Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1

Transkript

1 Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Den här modulen är valbar för er som får statsbidrag för Matematiklyftet. Välkommen till denna modul om möjligheter och utmaningar i matematikundervisningen i grundsärskola, gymnasiesärskola och särskild utbildning för vuxna. Förutom didaktiska perspektiv finns utvalda matematikområden från det centrala innehållet i kurs- och ämnesplanerna. 1. Inledning och att notera 2. Laborativt arbetssätt 3. Fantasi, mönster och sannolikhet 4. Didaktiskt kontrakt 5. Mätandets idé och pengar 6. Resonemang, kommunikation och språkets roll 7. Om tal och tid 8. Begrepp och representationer I kurs- och ämnesplaner för matematik är kunskapsperspektivet i fokus och därmed undervisningen. Modulen avser att ge underlag för att granska och problematisera den egna undervisningen och ge möjlighet till kollegial diskussion om hur den kan utvecklas. Syftet är också att utmana lärares förväntningar på elevers möjligheter att lära matematik och belysa hur undervisningen kan ta vara på och stärka elevers nyfikenhet och lust att lära. Grundsärskola, gymnasiesärskola och särskild undervisning för vuxna Benämningen särskola som samlingsnamn försvann i och med att Skollagen 2010:800 trädde i kraft Den korrekta benämningen är nu Grundsärskola, gymnasiesärskola och särskild undervisning för vuxna. Dessutom finns i grundsärskolan inriktningen träningsskola och i gymnasiesärskolan ett individuellt program för elever som behöver läsa ämnesområden istället för ämnen. Ansvariga för modulen Nationellt centrum för matematikutbildning Revision: 2 Datum:

2 Del 3. Fantasi, mönster och sannolikhet Del 3 handlar om hur nyfikenhet, lust och fantasi kan stimulera elevers lärande och hur du kan utmana dem till nya upptäckter, att kunna tänka framåt och möta okända situationer. Det matematiska innehållet handlar om mönster och sannolikhet. Båda innehållen är goda exempel på när fantasi såväl kommer till nytta då eleverna löser matematiska problem som ger dem utmaningar att fantisera vidare om. Förutom en text om nyfikenhet, lust och fantasi finns det ytterligare sex dokument i denna del. Två av texterna tar upp det matematiska innehållet, dvs mönster respektive sannolikhet. Till dessa finns två dokument benämnda som lektionsaktivitet. Utöver detta grundutbud finns även två texter som riktar sig till lärare som undervisar i träningsskola och på individuella programmet. Syftet med Del 3 är att du ska få insikter i och idéer om hur matematikämnet kan utveckla elevers fantasi och hur du kan forma din undervisning så att fantasin blir ett redskap i elevers matematiklärande. Texterna om mönster och sannolikhet ska inspirera till att medvetet använda fantasin i matematikundervisningen. Revision: 2 Datum:

3 Del 3: Moment A individuell förberedelse Läs Texten Nyfikenhet, lust och fantasi handlar om de mest grundläggande förutsättningarna för att lära matematik. Texten Mönster statiska och dynamiska visar på några idéer om mönster i matematiken vilka skapas av föremål eller av tal. I texten Sannolikhet beskrivs de tre grundläggande sannolikhetsbegreppen: teoretisk, experimentell och subjektiv. Vad lägger du särskilt märke till i texterna? Vad är tankeväckande, intressant, spännande, tveksamt, svårförståeligt, inspirerande, etc? Gör korta anteckningar. Tanken är att ni i gruppen väljer mönster eller sannolikhet för det fortsatta arbetet i Del 3 och Del 4. Titta därför igenom de båda lektionsaktiviteterna, eller motsvarande texter riktade till träningsskolan och individuella programmet, så du vet ungefär vad de handlar om. I fördjupningen finns texter valda för inspiration och stöd till lektionsaktiviteterna. Material Revision: 2 Datum:

4 Material Nyfikenhet, lust och fantasi B. Bergius och L. Trygg Mönster statiska och dynamiska B. Bergius och L. Trygg Lektionsaktivitet: Mönster med grejer och tal B. Bergius och L. Trygg Mönster Träningsskola och individuellt program B. Bergius och L. Trygg Sannolikhet B. Bergius och L. Trygg Lektionsaktivitet: Vad kan hända? B. Bergius och L. Trygg Sannolikhet Träningsskola och individuellt program B. Bergius och L. Trygg Lektionsaktivitet Del 3 4 B. Bergius och L. Trygg Revision: 2 Datum:

5 Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 3: Fantasi, mönster och sannolikhet Nyfikenhet, lust och fantasi Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Utforskande, nyfikenhet och lust att lära, ska enligt Läroplanen för grundsärskolan 2011, utgöra grund för skolans verksamhet. Undervisningen ska stimulera eleven att använda och utveckla hela sin förmåga. Motsvarande skrivningar finns både i Läroplan för gymnasiesärskolan 2013 och Läroplan för vuxenutbildning Skolan ska stimulera elevernas kreativitet, nyfikenhet och självförtroende samt främja elevers livslånga lust att lära. I gymnasiesärskolan är det också ett mål att varje elev kan lära, utforska och arbeta både självständigt och tillsammans med andra. Nyfikenhet är en mental egenskap som ger impulser till ett utforskande beteende och lärande, en inre vilja att veta. Lust är en känsla som präglas av en stark längtan efter något som ger stor tillfredsställelse och är förknippad med både kroppslig njutning och intellektuell stimulans. Det spontana lärandet hos människan kännetecknas av dessa begrepp, som båda ligger nära det vi kallar fantasi. Redan små barn drivs av nyfikenhet och en inre lust att utforska och förstå sin omvärld. De börjar tidigt ta reda på vad som döljer sig bortom det som finns framför ögonen, det uppenbara. Underförstått finns frågor som vad finns i, ovanför, under och bakom? Vad händer om? De skaffar sig erfarenheter som bygger en inre intuitiv förståelse. Vuxna och andra barn uppmärksammar dem på det som finns runt omkring. De utmanar nyfikenhet och spontant utforskande genom att visa på företeelser som barnen ännu inte själva skulle upptäcka och pratar om det som uppmärksammas. När barn har funktionshinder som gör att de på egen hand inte kan ge sig iväg och undersöka sin närmiljö blir det viktigt att omgivningen hjälper dem att utforska. Kan barnet inte ta sig till en miljö får miljön komma till det. Skolan kan bidra till att dessa barn och elever får göra fler möten med omgivningen och på lite annorlunda sätt än motsvarande möten i hemmet och på fritiden. I boken Ni kan räkna med oss matematik i träningsskolan beskrivs hur en elev utvecklas genom ett långsiktigt arbete med mattelådor: han sitter långa stunder och tar upp föremålen i lådan och kastar iväg dem. Allt oftare för han nyfiket upp föremålet mot munnen för att undersöka en ny undersökande strategi han hittat i och med denna aktivitet. (s 94) Språk och begrepp utvecklas i interaktion med andra människor och omgivning. Den ryske pedagogen Lev Vygotskij betonar vikten av att utmana nyfikenheten. Han menar att lärandet utmanas mest effektivt genom att man löser uppgifter tillsammans med någon som kan mer och där innehållet ligger i den lärandes utvecklingszon. Det jag klarar tillsammans med någon annan idag, klarar jag på egen hand i morgon, uttryckte en elev. Nyfikenhet, lust och fantasi Maj (5)

6 Att fantisera och föreställa sig För att hitta lösningar på såväl vardagliga som matematiska problem behöver vi använda vår fantasi. Ordet fantasi kommer ur grekiskans phantasia, som betyder synligblivning, anblick, föreställning. Nationalencyklopedin beskriver fantasin som nyckeln till ny utveckling i sinnet och att den utvecklas i samspelet med andra. Fantasin hjälper till att ge mening åt upplevelser och förståelse för kunskap. Det vi erfar med våra sinnen, rör vid, ser och hör smälter samman till inre bilder, men har inte de begränsningar som verkligheten har. Det handlar om förmågan att skapa inre bilder, känslor och föreställningar. Den synen utgår bland annat från Vygotskij: Fantasins skapande aktivitet är direkt avhängig av rikedomen och mångfalden i människans tidigare erfarenheter, eftersom dessa erfarenheter utgör det material som fantasikonstruktionerna byggs av. Ju rikare en människas erfarenheter är desto mer material förfogar hennes fantasi över. (Fantasi och kreativitet i barndomen, s 19) Att fantisera och föreställa sig handlar enligt Sven-Erik Liedman, professor emeritus i idéoch lärdomshistoria, om förmågan att skapa distans till det närvarande och närhet till det frånvarande. Fantasins betydelse för att lära matematik är framskriven av exempelvis den brittiske matematikern Augustus de Morgan, som lär ha sagt att fantasin är den främsta drivkraften bakom matematiska framsteg. Fantasin är intimt förknippad med kreativitet. Mot bakgrund av fantasins betydelse är det rimligt att fråga sig hur förmågan att fantisera uppstår. Är den medfödd? Kan vi påverka den, ge den spelrum och optimal utveckling? Som Vygotskij säger är fantasin beroende av individuella erfarenheter. Hans idé om att fantasin bygger på erfarenhet talar för att fantasin inte är medfödd. Sannolikt finns möjligheten att utveckla förmågan hos alla. För att det ska ske behövs erfarenheter, stimulans och utmaningar i en omgivning med tilltro till såväl barns som ungdomars och vuxnas möjligheter. Sedan urminnes tider har människor samlats och berättat för varandra. Kunskap, sagor och myter har överförts från äldre generationer till yngre genom muntlig tradition. Det talade språket har i samverkan med gester och miner fängslat lyssnare. Berättelser har haft övernaturliga inslag. Skogsrår, näcken, troll och underjordiska väsen har utgjort förklaringar till obegripliga företeelser och händelser. Genom berättelserna har lyssnarna skapat inre bilder, men också själva funderat och fantiserat vidare kring händelser, utseenden osv. Nutidens barn och unga fascineras av fantasygenren, som präglas av övernaturliga och magiska företeelser och med väsen som växlar skepnader för att luras och överraska. Inträde till dessa världar går till exempel genom magiska dörrar eller överraskande hål. Berättelsens hjälte, som läsaren/lyssnaren ofta identifierar sig med, har i uppdrag att leta reda på något eller någon, lösa olika problem eller ta sig förbi hinder. I böcker, serier, filmer, datorspel osv engageras människor av dessa fantasivärldar. I fantasin finns inga begräsningar, allt är möjligt. Naturlagar, sociala eller ekonomiska begränsningar som styr i verkligheten upphör. Nyfikenhet, lust och fantasi Maj (5)

7 En av de viktigaste delarna för utveckling av intellektet är alltså förmågan att föreställa sig och att fantisera. Detta tycks vara svårt för många elever mottagna i särskolans skolformer och därför är det extra viktigt att ge dem rika tillfällen för att träna. När rationella och logiska förmågor kombineras med fantasi berörs eleven på ett djupare plan. Det har visat sig att när elever får utmaningar, genomför uppdrag och löser uppgifter åt en figur i en fantasikontext, dvs då de tar någon annans perspektiv, frigörs energi och risken att misslyckas flyttas över på den som äger problemet, fantasifiguren, och det egna självförtroendet exponeras mindre. Fantasin aktiveras när eleverna berättar om figurens eller sina egna drömmar och önskningar. Läraren kan utmana eleverna att beskriva allt fler detaljer med olika uttrycksformer. Utan stimulans, adekvata utmaningar och aktivt arbete utvecklas vare sig intellekt eller fantasi. Våra svenska kurs- och ämnesplaner beskriver matematisk verksamhet som kreativ, reflekterande och problemlösande. Matematiska problem är situationer eller uppgifter där eleverna inte på förhand känner till hur problemen ska lösas. Istället måste de undersöka och pröva sig fram för att finna en lösning. Matematiska problem kan också beskrivas som uppgifter som inte är av rutinkaraktär. (Kommentarmaterialet till grundsärskolans kursplan i matematik, 2011) I problemlösningen blir frågor som Varför? Hur kommer det sig att? och Vad händer om? naturliga att ställa och enklare att besvara med hjälp av fantasins kraft. (Problemlösning återkommer senare i modulen.) Matematiken är en lek I Introduktion till matematiken beskrivs matematikämnet av den svenske matematikern Tord Ganelius, som bland annat var Vetenskapsakademiens ständige sekreterare under en lång följd av år: Matematiken är en lek. Många kanske skulle säga att matematiken är ett spel, men det är inte riktigt lika bra som beskrivning. Det finns så mycket annat här i världen som kallas för spel eller som betraktas som spel av många människor... Att det nu är av intresse att hävda att matematiken är en lek sammanhänger med att det är så få som vet det... Och matematiken är alltså en lek, och det måste man förstå, om man på ett givande och naturligt sätt ska kunna närma sig den. (s 9) Metaforen matematik är en lek är en kraftfull idé att tillvarata i undervisningen. Lekar och spel fungerar som modell för verkligheten, har en struktur, engagerar en, två eller flera deltagare och har logiska regler som måste hanteras tydligt och klart. Att förutsäga och ställa hypoteser är en viktig del i spel och lekar, liksom i matematiken. Gåtor, paradoxer och andra tankelekar har stor betydelse för utvecklingen av matematiskt tänkande. Nyfikenhet, lust och fantasi Maj (5)

