x N a m då 0 < x N a < r 1. Därmed är H m (E B(a, 2 x N a ) \ X(a, V, s 1 )) lim λ x N a x N a m 1 > 0. Följaktligen är V inte ett m-tangentplan och W a är därmed unikt. Det är klart att (3) implicerar (4). Vi visar att (4) implicerar (1). Enligt Sats 3.2 och Lemma 3.10 är det samma sak som att visa att om mängden F är helt m-orektifierbar så saknar mängden F tangentplan 29

33 i H m nästan alla punkter i R n. Vi konstaterar inledningsvis att mängden Gr(m, R n ) är kompakt, ty funktionen f(v ) = π V, där V Gr(m, R n ), definierar en isometri f : Gr(m, R n ) L(R n, R n ) och mängden {π V : V Gr(m, R n )} L(R n, R n ) är sluten och begränsad och därmed kompakt. Följaktligen kan Gr(m, R n ) täckas med ändligt många kulor B(V, 1 3 ) Gr(m, Rn ). Fixera V. Vi skriver C = {a R n : ap T an m (E, a) B(V, 1 3 ) }. Det räcker att visa att H m (C) = 0. Vi gör motantagandet att H m (C) > 0. Låt c > 0. Då finns det ett sådant δ 0 > 0 att mängden D bestående av element a C för vilka gäller att H m (C B(a, r) \ X(a, W, 1 sup )) 3 < c för något W ap T an m (E, a) B(V, 1 0<r<δ 0 r m 3 ) har positivt H m mått. Vi visar att X(a, r, V, 1 3 ) W B(V, 1 3 )B(a, r) \ X(a, W, 1 3 ). Fixera W B(V, 1). Låt x X(a, r, V, 1), då är π 3 3 V (x a) < x a /3. Eftersom π W π V 1/3 så är π W (x a) < 2 x a /3. Därmed är πw (x a) > x a /3, vilket visar att x X(a, W, 1/3). Om a D så är H m (D X(a, r, V, 1 3 )) < crm då 0 < r < δ 0. Om c < m får vi enligt Lemma 3.14 en motsägelse. Följande korollarium följer omedelbart av Sats 3.11, Sats 3.2 och Sats 1.14 (2). Korollarium Låt E R n vara en sådan mätbar mängd att H m (E) <. Då är E helt m-orektifierbar om och endast om ap T an m (E, a) = för H m nästan alla a E. Sats 3.11 kan inte förbättras så att det alltid skulle gälla att en mätbar m-rektifierbar mängd E R n med H m (E) < har ett unikt approximativt tangentplan i alla punkter a E. Exempel Låt E i,j = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 1 = ( 1 + j) och i x2 2 + x 2 3 (x 1 j) 4 }. Mängden E = E i,j j=0 0 j uppfyller de ovannämnda egenskaperna (n = 3, m = 2) och i punkterna (n, 0, 0), där n N 0, är alla plan som innehåller x-axeln ett approximativt tangentplan för mängden E. 30

34 3.3.2 Densitet Syftet med detta kapitel är att bevisa följande karakteriseringssats. Lejonparten av bevisen är från Marstrand [7] och Mattila [8] och [9]. Sats Karakterisering med densitet. Låt E R n vara en m-mängd. Då gäller följande: (1) (2) Mängden E är m-rektifierbar om och endast om E är en regelbunden m-mängd. Mängden E är helt m-orektifierbar om och endast om E är en oregelbunden m-mängd. De två utsagorna är ekvivalenta enligt Sats 3.2. Sats 3.17 kommer att bevisas med stöd av en rad hjälpsatser. Se Sats i Federer [4] för bevis för nästa lemma. Lemma Låt V vara ett n-dimensionellt vektorrum och låt S : V V R vara en bilineär symmetrisk funktion. Då existerar det en sådan ortonormal bas {e 1,..., e n } för V att S(e i, e i ) S(e j, e j ) och S(e i, e j ) = 0 då i < j. Lemma Låt F vara en H m mätbar delmängd av R n med H m (F ) <. Om F är helt m- orektifierbar och svagt m-lineärt approximerbar så är H m (π V F ) = 0 för alla V Gr(m, R n ). Bevis. Låt 0 < ɛ < 1/2 och V Gr(m, R n ). Av det faktum att den nedre densiteten är positiv H m nästan överallt och Sats 1.7 följer att det existerar en kompakt mängd K F och sådana positiva tal r 0 och δ så att δɛ < ɛ, H m (F \ K) < ɛ för vilka följande gäller. Om a K och 0 < r < r 0, så är (1) H m (F B(a, r)) > δr m. Låt 0 < η < δɛ, r = 2r och η = δ(η/4) m. Enligt definitionen för svag m-lineär approximerbarhet och behövliga mängders mätbarhet (vilket följer av beviset för Sats 3.8) kan vi välja sådana K, r 0 och δ att då a K och 0 < r < r 0 så gäller ovanstående och det gäller dessutom att H m (F B(a, r ) \ W (η r )) < η (r ) m, där W är ett m-dimensionellt plan som beror av r och som är som i Definition 3.6. Detta implicerar i sin tur att H m (F B(a, 2r) \ W (ηr/2)) < δ(ηr/2) m. Om b B(a, r) \ W (ηr) så är B(b, ηr/2) B(a, 2r) \ W (ηr/2), ty η < 1/2. Av detta och (1) erhåller vi att (2) K B(a, r) \ W (ηr) = då a K och 0 < r < r 0. 31

35 Trivialt gäller också att (3) H m (π V (F \ K)) < ɛ. Eftersom K är helt m-orektifierbar, så följer av Lemma 3.12 att H m ( {a K : K X(a, 1/i, V, η) = }) = 0. Således finns det för H m nästan alla a K punkter b K som är godtyckligt nära a och som satisfierar (4) π V (b a) < η b a. Anta att (4) gäller för a, b K och r = a b < r 0. Låt W A(a, m, R n ) vara som i (2) och låt c = π W b. Av (2) följer att c b ηr och r 2 c a r och därmed också att π V (c a) < 2ηr. Vi skriver V = W a och definierar funktionen S : V V R så att S(v a, v b ) = π V (v a ) π V (v b ), där v a, v b V. Då följer av Lemma 3.18 att vi kan välja en sådan ortonormal bas {e 1,..., e m } för W a att π V (e i ) π V (e j ) = 0. Nu gäller för något i att eftersom det i annat fall skulle gälla att π V e i 2r 1 π V (c a) < 4η, π V (c a) 2 = m (c a) e j 2 π V e j 2 j=1 > 4r 2 π V (c a) 2 c a 2 π V (c a) 2. Följaktligen är π V (W B(a, r)) innesluten i en m-dimensionell rektangel vars ena sida har längden 8ηr och resten av sidorna har längden 2r. Av (2) följer då att π V (K B(a, r)) är innesluten i en rektangel vars ena sida har längden 10ηr och de övriga sidorna har längden 2r + 2ηr. Den rektangeln kan vi täcka med ( (2r + 2ηr)/10ηr ) (m 1) stycken m-dimensionella kuber med sidlängden 10ηr. Därmed är 2r + 2ηr (5) H m π 10n 2 1 V (K B(a, r)) ( ) (m 1) (10n 1 2 ηr) m cηr m, ηr 0 10ηr 32

