1001 Problem för nyfikna

Transkript

1 1001 Problem för nyfikna En del älskar, andra avskyr men de flesta är nyfikna på att lösa problem med matematik. Här ges beskrivningar av upplevelser med unga och gamla, barn, elever och lärare, där detta kommer fram. Problem som engagerar och utmanar många diskuteras och lämnas ut för deltagares egna undersökningar med eller utan elever efter biennalen. Faktorer som påverkar intresse och framgång i problemlösning diskuteras utifrån beprövad erfarenhet och forskning i samband med "jogging i mentala landskap". Göran Emanuelsson arbetar med problemlösning för alla åldrar i Nämnaren och vid NCM. goran.emanuelsson@ncm.gu.se Föreläsning Alla Dokumentation När jag var 5-6 år höll mamma på flera dagar med ett problem. Det var från en tävling i byskolan nära norska gränsen. Pengar samlades in till flyktingar i slutet av andra världskriget. Inget av lagen löste uppgiften under den korta tid som stod till förfogande, men mamma fascinerades av problemet som jag minns så här: Ni ska köpa 100 djur för 100 kr. Det finns änder för 5 kr, höns för 1 kr och starar. 20 starar kostar 1 kr. Hur många av varje slag? Mamma funderade och funderade. Hon diskuterade på telefon med andra i byn. Gick det verkligen att lösa? Hon var fokuserad på problemet och väldigt glad när hon kom fram till en lösning, men inte nöjd. Mamma kunde inte räkna fram resultatet utan hade prövat sig fram och hur visste hon att detta var enda och rätta lösningen? Hon var ensam i byn om att få fram ett svar. Några män ville inte godkänna hennes lösning, men mammas status i byn ökade! Den här problemtypen är mycket gammal. En variant presenterade jag i Nämnaren nr 4, 1999 ur en arabisk källa från 1200-talet. Jag beskrev min barndomsupplevelse på en sommarkurs i Norge. Då berättade Audun Holme, matematikprofessor och huvudredaktör för Normat att motsvarande problem diskuterades ännu tidigare i Kina med vardagsvillkor för lösningar. Problemlösning har varit folknöje och det har anordnats tävlingar både i att formulera och att lösa problem. Idéer och texter är en del av vår problemlösningskultur. Nya kommer naturligtvis till t ex datorspel och Känguruaktiviteter. Det som fascinerar kan vara olika för olika personer, åldrar och tidsepoker. Gemensamt är att ger oss lust till mental jogging. Vid föreläsningen tänker jag presentera problemtyper med upplevelser jag haft. Deltagare kan få tillgång till alla problem. Jag tänker ge några råd till dem som vill bli bra problemlösare eller bra på att undervisa i problemlösning. Några exempel på problem: K 2 Tärningsfält Vilken av kuberna nedan kan du få genom att vika ihop rutmönstret här intill? A B C D E

2 DPL15 En listig korpral Under trettioåriga kriget besatte kaptenen Gustaf Oxensvans en by. Knektarna inkvarterades i ett slott. Han tog själv mittrummet och fördelade soldaterna inkl korpralen Karlsson runt omkring sig i byggnadens övriga åtta rum, så att han hade sju stycken på varje sida. Han var nämligen inte särskilt bevandrad i matematik, men kunde räkna till sju. Emellertid kom ytterligare fyra soldater till slottet. Den listige korpralen placerade dessa nytillkomna så att kaptenens sätt att räkna fortfarande gav sju på varje sida. Efter några dagar sände furiren en natt ut åtta soldater efter mat och vin. En omgruppering gjorde att kapten Oxensvans inte upptäckte något vid den sedvanliga genomräkningen vid sängdags. Hur fördelade sig soldaterna de olika gångerna? K 6 Knäck koden Peter har ett lås med en tresiffrig kod. Han har glömt den men minns att alla tre siffrorna är olika. Peter minns också att om man dividerar den andra siffran med den tredje och multiplicerar svaret med sig självt, så får man den första siffran. Hur många kombinationer måste Peter prova för att säkert knäcka koden? Det lämpar sig för att pröva laborativt. Referens Nämnaren årgång Dialoger om problemlösning, DPL. Göteborg: NCM.

3 1002 Att dokumentera elevers lärande i matematik - Analysschemat i användning. Forskning visar att bedömning har stor potential för en förbättring av elevers lärande. Detta pass kommer att innehålla en kort översikt över angelägna bedömningsaspekter. Därefter beskrivs ett arbete med elever skolår 2 och 5. Vi får ta del av hur eleverna muntligt och skriftligt kan reflektera över sitt lärande och hur läraren sedan kan sammanfatta elevens kunnande i analysschemat. Lisa Björklund Boistrup arbetar i PRIM-gruppen på Lärarhögskolan i Stockholm. Lisa är också doktorand i didaktik. Maria Asplund undervisar i matematik i skolår 2 och 5 på Folkparksskolan i Norrköping. Dessutom är Maria aktiv som föreläsare. Föreläsning Gt Dokumentation Inledning I denna dokumentation presenteras ett material som kan vara en hjälp i arbetet med att dokumentera elevens kunskapsprocess, Analysschema i matematik för åren före skolår 6. Materialet är utgivet av Skolverket och ett exemplar skickades ut till berörda skolor Det kan beställas hos Liber Distribution Publikationstjänst, I Analysschema i matematik för åren före skolår 6 är det enbart det som eleven visar att hon/han kan som skrivs ner. I en individuell plan kan nya mål för eleven antecknas. Vi beskriver här tankar kring bedömning och vad det egentligen kan innebära att kunna något. Vi berättar också en del om innehållet i analysschemat. Därefter beskrivs hur det konkreta arbetet på en skola kan gå till. Bakgrund Forskning visar att elever behöver bli medvetna om sin egen kunskapsprocess, om sitt eget lärande. Ett viktigt inslag i denna process är att lärandet beskrivs i ord. I den processen finns två aktörer eleven och läraren. I Lpo 94 står: Skolan skall sträva efter att varje elev utvecklar nyfikenhet och lust att lära, utvecklar sitt eget sätt att lära, utvecklar tillit till sin egen förmåga, utvecklar ett allt större ansvar för sina studier och utvecklar förmågan att själv bedöma sina resultat (sid 11 och 18) I ett arbete där vi strävar efter att uppfylla dessa mål kan analysschemat vara ett användbart redskap. Bedömning Det finns olika sorters bedömning. En bedömning kan kallas summativ. Det är den bedömning som görs som en summering av vad en elev kan vid en viss tidpunkt. De betyg som elever i Sverige får från och med skolår 8 är exempel på summativ bedömning. En annan bedömning är den formativa bedömningen. Det är den bedömning som görs som en del av un-