8 Matematiken, denna lek med tecken, kan alltså fungera som språk i högst varierade sammanhang, och det torde i dagens läge vara få vetenskaper och aktiviteter som lyckats hålla sig obefläckade av matematikens symbolism. (s 10) Ganelius utvecklar sin idé och menar att det som av många betraktas som självklara sanningar, inte är något annat än från början fritt valda regler för lek med tecken. Matematiker har i sin nyfikna lek, eller om vi föredrar att kalla det forskning, frågat sig Vad händer om? De har skrivit hypoteser, undersökt och fått fram resultat. Hypoteser har bekräftats eller förkastats. Forskare inom olika vetenskaper har enskilt och i samverkan valt att formulera regler utifrån vad de har kommit fram till. Även filosofen och matematikdidaktikern Lars Mouwitz menar att avståndet mellan det lilla barnets nyfikna erövrande av världen och matematikprofessorns lika nyfikna erövrande av den matematiska begreppsvärlden kanske inte är så stort. Lek karakteriseras av hypotetiskt tänkande där det finns likheter med verkligheten. Jag låtsas att jag är en häst, bladet är en kaka eller sängen är en båt. I verkligheten kan hästar inte klättra i träd, men i fantasin är det möjligt. Blad och kakor är inte utbytbara i verkligheten, men i fantasin, på låtsas, går det och jag kan låtsas äta kakan. I leken får fantasin fritt spelrum eftersom verklighetens begränsning inte finns. Deltagarna bestämmer vad som gäller, vilka regler de har att förhålla sig till och hur de ska hantera avvikelser från dem. Det som varit tillfälliga överenskommelser i en lek, har i olika sammanhang formaliserats i regler. Leken har bytt skepnad och blivit ett spel. Som Ganelius skriver har många matematiska sanningar tillkommit genom kreativt och undersökande arbete där fantasin varit en förutsättning. För att lära matematik är fantasin både en bundsförvant och en förutsättning. I och genom fantasin kan eleven tänja gränser och skapa nytt kunnande. Alan Bishop pekar också på intressanta likheter mellan vad som kännetecknar leken och det som är utmärkande för matematiken, där en kort sammanfattning är följande: att föreställa sig, att låtsas, t ex att sängen är en båt, är att tänka hypotetiskt och en början till abstrakt tänkande att använda drag ifrån verkligheten har med matematisk modellering att göra att formulera och tillämpa regler, kriterier och procedurer och att hantera överträdelser från det man kommit överens om i leken motsvarar hur matematikregler formuleras och tillämpas att föreställa sig vad som kan hända, att gissa och uppskatta är en början på abstrakt tänkande att undersöka och utforska företeelser i olika sammanhang karaktäriserar problemlösning. Nyfikenhet, lust och fantasi Maj (5)

9 Spel en matematisk aktivitet Bishop beskriver intressanta likheter i mänskliga aktiviteter i geografiskt och historiskt skilda grupper, aktiviteter vilka kan betraktas som rötter till matematiskt tänkande och motsvarande utveckling av språk. Genom historien har matematiken haft stor betydelse för exempelvis handel och för utveckling av naturvetenskap och teknik. Bishop menar att matematikutbildningen genom historien kanske har kopplats alltför starkt till dessa områden. Matematiken är en betydelsefull del i människors liv, såsom arkitektur, konst, drama, litteratur, rytm, rörelse, språk och bild. Han argumenterar därför stark för att matematikutbildningen i högre grad borde titta mer på de kulturella aspekterna av matematik istället för de mer tekniska. Matematiska aktiviteter, som spel av olika slag, har ofta en social dimension. De genomförs i samverkan och dialog eller i tävlingssammanhang där de tävlande försöker överglänsa varandra i strategier, snabbhet eller mental styrka. Genom historien har mänskligheten utvecklat förutsättningar och strategier samt enats om regler och undantag att förhålla sig till, bland annat något så vanligt förekommande som turtagning. Det finns bestämmelser och regler om i vilken ordning man ska göra olika saker, vem som ska börja, vad som händer om en deltagare gör fel och så vidare. Överenskommelser betraktas ibland som absoluta sanningar och i matematiken finns många sådana exempel. Eftersom dessa regler finns kan aktiviteter ofta starta direkt när deltagarna bestämt sig för vad de vill göra. De behöver inte hamna i konflikt när något går fel, istället kan de vända sig till regelverk eller manualer. I spelliknande aktiviteter rör sig deltagarna i en fiktiv värld, ofta med likheter i det vardagliga livet, men där deltagarna kan ta ut svängarna och reflektera över och pröva vad som händer utan att behöva hantera konsekvenser i verkligheten. Bishop menar att detta kan vara roten till hypotetiskt tänkande; om så Se mer om resonemang i Del 6. Litteratur och referenser Bergström, L. (2010). Ni kan räkna med oss matematik i träningsskolan. Härnösand: Specialpedagogiska skolmyndigheten. Ganelius, T. (1966). Introduktion till matematiken. Stockholm: Natur och Kultur. Liedman, S-E. (2001). Ett oändligt äventyr: om människans kunskaper. Stockholm: Bonnier. Mouwitz, L. (2006). Matematik och bildning: berättelse, gräns, tystnad. Stockholm: Dialoger. Vygotskij, L. (1995). Fantasi och kreativitet i barndomen. Göteborg: Daidalos. Vygotskij, L. (1999). Tänkande och språk. Göteborg: Daidalos. Nyfikenhet, lust och fantasi Maj (5)

10 Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 3: Fantasi, mönster och sannolikhet Mönster statiska och dynamiska Berit Bergius & Lena Trygg, NCM I många matematiska aktiviteter ska deltagarna upptäcka, hantera och uttrycka likheter och skillnader. Ofta handlar det om att kunna förutse vad som kommer att hända. Mönster är nära kopplat till likheter och skillnader och är ett exempel på matematiskt innehåll som kan användas för att stimulera nyfikenhet, lust och fantasi. Att upptäcka likheter och skillnader samt att se strukturer och mönster är viktigt. Att beskriva det man upptäckt, till en början med vardagsspråk och på sikt med matematikens ord och symboler, är en del i matematiklärandet. Vygotskij talar om dialektiken mellan språk och tanke. Det vi kan berätta om så att andra förstår, har vi själva förstått. Eller som skalden Esaias Tegnér uttryckte det motsatta: Det dunkelt sagda är det dunkelt tänkta. I boken Ni kan räkna med oss matematik i träningsskolan märks det tydligt att pedagogerna använder stora mått av nyfikenhet och fantasi för att göra matematiken närvarande i elevernas vardag. Ett område som beskrivs är mönster och kategorisering och arbetet med det visar på stora möjligheter att utveckla matematik i träningsskolan. Läs gärna boken! I gymnasiesärskolans ämnesplaner tillkommer algebra som ett central innehåll. Arbete med mönster är en lämplig utgångspunkt för att öva förmågan att generalisera. Ett sådant arbete knyter samman aritmetik (räkneläran, läran om tal) och algebra (i skolan möter eleverna algebran i form av bokstavsräkning, dvs de räknar med variabler istället för som tidigare med tal). Det fyrfältsblad som beskrivs i artikeln Laborativ arbetssätt i Del 2 är en arbetsgång att använda för att låta elever gå hela vägen från en konkret händelse via uttrycksformer som bild, tal och ord till en generaliserad formel i ytterst små steg. Ett konkret undervisningsförslag finns i lektionsaktiviteten Mönster med grejer. Statiska mönster I vardagen omges vi av mönster och strukturer i olika sammanhang. Mönster kan vara dekorationer och arbetsmanualer, men de kan också beskriva cykliska förlopp som exempelvis årstider, veckans dagar eller dag och natt. Människor har rutiner och de flesta gör samma saker, på samma sätt och i samma ordning varje dag. Sådana upprepade, oförändrade förlopp är uttryck för statiska mönster, vilka också finns i kläder, på tapeter, i danser osv. Såväl hemma som i skolan, kan elever utforska och skapa upprepade mönster med olika saker och skilda egenskaper: kottar och löv, små och stora stenar och pinnar, leksaker, klossar med olika form, läskburkar, koppar och fat, sig själva och kamrater. De trär pärlor växelvis röda och vita. De ställer sina bilar på rad i en bestämd följd: röd, blå, gul, röd, blå, gul, eller de dukar fram en bulle och två kex till var och en som är med på fikat. Eleverna behöver även möta mönster gestaltade genom andra uttrycksformer som rörelser, ljud, händelser, bilder och symboler för att befästa förståelsen för begreppet mönster. Mönster statiska och dynamiska Maj (5)

11 Det som utmärker statiska mönster är att sekvensen, oavsett hur många delar den består av, upprepas utan att förändras. För att fortsätta ett påbörjat mönster måste vi studera hur det ser ut, låter eller visas för att upptäcka dess delar och ordningen på dem. Frågan är hur mönstret kan fortsätta utan att förändras. För att eleverna ska upptäcka strukturen i statiska mönster behöver de utmanas på ett systematiskt sätt. Det kan vara nödvändigt att starta med ett mönster med en enda del, som upprepas, t ex och att diskutera hur det ska fortsätta och motivera varför. Antalet komponenter får sedan öka successivt, t ex följt av. För en del elever är det enklare att gå från till innan mönstret utökas med fler komponenter. Mönstret kan fortsätta oändligt långt i båda riktningarna, inte nödvändigtvis i en lång rak rad. Ett mönster kan också gå runt, som dekoration på en rund tårta eller på ett armband, det bara fortsätter. Antalet komponenter kan vara hur många som helst, men med för stort antal olika delar blir det svårt att få överblick och att hålla ordning: Dynamiska mönster I dynamiska mönster förändras en eller flera delar på ett bestämt sätt och efter givna förutsättningar, t ex. Vad är det som förändras? Hur förändras det? Hur ska mönstret fortsätta? Hur kan vi veta det? Hur ser det ut efter nästa flygplan eller efter det tionde? Hur vet vi det? Hur kan mönstret beskrivas med egna ord? Med symboler av något slag? Kvadraterna ovan representerar ett dynamiskt mönster. Vad förändras? På vilket sätt? Hur ser nästa figur ut? Den femte? Den tionde? Hur vet vi det? Talmönster både statiska och dynamiska Aritmetiken är också rik på samband och mönster. Talen i talraden följer ett mönster. Oavsett var i den vi börjar är talet som följer ett mer än starttalet och talet före ett mindre: 3, 4, 5, 6, Detta mönster kan beskrivas med ord, som i exemplet, men också algebraiskt, (n + 1) eller (n 1), där n står för det tal vi utgår från. Beroende på vilka eleverna är, kan talmönstren som tas upp vara olika komplexa. Några exempel: 1, 2, 3, 4, Mönstret är enkelt för den som kan och ser att det hela tiden ökar med ett. Är det självklart för alla elever? Mönstret kan vara oöverstigligt för en elev som t ex har svårt för att skilja mellan 1 och 2. Mönster statiska och dynamiska Maj (5)