36 där c = c(n, m) kan väljas som en konstant som endast beror av n och m. Av Vitalis täckessats för Radonmått och det faktum att H m K är ett Radonmått följer att vi kan hitta disjunkta kulor B(a i, r i ), där a i K, som satisfierar (5) och sådana att H m (K \ B(a i, r i )) = 0. Av (5) och (1) följer att H m 10n 1 2 ηr 0 (π V (K)) Av ovanstående och (3) följer att H m (π 10n 1 V (K B(a i, r i ))) 2 ηr 0 cη ri m cηδ 1 H m (F B(a i, r i )) cɛh m (F ). H m 10n 1 2 ηr 0 (π V (F )) < (1 + ch m (F ))ɛ. Lemmat följer eftersom ɛ och r 0 kan vara godtyckligt små positiva tal och c inte beror av dem. Sats Låt E R n vara en sådan H m mätbar mängd att 0 < H m (E) <. Då är E m-rektifierbar om och endast om E är svagt m-lineärt approximerbar. Då gäller dessutom att (i) (ii) Θ m (E, x) = 1 för H m nästan alla x E, och H m (π V E) > 0 för γ n,m nästan alla V Gr(m, R n ). Om man dessutom antar att E är en delmängd av ett m-dimensionellt plan så följer (i) av Lebesgues densitetssats och (ii) gäller trivialt. I kapitel 3.2 visade vi att en m-rektifierbar mängd med ändligt H m nästan överallt approximeras väl av något m- dimensionellt plan. Det är därför naturligt att fråga sig om Sats 3.20 gäller. Satsen kommer att bevisas som i Mattila [9], med några influenser av beviset i de Lellis [1] som är en omarbetad version av Mattilas bevis. Bevis. Om E är m-rektifierbar så är E m-lineärt approximerbar enligt Sats 3.8 och därmed också svagt m-lineärt approximerbar. Låt ɛ > 0. Vi antar att E är svagt m-lineärt approximerbar. På motsvarande sätt som i beviset för Lemma 3.19 kan vi hitta en sådan kompakt mängd K E att H m (E \K) < ɛ och sådana positiva tal δ och r 0 att (1) H m (E B(a, r)) > δr m för a K, då 0 < r < r 0. 33

37 Låt 0 < η < 1, 0 < u < 1 och 0 < γ 1 vara sådana att η < γ(1 u)/8. På liknande sätt som i Lemma 3.19 kan vi hitta en kompakt mängd K 1 K, positiva tal r 1 r 0 och λ 0 och sådana W A(a, m, R n ) som beror av r att H m (K \ K 1 ) < ɛ och för alla a K 1 gäller då 0 < r < r 1 att: (2) (3) (4) K 1 B(a, r) \ W (ηr) =, H m (E B(b, ηr)) > λ 0 r m då b W B(a, r), H m ((E \ K) B(a, 2r)) < λ 0 r m. Att vi kunde välja mängden K 1 och talen r 1 och δ 0 så att också (3) och (4) gäller beror på att då η är givet beror λ = λ(a) i Definition 3.6 bara på a och det faktum att Θ m (E \ K, x) = 0 för H m nästan alla x K. Härnäst visar vi att det för alla a K 1 och alla 0 < r < r 1 gäller att (5) W B(a, r) K(ηr), där W är som ovan. Låt 0 < r < r 1. Vi gör motantagandet att det finns ett sådant b W B(a, r) att B(b, ηr) K = för något a K. Då är H m (E B(b, ηr)) = H m ((E \ K) B(b, ηr)) H m ((E \ K) B(a, 2r)) < λ 0 r m, men det är en motsägelse mot (3), vilket visar att (5) gäller. Eftersom det för H m nästan alla a K 1 gäller att Θ m (E, a) 1 och Θ m (E \ K 1, a) = 0 så existerar för H m nästan alla a K 1 ett positivt tal r 2 r 1 beroende av a och ett sådant affint delrum W A(a, m, R n ) att då 0 < r < r 2 så gäller (2), (6) (7) (8) W B(a, r) K 1 (ηr), H m (E B(a, r)) < (3r) m och H m (E \ K 1 ) B(a, r)) 400 m tδr m, där t = 2 m γ m (u m u 2m ). Att r 2 och W kunde väljas så att också (6) gäller kan visas på motsvarande sätt som (5) visades. Vi kan anta att K 1 och fixerar sådana a, r och W och väljer V Gr(m, R n ) så att funktionen π V W : W V är sådan att (9) π V x π V y γ x y för x, y W. Vi kommer att visa att om talet η är tillräckligt litet för ett givet δ, u och γ, så är (10) H m (π V (E B(a, r))) (2γu 2 r) m. 34

38 Detta kommer att bevisa utsagorna i satsen. Av Lemma 3.19 följer nämligen då att E är m-rektifierbar, ty i annat fall kunde vi byta ut E mot en delmängd av E med positivt mått som är helt m-orektifierbar, vilket skulle ge en motsägelse. Vi kan välja V så att V + a = W, där W kan bero av r, då kan γ = 1 och således är H m (E B(a, r)) (2u 2 r) m då 0 < r < r 2, vilket implicerar (i) eftersom Θ m (E, a) 1 för H m nästan alla a E. Utsaga (ii) följer också, ty om π V W är bijektiv så finns det ett γ > 0 så att (9) gäller. Enligt Korollarium 1.19 är π V W är bijektiv för γ n,m nästan alla V Gr(m, R n ). Anta att (10) inte gäller. Låt C = π V (K 1 B(a, r)) och D = π V (W B(a, ur)) \ C. Då är H m (C) < (2γu 2 r) m. Av (9) följer att V B(π V a, γur) π V (W B(a, ur)) och eftersom H m (V B(a, r)) = (2r) m, då B(a, r) R n och a V, så är (11) H m (D) tr m > 0 Eftersom C är kompakt så är d(x, C) > 0 för alla x D. Därmed kan D täckas med sådana kulor B(b, ρ(b)) att b D, C U(b, ρ(b)) = och C B(b, ρ(b)), där ρ(b) > 0 och U(b, ρ(b)) är mängden av innerpunkter i B(b, ρ(b)). Enligt Vitalis täckessats 1.24 finns det ett uppräkneligt antal sådana kulor B(b i, ρ i ) att (12) B(b i, 4ρ i ) B(b j, 4ρ j ) = då i j och kulorna B(b i, 16ρ i ) täcker D. Följaktligen kan vi med stöd av (11) välja en sådan ändlig familj av dessa kulor B(b i, 16ρ i ), i = 1,..., p att (13) p ρ m i 50 m tr m. Vidare gäller att (14) ρ i ηr för i = 1,..., p, ty av (6) och vårt val av a följer att om y W B(a, ur) så existerar ett sådant x K 1 att y x ηr. Eftersom η < 1 u så är x K 1 B(a, r). Olikheten (14) följer av att L πv 1. Vi betraktar mängderna S i = π 1 V (B(b i, ρ i /2)) W (γ(1 u)r/4) 35