4 dervisningen. Ett exempel på formativ bedömning är när läraren gör en fördiagnos innan ett arbete med ett område startar och planerar undervisningen med ledning av elevernas resultat på diagnosen. Olika forskare betonar den formativa bedömningens betydelse. Black och Wiliam (2001) har studerat mer än 20 arbeten som alla har undersökt vilken effekt en förbättrad och stärkt formativ bedömning i klassrummet har på elevernas lärande. Alla undersökningar visar liknande resultat, nämligen att elevernas lärande förbättras när bedömningen får högre kvalitet. Flera av undersökningarna visar dessutom att de (så kallade) lågpresterande eleverna förbättrar sina resultat mer än andra elever. Det som är väsentligt när det gäller den formativa bedömningen är att eleverna får feed-back på sina arbeten. De behöver få veta vilken kunskap de visar och också vilka kvaliteter som deras arbeten präglas av. Vidare är det viktigt att de i samråd med läraren kommer fram till vad de ska inrikta sitt arbete i matematik på under den närmaste tiden. När kan en person egentligen något? Det är svårt att veta vad en person egentligen kan. Det vi möjligtvis kan säga något om är vilket kunnande en person visar med sina prestationer. Det är alltså prestationer vi bedömer och inte kunskap. När man använder analysschemat som redskap kan frågan, om när det är dags att skriva något i schemat, uppkomma. Ja, här är inte kraven alls lika hårda som när det gäller att bedöma om en elev exempelvis har kunskap som motsvarar ett visst mål att uppnå. Vi kan skriva något ganska tidigt under en elevs process mot att lära sig något specifikt. Om det exempelvis handlar om att ta reda på arean av olika geometriska figurer så kan en första anteckning vara: Kan ta reda på arean av geometriska figurer genom att använda centimeterrutat papper. Efter ett tag kan en ny anteckning vara: Kan bestämma arean av rektanglar och trianglar genom beräkning. Efter ytterligare en tid kan infogas nya anteckningar som speglar elevens kunskapsprocess. Materialets innehåll Analysschema i matematik för åren före skolår 6 innehåller allmän lärarinformation och också beskrivningar av hur eleven och läraren kan ta fram underlag för analys och hur analys och dokumentation kan gå till. Vidare finns det hänvisning till uppgifter ur Diagnostiska uppgifter för de tidiga skolåren. Dessutom ingår kommentarer och exempel till analysschemat. I det avsnittet kommenteras analysschemats olika delar och vad analysen kan fokuseras på. Underrubrikerna har samma ordningsföljd som rutorna i analysschemat. Själva analysschemat är ett kopieringsunderlag och en digital version finns på PRIM-gruppens hemsida, Det är strukturerat under rubrikerna Mätning och rumsuppfattning, Sortering, tabeller och diagram samt Taluppfattning. Längst bak i materialet finns en översikt. Översikten visar hur schemats olika delar är relaterade till såväl mål att uppnå som mål att sträva mot. Syftet med översikten är att ge en helhetsbild över det som kan analyseras med hjälp av materialet. Hur visas kunnandet? En person visar sin kunskap i matematik med olika uttrycksformer och i olika situationer. I analysschemat är dessa inordnade under följande struktur. Uttrycksformer: Handling Bild Ord talade och skrivna Symboler informella och formella Situationer: Matematiklektioner Arbete i andra ämnen Tematiskt arbete

5 Lek Rutinsituationer Att dokumentera en kunskapsprocess På Folkparksskolan arbetar vi med att fylla i analysschemat från Förskoleklass till år 5. Eleverna arbetar mycket i dialog med varandra och i dialog med oss vuxna. Det gör det lätt för oss att höra när de tillägnat sig ny kunskap. Vi har analysschemat för varje elev lätt tillgängligt i anslutning till elevernas arbetsrum. Under lektionen för läraren små anteckningar över enskilda elevers framsteg och samlar sedan dessa anteckningar i en för varje elev särskild mapp. Ca. 2 ggr /termin fyller läraren sedan i analysschemat för varje elev. Vi pratar med eleverna om vad det är vi arbetar med varje vecka och vilka mål det är vi arbetar för att uppnå. På så sätt blir eleverna delaktiga i vad som förväntas av dem men det blir också synligt för dem vad de kan. Eleverna samlar sitt arbete i matematik i en dokumentationsbok. De första skolåren klistras valda arbeten in och även utvärderingar då vi tillsammans reflekterar över matematikarbetet och vad de lärt sig. När eleverna blir äldre gör de arbetet individuellt. De får då efter avslutat arbetsområde skriftligt gå tillbaka och reflektera över vad de gjort och arbetat med. De kan ta hjälp att reda ut saker de inte förstått och få respons från läraren på det de skrivit. I dessa texter blir det tydligt för oss vuxna vad eleverna kan och hur de uppfattat olika moment. Samtalen i elevernas små arbetsgrupper/arbetspar och innehållet i deras texter är grunden för det vi sedan skriver i analysschemat. Litteratur Black P. & Wiliam D. (2001) Inside the Black Box. Raising Standards Through Classroom Assessment, Kings College, London Carlgren I & Marton F. (2000). Lärare av i morgon, Lärarförbundet, Stockholm Gipps C V. (1994) Beyond Testing. Towards a theory of educational assessment, The Falmer Press, London Lenz Taguchi H. (1997). Varför pedagogisk dokumentation?, HLS Förlag. Stockholm. Pettersson A. (2003). Bedömning och betygsättning. I Baskunnande i matematik, Myndigheten för skolutveckling, Stockholm. Shepard Lorrie. (2000). The Role of Assessment in a Learning Culture. I Educational Researcher, Vol. 29, No Skolverket (2000). Grundskolans kursplaner och betygskriterier 2000, Skolverket och Fritzes, Västerås Skolverket (2001). Analysschema i matematik för åren före skolår 6, Skolverket, Stockholm Skolverket (2001). Diagnostiska uppgifter för de tidiga skolåren, Skolverket, Stockholm

6 Skolverket (2003). Nationella kvalitetsgranskningar Lusten att lära - med fokus på matematik. Skolverkets rapport nr 221, Skolverket, Fritzes, Örebro