12 2, 4, 6, 8, Här är mönstret +2. Att kunna skutträkna grupper av föremål, t ex som här två eller fem, tio i taget underlättar i olika sammanhang och är ett stöd vid beräkningar med olika räknesätt. 90, 80, 70, Talföljder har alltid två riktningar. Här ser vi en del av en talföljd. Ofta följer vi mönstret i läsriktningen, dvs åt höger. Vilket är mönstret? Hur ser fortsättningen ut åt vänster? 200, 100, 50, 25, Vilken är den generella förändringen? Fortsätt mönstret i båda riktningarna. Hur kan mönstret beskrivas algebraiskt? I ovanstående mönster är ökningen eller minskningen konstant, statisk. Andra talföljder följer växelvis två mönster, t ex: 32, 29, 27, 24, Varannan gång minus 3 och varannan gång minus 2. 2, 6, 5, 15, 14, 42, Varannan gång gånger 3 och varannan gång minus 1. I vissa talmönster förändras relationen mellan talen på ett systematiskt sätt. Förändringen är dynamisk: 6, 7, 9, 12, 16, Vilken är förändringen från det ena talet till det andra? Hur ser fortsättningen ut enligt mönstret? 1, 1, 2, 3, 5, 8, Hur fortsätter mönstret? Beskriv det med ord. Detta mönster kallas ibland för Fibonaccis talföljd och beskriver förhållanden som återfinns på många sätt i naturen. När vi dividerar två på varandra följande tal i talföljden närmar vi oss det som kallas gyllene snittet. 1, 5, 13, 25, 41, Multiplar av talet fyra beskriver förändringen. 1 (+4) 5 (+8) 13 (+12) osv. Vilket tal kommer som nummer tio i följden? 1, 4, 10, 19, 31, Här beskriver multiplar av talet tre den dynamiska förändringen. 1, 4, 9, 16, Detta mönster kan beskrivas på flera sätt. Ökningen ökar med nästa udda tal, 3, 5, 7, 9 osv. En annan beskrivning är att talen i mönstret är kvadrattal, dvs talet gånger sig självt: 1 2, 2 2,, 3 2, Mönster statiska och dynamiska Maj (5)

13 Tittar vi på 1, 2, 4, 7, 11, kan vi se att ökningen är 1, 2, 3, 4, Detta kan skrivas tydligt i en tabell: Hur ser fortsättningen ut? Varför? Hur vet vi det? Inspiration för undervisning om mönster I ett textutdrag från boken Hur många prickar har en Gepard? beskrivs hur unga elever kan möta det stora och fantasieggande området matematiska mönster. Ju mer man själv lär sig att se och upptäcka mönster i sin egen omgivning, desto rikare blir möjligheterna att finna intressanta uppdrag att ge till sina elever. De elever som finns nämnda i texten hör hemma på grundskolans låg- och mellanstadium. Just här har det egentligen ingen betydelse vilka eleverna är. Texten finns med i fördjupningen i denna modul, främst för att inspirera och sätta fart på din egen fantasi. Vad kan du om matematiska mönster och vad skulle du vilja lära mer om? I Matematiklyftets modul Algebra för årskurs 1 3 finns flera grundläggande texter om mönster, se förslag nedan. Litteratur och referenser Bergius, B. & Emanuelsson, L. (2010). Hur många prickar har en gepard? Unga elever upptäcker matematik. NCM; Göteborgs universitet. Bergström, L. (2010). Ni kan räkna med oss matematik i träningsskolan. Härnösand: Specialpedagogiska skolmyndigheten. Tegnér, E. (1820). Epilog vid magisterpromotionen litteraturbanken.se/#!forfattare/tegnere/titlar/epilogvidmagister/info/etext Material från Matematiklyftets Lärportal Grundskolan åk 1 3. Algebra. Del 1: Upprepade mönster. Anna-Lena Ekdahl, Högskolan i Jönköping. Mönster statiska och dynamiska Maj (5)

14 Del 2: Upprepade mönster (fortsättning från del 1). Anna-Lena Ekdahl och Robert Gunnarsson, Högskolan i Jönköping. Del 3: Talföljder. Anna-Lena Ekdahl, Högskolan i Jönköping. Material om mönster som bifogas under Fördjupning Bergius, B. & Emanuelsson, L. (2010). Hur många prickar har en gepard? Unga elever upptäcker matematik. NCM: Göteborgs universitet. Utdrag s Mönster statiska och dynamiska Maj (5)

15 Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 3: Fantasi, mönster och sannolikhet Lektionsaktivitet: Mönster med grejer och tal Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Att se mönster är en förutsättning för att kunna generalisera. När vi ser, eller på annat sätt uppfattar ett mönster, underlättar det tillvaron för oss genom att vi slipper lära oss eller känna till varje liten enskild detalj. Det behöver inte bli så många ord, som en elev uttryckte det. Syfte Syftet är att uppmärksamma elever på begreppet mönster, att ge erfarenheter av att följa givna förutsättningar samt att på sikt ge förutsättningar att formulera regler för olika mönster. Kommunikation är en viktig del i aktiviteten liksom att ge elever möjlighet att resonera, både med sig själva och med andra. Genom samtal och frågor formas språket med både vardagliga och matematiska ord. Aktiviteter med mönster kan med fördel fortsätta över i mer formella generaliseringar för elever på gymnasienivå där de ska ges möjlighet att möta relevanta algebraiska uttryck och ekvationer. Mönster med grejer Material Använd riktiga grejer, dvs inte bilder på föremål, i princip vad som helst som finns till hands, såväl vardagliga föremål som pedagogiska material. Välj material som passar elevernas finmotoriska förutsättningar samt deras ålder och intressen. Beskrivning 1. Inled gemensamt i gruppen utifrån ett av kontextförslagen nedan. Använd kottar eller ljus, eller välj ett annat material och anpassa berättelsen. Samtala med eleverna om hur mönstret i raden kan fortsätta. Låt också eleverna fortsätta att lägga andra mönster med det valda materialet. Kontext 1 Aktiviteten kan utgå från en sagokontext som utmanar elevernas fantasi. Två påhittade figurer ger eleverna ett uppdrag: Emil och Ida lekte i skogen. (Lägg fram gran- och tallkottar, 7 10 av varje.) Titta, sa Emil, så fina kottar det ligger på marken. En del är långa och en del är korta och lite tjocka. Jag vet, sa Emil, vi lägger kottarna i en rad. Jag tycker, sa Ida, att vi lägger alla tjockisar först, och så gjorde hon det. Sen lägger vi alla långa i slutet av raden, sa Emil. Lektionsaktivitet: Mönster med grejer och tal Maj (8)

16 Hur såg raden ut när Ida och Emil var klara? (Eleverna hjälps åt.) Jag vet ett annat sätt, sa Ida, vi lägger dem varannan lång och kort. Hur blir det då? (Låt eleverna lägga raden.) Titta här, sa Emil. Vi kan lägga två långa och sedan en kort. Hur blir det sen? (Diskutera. Låt eleverna lägga raden.) Kontext 2 Jonathan och Olivia städade ett skåp och hittade ljus av olika slag. (Lägg fram långa och korta stearinljus, eventuellt i olika färger, 7 10 av varje.) Titta, sa Jonathan, så fina ljus. En del är långa och en del är korta. Jag vet, sa Jonathan, vi lägger ljusen i en rad. Jag tycker, sa Olivia, att vi lägger alla långa först för de är finast, och så gjorde hon det. Sen lägger vi alla korta i slutet av raden, sa Jonathan. Hur såg raden ut när Olivia och Jonathan var klara? (Eleverna hjälps åt.) Jag vet ett annat sätt, sa Olivia, vi lägger dem varannan lång och kort. Hur blir det då? (Låt eleverna lägga raden.) Titta här, sa Jonathan. Vi kan lägga två långa och sedan en kort. Hur blir det sen? (Diskutera. Låt eleverna lägga raden.) 2. Låt eleverna använda andra material och lägga rader utifrån sin egen fantasi. De kan ta en näve multilink, hela fruktkorgen, så många pärlor som ryms i muggen, så många koppar och fat som går att bära Lägg sakerna i en rad precis som du vill! Låt varje elev förklara varför han lagt sakerna som han gjort och låt även kamraterna kommentera och ställa frågor. Vilket mönster finns i raden? Ser alla i så fall samma mönster? Om mönster saknas, finns det någon sekvens i elevens rad som skulle kunna användas till ett mönster? Utmana eleverna att bygga sina mönster i olika riktningar, även på höjden om materialet klarar det. 3. Inled med statiska mönster och ge varje elev ett påbörjat mönster, en förebild, att följa. Tänka noga igenom vilka förutsättningar som sakerna i sig ger. Ett av de enklaste statiska mönstren är upprepande av två olika föremål (äpple och bananer, koppar och fat) eller föremål där en egenskap finns i två varianter (färg: röda eller blå länkar; storlek: stora och små muttrar). Låt varje elev fortsätta lägga och beskriva många varannan-mönster med olika material. Hur blir mönstret om sakerna läggs två och två istället för ett och ett? Lektionsaktivitet: Mönster med grejer och tal Maj (8)

17 Utgå från ett föremål som är placerat i mitten, låt mönstret växa i rad åt två håll men bara med sammanlagt två olika föremål, former, färger eller andra egenskaper. U t g å Utgå från en egenskap i mönstret och lägg en annan bredvid, t ex färg som i exemplet nedan. Det har ingen betydelse i vilken ordning färgerna kommer, bara det är en annan bredvid den förra. Fortsätt ett upprepande mönster med allt fler komponenter utifrån en förebild. Lektionsaktivitet: Mönster med grejer och tal Maj (8)

18 4. Ge varje elev ett påbörjat mönster, en förebild, att följa men låt det nu vara ett dynamiskt mönster. Vad är det som förändras i mönstret? Hur fortsätter mönstret? Hur kan vi veta det? Hur ser mönstret ut efter ytterligare en sekvens? Efter fem sekvenser? Efter tio? Låt eleverna beskriva både sitt eget och varandras mönster med egna ord. Går det att beskriva mönstret med symboler av något slag? Introduktion Fundera på om någon av de föreslagna kontexterna fungerar som introduktion. Alternativ kan vara en berättelse om någon som trär ett halsband med alldeles särskilda pärlor eller någon som ska hjälpa till att bygga ett staket med smala och breda brädor. Eller ska introduktionen vara något helt annat än en berättelse? Elevers dokumentation Ett av de enklaste sätten för elever att dokumentera är att ta foton. Använd den teknik som de är vana vid, eller som ni vill introducera. Var noga med att välja ut och spara alla foton på ett lättillgängligt sätt. Märk alltid med datum. Lektionsaktivitet: Mönster med grejer och tal Maj (8)