39 och omordnar dem så att om i = 1,..., q så innehåller de inte några punkter som finns i K och om i = q + 1,..., p så innehåller de åtminstone en punkt c i K. Låt b i W vara en sådan punkt att π V b i = b i. Då är b i B(a, ur) och av (9) och (14) följer då i = q + 1,... p att a c i a b i + b i π W c i + π W c i c i ur + b i π V (π W c i ) γ ur + b i π V c i γ ur + ρ i 2γ ηr γ + (1 u)r 2 (1 + u)r +. 2 Eftersom η < γ(1 u)/3, så är därmed trivialt Dessutom är + (1 u)r 4 + π V (c i π W c i ) γ B(c i, ρ i /4) B(a, r). (15) π V (B(c i, ρ i /4)) V U(b i, ρ i ) V \ C. Följaktligen är + (1 u)r 4 (16) p i=q+1 E B(c i, ρ i /4) (E \ K 1 ) B(a, r), ty om E B(c i, ρ/4) K 1 B(a, r) så innebär det att π V (E B(c i, ρ/4)) C men det är en motsägelse mot (15). Eftersom kulorna B(c i, ρ/4) är disjunkta enligt (15) och (12) så är δ4 m p i=q+1 ρ m i < p i=q+1 H m (E B(c i, ρ i /4)) = H m ( p i=q+1 enligt (1), (16) och (8), vilket tillsammans med (13) implicerar att E B(c i, ρ i /4)) < 400 m tδr m (17) q ρ m i > 100 m tr m. 36

40 I fortsättningen är i = 1,..., q. Vi definierade kulorna B(b i, ρ i ) så att Följaktligen finns det enligt (2) punkter π 1 V ( B(b i, ρ i )) K 1 B(a, r). (18) e i π 1 V ( B(b i, ρ i )) W (ηr) K 1 för i = 1,..., q. Eftersom η 1 ρ r < r 1 gäller enligt (14) så kan man utgående från (5) hitta sådana W i A(e i, m, R n ) att (19) A i = B(e i, η 1 γ(1 u)ρ i /16) W i K((1 u)ρ i /16). Då är b i π V A i, ty om det existerar ett sådant x A i att π V x = b i så kan vi med stöd av (19) hitta en sådan punkt y K att x y (1 u)ρ i /16. Då är π V y B(b i, ρ i /2). Enligt (18) är d(e i, W ) ηr. Av (14), (19) och η < γ(1 u)/8 följer därmed att d(y, W ) y x + x e i + d(e i, W ) < (1 u)ρ i + 16 γ(1 u) <, r γ(1 u) 16η + ηr vilket skulle innebära att y S i K. Detta är en motsägelse i och med att S i K =. Låt I i vara ett slutet linjesegment med ändpunkter b i och π V e i. Då är I i V π V (A i ), eftersom b i I i \ π V (A i ) och π V e i I i π V A i. Med V avses randen i den relativa topologi som induceras i V av R n. Eftersom V π V (A i ) = π V ( Wi A i ), så finns det ett sådant a i Wi A i att π V a i I i. Låt J i vara det slutna segmentet mellan e i och a i. Då gäller trivialt att J i A i och π V J i I i. Därmed implicerar (18) att (20) π V x b i ρ i för x J i. Längden av J i, J i, är η 1 γ(1 u)ρ i /16. (Observera att detta tillsammans med det faktum att längden av I i är ρ i implicerar att planen V och W i är nästan vinkelräta då η är litet. Vi visar detta. Låt {v 1,... v m } vara en ortogonal bas för V, där v i är parallell med I i. Vi kan också bilda sådana ortonormala baser {e i1,..., e im } för W i att e i1 är parallell med J i. Då gäller för alla i att e i1 är nästan vinkelrät mot v i. Att planen är nästan vinkelräta följde också av att b i π V A i.) Av (19) följer att J i B(x, ρ i ). x K 37

41 Eftersom J i d(b(x, ρ i )) = γ(1 u) 32η så existerar en sådan konstant c, som är oberoende av såväl γ, u, δ, t, r, η som m, att vi kan välja en ändlig mängd sådana kulor som vi betecknar B(x i,j, ρ i ), j = 1,..., k att: (21) (22) (23) J i B(x i,j, ρ i ), B(x i,j, ρ i ) B(x i,l, ρ i ) = för j l, k > cγ(1 u). η Se Figur 3.1 för en skiss av situationen då k är litet. Figur 3.1: Kulorna B(x i,j, ρ i ) som skär planen W i. Låt k B i = B(x i,j, ρ i ) för i = 1,... q. j=1 Det följer trivialt av (20) och (21) att π V B i B(b i, 3ρ i ). Därmed är mängderna B i dis- 38

42 junkta enligt (12). Vidare följer av (21), (14) och η < (1 u)/8 att x i,j e i H 1 (J i ) + ρ i = γ(1 u)ρ i 16η + ρ i < (1 u)r. 4 Låt b i vara som förut (π V b i = b i ). Då implicerar (18), (14) och (9) att Det följer att B i B(a, r), ty e i b i e i π W e i + π W e i b i ηr + π V (π W e i ) b i γ ηr + π V (π W e i e i ) + π V e i b i γ γ ηr + ηr γ + ρ i γ 3ηr γ (1 u)r < 2 x i,j a + ρ i x i,j e i + e i b i + b i a + ρ i = r 7 + u 8 Därmed implicerar (22), (1) och (23) att < r. H m (E B i ) = k H m (E B(x i,j, ρ i )) > kδρ m i > j=1 cγ(1 u) δρ m i för i = 1,..., q. η Då detta kombineras med (7) och (17) fås att 3 m r m > H m (E B(a, r)) q H m (E B i ) c η δ q ρ m i > cγ(1 u)δtrm. 100 m η Detta är en motsägelse eftersom c, δ, γ och t inte beror av η och detta borde gälla för alla η > 0. Följaktligen gäller (10) och satsen följer eftersom ɛ > 0 var godtyckligt. Observera att vi bevisade något mer än satsen påstående. Exempelvis kan det finnas högst en sådan linje V Gr(1, R 2 ) att H 1 (π V E) = 0, då E R 2 är en 2-rektifierbar mängd men ändligt H 2 mått. En sådan linje existerar endast om linjerna W (a, 1, R 2 ) är parallella för alla a K 1 och 0 < r r 2 i beviset ovan. Vi visar härnäst att om E R n är en m-mängd och (i) i Sats 3.20 gäller, d.v.s mängden E är regelbunden, så är E m-rektifierbar. För att visa detta räcker det att hitta en 39