7 1003 Matematik med lite logik strukturerade härledningar i skolmatematiken Gymnasieelever har ofta svårt att motivera matematiska slutsatser och att strukturera bevis. I den mån logik ingår i skolmatematiken behandlas den oftast som ett väsensskilt område. Vi visar hur man kan utnyttja logiken inom olika delområden av gymnasiematematiken genom att synliggöra logiska konnektiver och slutledningsregler. Metoden har testats i tre år i en finsk gymnasieskola, med goda resultat. Ralph-Johan Back, professor vid Åbo Akademi, Finland. Joakim von Wright, lektor vid Vasa övningsskola, Finland. Föreläsning Gr Gy Högsk Dokumentation Vi visar hur lösningen på en matematikuppgift kan framställas som ett strukturerat matematiskt dokument, en strukturerad härledning [1,2]. En sådan härledning åskådliggör hela lösningsprocessen och synliggör logiska sammanhang och slutledningar, med hjälp av ett litet mått logisk symbolik. Strukturerade härledningar kan efteråt analyseras och korrigeras, och de kan publiceras på webben i en form som man kan bläddra i. Användningen av strukturerade härledningar har testats systematiskt i fyra år vid en finsk gymnasieskola, med goda resultat. Vad är en strukturerad härledning? Studerande i gymnasieskolan har ofta svårt att motivera matematiska slutsatser och att strukturera bevis. Om man jämför dagens gymnasiekurs 1 i matematik med hur kursen såg ut för år sedan har betoningen på bevis klart minskat. Detta trots att det finns starka argument för att träna rigorös argumentering [5,6]. Logikens symboler används ytterst lite, och då logik ingår i kursen är det som ett eget studieobjekt snarare än som ett verktyg för matematisk problemlösning. Lösningar till matematikuppgifter skrivs på ett ostrukturerat och informellt sätt. Detta gör det svårt för elever att få en klar uppfattning om när en uppgift är löst på ett tillfredsställande sätt, och det är också svårt att efteråt diskutera en lösning. Inom vissa specifika områden finns det klart strukturerade standardsätt att skriva lösningar det främsta exemplet är ekvationslösning, men också där är ofta oklart för studerande tex varför en ekvation saknar lösningar om man lyckas härleda 0 = 1 från den. Den nya gymnasieläroplanen i Finland [9] betonar att matematisk information har en logisk struktur och uppställer som mål att studerande skall kunna välja problemlösningsmetoder och motivera exakta slutsatser. Det är alltså motiverat att satsa på välstrukturerade argument och att undvika ad-hoc-metoder i matematikundervisningen. Inom datateknisk forskning har ett kalkylerande sätt att skriva bevis och härledningar vunnit insteg under de senaste två decennierna [3]. Det kalkylerande bevisparadigmet har också använts vid undervisning i diskret matematik för datateknikstuderande [4]. Strukturerade här- 1 Begreppet gymnasium syftar här på den finländska gymnasieskolan, närmast jämförbar med de teoretiska linjerna i den svenska gymnasieskolan.

8 ledningar är en vidareutveckling av detta bevisparadigm. Två enkla exempel visar idén bakom kalkylerande bevis och strukturerade härledningar. Det vänstra exemplet är en ekvationslösning och det högra en algebraisk förenkling. 2 x 1 = 5 {addera 1 till båda sidor} 2 x = 6 {dividera båda sidor med 2} x = 3 ( x y)( x + y) + y = {konjugatregeln} x y + y = {förenkling} 2 x 2 Några centrala egenskaper hos härledningsformatet är: härledningen utgår ifrån ett givet uttryck som stegvis ändras varje version av uttrycket skrivs på en ny rad varje steg leder framåt via en relation (här ekvivalens och likhet) vid varje steg skrivs motiveringen inom klamrar Vi har avsiktligt placerat ekvationslösningen och polynomförenklingen bredvid varandra för att understryka parallellen mellan ekvivalenssymbolen och likhetstecknet. De olika ekvationerna är relaterade genom ekvivalens, på samma sätt som de olika polynomuttrycken är relaterade genom likhet. Eftersom både ekvivalens och likhet är transitiva så relaterar härledningarna också det första och det sista uttrycket. Att det sista uttrycket är ett svar motiveras av att de uppfyller ett allmänt accepterat enkelhetskriterium. Logik som verktyg Strukturerade härledningar förutsätter att ett litet mått grundläggande logik är bekant. I praktiken kommer man långt med symboler för sant och falskt (T och F), konnektiverna och, eller och inte (, och ) samt relationssymbolerna ekvivalens ( ). Implikationen ( ) kan lämnas till något senare, när de studerande lärt sig hantera de grundläggande symbolerna. Därtill bör man kunna använda de tre konnektivernas sanningsvärdestabeller samt regler ur den booleska algebran, i stil med p F p p p T p (q r) (p q) (p r) Viktigt är att logiken ses som ett verktyg för matematiken, inte som ett eget studieobjekt. Följande ekvationslösningsexempel visar hur logikens symboler kommer till praktisk användning. x ( x 2 + 1) = 0 {nollproduktregeln} 2 x = 0 x + 1 = 0 {en kvadrat kan inte vara negativ} x = 0 F {logikens regler} x = 0 2 I det andra steget används att ekvationen x + 1 = 0 är falsk för alla värden på x, dvs den är ekvivalent med F. Märk att vi i varje steg har ett aritmetiskt-logiskt uttryck som är ekvivalent med den ursprungliga ekvationen.

9 Delhärledningar Delhärledningar är en viktig del av strukturerade härledningar. En delhärledning är indragen högerut och den motiverar ett steg i den yttre härledningen. Vid behov kan delhärledningar döljas så att man ser en mindre detaljerad version av hela härledningen. Följande exempel visar en fullständig härledning till vänster och samma härledning med delhärledningarna dolda till höger. x 3 = 2x x 3 = 2x {egenskaper hos absolutbelopp} = {egenskaper hos absolutbelopp} x 0 ( x 3 = 2x x 3 = 2x) x 0 ( x 3 = 2x x 3 = 2x) {lös ekvationerna} = {lös ekvationerna} [ x 0 ]... x 0 ( F x = 1) x 3 = 2x {logikens regler} {subtrahera x från båda sidor} x 0 x = 1 3 = x {förenkling} {utnyttja x 0 } x = 1 F [ x 0 ] x 3 = 2x {addera 2 x + 3 till båda sidor} 3 x = 3 {dividera båda sidor med 3} x = 1... x 0 ( F x = 1) {logikens regler} x 0 x = 1 {förenkling} x = 1 Början på en delhärledning anges här med en fylld punkt ( ) och återgången till den yttre härledningen med tre punkter (...). Exemplet ovan visar också hur en delhärledning kan använda kontextuell information: vi utnyttjar informationen x 0 då vi löser de ekvationer som bildade en konjunktion med uttrycket x 0. I den högra härledningen ovan visas den plats där det finns en dold delhärledning genom att motiveringen är understreckad. Då härledningen publiceras på webben skall understreckningen tolkas som en länk då man klickar på motiveringan så viks delhärledningarna fram. Den pedagogiska aspekten Vår pedagogiska tes är att en systematisk användning ett strukturerat skrivsätt kan bidra till att förbättra inlärningsresultaten i gymnasiematematiken. Metoden tvingar den studerande att motivera varje steg och att se lösningen som en helhet. Dessutom ger den lösningar som i efterskott kan läsas och förstås, diskuteras och korrigeras. Möjligheterna att publicera lösningarna i ett dynamiskt format på internet gör också att de kan vara till stor nytta i samband