19 Diktering där eleven formulerar det läraren ska skriva är också ett grundläggande sätt för elevers dokumentation, det kan till exempel göras i samband med att ni väljer foton. Låt om möjligt eleverna först diskutera parvis hur de vill beskriva ett mönster. Gör sedan diktering i form av en mening om varje mönster. Skriv på blädderblock, interaktiv skrivtavla eller annat sätt så att alla kan se meningarna och det är möjligt att spara det dikterade till ett senare tillfälle. Variation och progression Det finns oändligt många sätt att utveckla och variera denna aktivitet. Använd föremål som skiljer sig tydligt från varandra, t ex två gula plastspadar och två blå mjuka bollar eller anpassa materialvalet till eleven avseende exempelvis greppvänlighet, hårdhet, möjlighet att åstadkomma ljud, färg, doft, smak, etc. Uppmuntra och utmana eleven att placera föremålen på sätt som ni vill öva: framför bakom, över under, höger vänster, varannan, i par, etc. Träna begrepp som i utanför, tillhör tillhör inte genom att sortera och placera föremål i eller utanför en ring (cirkel på papper/sand/snö, lagt snöre, rockring, etc). Använd fler material och utmana elevernas finmotorik med exempelvis små pärlor, olikfärgade gem och olika sorters bönor. Utmana grovmotoriken genom att flytta utomhus och gör mönster av stenar, pinnar, löv, hinkar, rep, brädor, bollar, etc. Eleverna gör mönster med sig själva: en sitter, en hukar, en står; näsan framåt, näsan bakåt, etc. Låt antalet olika föremål eller olika egenskaper öka i takt med att eleverna blir allt säkrare på att lägga eller visa mönster. Låt eleverna arbeta i par och växelvis lägga ett föremål i taget. Uppmärksamma vad som händer då det bara är två olika objekt (varje elev lägger alltid samma) till skillnad om det istället är tre olika objekt som läggs i raden (varje elev lägger inte samma varje gång). Elevernas dokumentation kan utvecklas genom en mer berättande text till fotona. Eleven eller läraren skriver eller talar in berättelsen om mönstret. Eleverna berätta vid senare lektionstillfällen om sina mönster utifrån egna foton. Låt eleverna skapa egna mönster som de ger som utmaningar till varandra. Så här tänkte jag hur tänkte du? Ett exempel på utvidgad elevdokumentation: Lägg ett mönster med föremål, ramsräkna (ex ett äpple, en banan, ett äpple, en banan, etc), rita av och färglägg, ersätt teckningarna med informella symboler, representera mönstret med ljud (ex en klapp i hand, en klapp på knät, etc), byt till formella symboler (ex a b a b). Hur ser mönstret a b b a b b ut? Lektionsaktivitet: Mönster med grejer och tal Maj (8)

20 Mönster med tal Titta på följande talserier och låt eleverna undersöka vilka relationer det finns mellan talen. Hur fortsätter mönstret? 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 34, 35, 36, 37, 12, 13, 14, 15, 90, 80, 70, 2, 5, 8, 11, 6, 7, 9, 12, 16, 2, 6, 5, 15, 14, 42, 32, 29, 27, 24, 1, 3, 5, 7, 9, 200, 100, 50, 25, 1, 4, 9, 16, 1, 4, 10, 19, 31, 1, 5, 13, 25, 41, 1, 1, 2, 3, 5, 8, Låt eleverna diskutera vad som händer från ett tal till nästa. Ordna talfakta i en tabell. Talmönster Förändring Låt eleverna fortsätta talserien, eventuellt också i motsatt riktning, så länge det känns meningsfullt. Uttryck sambanden språkligt, t ex hela tiden är ökningen ett mer än den förra. Lektionsaktivitet: Mönster med grejer och tal Maj (8)

21 Talmönster Förändring n Skriv in uppgifterna i ett fyrfältsblad: Lektionsaktivitet: Mönster med grejer och tal Maj (8)

22 Avsluta med att gemensamt kontrollera om det stämmer. Figur 6 = 2 6 = 12 Figur 6: Ja! Det stämmer. Hur många markörer behövs till figur 50? 100? 1000? en miljon? Lektionsaktivitet: Mönster med grejer och tal Maj (8)

23 Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 3: Fantasi, mönster och sannolikhet Mönster Träningsskola och individuellt program Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Det finns flera anledningar att undervisa om och med mönster. Kan vi uppfatta mönster underlättar de för oss i vardagen eftersom vi inte behöver lära oss varje del för sig. Mönster kan också tillföra estetiska upplevelser som kan berika en kreativ ämnessamverkan. Mönster är ett omfattande begrepp som kan bestå av fysiska föremål, bilder, ljud, smaker, taktila upplevelser, händelser, orsakssamband och mycket annat. Ett mönster kan vara linjärt som en blomsterranka på en tapetbård, det kan breda ut sig i planet som rutor på ett tyg eller finnas i tre dimensioner som trapphuset i ett höghus. Takten i älsklingssången och ordningen på vardagens händelser uppvisar också mönster. När elever arbetar med mönster kan vi lyfta fram ett matematiskt tänkande i form av grundläggande logik och resonemang. På en mycket basal nivå kan det handla om att en elev uppfattar ett mönster som upprepar sig, vilket blir till någon form av logisk tanke eller resonemang, i vardagliga handlingar som blir jag törstig går jag till kranen, när jag lyssnar på Avicii blir jag glad, tar jag på mig jackan kan jag åka hem. I skolsituationen kan dessa vardagliga händelser sedan ligga till grund för ett mer formaliserat arbete. Mönster skrivs på olika sätt fram i träningsskolans och individuella programmets samtliga ämnesområden. Tittar vi på skrivningarna ur ett matematikperspektiv går det att se att mönster har många kopplingar till såväl den vardagliga verksamheten som skilda matematikinnehåll: Estetisk verksamhet Rytmik och ramsor: Talramsan 1, 2, 3, 1, 2, 3, Eleverna uttalar orden, ser på bilder med de olika antalen, känner på föremål, klappar händerna, etc. Bildhantering, till exempel med digitalkamera och dator: Eleverna dokumenterar med nödvändig hjälp de ramsor, mönster av lagda föremål, ljudsekvenser, etc som de på något sätt kan uppfatta. Konst, arkitektur och design: Uppmärksamma tillsammans de mönster som finns i skolan och närmiljön. Titta, fotografera, härma, utveckla, etc. Kommunikation Grundläggande kommunikativa mönster och strukturer: Turtagning i spel genom bland annat strukturen starta, genomföra, avsluta. Kroppsspråk, tecken eller tal. Hur man kan uttrycka sin avsikt på olika sätt: Hur kan eleven uttrycka ett uppfattat mönster eller ge förslag på ett mönsters fortsättning genom sitt kroppsspråk, sitt talade språk, sitt teckenspråk? Information i vardagssituationer, till exempel scheman, symboler och instruktioner: Ett schema är ett matematiskt mönster. Först gör vi si, sedan så och därefter Mönster Träningsskola och individuellt program Maj (5)

24 Motorik Grundläggande motoriska rörelser: Mönster av rörelser med hela kroppen: sitta stå, lyfta en arm lyfta ett ben, lägga mönster av stora geometriska former som kvadrat, cirkel, kvadrat, cirkel, mönsterpromenader, etc. Finmotorik, till exempel handgrepp och ansiktsmotorik: Lägg mönster med de material som eleven kan hantera. Gör mönster med ansiktsuttryck som eleverna kan härma: glad, ledsen, glad, ledsen, etc. Lekar, danser och andra rörelseaktiviteter och deras regler: Alla innehåller mönster av olika slag. Jämför mönster med kaos. Vardagsaktiviteter Undervisningen inom ämnesområdet vardagsaktiviteter ska syfta till att eleverna utvecklar kunskaper om mönster och rutiner som ingår i vardagen. Rutiner för måltider och hur måltider kan arrangeras för att skapa gemenskap och välbefinnande: När ska vi äta? Hur många ska vi duka till? Hur ska vi duka? Vad ska vi äta först? Hur ser porslin, bestick, glas, servetter, ut? Vilka mönster kan dessa frågor leda till? Vilka av mönstren kan eleven uppfatta, beskriva, fortsätta? Återvinning och hur den fungerar: Återvinning bygger på sortering, vilket i sin tur baseras på mönster i meningen att vissa material läggs på särskilda ställen. Mönster finns även i återvinningscykeln. Verklighetsuppfattning Vidare ska undervisningen syfta till att eleverna utvecklar en matematisk förståelse och därigenom en förmåga att strukturera vardagen och lösa praktiska problem. Genom undervisningen ska eleverna ges möjlighet att utveckla kunskaper i att ordna sina erfarenheter utifrån rum, tid, kvalitet och kvantitet. Återkommande mönster i naturen, till exempel dygn, årstider och vädertyper: Använd bilder, föremål eller ljud som symboliserar dag och natt. Lägg mönster dag, natt, dag, natt, etc. Gör på motsvarande sätt med årstiderna, vilket blir ett betydligt mer avancerat mönster då det består av fyra delar. Låt eleverna hitta mönster genom att koppla samman väderlek och lämplig klädsel eller annat attribut: regn paraply, sol glass, snö vantar. Ihop-parning kan sedan fortsätta i antal symbol. Geometriska figurer och namnen på några av dessa, till exempel cirkel, kvadrat och triangel: Använd de geometriska figurerna och lägg mönster: cirkel, kvadrat, cirkel, kvadrat, etc. Inled med olika färg på figurerna: röd cirkel, blå kvadrat, röd cirkel, blå kvadrat, etc, alternativt i olika material som blank cirkel och skrovlig kvadrat. Fortsätt med två olika figurer men i samma färg eller material. (Strukturer och egenskaper hos olika material och hur de kan upplevas, till exempel varmt, blankt och mjukt) I flera av det individuella programmets ämnesområden finns innehåll som kan beskrivas med eller som mönster. Utgå från de förslag som finns för träningsskolan och utveckla det kunnande som eleverna har med sig från sina tidigare skolår. Några exempel: Natur och miljö Livscykler, årstidsväxlingar: Livscykler som från frö till frö, larv-puppa-fjäril, ägg-fågelunge- Mönster Träningsskola och individuellt program Maj (5)

25 vuxen fågel, barn-tonåring-vuxen-gammal innehåller alla ett upprepande mönster. Förlopp som dygnets beteckningar, veckodagar, månader, år, etc kan, efter elevens förutsättningar, utvidgas allt mer sett ur ett matematiskt mönsterperspektiv. Estetisk verksamhet Från idé till färdig produkt: Uppmärksamma att hantverk och pyssel av olika slag ofta följer mönstret att först består det av lösa delar som sedan sätts samman till en helhet: kulor blir armband; pusselbitar visar en bild; mjöl, salt och vatten blir trolldeg; etc. Hur sånger och berättelser kan gestaltas med ljud, rytmer och rörelser: Hitta tillsammans på olika rörelser till en populär låt, härma, upprepa. Hem- och konsumentkunskap Matlagning och bakning: Jämför med ovan, ingredienser blir en maträtt Metoder för hygien, tvätt, städning: Många moment i vardagen måste göras i en viss ordning, ett visst mönster: tvätta, torka, vika, lägga in. Diskmaskinen däremot kan oftast fyllas i vilken ordning som helst. Samtala om likheter och skillnader och vad som är/inte är mönster. Lektionsaktivitet: Mönster med grejer Syfte Syftet med aktiviteten är att uppmärksamma elever på skillnader mellan objekt, att ge dem möjlighet att upptäcka och fullfölja enkla upprepade mönster samt att beskriva dessa. Material Använd riktiga grejer, dvs inte bilder på föremål, i princip vad som helst som finns till hands, såväl vardagliga föremål som pedagogiska material. Välj material som passar elevernas motoriska förutsättningar samt deras ålder och intressen. Beskrivning Utgå från en situation där t ex några kända skönlitterära, eller andra påhittade figurer, ger eleverna uppdrag. Kontext 1 När Marko och Gada gick in i förrådet upptäckte de att på golvet låg alla deras skruvar och muttrar; mössor och vantar; penslar och pennor; garnnystan och tyger i en enda röra. (Lägg fram 7 10 av varje föremål). Oj oj oj, en sådan röra, sa Marko. Vi kommer inte åt någonting. Vi måste städa. Han ställde en burk på en pall och en annan burk under pallen. Vi lägger skruvarna i burken på pallen och muttrarna i burken under pallen, sa Gada. Låt eleverna städa undan grejerna på samma sätt. Mönster Träningsskola och individuellt program Maj (5)