43 sådan kompakt mängd K E med positivt mått att (2) och (5) i beviset för Sats 3.20 gäller. Nedan ger vi med hjälp av en rad lemman ett detaljerat bevis. Det kommer att visa sig att man har nytta av följande mängdkonstruktion: om A R n så betecknar vi A (0) = A, A (1) = {2a b: a, b A} och A (k) = (A (k 1) ) (1). Lemma Låt E R n vara en regelbunden m-mängd, låt ɛ > 0 och låt δ > 0. Då existerar det ett sådant positivt tal d 1 och en sådan m-mängd E 1 E att H m (E \ E 1 ) < ɛ och 2a b E(δ a b ), då a, b E 1 och a b < d 1. Bevis. Vi kan anta att 0 < δ < 1. Låt 0 < η < 1/3 och låt ɛ > 0. Enligt Sats 1.17 och eftersom E är regelbunden så existerar det ett positivt tal d 1 och en sådan m-mängd E 1 E att H m (E \ E 1 ) < ɛ, (1) H m (E S) (1 + η m )d(s) m om E 1 S och d(s) < 2d 1 och (2) H m (E B(a, r)) > (1 η m )2 m r m om a E 1 och 0 < r < d 1. Låt a, b E 1 vara sådana att 0 < a b = ρ < d 1 och beteckna Se Figur 3.2. a = 2a b, c = 3ηa + (1 3η)b, c = 3ηa + (1 3η)a, A = B(a, (1 3η)ρ), B = B(b, 2ηρ) C = B(c, δ(1 3η)ρ ). 2 Figur 3.2: Mängderna A, B och C. Då gäller att c, c A och c c = 2(1 3η)ρ. Om x c M = sup{ (1 3η)ρ : x A \ C}, 40

44 så är M < 2 och M beror bara av δ och n. Låt η < min{ δ, 2 M 3δ M }. Då är (3) och δ(1 3η) 2 + 3η < δ (4) M(1 3η) + 5η < 2(1 3η). Låt S = (A B)\C. Då följer av (3) att C B(a, δρ). Av (4) följer att d(s) < 2(1 3η)ρ < 2d 1. Eftersom vi valde δ < 1 så är (d(c) + d(b))/2 < d(c, b) och därmed är B C =. Således implicerar (1) att Av (2) följer att och eftersom 2η < 1 så är Följaktligen är H m (E S) (1 + η m )2 m (1 3η) m ρ m. H m (E A) > (1 η m )2 m (1 3η) m ρ m H m (E B) > (1 η m )2 2m η m ρ m. H m (E B(a, δρ)) H m (E A C) = H m (E A) + H m (E B) H m (E S) > 2 m+1 η m ρ m (2 m 1 (1 η m ) (1 3η) m ) och därmed positivt. Således är E B(a, δρ). Eftersom a, b vara godtyckliga element som uppfyllde antagandena är lemmat därmed bevisat. Lemma Låt E R n vara en regelbunden m-mängd, ɛ > 0, δ > 0 och N N. Då finns det ett positivt tal d N och en sådan mängd E N E att H m (E \E N ) < ɛ och A (N) E(δd(A)) då A E N och d(a) < d N. Bevis. Låt ɛ > 0 och låt 0 < δ < 1. Fallet N = 1 följer av Lemma Vi gör induktionsantagandet att påståendet gäller då N = l och visar att det gäller när N = l + 1. Då kan vi för en given regelbunden m-mängd E hitta ett positivt tal d l och en sådan m-mängd E l E att H m (E \ E l ) < ɛ/2 och följande gäller: Om B E l och d(b) < d l så gäller att (1) B (l) E( 1 6 δd(b)). 41

45 Av Lemma 3.21 följer att vi kan hitta ett tal d och en sådan m-mängd E l+1 E l att H m (E l \ E l+1 ) < ɛ/2 och följande gäller: om A E l+1 och d(a) < d så är (2) A (1) E l (3 l 1 δd(a)). Vi definierar Då är B = E l A (1) (3 l 1 δd(a)) E l. (3) A (1) B(3 l 1 δd(a)). Vidare gäller att (4) d(b) d(a (1) (3 l 1 δ)) = d(a (1) ) l 1 δd(a) 3d(A) l 1 δd(a) 4d(A). Vi kan välja d l+1 = min{ 1 4 d l, d }. Låt A E l+1 och d(a) < d l+1. Då gäller (2) och vi kan definiera mängden B E l så att (3) och (4) gäller. Av vårt val av A och B följer att (1) gäller. Följaktligen implicerar (4) att Av (3) följer därmed att B (l) E( 1 6 δd(b)) = E(2 3 δd(a)). A (l+1) (B(3 l 1 δd(a))) (l) = B (l) ( 1 δd(a)) E(δd(A)). 3 Lemma Låt A R n och x = k β j a j och j=1 k β j 2l + 1, j=1 där a j A och j = 1,..., k, k j=1 β j = 1, l är ett positivt heltal och β j är heltal och exakt ett av dem är udda. Då är x A (l). Bevis. Fallet l = 0 och l = 1 är klart. Vi antar att påståndet gäller för l = N och visar att det gäller för l = N + 1. Anta att (β 1,..., β k ) är en sådan följd av heltal att k β j = 1, j=1 k β j 2(N + 1) + 1 j=1 42