10 med webbaserad distansundervisning. Strukturerade härledningar kan inte ersätta kreativitet och djup förståelse, men de kan hjälpa studerande att uppnå den dubbla kompetens (kombinationen av begreppsförståelse och räknefärdighet) som konstaterats vara kritisk för effektivt matematiklärande [7]. Strukturerade härledningar har sedan år 2001 använts i ett undervisningsexperiment vid gymnasieskolan Kupittaan lukio i Åbo [8]. En experimentgrupp undervisades genom hela den långa matematikkursen med användning av strukturerade härledningar. En kontrollgrupp undervisades parallellt med traditionell metod av en annan lärare. Randomiserade grupper hade varit idealet, men av praktiska orsaker var det inte möjligt. I stället utgjordes försöksgruppen av studerande som valt datateknisk inriktning, och resultaten skall därför tolkas försiktigt. I försöksgruppen användes datorstöd för att presentera lösningar med dolda delhärledningar, men de studerande skrev lösningarna med papper och penna. Tabellen till höger visar de två gruppernas medelresultat, dels i avgångsbetyget från grundskolan (BEC), dels medelresultatet i de tio obligatoriska matematikkurserna (C1-10) och dels provresultatet i studentexamen (MEP), omvandlade till en skala där de godkända vitsorden går från 5 till 10. Experiment Kontroll BEC 9,73 9,17 C1-10 8,30 6,75 MEP 8,77 7,17

11 Också om man inte kan dra långtgående slutsatser av resultaten är de uppmuntrande, och de preliminära resultaten från följande årskurs visar samma trend. En negativ effekt är att några elever i försöksgruppen uppenbart led av att man använde ett traditionellt kursmaterial som inte var anpassat till strukturerade härledningar. Trots det är också de kvalitativa resultaten uppmuntrande: enligt läraren som utfört experimentet var de studerandes inställning till metoden positiv och deras lösningar var lättare att korrigera [8]. Slutord En utförligare beskrivning av hur strukturerade härledningar används inom olika delområden inom gymnasiematematiken hänvisas till [2]. Metoden utvidgas där till att hantera härledningar med påståenden i textform, hänvisningar till figurer och tabeller, och användning av kvantorer. Där ingår också lösningar till alla uppgifter i det långa matematikprovet i den finska studentexamen 2003 och ett exempel på hur en kort kurs i talteori kan läggas upp. Referenser [1] R-J. Back and J. von Wright. Refinement Calculus a Systematic Introduction. Springer- Verlag [2] R-J. Back och J. von Wright. Matematik med lite logik. Manuskript [3] E.W. Dijkstra and C. Scholten. Predicate Calculus and Program Semantics. Springer- Verlag [4] D.Gries and F. Schneider. Teaching math more effectively through calculational proofs. American Mathematical Monthly, pp , October [5] G. Hanna and H. N. Jahnke. Proof and application. Educational Studies in Mathematics, 24: , [6] C. Hoyles. The curricular shaping of students' approaches to proof. For the Learning of Mathematics, 17(1):7 16, February [7] F. Marton och S. Booth. Om lärande. Studentlitteratur [8] M. Peltomäki and T. Salakoski. Strict Logical Notation Is Not a Part of the Problem but a Part of the Solution for Teaching High-School Mathematics. Proceedings of Koli Calling 2004, pp Helsinki University of Technology, [9] Grunderna för gymnasiets läroplan. Utbildningsstyrelsen (

12 1004 Fylla sidor med rätta svar i egen takt våga undervisa Många barn fyller sidor med rätta svar och tror att detta är det viktiga. Hur kommer de fram till sina svar? Är alla barn medvetna om att det är vägen fram till svaret som är det viktiga? Har alla barn den kvalitet på taluppfattning och strategier som krävs för fortsättningen? Föräldrar hjälper ibland barnen att räkna ifatt. Handlar det om att räkna ifatt? Kommer ett bra tänk av sig självt när barnen arbetar individuellt i egen takt? Finns det alternativ till alla dessa sidor med uppgifter? Föreläsningen tar upp detta samt visar på viktiga begrepp som barnen behöver för att kunna se och förstå aritmetiken. Deltagarna får pröva några exempel på aktiviteter för begreppsförståelse och lustfylld färdighetsträning. Ingrid Olsson har arbetat inom hela grundskolan som klasslärare och speciallärare och är nu lärarutbildare vid Mittuniversitetet i Härnösand. Föreläsning Fö Gt Dokumentation Alla vill vi hjälpa barn att utveckla intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer, kursplanens första mål att sträva mot, vilket ska genomsyra matematikundervisningen. Förra hösten presenterades resultat från några undersökningar TIMSS, PISA och NU -03. De två första visade att vid internationella jämförelser har de svenska eleverna tappat mark. NU -03 är en jämförelse av de nationella ämnesproven från 1992 och 2003 för skolår 5 och 9. Även här pekar resultaten mot en försämring, vilket bl a märks i att andelen svagpresterande ökat och andelen högpresterande minskat. Resultaten visar också att arbetsformerna ändrats, så att läraren ägnar sig allt mindre åt undervisning i traditionell mening och allt mer åt att finnas till hands för elevernas enskilda läroprojekt.paradoxalt nog tycks denna typ av individualisering varken komma de låg- eller högpresterande eleverna till godo i någon större utsträckning. ( Rapport 251 s 74). Första skolåret älskar flertalet barn sina matteböcker och matte är ofta det populäraste ämnet. Barnen tävlar om att hinna så många sidor som möjligt och gläds åt att få nya häften. Är detta något nytt? Känner någon igen sig från sin egen skolgång? Visst är det bra att barn vill arbeta med matematik, men vilket är deras mål med arbetet? Är det att snabbt fylla sidan med rätta svar eller är det att utveckla begrepp och tankeformer av en kvalitet som håller i fortsättningen, något stabilt att bygga vidare på? Lägger läraren sitt fokus på själva svaret eller på vägen fram till svaret? Där läraren lägger sitt fokus kommer även eleverna att lägga sitt. Egentligen borde man kunna fråga varje elev varför de arbetar med just den uppgiften och vad det ska leda till. Syftet med en sida, där uppgifterna är t ex =, =, är att träna addition av tvåsiffriga tal utan övergångar. Som förkunskaper krävs att kunna positions-systemet samt talkamraterna för de aktuella talkombinationerna. De elever som inte behärskar dessa förkunskaper, utan som exempelvis räknar ut svaret på fingrarna, ska i stället arbeta med dessa vid aritmetikträningen. Syftet är ju inte att på något sätt komma fram till svaren utan att träna en tankeform som fungerar effektivt ivd denna uppgiftstyp. Om det däremot är en problemlösningsuppgift där eleven lyckats lösa själva problemet, kommer fram till uttrycket och sedan räknar ut detta på fingrarna, så är det en helt annan sak. Syftet med denna uppgift var att kunna lösa problemet och teckna hur själva beräkningen skulle kunna utföras. Alla