26 Kontext 2 I en låda i Jonathans och Olivias skåp ligger långa och korta ljus. (Lägg fram en låda med 7 10 ljus av varje längd. Är det en för- eller nackdel för eleverna att det är olika färg på de långa och de korta ljusen? Är det bättre, än på fotot, att alla ljus har samma färg så det bara blir fokus på ljusens längd?) Titta, sa Jonathan, så fina ljus. En del är långa och en del är korta. Jag vet, sa Jonathan, vi lägger ljusen i en rad. Jag tycker att vi lägger alla långa först för de är finast, sa Olivia och så gjorde hon det. Sen lägger vi alla korta ljus i slutet av raden, sa Jonathan. Hur såg raden ut när Olivia och Jonathan var klara? (Eleverna hjälpas åt.) Jag vet ett annat sätt, sa Olivia, vi lägger dem varannan kort och lång. Hur blir det då? (Låt eleverna lägga raden). Det finns ett annat sätt också, sa Olivia, vi lägger två korta och två långa. Hur blir det då? (Låt eleverna lägga raden). Titta här, sa Jonathan. Vi kan lägga två långa och sedan en kort. Hur blir det sen? (Diskutera. Låt eleverna lägga raden.) Anpassa situation och material till eleverna. Använd föremål som skiljer sig tydligt från varandra, t ex gula plastskedar och blå mjuka bollar, eller anpassa materialvalet till eleven avseende exempelvis greppvänlighet, hårdhet, möjlighet att åstadkomma ljud, färg, doft, smak, etc. Uppmuntra och utmana eleven att placera föremålen på sätt som ni vill öva: framför bakom, över under, höger vänster, varannan, i par, etc. Träna begrepp som i utanför, tillhör tillhör inte genom att sortera och placera föremål i eller utanför en ring (cirkel på papper/i sand/i snö, lagt snöre, rockring, etc). T ex skedar i ringen och andra bestick utanför; skruvar i ringen och muttrar utanför, etc. Använd fler material, t ex stora pärlor, stora olikfärgade gem, multilink, geometriska former i olika färger (t ex logiska block). För att upptäcka hur mönstret upprepar sig kan det för någon elev vara nödvändigt att starta med en enda komponent. Ställ fram likadana koppar /skedar/muttrar/läskburkar, en i taget, framför eleverna. Vad ska komma sedan? Mönster Träningsskola och individuellt program Maj (5)

27 Trä pärlor i två färger på en piprensare eller ett snöre, sätt samman länkar i två färger (eller använda annat material på motsvarande sätt) framför eleverna. Variera bara en egenskap färg, form eller storlek. Samtala med eleverna om vilken färg eller vilken form nästa ska ha för att mönstret ska fortsätta på samma sätt. Nästa igen, osv. Låt eleverna beskriva mönstret eller ge alternativ som de får välja mellan. Låt eleverna göra egna mönster med två delar. Hur ser det ut om mönstret får fortsätta åt båda hållen? Diskutera om pärlorna på snöret eller länkarna kan sättas ihop till en ring så att mönstret löper oavbrutet. I så fall hur? Samtala om vad det beror på. Introduktion Fundera på om någon av kontexterna fungerar som introduktion eller hur den behöver anpassas. Det skulle t ex kunna vara någon som ska sortera pärlor eller någon som ska hjälpa till att bygga ett staket av smala och breda bräder. Elevers dokumentation Mönster är tacksamt att dokumentera och ett av de enklaste sätten att dokumentera är att ta foton. Ta ut svängarna och fotografera mönsters framväxt steg för steg. Använd den teknik som eleverna är vana vid eller som ni vill introducera. Var noga med att välja ut och spara alla foton på ett tillgängligt sätt. Märk alltid med datum. Diktering där eleven formulerar det läraren ska skriva är också ett grundläggande sätt för elevers dokumentation, det kan till exempel göras i samband med att ni väljer foton. Låt om möjligt eleverna parvis se på vilka skillnader de upptäcker mellan objekt. Hur kan eller vill de beskriva ett mönster? Skriv på blädderblock, interaktiv skrivtavla eller annat sätt så att alla kan se meningarna och det är möjligt att spara det dikterade till ett senare tillfälle. Använd elevernas dokumentation i den fortsatta undervisningen. Vad kan eleven nu? Vad kan utvecklas? Vad verkar eleven nöjd eller missnöjd med? Mönster Träningsskola och individuellt program Maj (5)

28 Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 3: Fantasi, mönster och sannolikhet Sannolikhet Berit Bergius & Lena Trygg, NCM I många matematiska aktiviteter ska deltagarna upptäcka, hantera och uttrycka likheter och skillnader, kunna förutse vad som kommer att hända och resonera om vilka risker och chanser som olika handlingar medför. Sannolikhet är ett exempel på matematiskt innehåll som innehåller allt detta och passar därför utmärkt för att stimulera nyfikenhet, lust och fantasi. I grundsärskolans matematikkursplaner och i särskild utbildning för vuxna skrivs sannolikhet fram i följande punktsatser: Begreppet slump och slumpmässiga händelser i experiment och spel. Åk 1 6. Begreppen chans, risk och slump i vardagliga situationer. Åk 7 9. I gymnasieskolans ämnesplan för Matematik 1 står det: Sannolikhet, till exempel i samband med risk- och säkerhetsbedömningar. I Matematik 2 och 3 finns rubriken Sannolikhet och statistik, men det står inget specifikt om sannolikhet. Sannolikhet i vardagen Vi gör dagligen sannolikhetsbedömningar, en del medvetna med mer eller mindre formella beräkningar, andra där vi av erfarenhet kan göra bedömningar som ligger nära vad som faktiskt kommer att inträffa. Vi bestämmer relativt enkelt hur vi ska klä oss utifrån sannolikheten att vädret blir på ett särskilt sätt under dagen, vi bedömer hur mycket frukt vi ska köpa för att det ska räcka men inte bli för mycket över, vi tar ställning till vad vi tror om ränteläget när vi ska förnya lånen hur stor är sannolikheten att Riksbanken höjer eller sänker reporäntan? Elever behöver få tillfälle att utveckla förmågan att göra intuitiva bedömningar av händelser i vardagen men också få kunskap om något mer formella sätt att bedöma sannolikhet. Inledningsvis behöver de lära sig att skilja händelser som är helt säkra alternativt totalt omöjliga från händelser som är slumpmässiga. I Nämnaren 2013:1 beskriver Pirjo Repo hur hon inledde ett arbete med Sannolikhet från början och i Nämnaren 2013:4 finns Karin Landtbloms artikel Hur sannolikt är det? Båda texterna finns i denna dels fördjupning. Använd dem gärna som ett komplement till lektionsaktiviteten Vad kan hända? Sannolikhet Maj (3)

29 Kort terminologi Några av de centrala termer som används inom sannolikhetsläran är följande: Slump. Slump används för att beskriva en oförutsägbarhet som vanligen beror på en eller flera okända orsaker. Slumpförsök (slumpmässigt försök). En händelse som har minst två möjliga utfall och där det är omöjligt att i förväg säga vilket som kommer att inträffa. Försöket ska kunna upprepas under i stort sett samma omständigheter. Exempel är kast med tärning och dragning ur en väl blandad kortlek. Utfall. Ett möjligt resultat vid ett slumpmässigt försök. Vid kast med en vanlig tärning är till exempel tre ett utfall. Utfallsrum. Mängden av alla möjliga utfall vid ett slumpmässigt försök. För en vanlig tärning är utfallsrummet: ett, två, tre, fyra, fem, sex. Mängden skrivs vanligen med mängdklamrar. Händelse. Vilket resultat man faktiskt får då man genomför ett slumpmässigt försök. Man kan till exempel få en sexa då man kastar en vanlig tärning. De stora talens lag. Den sats inom sannolikhetsteorin som säger att det aritmetiska medelvärdet av ett stort antal oberoende observationer av en slumpvariabel ligger nära förväntat värde (variabelns väntevärde, matematisk förväntan). Det finns tre grundläggande sannolikhetsbegrepp: teoretisk, experimentell och subjektiv. För den som vill läsa mer än följande korta genomgång föreslår vi texter från Matematiklyftets modul Sannolikhet och statistik, se mer under Litteratur och referenser. Teoretisk sannolikhet innebär att vi i förväg kan bestämma sannolikheterna för olika utfall. Vanliga exempel utgår från mynt, tärningar och kortlekar som förutsätts vara symmetriska, dvs det ska vara lika stor chans att få krona eller klave, lika stor chans att vilken sida som helst på tärningen kommer upp eller att inget kort i leken har större chans än övriga att bli draget. Sannolikheten att få krona är en av två, dvs 1/2, att slå en 4:a på en vanlig pricktärning är en av sex, dvs 1/6, att dra spader åtta är en av 52, dvs 1/52. Utifrån detta kan vi exempelvis beräkna sannolikheten för att tärningen visar ett jämnt antal prickar, 2, 4 eller 6 vid ett kast (3/6 =1/2). Andra vanliga exempel som kan illustrera teoretisk sannolikhet är chokladhjul med färgade fält i olika storlekar, tips- och lotto-rader och lotter av olika slag. Experimentell sannolikhet handlar om slumpförsök där det inte lika säkert går att bestämma utfallen som i exemplen ovan. Det finns ett sällskapsspel som heter Kasta gris. Där används små plastgrisar som en slags tärning. De kan t ex landa på benen, på ryggen eller på trynet. Här är det inte lika enkelt att bestämma sannolikheten för ett utfall eftersom grisarna är osymmetriska. Ett sätt för att ändå ta reda på sannolikheten för ett visst utfall, t ex att grisen hamnar på trynet, är göra en stor mängd kast och se på den relativa frekvensen, alltså hur Sannolikhet Maj (3)

30 många gånger av det totala antalet kast utfallet blir trynet ner. Detta sätt att undersöka sannolikhet kallas De stora talens lag. Förutom att det måste ske ett stort antal försök är det nödvändigt att varje försök görs på identiskt sätt varje gång och varje försök ska dessutom vara oberoende av de andra. Subjektiv sannolikhet används för att beskriva sannolikhet för händelser som inte kan bestämmas på något av de båda andra sätten. Vi kan ta en väderprognos som exempel. Vi kan inte beräkna den enligt teoretisk sannolikhet eftersom det inte finns ett begränsat antal väl definierade utfallsrum. Det går inte att förutsätta att det t ex blir ett av utfallen sol, mulet, regn eller snö eftersom det finns andra vädertyper som växlande molnighet och spridda skurar. Vi kan inte heller göra en stor mängd försök med (eller undersökningar av) morgondagens väder. Istället måste vi förlita oss på andra sätt att använda det kunnande som finns: logik, matematiska modeller, erfarenheter, statistik etc. Ju mer kunskap som finns om ett område, desto säkrare sannolikhetsberäkningar kan göras. I lektionsaktiviteten Vad kan hända? tas sannolikhetsbegreppen upp och relativt stort fokus läggs på samtal om vad som skulle kunna hända i olika sammanhang. Det blir tydligt att fantasi är en betydelsefull del för att utveckla den intuitiva känslan för vad som är möjligt, troligt eller sannolikt. Litteratur och referenser Material från Matematiklyftets Lärportal Grundskolan åk 1 3. Sannolikhet och statistik. Del 1: En kort exposé över sannolikhetslärans och statistikens utveckling. Anders Tengstrand, Örebro universitet. Del 3: Slump och sannolikhet. Andreas Eckert, Linnéuniversitetet & Cecilia Kilhamn, Göteborgs universitet. Material om sannolikhet som bifogas under Fördjupning Repo, P. (2013). Sagt & gjort: Sannolikhet från början. Nämnaren 2013:1. Landtblom, K. (2013). Hur sannolikhet är det? Nämnaren 2013:4. Sannolikhet Maj (3)