46 och exakt ett β j är udda. Då finns det en sådan följd (β 1,..., β k ) som uppfyller satsens påståenden då l = N och för vilken det vidare gäller att (β 1,..., β k ) = ( β 1,..., 2 β i,..., β k), där 1 i k, då i valts så att β i > 1. Vi skriver x = k β j a j = 2a i j=1 k β ja j, j=1 j i där a j A, j = 1,..., k. Eftersom k j=1 β ja j A (l) och a k A A (l) så följer lemmat j i av definitionen för A (l+1). Om A R n så avser vi med SpA det (dimensionmässigt) minsta affina delrum av R n som innehåller A. Lemma Låt k vara ett sådant heltal att 1 k < n och låt λ och p vara sådana reella tal att 0 < λ < 1 och p > 1. Då existerar det ett sådant positivt heltal N = N(k, λ, p) att följande gäller: om r > 0, A = {a 0,..., a k } R n, a i a 0 r och d(a i, Sp{a 0,..., a i 1 }) λr då i = 1,..., k så är SpA B(a 0, pr) A (N) (kr). Bevis. Anta att r och A = {a 0,..., a k } är som i lemmat ovan. Vi kan förflytta de ifrågavarande mängderna med en isometri och anta att a 0 = 0. Låt a SpA B(0, pr). Av definitionen för SpA följer att det finns sådana tal α 1,..., α n att a = k α ia i. Vi väljer sådana jämna heltal β 1,..., β k att β j α j 1, då i = 1,..., k. Vi skriver b = k β ia i. Således är a b kr och det räcker därmed att visa att b A (N), för något N som beror endast av k, λ och p. Om vi definierar β 0 = 1 k β i så är b = k i=0 β ia i. Enligt Lemma 3.23 räcker det att hitta en övre gräns för summan av β 1,..., β k som beror endast av k, λ och p. Eftersom d(a k, Sp{a 0,..., a k 1 }) > 0 så existerar en sådan vektor e k SpA att e k = 1 och e k Sp{a 0,..., a k 1 }. Då är Enligt Cauchy-Schwartz olikhet är därmed a k e k = d(a k, Sp{a 0,... a k 1 }) λr. (1) pr a e k a e k = α k a k e k α k λr, vilket innebär att α k < p/λ. Vi kan fortsätta på motsvarande sätt. Vi väljer e k 1 Sp{a 0,..., a k 1 }, e k 1 = 1 och e k 1 Sp{a 0,..., a k 2 }. Av (1) följer att k 1 α i a i a + α k a k pr(1 + λ 1 ), 43

47 och genom att byta ut e k 1 mot e k, a mot k 1 α ia i och använda (1) kan vi sluta oss till att α k 1 p(1 + λ 1 )λ 1. Genom att fortsätta analogt kan vi visa att α i p(1 + λ 1 ) k i λ 1, för i = 1,..., k. Lemmat följer eftersom β i α i 1 för i = 1,..., k. Lemma Det finns en sådan konstant K > 1, som beror endast av m, att det för varje regelbunden m-mängd E R n och ɛ > 0 finns ett tal r 0 och en m-mängd E 1 E för vilka gäller att: (i) (ii) H m (E \ E 1 ) < ɛ. Om 0 < r < r 0, a E 1 och V A(a, m + 1, R n ) så är V B(a, Kr) E 1 (r). Bevis. Låt ɛ > 0 och E R n vara en regelbunden m-mängd. Då finns det ett tal r 0 > 0 och en sådan m-mängd E 1 E att H m (E \ E 1 ) < ɛ och (1) 1 2 (2r)m < H m (E B(a, r)) < 2(2r) m, då a E 1 och 0 < r < (2K + 3)r 0. Låt a E 1. Vi gör ett motantagande. Det finns ett sådant tal r 1 att 0 < r 1 r 0 och för något affint delrum V A(a, m + 1, R n ) gäller att V B(a, Kr 1 ) E 1 (r 1 ) = e E1 B(e, r 1 ). Låt B = {B(e, r 1 ): e E 1, B(e, r 1 ) V B(a, Kr 1 ) }. Låt B 1 B vara någon maximal mängd bestående av disjunkta kulor. Med maximal mängd avses i det här fallet att om e E 1 och B = B(e, r 1 ) så existerar en sådan kula B(e, r 1 ) B 1 att B B(e, r 1 ). Följaktligen är B 1 en ändlig mängd. Dess element kan numreras B 1 = {B(e 1, r 1 ),..., B(e l, r 1 )} och En jämförelse av H m+1 mått ger att V B(a, Kr 1 ) l B(e i, 3r 1 ). (2) K m+1 3 m+1 l. Samtidigt gäller att l B(e i, r i ) V B(a, (K + 2)r 1 ) B(e 1, (2K + 3)r 1 ). 44

48 Av (1) följer därmed att 2(2(2K + 3)r 1 ) m > H m (E B(e 1, (2K + 3)r 1 )) l H m (E B(e i, r i )) > l 1 2 (2r 1) m, vilket innebär att 4(2K + 3) m > l. Detta kombinerat med (2) ger en motsägelse för tillräckligt stora K. Lemma Låt E R n vara en regelbunden m-mängd, ɛ > 0 och 0 < λ < 1. Då finns det ett positivt tal r och en sådan m-mängd E E att (i) (ii) H m (E \ E ) < ɛ och om a E och 0 < r < r, så finns ett sådant V A(a, m, R n ) att E B(a, r) \ V (λr) =. Bevis. Låt ɛ > 0, låt K, r 0 och E 1 vara som i Lemma 3.25 med ɛ utbytt mot ɛ/2 och välj p = (n + 2)K. Låt N = N(m + 1, λ, p) vara som i Lemma Av Korollarium 1.15 följer att E 1 är en regelbunden m-mängd. Därmed följer av Lemma 3.22, då vi i lemmat väljer δ = 1, att det finns ett positivt tal d N < r 0 och en sådan m-mängd E N E 1 att H m (E 1 \ E N ) < ɛ/2 och (1) A (N) E 1 (d(a)) då A E N och d(a) < d N. Vi visar att r = (n + 2) 1 d N och E = E N uppfyller utsagorna i lemmat. Vi gör motantagandet att det finns en punkt a 0 E N och ett sådant positivt tal r < (n + 2) 1 d N att E N B(a 0, r) \ V (λr) för alla V A(a 0, m, R n ). Välj något V 0 A(a 0, m, R n ). Då finns det ett a 1 E N (B(a 0, r) \ V 0 (λr)). Därefter väljer vi V 1 A(a 0, m, R n ) A(a 1, m, R n ) och a 2 E N (B(a 0, r) \ V 1 (λr)). Genom att fortsätta på motsvarande sätt får vi punkterna a 0,..., a m+1 och sådana affina delrum V 0,..., V m att a i E n B(a 0, r) \ V i 1 (λr) då i = 1,..., m + 1 och I och med detta är {a 0,... a i } V i för i = 1,..., m. d(a i, Sp{a 0,..., a i 1 }) d(a i, V i 1 ) > λr för i = 1,..., m