13 elever har inte kommit lika långt i sina aritmetikkunskaper och aritmetiken får inte stoppa problemlösandet, vilket var vanligt längre tillbaka. Idag finns miniräknaren som förutom att vara ett bra metodiskt hjälpmedel även är viktigt som räkneteknisk hjälp vid problemlösning. Problemlösning är huvudmålet och aritmetiken ett av många redskap som då behövs, ett viktigt redskap för att kunna känna trygghet inom skolmatematiken. Vad behöver barn kunna för att på ett effektivt sätt klara aritmetiken under de första skolåren? Vilken kvalitet krävs för att dessa kunskaper ska utgöra en stabil grund för fortsatt lärande? Hur kan vi arbeta för att hjälpa barn att utveckla den kvaliteten? Att individuellt arbeta framåt i böckerna ger tydligen inte önskad kvalitet. Många elever lär sig lärobokens mallar och klarar bokens uppgifter och diagnoser, men kanske inte de nationella ämnesproven som kräver kvalitet. Lärarna måste ta tillbaka undervisningen! Tyvärr har ordet undervisning idag fått en negativ klang, något vi måste ändra på. Hur ska elever kunna se matematik, upptäcka mönster och samband samt utveckla effektiva tankeformer och förståelse utan en lärares undervisning? Föreläsningen behandlar tänkbara konsekvenser av arbete i egen takt och tar upp exempel på arbete kring viktiga begrepp för att hjälpa barn att behärska aritmetik med förståelse. När man förstår är matte roligt. Hur kan vi alla hjälpas åt att få fler lärare att våga undervisa i matematik?

14 1005 Mönster och prealgebra Jag försöker reda ut skillnader mellan geometriska mönster och talmönster. Vidare vill jag visa hur arbete med talmönster kan förbereda eleverna för att lära sig algebra grundad på förståelse. Föreläsningen vänder sig i första hand mot lärare i de tidigare skolåren men även förskollärare och senarelärare är välkomna. Kerstin Larsson, lärarutbildare i matematikdidaktik på Lärarhögskolan i Stockholm. Föreläsning Fö Gr Dokumentation Vad säger kursplanen? I kursplanen för matematik står följande att läsa om mönster: Den (undervisningen) skall också ge eleven möjlighet att upptäcka estetiska värden i matematiska mönster, former och samband samt att uppleva den tillfredsställelse och glädje som ligger i att kunna förstå och lösa problem. I mål att uppnå för årskurs 5 finns följande formuleringar: kunna upptäcka talmönster och bestämma obekanta tal i enkla formler, kunna känna igen och beskriva några viktiga egenskaper hos geometriska figurer och mönster, Vad är mönster? Men vad menas då med mönster? Är det skillnad på mönster och mönster? Är talmönster något annat än geometriska mönster? Vad har det med stickmönster och mönsterelever att göra? När jag slår upp mönster i Nationalencyklopedin finner jag följande att läsa: 1. förebild för framställning särsk.vid sömnad, teckning o.d. 2. (regelbunden) anordning av linjer eller figurer på yta vanl. i dekorativt syfte 3. underliggande struktur hos komplext system e.d. vanl. inte omedelbart synlig Här finns alltså tre olika betydelsegrupper inom mönster. Den första förklaringen är väl just stickmönster och regler för hur det ska vara. En förebild eller en beskrivning. Gör så här! Så här ska det se ut! Nog måste det väl vara inom denna betydelse vi hittar våra mönsterelever och andra dygdemönster? Den andra beskrivningen av mönster ser jag som typiska tapet- och tygmönster. Det är något som upprepas likadant hela tiden. Estetiska värden står det i kursplanen, är det mönster av denna typ framställda i dekorativt syfte?

15 Den sista betydelsen av mönster, vad är då det? Är det när vi anar en konspiration mot oss och tycker oss se ett mönster i hur och andra agerar mot oss? Tja, kanske det, men framförallt tänker jag att detta är talmönster som kan leda fram mot prealgebra och algebra. Jag tänker att talmönster skiljer sig från geometriska mönster just i detta avseende som NE s definitioner antyder. Talmönster har en underliggande struktur som vi kan försöka lista ut, ett mönster för hur det fortsätter som kan uttryckas algebraiskt. Geometriska mönster I de nationella ämnesproven för årskurs 5 kan man se att uppdelningen av geometriska mönster och talmönster kommer igen. I provet fanns mönsteruppgifter av dessa två olika slag. Dels fanns ett geometriskt mönster som eleverna skulle fortsätta på samma sätt och dels fanns några talföljder som eleverna skulle fortsätta enligt samma mönster. Det låter väldigt lika men är ändå helt olika typer av uppgifter. Så här såg det geometriska mönstret ut som skulle fortsätta på samma sätt. Denna uppgift klarade långt över 90% av eleverna, men några få elever gör misstag och deras problem är av perceptuell karaktär, man kan säga att de har bristande rumsuppfattning. Deras fortsatta mönster är längre, högre, eller byter riktning. Talmönster Talmönsteruppgiften såg ut på ett helt annat sätt. Det var tre olika talföljder som eleverna skulle fortsätta enligt samma mönster. Dessa var a) 43, 46, 49, 52, b) 35, 29, 23, 17, c) 1, 2, 4, 5, 7, 8, sedan skulle eleverna hitta på en egen talföljd och förklara hur den var uppbyggd. Som jag ser det är detta en helt annan typ av uppgift som kräver andra kunskaper än det geometriska mönstret. Det är inte bara olika uttrycksformer (bild respektive numeriskt) utan olika typer av mönster. Dessa uppgifter kan leda vidare mot algebra och förståelse för hur regler kan skrivas med formellt matematiskt symbolspråk. Arbete med talmönster i klassen I en klass med elever i årskurserna 5 och 6 bestämde jag mig för att se hur långt eleverna kunde komma mot det generella symbolspråket via arbete med talmönster. Jag hämtade inspiration från framförallt två av Nämnarens tema-böcker; Matematik ett kommunikationsämne och Algebra för alla samt Matte med mening av Dahl&Nordqvist. Jag bestämde mig för att