31 Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 3: Fantasi, mönster och sannolikhet Lektionsaktivitet: Vad kan hända? Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Syfte Innebörden i sannolikhet är en viktig kunskap för alla. Det finns gott om exempel på att sannolikhet används allt mer i vår vardag. I väderprognoser anges risken för regn ofta i procent, sannolikheten att lyckas i spel formuleras väldigt positivt i reklamen, vi blir översköljda med siffror om hur mycket risken för olika sjukdomar ändras beroende på livsstilsfaktorer. Har jag någon chans att vinna simtävlingen på lördag? Hur stor är risken att jag blir förkyld när så många på bussen hostade? Hur troligt är det att det snöar i morgon? Ska vi singla slant och låta slumpen avgöra? Tror du det är möjligt att jag kan se filmen hos dig ikväll? Vad är säkert? Vad är osäkert? Vad är slump? När använder elever sannolikhet i sin vardag? Detta är några av de frågor som behandlas i denna aktivitet om grundläggande sannolikhet. Eleverna får öva på att uppmärksamma skillnaden mellan händelser som antingen är säkra eller omöjliga och vad som är slumpmässiga händelser. Material Mynt, tärningar, kortlekar, häftstift, glasspinnar, beroende på vilken del av aktiviteten som väljs. Beskrivning Samtalen under A genomförs med alla elever, men på olika nivåer beroende på elevernas ålder, kunskaper och förutsättningar. Därefter kan förslagen under B D väljas och anpassas så varje elevgrupp börjar där de befinner sig och sedan får utmaningar som för deras lärande framåt. A. Om viktiga och grundläggande ord 1. Inled arbetet med att samtala i gruppen om orden helt säkert, helt omöjligt, chans, risk och slump. Uppmuntra eleverna att berätta och fantisera med hjälp av följande inledningar: 2. Berätta om något som du är helt säker på kommer att hända senare idag/i morgon/nästa vecka/om ett år Vad är det som gör att du är helt säker? Fantisera om vad som skulle kunna hända för att det inte längre skulle vara helt säkert Vad säger ni andra är det helt säkert att detta kan hända? Låt var och en berätta, rita, skriva 3. Berätta om något som absolut inte kan hända senare idag/i morgon/nästa vecka/om ett år Vad är det som gör att detta är helt omöjligt? Fantisera om vad som skulle kunna hända för att det inte längre skulle vara helt omöjligt Lektionsaktivitet: Vad kan hända? Maj (7)

32 Vad säger ni andra är det helt omöjligt att detta kan hända? Låt var och en berätta, rita, skriva Berätta om något som kanske kan hända senare idag/i morgon/nästa vecka/om ett år Vad är det som gör att det finns en chans eller risk att det händer? Fantisera om vad som skulle kunna hända för att det ska, eller inte ska, inträffa Vad säger ni andra kan detta kanske hända? Låt var och en berätta, rita, skriva Jämför orden chans och risk. Berättar eleverna om andra sorters händelser om det finns en chans istället för att det finns en risk att något särskilt ska hända? Positivt och negativt, bra eller dåligt. 4. Fortsätt på samma sätt med orden möjligt/omöjligt, troligt/inte troligt, vanligt/ovanligt. Låt hela tiden eleverna hämta exempel från sin vardag och låt dem också fantisera om vad som skulle kunna hända om något ovanligt, otroligt, osannolikt, omöjligt inträffar. 5. Begreppet slump är mycket abstrakt. Det finns ingen entydig definition men de flesta har en intuitiv känsla för vad det är. Ge exempel från tillfällen då du tyckte att det var något slumpmässigt som hände. Låt eleverna ge exempel och motexempel. Vad är slump? Vad är inte slump? Samla orden, förklaringarna och berättelserna. Låt eleverna skriva i egna böcker, anslå på väggen eller använda de tekniska lösningar som passar bäst. Avsluta denna del av aktiviteten med att själv berätta om en fantastisk, osannolik, otrolig men aktuell händelse som du varit med om, som du har snappat upp från en tidning, tvprogram eller som någon har berättat för dig om. Diskutera vad det var som gjorde att händelsen fick uppmärksamhet. B. Teoretisk sannolikhet Att använda mynt, tärning och kortlek är klassiska inkörsporter till (teoretisk) sannolikhet. Nedan ges förslag på inledande aktiviteter med att kasta ett mynt, en tärning eller att dra ett kort ur en kortlek. Samtliga varianter kan enkelt utökas till frågeställningar om vad som händer om man istället kastar två mynt, slår en tärning och ser efter hur många gånger det blir ett jämnt antal prickar etc. Fler idéer finns under Utveckling och variation. Kasta mynt Diskutera myntkastning. Vad är det? När används det? Har eleverna använt det? När skulle de kunna tänka sig att använda det? Titta tillsammans på en enkrona och bestäm vad som är krona och klave. Är det enklare att kalla sidorna något annat? Kronan och kungen? Bestäm gemensamt hur ett kast ska göras. Lektionsaktivitet: Vad kan hända? Maj (7)

33 Bestäm hur varje kast ska bokföras. Låt varje elev enskilt kasta ett bestämt antal gånger och bokföra. Hur många kast varje elev ska göra beror på antalet elever som ska kasta. Sammanlagt bör det bli åtminstone 100 kast, men ju fler desto säkrare resultat. (En bra räkneuppgift ) Vad är möjligt att utläsa ur varje elevs bokföring? Låt eleverna berätta och jämföra med varandras redovisningar. Sammanställ alla kast i en gemensam tabell, eller på annat lämpligt sätt. Vad är möjligt att utläsa ur den gemensamma sammanställningen? Diskutera hur stor chans det är att få krona i ett kast. Kan man någonsin vara säker på vad det blir i nästa kast? Varför? Varför inte? Här har ( gamla ) enkronor använts som exempel på mynt, men det går naturligtvis lika bra att använda vilka mynt som helst eller tvåfärgade markörer. I samband med att vi går över till nya svenska mynt 2016 blir det extra viktigt att använda dem även i sammanhang som detta för att på så många sätt som möjligt låta eleverna bli väl bekanta med dem. Låt elever som har inte har de fysiska förutsättningar att kasta mynt för hand göra det med exempelvis en app som slumpar fram önskat antal kast. De elever som kan kasta mynt många gånger bör få göra det en eller ett par gånger innan de går över till att slumpa fram kasten digitalt. Det ger en helt annan förståelse för vad som händer digitalt om man själv först har provat för hand. Tärningskast Titta på några olika tärningar. Vad är lika? Vad är olika? Vad används tärningar till? Varför? Vilka erfarenheter har eleverna? Diskutera om det är enklare eller svårare att få ett visst resultat vid ett tärningskast. Är det svårast att få en sexa? Kan jag vara säker på att få ett särskilt resultat? Bestäm tärningens utfallsrum. Vilka möjliga utfall finns? Jämför olika tärningar. Resonera om chansen att få en 4:a vid ett slag med en vanlig pricktärning (undvik att alltid titta på 6:or). Hur kan det skrivas matematiskt? En chans av sex möjliga en av sex 1 av 6 1/6 ( 0, ,7 %). Bestäm hur varje tärningskast ska bokföras. Låt sedan varje elev enskilt kasta ett bestämt antal gånger och bokföra. Ju färre elever, desto fler gånger får var och en kasta. Det bör bli sammanlagt åtminstone 100 kast. Sammanställ alla kast i en gemensam tabell, eller på annat lämpligt sätt. Lektionsaktivitet: Vad kan hända? Maj (7)

34 Vad är möjligt att utläsa ur sammanställningen? Diskutera hur stor chans det är att få ett visst resultat i ett kast. Kan man någonsin vara säker på vad det blir i nästa kast? Varför? Varför inte? Dra ett kort ur en kortlek Gör på motsvarande sätt med att dra ett kort ur en kortlek. Resonera, diskutera, undersök. C1. Experimentell sannolikhet Osymmetriska föremål kan användas för att undersöka experimentell sannolikhet. Förslag: plastgrisar som i Kasta gris-spelet eller häftstift. (En alternativ aktivitet finns nedan.) Titta på det valda materialet. Vad är lika? Vad är olika? Vad används det normalt till? Varför? Vilka erfarenheter har eleverna? Vilka möjliga lägen kan materialet hamna på då det kastas? Diskutera och bestäm utfallsrummet. Resonera om chansen att få ett visst utfall. Vilket läge verkar vara troligast att saken hamnar på? Minst vanligt? Rangordna utfallen. Låt varje elev enskilt kasta ett bestämt antal gånger och bokföra. Ju färre elever, desto fler gånger får var och en kasta. Det bör bli sammanlagt åtminstone 100 kast. Sammanställ alla kast i en gemensam tabell eller på annat sätt. (För eventuellt in relativ frekvens här.) Vad är möjligt att utläsa ur den gemensamma sammanställningen? Diskutera De stora talens lag. C2. Experimentell sannolikhet Till denna aktivitet behövs tio glasspinnar och en spelplan på ett A3-ark med parallella linjer uppritade. Låt avståndet mellan linjerna vara något längre än längden av en halv glasspinne. Håll en bunt med tio glasspinnar ovanför spelplanen. Släpp alla och räkna efter hur många pinnar som inte korsar någon linje, eller som korsar en eller två linjer. Bestäm tillsammans hur bunten ska hållas och ungefär hur högt över pappret glasspinnarna ska släppas. Diskutera vilket utfallsrummet är, dvs vilka utfall som är möjliga. Bestäm vad som händer med pinnar som hamnar helt utanför spelplanen. Diskutera hur varje pinnsläpp ska bokföras. Fortsätt så som det beskrivs i de tidigare delarna av aktiviteten med gemensam sammanställning och diskussioner om vad som går att utläsa. Lektionsaktivitet: Vad kan hända? Maj (7)

35 Diskutera De stora talens lag. Utveckla aktiviteten genom att ändra på förutsättningarna. Vad händer om linjerna dras tätare eller glesare? Om tändstickor eller blompinnar används istället för glasspinnar? D. Subjektiv sannolikhet Jackor till och från matsalen Denna aktivitet kan användas för att undersöka subjektiv sannolikhet. Se den som ett förslag att ta efter eller använd något annat liknande problem från er verksamhet. Förutsättningarna var följande: En grupp elever hade väldigt svårt att själva ta ansvar för att klä sig på ett relevant sätt när de skulle gå över skolgården till matbespisningen. Detta hade växt till ett ständigt återkommande problem för lärare, elever och föräldrar. Problemet sporrade en lärarstudent att göra ett utvecklingsarbete och det resulterade i ett dagligt inslag i verksamheten där eleverna delade på ansvaret. Varje dag mätte eleverna temperaturen och förde in den i ett överskådligt diagram. De satte också upp egentillverkade symboler som visade om det var soligt, molnigt, regnigt, snöigt, osv. De gick ut varje dag, kände efter och värderade hur det kändes utomhus. De gjorde bedömningar om vilken klädsel som var rimlig att ta på sig för promenaden till matsalen. Finns det risk för regn när vi ska gå tillbaka efter måltiden? Hur stor är chansen att vi kommer tillbaka torra om fötterna? Gruppen jämförde dagens väder med gårdagens och diskuterade likheter och skillnader. Eleverna föreslog sedan dagens klädsel, de valde och satte upp klädsymboler. Ska vi klä oss efter Astrids förslag eller ska vi låta slumpen avgöra om vi håller oss torra och varma? Problemet löstes och samtidigt fick eleverna möjlighet att använda många sinnen. De gjorde mätningar, rimlighetsbedömningar, förde samtal, dialoger och diskussioner. De fick argumentera för sina förslag och ta ansvar för att väder och klädsel stämde överens när de gick iväg. Ta med bilen till klassrummet Ett alternativ till aktiviteten ovan kan utgå från att räkna bilar och bokföra dem utifrån registreringsnumret. I artikeln Ta med bilen till klassrummet, Nämnaren 2010:2 beskriver Marianne Rönnbom hur hennes barndoms räknande av bilar senare har gett uppslag till undervisningsidéer. Idag kan vi ju inte se på registeringsnumret varifrån en bil kommer, men det går att göra mycket annat med undersökning av bilar. Är sannolikheten stor eller liten att nästa bil som kommer är grå? Att nästa bil är en Porsche? Att nästa bil är en långtradare? Lektionsaktivitet: Vad kan hända? Maj (7)