49 Vi betecknar A = {a 0,..., a m+1 }. Då är d(a) d(b(a 0, r)) = 2r < d N. Detta leder till att SpA B(a 0, K(n + 2)r) = SpA B(a 0, pr) A (N) ((m + 1)r) E 1 ((m + 3)r) E 1 ((n + 2)r). Den första inklusionen ovan följer av Lemma 3.24, den andra följer av (1) och den sista följer av det faktum att 0 < m < n. Väljer vi d = (n + 2)r < d N < r 0 får vi en motsägelse enligt Lemma Lemma Låt E R m vara en regelbunden m-mängd och låt ɛ > 0. Då finns det ett positivt tal d och en sådan m-mängd E 1 E att om a R n, V A(a, m, R n ), B V är en Borelmängd och 0 < h < l < d så är H m (E 1 π 1 V (B) V (h)) (1 + ɛ)(1 + h l )m H m (B(l) V ). Bevis. Låt E, a och V vara som ovan och låt ɛ > 0. Eftersom måttet H m är rotationsinvariant kan vi anta att V = {x R n : x m+1 =... = x n = 0}. Av Sats 1.17 följer att det finns ett d > 0 och en sådan m-mängd E 1 E att (1) H m (E 1 U) (1 + ɛ)(d(u)) m då d(u) < 4d. Låt B V vara en godtycklig Borelmängd och 0 < h < l < d. Vi definierar mängderna och funktionen C(x 1,..., x m ) = V (h) {y R n : (x 1 y 1 ) (x m y m ) 2 < l 2 }. f(x 1,..., x m, x 1,..., x n) = { 1 om (x 1,..., x n) C(x 1,..., x m ) 0 om (x 1,..., x n) C(x 1,..., x m ) Vi betecknar A = E 1 π 1 V (B) V (h). Då är (2) α(m)l m H m (A) = α(m)l m dh m A = ( f(x 1,..., x m, x 1,..., x n) dx 1 dx m ) dh m A B(l) V = χ A ( χ B(l) V f(x 1,..., x m, x 1,..., x n)) dx 1 dx m dh m A R n R m = ( f(x 1,..., x m, x 1,..., x n) dh m ) dx 1 dx m B(l) V A = H m (A C(x 1,..., x m )) dx 1 dx m. B(l) V 46

50 Den tredje likheten är utskriven för att förtydliga att vi kan använda Fubinis sats; de ifrågavarande funktionerna är Borel och måtten är σ-additiva. (Vi har identifierat V som R m.) Eftersom d(c(x 1,..., x m )) = 2 h 2 + l 2 < 2(h + l) < 4d så följer av (1) att (3) H m (E 1 π 1 V (B) V (h) C(x 1,..., x m )) H m (E 1 C(x 1,..., x m )) (1 + ɛ)(2(h + l)) m. Nu följer av (3) och (2) att α(m)l m H m (E 1 π 1 V (B) V (h)) (1 + ɛ)(2(h + l))m L m (B(l) V ) vilket är ekvivalent med att H m (B(0, l))h m (E 1 π 1 V (B) V (h)) (1 + ɛ)(2(h + l))m H m (B(l) V ), där B(0, l) R m. Lemmat följer då vi delar med H m (B(0, l)) = (2l) m. Lemma Låt E R n vara en regelbunden m-mängd och 0 < η < 1. Då finns det ett positivt tal r 0 och en m-mängd E 1 E med följande egenskaper: Om a E 1 och 0 < r < r 0 så finns det ett sådant V A(a, m, R m ) att (i) (ii) E 1 B(a, r) \ V (ηr) = och V B(a, r) E(ηr). Bevis. Låt 0 < ɛ < 1 och låt 0 < η < 1. Av 3.27, 3.26 och 1.15 följer att vi kan välja en 2 m-mängd E 1 E och ett positivt tal d 1 med följande egenskaper: Om a R n, V A(a, m, R n ), B V är en Borelmängd och 0 < h < l < d 1 så är (1) H m (E 1 π 1 V (B) V (h)) (1 + ɛ)(1 + h l )m H m (B(l) V ). Om a E 1 och 0 < r < d 1, så finns ett sådant V A(a, m, R n ) att (2) E 1 B(a, r) \ V (ɛ 2 ηr) =, och (3) H m (E 1 B(a, r)) > (1 ɛ)(2r) m om a E 1 och 0 < r < d 1. 47

51 Låt a E 1, 0 < r < d och välj V som i (2). Då är det klart att (i) följer av (2). Vi antar att (ii) inte gäller. Vi kan välja en sådan punkt b V B(a, r) att B(b, ηr) E =. Låt B = V (B(a, r) \ B(b, ηr )). Eftersom 2 ɛ2 < 1 så är 2 Därmed följer av (2) och (3) att E 1 V (ɛ 2 ηr) B(a, r) E 1 V (ɛ 2 ηr) π 1 V (B). (4) H m (E 1 V (ɛ 2 ηr) π 1 V (B)) Hm (E 1 B(a, r)) > (1 ɛ)(2r) m. Av definitionen för B och det faktum att ɛ < 1 2 följer att (5) H m (B(ɛηr) V ) ((1 + ɛη) m ( 1 2 ɛ)m ( η 2 )m )(2r) m. Vi väljer h = ɛ 2 ηr och l = ɛηr. Då ɛ är litet är 0 < h < l < d 1. Då följer av (4), (1) och (5) att (1 ɛ)(2r) m < (1 + ɛ) m+1 ((1 + ɛη) m ( 1 2 ɛ)m ( η 2 )m )(2r) m. Talet ɛ kan väljas så litet att detta är en motsägelse. Nedan bevisas Sats Bevis. Låt E R n vara en regelbunden m-mängd och låt ɛ > 0. Då finns det en sådan kompakt mängd K E att H m (E \ K) < ɛ och sådana positiva tal δ och r 0 att H m (E B(a, r)) > δr m då a K och 0 < r < r 0. Av Lemma 3.28 följer att det finns en kompakt mängd K 1 K med positivt mått och ett sådant positivt tal r 1 < r 0 att det för alla a K 1 och 0 < r < r 1 finns ett sådant W A(a, m, R n ) att K 1 B(a, r) \ W (ηr) = och W B(a, r) K(ηr). Genom att använda Lemma 3.28 på nytt för mängden K 1 kan vi hitta en punkt a K 1 för vilken det finns det ett sådant positivt tal r 2 < r 1 att det för alla 0 < r < r 2 finns affina delrum W A(a, m, R n ) för vilka (2), (6), (7) och (8) i Sats 3.20 gäller. Genom att fortsätta på exakt samma sätt som i Sats 3.20 kan vi visa att E är m-rektifierbar. Med hjälp av karakterisering med densitet kan man visa att flera självliknande mängder är helt orektifierbara. 48