16 arbeta med triangeltalen och några olika typer av problem där triangeltalen dyker upp i detta arbete. Inledningsvis fick eleverna fler olika talmönster representerade av geometriska mönster som växer, dessa fick de grupp- eller parvis undersöka för att rita nästa figur i serien och försöka lista ut hur näst-nästa kan se ut utan att rita. Redan här efterfrågar jag hur man kan räkna ut det - utan att rita - för att få eleverna att höja blicken och tanken lite. Det klarar en del av men inte andra. Sedan hade de till uppgift att undersöka triangeltal, dvs vilka tal som kan ritas som trianglar. Veckan därpå fortsätter undersökandet av triangeltalen. Då har vi tillsammans talat om deras undersökningar och de som inte själva sett den regelbundna additionen har fått höra om den av kompisarna i klassen och vi har diskuterat hur man kan beräkna en talserie av denna typ. Här kommer även lite matematikhistoria in då jag berättar om Gauss och hur han gjorde då han skulle addera de första hundra naturliga talen. Nästföljande vecka skulle de lösa problemet med handskakningar. Det kan ju lösas på fler olika sätt men nu styrde jag diskussionen till att vi tittade närmare på hur det blir rent praktiskt om man kommer en och en till festen. Då alla 15 hade kommit hade vi följande talserie på tavlan: Här känner en del av eleverna igen sig och kan använda sina kunskaper från arbetet med triangeltal och/eller Gauss lösning av uppgiften. Nästa veckas matteproblem handlade om en basketturnering där alla lag skulle möta alla andra lag. Hur många matcher blir det om det är 5 lag? 8 lag? vilket antal lag som helst? Nu var jag mycket nyfiken på att se om någon eller några av eleverna direkt såg sambandet med handskakningsproblemet eller om den ändrade kontexten och antalet gjorde det till ett helt nytt problem för dem. Denna gång fick de presentera sina lösningar för varandra och det fanns minst fyra helt olika sätt de angripit problemet på, ingen hade sett det som samma problem som handskakningarna men många sa att det liknade det. En elev, Jessica, sa att hon tyckte Gauss var smart så hon använde hans sätt att räkna ut det när hon kommit fram till en talserie som skulle adderas. En annan elev, Martin, hade ritat upp det som ett mönster som liknar en trappa. Han såg att han kunde klippa isär halva trappan, vända den ena delen 180º och sammanfoga de två delarna till en rektangel. Vad han gjorde var alltså att visa Gauss räknemetod på ett geometriskt sätt. Nu kände jag att tiden var mogen för att höja deras arbete ytterligare ett snäpp mot generalisering. Jag försökte visa att Jessicas/Gauss metod och Martins metod var samma men uttryckta med olika representationsformer, numeriskt respektive i bild. Båda kan beskrivas på samma sätt med ord och symbolspråk. Man tar hälften av antalet tal och multiplicerar med ett mer än det högsta talet, n/2 (n+1) Efter några veckor gav jag eleverna skeleton tower-problemet att lösa. Det är ett torn av klossar där alla fyra armarna består av trappor triangeltal. De fick arbeta parvis i ett grupprum samtidigt som jag filmade dem. Jag var ganska säker på att alla skulle kunna lösa problemet upp till nivån att de kunde räkna ut hur många klossar torn nr 27 innehåller. Nu ville jag se om de även kunde uttrycka det på ett mer generellt sätt med ord och eventuellt även symboler. Hela detta arbetsområde var mycket uppskattat av mina elever. De tyckte det var roligt och klurigt och kände att de både använde sina kunskaper och tillägnade sig nya. Jag planerade arbetet med tankar om algebra i huvudet och insåg under arbetet med mina elever att det dessutom var utmärkt att jobba med i helklass av andra skäl. Det ledde till rika matematiska samtal eleverna emellan, de diskuterade och argumenterade för sina olika lösningar. Det var självindividualiserande då de elever som hade svårast kunde känna sig nöjda att komma på

17 lösningar till de första problemen och strunta i hur det blev om någon förutsättning ändrades. Samtidigt fanns det möjlighet för de elever som kommit längre i sin matematiska utveckling att fortsätta tills de inte bara i ord och bild förklarat hur talföljden var uppbyggd utan även skrivit den algebraiskt. Prealgebra Föreläsningen heter mönster och prealgebra. Vad menar jag då med prealgebra? Pre betyder ju före, innan. Alltså vad man gör innan man börjar med algebra som har bäring på algebra. Men då måste man veta vad som menas med algebra. Algebra är det universiella symbolspråk vilket matematik skrivs på. Det är att använda symboler som siffror, bokstäver, plustecken, bråkstreck osv enligt matematikens lagar för att uttrycka generella samband. Generella i betydelsen att de alltid gäller till motsats från speciell bara gäller i vissa fall. När läraren i årskurs 1 introducerar likhetstecknet arbetar hon med prealgebra. Hon förklarar att det betyder att det är lika mycket på båda sidor. När eleverna kommer till ekvationslösningar måste det vara självklart vad likhetstecknet innebär, annars blir ekvationerna onödigt svåra. Ser man likhetstecknet som blir är det hela ganska obegripligt. 14x+12=36 Vad ska jag göra här? Det är ju redan klart, det blev 36 När eleverna lär sig räkna multiplikation med talsorterna var för sig i årskurs 4 eller 5 är det prealgerbra. 7 43= 7(40+3)= Jämför med 7(x+3) = 7 x Även vi som undervisar små barn måste kunna matematiken de kommer att möte längre fram och räknelagarna för att underlätta eller åtminstone inte bädda säck för våra elever. Ett vanligt sätt att bädda säck för elevernas tankar kring negativa tal är att säga så här när vi jobbar med subtraktionsalgoritmen , 6 minus 8 går inte, då får vi låna av trean. Vaddå går inte?? 6-8 är minus två. Sammanfattning Jag har försökt reda ut vad mönster i matematiken kan vara, skillnaden mellan geometriska mönster och talmönster samt varför vi ska arbeta med dessa. Jag har berättat om hur jag arbetat med talmönster i en klass för att leda deras tankar mot generalisering och algebra. Jag har pekat på andra områden i matematiken där tankar om prealgebra också är viktiga. Referenser Ahlström, R. & Axelsson, H. m fl.(1996). Matematik ett kommunikationsämne. Nämnaren. Göteborg. Dahl, K & Nordqvist, S.(1997). Matte med mening. Alfabeta. Stockholm Emanuelsson, G. m fl. (red.)(1997). Algebra för alla. Nämnaren. Göteborg. NE (2005). Nationalencyklopedin. [Elektronisk] Tillgänglig:< [ ] Skolverket (2000). Kursplan i matematik för grundskolan.. [Elektronisk] Tillgänglig: < [ ] Skolverket. (2003) Ämnesprov i matematik skolår /2004. Skolverk