36 Det går att göra mycket annat också med bilräkning som inte direkt har med sannolikhet att göra och i artikeln ges flera förslag. Ytterligare en idé som kan löpa länge och ge upphov till mängder av samtal, fantiserande och resonemang är att hitta och bokföra registreringsnummer i ordningsföljd. Vem ser först en bil med 001? När, var och vad var det för bilmärke? Eller vänd på det: Förbered t ex ett excelark med talen Fyll i de bilnummer som finns på familjernas, lärarnas, grannarnas bilar. Vilka nummer har taxibilarna som eleverna brukar åka med? Fortsätt skriva upp ett eller ett par nummer varje gång eleverna rör sig i närområdet och komplettera listan efter hand. Introduktion Aktiviteter bör inledas med introduktioner så att eleverna kommer på spåret. De behöver få veta något om vad som ska hända och varför, så att de blir nyfikna och får förväntningar på att veta mer. Eftersom denna aktivitet är uppdelad har, där det varit möjligt, den första punkten formulerats så den kan användas som introduktion. Brodera gärna ut ännu mer och anknyt så mycket det går till elevernas intresse och erfarenheter samt er verksamhet. Elevers dokumentation Redan insprängt i aktivitetens delar finns punkter som behandlar elevernas egen dokumentation, som exempelvis att bokföra i tabeller eller att rita och skriva berättelser. Använd tillgänglig och för varje elev anpassad (digital) teknik. Som komplement kan någon del av elevernas arbete fotograferas och/eller kan de få en påbörjad mening som de ska avsluta, t ex: Idag har jag Nu vet jag att Jag tyckte att (det jag gjorde) var (därför att ) Jag vill lära mig mer om (därför att ) Jag tror att Jag undrar varför Ett något mer avancerat innehåll är att göra jämförelser: Skillnaden på chans och risk är Skillnaden på möjligt och inte möjligt är Variation och progression Använd två röda och två blå rispåsar/vantar/strumpor/bollar. Lägg en av varje färg (eller annan egenskap) i en påse och de båda andra på bordet. Utmana eleven att gissa vilken färg som kommer att tas upp ur påsen genom att hon pekar på/markerar en av dem som ligger på bordet. Visa hur gissningen föll ut med glad/ledsen gubbe eller olika ljud. Bokför genom att sätta Lektionsaktivitet: Vad kan hända? Maj (7)

37 pennor/glasspinnar/sugrör i två burkar som representerar de båda utfallen. Undersök resultatet. Gör kast med två tärningar och summera slagen. Vilken summa är mest sannolik, d v s vanligast? Låt eleverna göra en tabell där alla de möjliga kombinationerna finns med. Vad mer kan man utläsa från tabellen? Använd spinners eller snurror, exempelvis för att illustrera chokladhjul. Andra aktiviteter och spel med sannolikhet Glupska grisen, s i Familjematematik (enklare: Akta dig för ettan! s 103). Mångsiffrigt, s i Familjematematik. 30 tärningskast, s i Familjematematik. 30 kast till, s i Familjematematik. Familjematematik är en NämnarenTEMA-bok. Den finns att ladda ner från Skolverkets webbplats, sök under Publikationer. Strävorna, se D-raden, ncm.gu.se/stravorna. Lektionsaktivitet: Vad kan hända? Maj (7)

38 Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 3: Fantasi, mönster och sannolikhet Sannolikhet Träningsskola och individuellt program Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Sannolikhet finns inte explicit framskrivet i träningsskolans eller individuella programmets ämnesområden, men i vardagliga aktiviteter kan sannolikhet komma till uttryck då det handlar om att förutse vad som kommer att hända och vilka risker och chanser som olika handlingar medför. I många matematiska aktiviteter behöver vi upptäcka, hantera och uttrycka likheter och skillnader, se vad som är möjligt. Lärare med omfattande erfarenhet av elevgruppen menar att eleverna kan möta ytterligheterna helt säkert (möjligt) och helt omöjligt, men att göra någon form av sannolikhetsberäkning vare sig är meningsfullt eller möjligt. Lektionsaktivitet: Kan det hända? Syfte Syftet med att i undervisningen låta elever möta och ta ställning i olika situationer om vad som helt säkert kan eller inte alls kan hända är att ge förutsättningar för viss förståelse för några grundläggande begrepp som har med sannolikhet att göra, t ex helt säkert (möjligt), helt omöjligt, (risk, chans). Material Kort med påståenden och ett brev, förslag finns i kontexten. Beskrivning Aktiviteten är tudelad. I första delen har det kommit ett brev och i andra delen finns påbörjade små berättelser. Kontext För att fånga elevernas intresse kan aktiviteten utgå från den fiktiva händelsen att det har kommit ett brev till klassen. Öppna det tillsammans och se efter vad det innehåller. Samtala om vem som kan ha skickat brevet, byt gärna ut namnen så de väcker intresse hos eleverna, och hur de kan få veta det. Läs brevet. Sannolikhet Träningsskola och individuellt program Maj (3)

39 Hej! Jag heter Harry. Min kamrat Ron och jag är inte överens och behöver er hjälp. På korten i brevet står det saker och vi undrar: Vad är helt säkert? Vad är helt omöjligt? Tack för hjälpen! Hälsningar Harry Förslag på påståenden Stolar har ben. Hästar flyger. Nyfödda barn springer. Katten jamar. Hundar läser böcker. Kaniner har öron. Moa tvättar himlen. Zlatan cyklar på månen. Granen kan köra moped. Bilar har hjul. Mjölk växer på marken. Morötter kan krypa. Människor har svans. Det snöar alltid. När jag badar blir jag våt. Elefanter har snabel. Bananer är gula. Jordgubbar är blå. Apelsiner är svarta. Ost är rosa. Bröd växer på träd. Datorer kan springa. Apor klättrar. Tigrar är randiga. Is är kallt. Vatten är vått. Solen är varm. Maskar dricker kaffe. Det snöar på sommaren. Godis är gott. 1. Välj några påståenden som är lämpliga för eleverna. Se till att det i urvalet finns exempel på både helt säkert/helt möjligt) och helt omöjligt. Lägg dem i kuvertet tillsammans med brevet. Samtala om innebörden i uttrycken helt säkert (helt möjligt) och helt omöjligt. Ta ett kort i taget. Läs tillsammans och samtala om vad som är helt säkert eller inte möjligt. Är alla ense? Dokumentera arbetet med foton och komplettera med korta dikteringar. 2. Uppmuntra eleverna att berätta och fantisera med hjälp av följande inledningar: Berätta om något som du är helt säker på kommer att hända senare idag/i morgon/nästa vecka/om ett år Vad är det som gör att du är helt säker? Sannolikhet Träningsskola och individuellt program Maj (3)

40 Fantisera om vad som skulle kunna hända för att det inte längre skulle vara helt säkert Vad säger ni andra är det helt säkert att detta kan hända? Berätta om något som absolut inte kan hända senare idag/i morgon/nästa vecka/om ett år Vad är det som gör att detta är helt omöjligt? Fantisera om vad som skulle kunna hända för att det inte längre skulle vara helt omöjligt Vad säger ni andra är det helt omöjligt att detta kan hända? Introduktion Aktiviteter bör inledas med introduktioner så att eleverna kommer på spåret. Det kan vara en situation som den med brevet eller att läraren berättar om något som helt säkert eller absolut inte kommer att hända, så att eleverna blir nyfikna och får förväntningar på att veta mer. Elevers dokumentation Välj ett påstående som engagerade eleven. Brodera på något sätt ut påståendet genom att exempelvis illustrera det eller sätta in det i en berättelse. Välj sedan ett påstående av det andra slaget och brodera ut. Spara och återkom till dem. Välj någon av berättelserna. Låt eleverna vara aktiva efter var och ens förmåga, gör en gemensam diktering och illustrera berättelsen. Fortsätt samtala om de båda ytterligheterna. Hämta inspiration från skönlitteratur där fantasin ofta sätts igång för att någon gör något som egentligen är helt omöjligt: Pippi som lyfter Lilla gubben, Harry Potter som flyger på kvastskaft, äventyrsfilmer där hjältar som Indiana Jones, James Bond, Mad Max och Lara Croft gör hopp som är omöjliga även för den mest vältränade hoppvärldsmästaren. Sannolikhet Träningsskola och individuellt program Maj (3)

41 Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 3: Fantasi, mönster och sannolikhet Lektionsaktivitet Del 3 4 Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Diskussionsfrågor Moment 3B Lektionsaktivitet: Mönster med grejer och tal Mönster Träningsskola och individuellt program Vilka erfarenheter har ni själva och eleverna av att arbeta med mönster i matematiken? Diskutera igenom vilka ord och uttryck som kan behöva lyftas fram och förtydligas eller förklaras för eleverna. Motsatsord? Kort lång, smal tjock, etc. Vad är en egenskap? Form, färg, storlek, vikt, hur något känns, hur det låter, etc. Vilka material kan ni använda för att åskådliggöra och konkretisera olika egenskaper? Är eleverna vana vid dessa material eller behöver de introduceras? Hur kan ni motivera arbete med mönster i matematikundervisningen? För er själva? För eleverna? För föräldrar? Lektionsaktivitet: Vad kan hända? Sannolikhet Träningsskola och individuellt program Hur välbekant var det ni läste om de olika sannolikhetsbegreppen? Hjälper uppdelningen till att förtydliga grunderna i sannolikhetsläran? Är det något av sannolikhetsbegreppen som ni behöver lära mer om? Diskutera igenom vilka ord och uttryck som kan behöva lyftas fram och förtydligas eller förklaras för eleverna. Chans, slump, tärning utan minne, etc. Detta har många vuxna mer eller mindre korrekt och intuitiv förståelse för, men vilken uppfattning har eleverna? Vilka frågor om chans och risk som finns i vardagen kan och bör diskuteras med eleverna? T ex att ett nummer ifrån är lika långt från vinst som vilket nummer som helst, att vinst på var tredje lott inte betyder att man säkert vinner om man köper tre lotter, att sannolikhet inte är relaterat till en enskild händelse, dvs att san- Lektionsaktivitet Del 3 4 Juli (3)

42 nolikheten för att slå en femma inte betyder att var sjätte kast faktiskt blir en femma. Diskutera de val av ord som görs i aktiviteten för träningsskola och individuellt program. Går det att använda både helt säker och helt möjligt? Är det bättre att välja säkert och omöjligt så det blir större skillnad mellan orden än att använda möjligt och omöjligt? Diskussionsfrågor Moment 3D Lektionsaktivitet: Mönster med grejer och tal Mönster Träningsskola och individuellt program Hur förstod eleverna de specifika ord och uttryck som ni tog upp? Hur formulerade de sig? Märkte ni någon skillnad i hur eleverna reagerade utifrån hur ni själva uttryckte er? Vad kan ni tänka på för att utveckla samtal om olika egenskaper? Vilka egenskaper var enklare respektive svårare för eleverna att se, uttrycka, förstå? Hur kan er kännedom om vilka egenskaper som eleverna kan hantera väl komma till nytta i den fortsatta undervisningen? Hur kan ni stärka elevernas förmåga att förstå och hantera de egenskaper de ännu inte behärskar? Kunde ni dra slutsatsen att eleverna har tillräcklig förförståelse? Om inte, vad kan och bör utvecklas? Lektionsaktivitet: Vad kan hända? Sannolikhet Träningsskola och individuellt program Hur diskuterade eleverna om begreppen möjligt, omöjligt, chans, risk och slump eller alternativt helt säkert och helt omöjligt? Kunde ni dra slutsatsen att eleverna har tillräcklig förförståelse? Om inte, vad kan och bör utvecklas? Eller hade eleverna så god förförståelse att det går att starta aktiviteten på en något högre nivå? Lektionsaktivitet Del 3 4 Juli (3)