52 Exempel Sierpinskis tetraeder S 2 är en helt 2-orektifierbar mängd, ty Θ 2 (S 2, a) < 1 för alla a S 2. Mängden C(1/4) C(1/4) är helt 1-orektifierbar, där C(1/4) är den Cantormängd som bildas då de ifrågavarande intervallen har längden (1/4) n efter n iterationer. Detta gäller eftersom Θ 1 (C(1/4) C(1/4), a) H1 (C(1/4) C(1/4)) < 1, för alla a C(1/4) C(1/4). Av beviset för Sats 3.20 följer också att mängden C(1/4) C(1/4) är helt 1-orektifierbar eftersom måttet för dess projektion på koordinataxlarna är noll Projektioner Projektioner i R 2 Sats Karakterisering med projektioner. Låt E R n vara en mätbar delmängd med H m (E) <. (i) (ii) E är m-rektifierbar om och endast om H m (π V B) > 0 för γ n,m nästan alla V Gr(m, R n ), där B E är H m mätbar och H m (B) > 0. E är helt m-orektifierbar om och endast om H m (π V E) = 0 för γ n,m nästan alla V Gr(m, R n ). Eftersom vi bevisat sats 3.20 räcker det att visat att om E är helt m-orektifierbar så är H m (π V E) = 0 för γ n,m nästan alla V Gr(m, R n ) för att alla utsagor i sats 3.30 skall gälla. Herbert Federer var den förste att bevisa detta. Besicovitch hade dock tidigare bevisat fallet n = 2. Vi utgår inte från Federers bevis. I detta delkapitel bevisar vi fallet då E R 2 med hjälp av Besicovitch idéer återgivna av Falconer [3]. Vi betecknar en linje som är parallell med en linje som går genom origo och bildar vinkeln θ med x-axeln med L θ och om linjen går genom x skriver vi L θ (x). Definition En riktning θ är en klusterriktning av första ordningen för punkten x i mängden E R n om H 0 (L θ (x) E B(x, r)) = då r > 0. För ett givet E och x E R n och givna positiva tal ρ, ɛ och k definierar vi en delmängd T (x, ρ, ɛ, k) av [0, π) så att θ T (x, ρ, ɛ, k) om det existerar ett sådant r att 49

53 0 < r < ρ och ett sådant öppet intervall I [0, π) att θ I och I < ɛ för vilka gäller att H 1 (E C r (x, I)) k I, r där C r (x, I) består av de två koner som består av punkter som hör till L θ (x) för något θ I och som också är element i B(x, r). T (x, ρ, ɛ, k) är en union av intervall som är öppna i [0, π) och därmed en Borelmängd. Anta att x I är mittpunkten för ett intervall I [0, π) och att x R n. Då är C r (x, I) = X(x, r, V xi, sin( I )), där V 2 x I Gr(1, R 2 ) är en linje som bildar en vinkel med x-axeln vars storlek är x I. Den nya beteckningen C r (x, I) används för att behändigare bedöma konernas storlek. Definition En riktning θ är en klusterriktning av andra ordningen för punkten x i mängden E R n om θ T, där T = T (x, ρ, ɛ, k). ρ>0 ɛ>0 0<k< Definition En punkt x E är en strålningspunkt för mängden E om L 1 [0, π) nästan alla θ i [0, π) är klusterriktningar (av första eller andra ordningen) för punkten x i mängden E. Lemma Låt F R 2 vara en sluten oregelbunden 1-mängd. Då är nästan alla punkter i F strålningspunkter. Bevis. Av Sats 3.17 (2) och Lemma 3.14 följer att för H 1 -nästan alla x F och för ett godtyckligt intervall I [0, π) är (1) lim sup x 0 H 1 (F C r (x, I)) 2r 1 t I, där t = 640, ty X(x, r, L θ, s) = C r (x, I θ ), där I θ = (L θ arcsin s, L θ +arcsin s). (Olikhet (1) kan visas utan Sats 3.17 och den undre gränsen kan höjas. Se Falconer [3].) Vi väljer en sådan punkt x. Det räcker att visa att x är en strålningspunkt. Vi betecknar i förkortad form L θ = L θ (x). Först visar vi att mängden K av klusterriktningar av första ordningen är en Lebesgue mätbar delmängd av [0, π). Låt K r vara mängden av θ för vilka L θ B(x, r) F \ {x}. Då är K r = n=1 50 K r, 1, n

54 = {θ : det existerar y L θ F då 1 x y r}. Mängden K n r, 1 är sluten för n där K r, 1 n alla n N. Beviset är analogt med beviset för första delen av nästa lemma. Följaktligen är K r Borel och eftersom K = j=1k 1 n, så är K också en Borelmängd och därmed Lebesgue mätbar. Det räcker att visa att om ρ, ɛ och k är godtyckliga positiva tal så är θ T (x, ρ, ɛ, k) för nästan alla θ K. Låt θ [0, π) vara sådan att Lebesguedensiteten för K i punkten θ, lim r 0 L 1 (K [θ r, θ + r])/2r, är 0. I detta bevis avses med Lebesguemåttet dess restriktion till mängden [0, π), L 1 [0, π). Av Sats 1.14 (2) följer att ovanstående gäller för L 1 nästan alla θ K. För tillräckligt små intervall I för vilka θ I [0, π) är L 1 (K I) < I tk. Låt I vara ett sådant intervall och 0 < I < ɛ. Eftersom K = K r och K r är mätbar för alla r > 0 så finns det ett sådant ρ 1 ρ att om r < ρ 1 så är (2) L 1 (K r I) < I tk. Av (1) följer att vi kan välja r < ρ 1 så att (3) H 1 (F C r (x, I)) > 2r I. t Om H 1 (F C r (x, I)) > kr I nu gäller är beviset klart. Om så inte är fallet kan vi med stöd av (2) och definitionen för Lebesgue mått välja en sådan uppräknelig union av disjunkta intervall att (4) K r I och (5) L 1 ( Låt A vara mängden av index i för vilka I i I I i ) < I tk. (6) H 1 (F C r (x, I i )) > kr I i. Av (5) följer att (7) i A H 1 (F C r (x, I i )) krl 1 ( i A I i ) < r I t. 51