18 1006 Matematik i förskolan Det är väsentligt att vi får fram en ny syn på matematiken i förskolan, så att man inte bara ser den som arbete med tal och siffror, utan mera som ett förhållningssätt, ett sätt att relatera till verkligheten. Det handlar om att utveckla det matematiska tänkandet hos barnen, att se matematiken omkring sig. Som pedagog måste man kunna uppfatta de naturliga situationer som uppstår, men också konstruera situationer som utmanar barnens matematiska tänkande. Anna-Lena Lindekvist: Jag är småskollärare, fil. mag i pedagogik och Gudrun Malmerstipendiat samt har varit föreståndare för lärakademin Matematik i förskola och förskoleklass. Jag arbetar för närvarande på en avhandling med inriktning på att förebygga matematiksvårigheter. Föreläsning Fö Dokumentation Det är väsentligt att vi får fram en ny syn på matematiken i förskolan, så att man inte bara ser den som arbete med tal och siffror, utan mera som ett förhållningssätt, ett sätt att relatera till verkligheten. Det handlar om att utveckla det matematiska tänkandet hos barnen, att se matematiken omkring sig, att gå från Att se matematik som tal och siffror "Göra efter" "Enfald" till Att se matematik som ett sätt att beskriva och hantera verkligheten Problemlösning, logiskt tänkande, kreativitet och tilltro till den egna förmågan Mångfald Det viktiga är att man arbetar med matematiken i många olika aktiviteter och att man gör det utifrån sina egna premisser: - Att få barn att tala och reflektera, dokumentera - Att skapa nya situationer - Att ta tillvara mångfalden i barns tankar och idéer Som pedagog måste man kunna uppfatta de naturliga situationer som uppstår, men också konstruera situationer som utmanar barnens matematiska tänkande. Ta på matteglasögon på dig själv, barn och föräldrar! Sätt ord på matematiken!

19 Att synliggöra mångfalden av matematik i vardagen Barns förståelse utvecklas när de erfar, urskiljer, upplever, ser samband eller relaterar saker och händelser till varandra. För att matematik ska bli ett begripligt och användbart språk är det viktigt att barnen får möta matematik i många situationer. Som pedagog måste man kunna uppfatta de naturliga situationer som uppstår, men också konstruera situationer som utmanar barnens matematiska tänkande. Utmana barnens tänkande genom att ställa frågor i naturliga situationer. Ta reda på barns uppfattningar om matematik genom observationer, intervjuer och videoinspelningar. Lyft fram problem med flera svar. Gör barnen uppmärksamma på olika lösningar genom att fråga hur de gjort/tänkt och uppmana dem att titta på hur kamraterna gjort för att lösa en uppgift. Uppmana dem att försöka komma på fler lösningar. Genom att lyfta fram barnets tankar - tankar kan aldrig vara fel - stärks också barnets självkänsla, vilket har en avgörande betydelse för lärandet. Arbeta systematiskt med dokumentation som ger barnen tillfälle att diskutera hur de tänkt. Det är viktigt att barnen ges tillfälle att reflektera över vad de gjort, t ex genom att rita bilder som beskriver vad de gjort och skriva ner deras kommentarer. Skapa en miljö som uppmuntrar till att arbeta med matematik, lösa problem i matematik och använda matematiska begrepp. Viktiga aktivitetsområden för matematikinlärningen: Spontan kommunikation - barn berättar, beskriver och förklarar för varandra tillsammans med läraren Vardagsproblem - Läraren låter barnen resonera i grupp eller individuellt. Problemen kan finnas i verkliga händelser eller i sagor eller bilder, t ex ger och får, delar upp, köper, säljer, kastar boll, gömmer eller hittar saker Uppdrag - ärenden som tränarminnet och uppmärksamheten, t ex hämta en bok, lämna en boll, sätta två hästar och tre kor i sandlådan Dialoger vid sagostunder, t ex Hur många rövare i Kamomilla stad? Vad heter de tre gårdarna i Bullerbyn? Pengar - hur mycket saker kostar Grammatiska strukturer - ordklasser och böjningsformer som används i matematik för att uttrycka storleks-, likhets-, ordnings- och rumsrelationer mm Kvantitetsord - stimulera barnen att använda vanliga kvantitetsord som förknippas med matematik.

20 Skapa en miljö där barnens intresse för matematik stimuleras Där bör finnas material för att skapa matematiska idéer genom att bygga, rita, måla, göra mönster, jämföra föremål, ordna saker efter storlek, längd, tyngd, form, antal och göra mätningar. Exempel på hjälpmedel: affär balansvåg byggklossar Cuisenairestavar logiska block hushållsföremål klippa-klistra-material labyrinter linjaler, måttband miniräknare piprensare pärlor skruvar/bultar, muttrar tärningsspel, tärningar almanacka burkar, flaskor, glas i olika storlekar Kaplastavar geobräden gymnastikmaterial klockor knappar lego memory pengar pussel pärlplattor sugrör Stimulera barnens matematiska tänkande genom att: - resonera med barnen om vardagsproblem så att de lär sig språkets logik - erbjuda barnen material som gör att de jämför former och sorterar saker - barnen upptäcker och formar mönster, först fysiska mönster, sedan geometriska mönster och talmönster - inspirera barn så att de bygger, formar och ritar - resonera om likheter och olikheter - låta barnen jämföra antal, räkna saker och säga talramsan - stimulera barnen att fundera på avstånd, tyngd, volym och tid Kom ihåg: - Ta del av aktuell forskning - Våga pröva nytt - Utbyt idéer och erfarenheter - Prata matematik med barnen - Arbeta med kreativ problemlösning - Träna matematiska begrepp i alla situationer - Dokumentera

21 1007 Vad är det eleverna kan och hur vet jag det? Att utveckla kvaliteter och bedöma förmågor Att ändra utvärderingsform från ett kvantitativt till ett kvalitativt sätt är inte lätt, särskilt i matematik där det intressanta bara varit om svaret var rätt eller fel. Vilka frågor och uppgifter skall erbjudas eleven så att eleven får chansen att visa sitt kunnande? I föreläsningen presenterar Anita Sandahl olika erfarenheter med exempel på hur lärare kan bedöma elevers kunnande. Anita Sandahl är lektor i pedagogik med inriktning mot matematik vid Högskolan för lärande och kommunikation i Jönköping. Hon har lång erfarenhet av grundskolans skolmatematik som lärare, lärarutbildare och forskare. Anita har skrivit böcker för lärare. Föreläsning Gt Dokumentation Det är angeläget att göra en distinktion vad beträffar kunskap med utgångspunkt i beskrivning och bedömning. Lärarna har ansvar för att eleverna kan utveckla och utvecklar vissa förmågor och därmed olika kunskapskvaliteter. Innebörderna i kvaliteterna måste preciseras eftersom eleverna skall bedömas med avseende på dessa kvaliteter. Det är endast genom att arbeta med olika konkreta frågor som kvaliteterna kan utvecklas en rik erfarenhet. För läraren är detta en av de stora förändringarna. Vilka är de olika kvaliteterna? Hur ser de ut? Vad är en bra kvalitet? Är det lika med godkänt? Tidigare kunde frågor med bestämda svar ställas till eleverna, men nu är det eleven som skall beskriva sitt kunnande och läraren göra sin bedömning av kvaliteten och beskriva den. Färdigheter som eleverna idag skall behärska är att tolka, argumentera, hantera tekniska hjälpmedel, hantera och lösa situationer(sandahl, A.& Unenge, J. (2001). Lpo 94 och kursplaners förändring består bl.a. av att betoningen från "hur" eleverna skall lära sig något till ett "vad". Metoden blir inte målet för lärare och elever utan vilka målen är och vad kunnandet blir. Det innebär att "hinna med boken" inte är målet utan det gäller att se läroboken i matematik som en bok i färdighetsträning. Detta innebär för läraren en helt ny bedömningsgrund av kunskaper, en kvalitativ bedömning. Tidigare vid bedömning av prov och diagnoser har bedömningen varit utifrån ett kvantitativt synsätt där svaren var givna och kunde beskrivas på endast ett sätt. Därför kunde elevens svar bara vara rätt eller fel. Idag skall bedömning av elevernas kunnande göras för läraren på ett mer omfattande sätt. Det är sällan en bedömning av något kan göras utifrån endast en uppgift. "Bedömningen av en elevs prestationer i ett visst ämne måste alltid bygga på en sammanvägning av kvaliteten av elevens prestationer inom ämnets olika delar. Man kan som regel inte ange en kvalitativt bestämd nivå som gäller för eleven inom ämnets samtliga moment." (Marton, F., DN Debatt ) Därför måste eleverna få chansen att visa hur de uppfattar ett begreppsinnehåll på olika sätt och läraren får göra en sammanfattning av hur uppfattningen av ett visst begrepp framträder för eleven. De olika förmågor eleven har består av olika kvaliteter och därför måste även bedömningen ske utifrån olika kvaliteter. Man kan inte indela progressionen i lärande genom mål vad en elev skall kunna i ett visst skolår utan endast bedöma elevernas nuvarande kvaliteter. Det leder till nya frågeställningar för läraren.

22 Vad innebär det att kunna möta ett problem som man inte tidigare mött? Vad innebär att kunna hantera en situation bra och effektivt? Hur kan då skolan erbjuda olika situationer i en lärande miljö? I den konkreta skolvardagen blev tidigare kursen det viktigaste. Det avspeglades i lärarkommentarer som: vi ligger efter, vi ligger före, vi hinner inte med boken. Skolan har idag ett bildningsuppdrag mot det tidigare utbildningsuppdraget. Skolmatematiken har alltid varit nära knuten till den syn som utbildningsuppdraget innebar. Skolan har tidigare skilt ut det som skall läras. Man har övat på en sak i sänder i uppgiftsform. I kursplanerna angavs vad eleverna skulle "göra" (eller kunna) då de t ex gick i årskurs 4. Ett utvecklingsarbete - Att bedöma elevers kunnande i matematik Stockholm stad har sedan år 2000 arbetat med att utveckla lärarnas förmåga att bedöma elevers kunnande i matematik. Ansvarig för detta har varit jag, Anita Sandahl. Efter flera års arbete dels med en grupp lärare från samtliga stadsdelar dels med elever så har Stockholms stad ett bedömningsunderlag för matematik. I matematik är problemlösning centralt därför ska bedömningsunderlaget i matematik för skolorna i Stockholms stad utgå från problemlösning/situationer. Detta stämmer bra överens med Matematikdelegationens betänkande (2004) och PISA 2003 (Programme for International Student Assessment) (Skolverket, Rapport 254, 2004). Målet med matematik i PISA är att utvärdera elevers förmåga att integrera och tillämpa matematiska kunskaper och färdigheter i en mängd olika realistiska situationer. Lärarna i Stockholm, som deltog i förarbetet till bedömningsunderlaget, uttryckte att det är viktigt att utveckla elevers matematiska förmåga och inte bara den räknetekniska färdigheten. Liknande önskemål finns i flera dokument till exempel: Ett modernt matematikkunnande innebär betydligt mer än att kunna utföra beräkningar, det handlar om att i vidaste mening behärska konsten att hantera problem. (SOU 2004:97, sid. 86) I lärarrollen ingår att utveckla och bedöma elevens matematiska kunnande. Att lösa problem och att kunna hantera olika situationer är ett viktigt kunnande. Tidigare bedömningar i matematik har inte skiljt på kunskapen att lösa och hantera situationer. I samhället ställs medborgaren ständigt inför olika situationer som han/hon ska hantera eller lösa. Samhället förväntar sig att medborgaren tar ansvar inför de val som han/hon måste göra till exempel då det gäller att välja uppkoppling till mobiltelefon, TV eller el-leverantör. Hur medborgaren hanterar en sådan situation och löser den beror mycket på de kunskaper han/hon har i matematik. Bedömningen ska utgå från problem där olika färdigheter ska synliggöras. Eleverna skall kunna förstå processer, tolka och reflektera över information samt kunna lösa problem. (Skolverket, Rapport 254, 2004, sid.4) Kvaliteter som skall bedömas Det som skall bedömas är vilken kvalitet elevens förmåga har utifrån de utvalda målen Att elevers attityd till sitt lärande har betydelse finns väl dokumenterat inom forskning liksom att många elever har en negativ attityd till ämnet matematik som hindrar deras förmåga att utveckla ämnet. Självtillit är en av de faktorer som samvarierar starkast med matematisk prestation visar PISA-undersökningen Inte minst gäller detta för elever med utländsk bakgrund (SOU 2004:97). Därför skall läraren som bedömer elever i matematik ha en god bild av elevers attityder till ämnet.