55 Varje punkt F C r (x, I) ligger på en linje L θ där θ K r I. Enligt (4) är därmed (8) F C r (x, I i ) F C r (x, K r I) F C r (x, I). Av (8), (7) och (3) följer att (9) H 1 (F C r (x, I i )) = i A H 1 (F C r (x, I i )) i A > H 1 (F C r (x, I)) r I > r I t t H 1 (F C r (x, I)) Genom att sammanslå överlappande intervall och utvidga intervall kan vi få en sådan familj disjunkta intervall {J j } j=1 som är öppna i [0, π) och för vilka gäller att och J = j=1 J j i A I i (10) H 1 (F C r (x, J j )) = kr J j, där j N. Eftersom vi antog att H 1 (F C r (x, I)) kr I kan vi enligt (4) välja intervallen så att J I. Som en följd av (9) och (10) fås att L 1 (J) = j=1 J j > I tk. Om θ J så är θ J j för något j, så enligt (10) är θ T (x, ρ, ɛ, k). Således är J T (x, ρ, ɛ, k) I, så L 1 (T (x, ρ, ɛ, k) I) > I tk. Då detta gäller för godyckligt korta intervall I som innehåller θ så gäller för nästan alla θ K att θ T (x, ρ, ɛ, k) eller att Lebesguedensiteten för T (x, ρ, ɛ, k) i punkten θ är åtminstone 1/(tk). Av Lebesgues densitetssats följer därmed att nästan alla θ K hör till T (x, ρ, ɛ, k). Eftersom T = T (x, 1 i, 1 j, l) j=1 l=l är en uppräknelig union så gäller för nästan alla θ S att θ T. 52

56 Lemma Om F R 2 är en sluten oregelbunden 1-mängd så är G 1 och G 2 Boreldelmängder av F [0, π) och är således (H 1 L 1 ) mätbara. Här är G i = {(x, θ): θ är en klusterriktning av i:te ordning för x F } där i = 1, 2. Bevis. Låt 0 < r < ρ och beteckna G r,ρ = {(x, θ): x F och r x y ρ för något y F L θ (x)}. För G 1 räcker det att visa att G r,ρ är sluten, ty G 1 = ρ>0 ( r ρ G r,ρ) och mängden G 1 förändras inte om vi antar att ρ och r är rationella tal så att snittet och unionen är uppräknelig. Vi fixerar r och ρ. Att G r,ρ är sluten följer av att F är sluten. Vi visar detta. Om G r,ρ = finns inget mer att bevisa. I annat fall kan vi välja en följd (x n, θ n ) i G r,ρ som konvergerar mot punkten (x 0, θ 0 ). Vi definierar A n = {y : r x n y ρ och y L θn (x n )} A 0 = {y : r x 0 y ρ och y L θ0 (x 0 )}. För varje n N kan vi välja en punkt y n A n F. Följden (y n ) har en konvergent delföljd (y nk ). Vi betecknar y 0 = lim k y nk och låter d H (, ) vara som Hausdorff metriken i definition 1.8. Eftersom lim n d H (A n, A 0 ) = 0 så är y 0 A 0 och eftersom F är sluten så är y 0 F. Följaktligen är (x 0, θ 0 ) G r,ρ. Vi har därmed visat att G r,ρ är sluten och därmed är G 1 Borel. Vi visar att G 2 är Borel. Vi definierar mängden T (x, ρ, ɛ, k) så att θ T (x, ρ, ɛ, k) om det finns ett sådant tal r att 0 < r < ρ och ett sådant öppet intervall I i [0, π) att θ I och I < ɛ för vilka H 1 (F U r (x, I)) > k I, r där U r (x, I) är innerpunkter i C r (x, I). Mängden {(x, θ): θ T (x, ρ, ɛ, k)} är öppen i F [0, π). Då är G 2 = {(x, θ) T (x, ρ, ɛ, k)}. ρ>0 ɛ>0 0<m< Vi kan ta snittet över endast rationella värden av ρ, ɛ och k. Följaktligen är G 2 Borel. 53

57 Sats Låt F R 2 vara en oregelbunden 1-mängd. Då är H 1 (π V F ) = 0 för γ 2,1 nästan alla V Gr(1, R 2 ). Bevis. Vi antar inledningsvis att F är kompakt. Av Lemma 3.35 följer att G = G 1 G 2 är en (H 1 L 1 )-mätbar delmängd av F [0, π). Av Lemma 3.34 följer att L 1 {θ : (x, θ) G} = π för nästan alla x F. Eftersom H 1 F och L 1 är σ-ändliga mått och G är mätbar så är villkoren i Fubinis sats uppfyllda. Följaktligen är H 1 {x: (x, θ) G} = H 1 (F ). Eftersom F enligt vårt antagande är mätbar innebär detta att nästan alla θ [0, π) är klusterriktningar för nästan alla x F. Låt θ vara en sådan riktning som är en klusterriktning för nästan alla x F. Låt V vara en linje genom origo som är vinkelrät mot L θ. Det räcker att visa att L 1 (π V F ) = 0. Låt F = F 0 F 1 F 2, där H 1 (F 0 ) = 0, F 1 är mängden av punkter i F för vilka θ är en klusterriktning av första ordningen och F 2 är mängden av punkter i F för vilka θ är en en klusterriktning av andra ordningen. Trivialt är H 1 (π V F 0 ) = 0. För att visa att L 1 (π V F 1 ) = 0 kan vi använda oss av Sats Om x F 1 så är H 0 (L θ F ) =. Då de ifrågavarande måtten är rotationsinvarianta kan vi rotera R 2 med en isometri som avbildar L V på x-axeln. Enligt Sats 1.23 är > H 1 (F 1 ) bch 1 (π V F 1 ), då s = 1 och t = 0 för godtyckligt stora värden på c. Följaktligen är H 1 (π V F 1 ) = 0. Låt k vara ett godtyckligt positivt tal och låt J = {J : J är ett intervall och H 1 ({x F : π V x J}) > k J }. Om θ I så kan C r (x, I) inneslutas i en rektangel vars bredd är mindre än 2 I r och som har ett par sidor som är parallella med L θ, se Figur

58 Figur 3.3: Mängden C r (x, I) innesluten i en rektangel. Av definitionen för F 2 följer att J är ett Vitali täcke för π V F 2. Av Vitalis täckessats för Lebesguemått följer att det för ett godyckligt ɛ > 0 existerar en uppräknelig mängd disjunkta intervall {J i } J som är ett täcke för π V F 2 och för vilken gäller att H 1 (π V F 2 ) J i + ɛ 1 k H1 (F ) + ɛ. Eftersom k och ɛ var godtyckliga är H 1 (π V F 2 ) = 0. Därmed är H 1 (π V F ) = 0 för γ 2,1 nästan alla V Gr(1, R 2 ) om F är kompakt. Om F är en godtycklig oregelbunden 1-mängd så är F mätbar. Då är F = F K i, där H 1 (F ) = 0 och K i är kompakt för alla i. Satsen följer Projektioner i R n, då n 3 Vi bygger vidare på det vi har bevisat och visar induktivt att om F är helt 1-orektifierbar så är H m (π V F ) = 0 för γ n,1 nästan alla V Gr(1, R n ). Därefter visar vi att detta också gäller för helt m-orektifierbara mängder i R n. I detta delkapitel använder vi oss 55