43 Diskussionsfrågor Moment 4D Lektionsaktivitet: Mönster med grejer och tal Mönster Träningsskola och individuellt program Kunde eleverna upptäcka och fullfölja mönster? Hur beskrev eleverna olika mönster? Vilka uttryck använde de? Hur formulerade de sig? Vad tyckte eleverna om aktiviteten? Hur kan ni nyttja elevernas synpunkter i den fortsatta undervisningen? Var den förberedelse ni gjorde i förra delen tillräcklig? Vad kunde ha gjorts på annat sätt? Hur? Varför? Om ni skulle göra om lektionen, vad skulle ni ändra? Kunde eleverna förutse och förutsäga hur mönstret skulle komma att se ut? Hur kan ni gå vidare? Hur långt är det möjligt att utmana eleverna just nu? Lektionsaktivitet: Vad kan hända? Sannolikhet Träningsskola och individuellt program Hur diskuterade eleverna om möjligt, omöjligt, chans, risk och slump respektive samtalade om helt säkert och helt omöjligt? Vad tyckte eleverna om aktiviteten? Hur kan ni nyttja elevernas synpunkter i den fortsatta undervisningen? Var den förberedelse ni gjorde i förra delen tillräcklig? Vad kunde ha gjorts på annat sätt? Hur? Varför? Om ni skulle göra om lektionen, vad skulle ni ändra? Hur kan ni gå vidare? Hur långt är det möjligt att utmana eleverna just nu? Lektionsaktivitet Del 3 4 Juli (3)

44 Del 3: Moment B kollegialt arbete Använd ungefär hälften av tiden till att diskutera det ni läst och antecknat, börja med det som känns mest angeläget. Återstående del av tiden används till förberedelse av lektionsaktivitet. Diskutera Vad tycker eleverna om aktiviteter som utmanar deras fantasi? Roligt? Tråkigt? Svårt? Spännande? Stimulerande? På vilka sätt kan matematikundervisningen bidra till att öka elevernas möjligheter att utveckla och använda sin fantasi? Vilka spel och lekar använder era elever? Till vardags? På sin fritid? På raster? I andra ämnen? Utomhus? På sommaren? På vintern? Vilket matematiskt innehåll finns i dem? I vilka skulle det matematiska innehållet kunna göras mer synligt och kanske också utvecklas? Vill ni alla välja samma matematikinnehåll för lektionsaktiviteten? Om ja, är det av samma skäl? Om nej, låt var och en motivera. Förbered en aktivitet Under arbetet med denna del är det meningen att det ska finnas utrymme att förbereda eleverna inför den lektionsaktivitet som ska genomföras i nästa del. Ta fram texten Förbered en aktivitet från Del 2 och följ planeringslistan på sidorna 3 4 med avseende på det matematikinnehåll ni har valt. De allmänt hållna frågorna kan kompletteras med innehållsfrågor i texten Lektionsaktivitet Del 3 4. Notera Diskutera och bestäm vad ni anser är angeläget att notera då eleverna förbereds för aktiviteten. Vad kan i detta fall innebära att notera hur eleverna reagerar på vissa ord eller de material som presenteras eller används. Låt det vara stor frihet i vad som ska noteras, men gör ändå en begränsning så det inte blir precis vad som helst utan inom ett område där det som noterats senare kan diskuteras. Skriv ner det ni har noterat och ta med till Moment D. Material Revision: 2 Datum:

45 Del 3: Moment C aktivitet Förbered eleverna och notera enligt era diskussioner i Moment B. Material Revision: 2 Datum:

46 Del 3: Moment D gemensam uppföljning Diskutera Inled med att följa upp det ni noterat. Återanvänd gärna de stödfrågor som finns i Del 1 och Del 2. Är det ni noterat av sådant slag att ni kan diskutera frågor som: Vad kan jag? Hur reagerar jag på elevernas handlande? Vilka konsekvenser får det för min fortsatta undervisning? Följande frågor kan vara stöd i diskussion om undervisningen: Vad hände under förberedelserna? Tog eleverna, generellt sett, till sig det ni ville förbereda dem på? Hur såg ni det? Behöver ni efter förberedelserna justera nivån att starta ifrån? Om ja, beskriv för varandra varför denna justering behövs. Upptäckte ni något som gör att ni vill göra förändringar i lektionsaktiviteten som planeras? Vad? Hur? Varför? Är det något i undervisningssituationen som behöver anpassas? För fortsatt diskussion om förberedelser för lektionsaktiviteten kan frågori Lektionsaktivitet Del 3 4 användas. Sammanfatta Sammanfatta era erfarenheter från arbetet med denna del i några punkter. Vad är viktigast att hålla levande från denna del? Anteckna också de förändringar som ska göras när lektionsaktiviteten slutplaneras i nästa del. Material Revision: 2 Datum:

47 Fördjupning särskola Del 3. Fantasi, mönster och sannolikhet "Gestaltning av mönster" är ett avsnitt från boken Hur många prickar har en gepard? och kan användas som inspiration och stöd för arbete med mönster. Både Sannolikhet från början och Hur sannolikt är det? är beskrivningar av hur grundläggande sannolikhet kan introduceras i matematikundervisningen. Material Revision: 2 Datum:

48 Material Gestaltning av mönster B. Bergius och L. Emanuelsson Sannolikhet från början P. Repo, Nämnaren 2013:1 Hur sannolikt är det? K. Landtblom, Nämnaren 2013:4 Revision: 2 Datum:

49 Vi utforskar former och mönster Gestaltning av mönster Geometriska mönster finns nära oss: på kläder, stensättningar och väggar, i arkitektur, natur och konst. För unga elever är det viktigt att få möjlighet att upptäcka upprepade statiska mönster men också sådana som systematiskt förändras också när det gäller tal. Språkliga beskrivningar ökar medvetenheten om egna upptäckter och förbereder abstraktion. Tankens och språkets dialektiska förhållande blir tydligt. Det man kan uttrycka klart med språket finns väl förankrat i tydliga tankestrukturer. Att upptäcka, fullfölja och beskriva mönster är att börja generalisera. Hur ska det fortsätta för att förutsättningarna ska stämma? Hur kan det beskrivas? Barn lär sig tidigt att generalisera genom språket. Nu ska vi äta eller ta på dig mössan är uttryck som små barn förstår tidigt. Mössa blir generaliserbart när barn efterhand inser att det rör sig om plagg i allmänhet, inte en särskild mössa och att det hör till det vidare begreppet kläder. Att abstrahera och generalisera är grunder i matematiskt tänkande. Att bearbeta iakttagelser språkligt ger grund för symbolhantering. Mönster beskrivs ibland som matematikens hjärtslag och matematik som vetenskapen om mönster. Tidiga upptäckter Barn upptäcker tidigt att talen finns i en speciell ordning som ordinaltal. De inser efterhand att ordningen har med antal att göra. Värdet ökar med ett: 1, 2, 3, 4, 5,..., mönstret generaliseras. Barn inser också tidigt att händer har lika många fingrar, olika personer har lika många fingrar och tår eller att de flesta stolar har fyra ben, de behöver inte räkna. Andra tidiga mönster som barn möter är olika stora öppna kuber eller cylindrar, som kan staplas på varandra eller läggas i varandra. Vardagsföremål ordnas efter olika kriterier: strumpor, vantar, skor ordnas parvis. Vi har underkläder, långbyxor eller tröjor var för sig. Lång- och kortärmade tröjor delas upp, vi förvarar tjocka och tunna plagg på olika hyllor. Var passar ett föremål in? Vad är lika? Vad är olika? Att upptäcka regelbundenhet i förändring och använda den för att fortsätta ett mönster visar på förmåga att urskilja likheter och olikheter. Att beskriva det vi upptäckt språkligt och efterhand med symboler, algebraiskt, utvecklar förmågan att berätta om det vi upptäckt. Vi utmanar eleverna att utveckla dessa förmågor. Vi upplever mönster Vi sitter i ringen på golvet en av de första skoldagarna i åk 1. Vi klappar knäna med händerna i jämn takt snart följer alla med. Vi ber elever beskriva vad vi gjorde. Vi klappade på knäna. Vi klappade i takt. Vi klappade samtidigt. De kompletterar varandras beskrivningar. Vi ändrar och klappar istället i händerna i jämn takt. Eleverna upptäcker förändringen och gör likadant. Koncentrationen är stor. Proceduren upprepas: beskriv, komplettera osv. Eleverna fångas av aktiviteten. De utvecklar förmåga att iaktta och sätta ord på handlingar. Efterhand inför vi fler komponenter. Eleverna upptäcker, fullföljer och beskriver statiska, upprepade mönster. Pelle tycker att det behövs många ord för att beskriva. "Vi kan kalla det som kommer först för ett, det som kommer sedan två osv. Kamraterna tycker om symboliseringen. De beskriver 1, 2, 1, 2... eller med fler delar 1, 2, 3, 1, 2, 3... Vi vill skärpa elevernas iakttagelser ytterligare. En elev får uppmaningen stå upp. Nästa sitt kvar, tredje stå upp osv. Nu måste var och en hitta sin egen roll. Med ett jämnt antal i ringen är mönstret färdigt när vi gått varvet runt. Med Nationellt Centrum för Matematikutbildning Utbildningen syftar till att utveckla elevens intresse för matematik och möjligheter att kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer. Den skall också ge eleven möjlighet att upptäcka estetiska värden i matematiska mönster, former och samband samt uppleva den tillfredsställelse och glädje som ligger i att kunna förstå och lösa problem. (Skolverket 2000) Gestaltning av mönster. 59

50 Hur många prickar har en gepard? Mönsterslinga med olikfärgade cirklar. udda antal förändras rollerna hela tiden, en ständig aktivitet. Den pågående rörelsen gör elevernas vaksamhet stor. Nedersta bilden på föregående sida visar mönstret: sitt, stå på knä, stå upp... Hur kan det fortsätta? Eleverna menar att de kan se de tre första som en del, då ska den upprepas. Kanske ska eleven som kommer efter den som står upp, stå på knä och nästa igen sitta. Beroende på vilka villkor vi lägger fast, kan mönstret se olika ut. Symboliseringen hålls fast. Det kan vara 1, 2, 3, 1, 2, 3,... osv eller 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1,... osv. Vi studerar kläder och textilier. Eleverna beskriver mönstren med sina symboler. Vi arbetar parallellt med att konstruera olika mönster med t ex logiska block, knappar, kritor m m, i form och färg. Mönstren fortsättes och dokumenteras. Eleverna har färg och form i en bestämd kombination att reflektera över. De ser en växelvis upprepning av röda kvadrater och gula trianglar. De använder logiska block som mallar för dokumentationen. Antalet former varierar. Formerna klistras på remsor. Kan vi sätta ihop dem? Vid skarvar måste former läggas till eller tas bort om det ska stämma. Till sist har vi en sluten slinga. Den hänger i taket länge. Ylva blir frustrerad när hon upptäcker att hennes färger är omvända mot förebilden. Vad ska hon göra? Kamrater menar att hon gjort en variant av mönstret, men Ylva vill ha samma lösning. Vi hjälps åt att göra en remsa till. Din lösning kan vara en annan mönsteruppgift, där färgerna är tvärtom. Ylva är nöjd med det. Det är viktigt att en egen lösning passar in i helheten. I det fortsatta arbetet är både elever och vuxna mer vaksamma. Vi fortsätter med dynamiska klappmönster i ringen: handklapp, knäklapp, handklapp, knäklapp, knäklapp, handklapp, knäklapp, knäklapp, knäklapp, handklapp... Eleverna funderar. De visar sina lösningar och beskriver 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2... Det är svårt att hålla isär antalet delar och olika komponenter. Att berätta med ord fungerar men är inte lika praktiskt. Pelle har en ny idé. "Vi kan använda bokstäver istället för siffror. Den första delen kallar vi A, nästa B och C..." Kamraterna prövar. Först anger de varje bokstav A B A B B A B B B... Efterhand rationaliserar de, A B A 2B A 3B osv. Detta är hanterbart och praktiskt. Eleverna inser att rörelse-, färg-, form är olika sätt att uttrycka samma mönster. (En mer utförlig beskrivning av detta finns i Nämnaren 1996:2, s 6-10). Något senare i åk 1: Här ser du de två första figurerna i en följd. Hur ser figur 3 ut? Figur 10? Vilket är mönstret? Eleverna arbetar med rutpapper, ca 2 x 2 cm. När vi använde centimeterrutat papper såg vi att det var svårt att hantera motoriskt. En viktig aspekt att fundera på är om materialet ger stöd i att lösa uppdrag och utmaningar. De funderar. Vad är lika, olika? De koncentrerar sig på att markera rutor och klippa. Snart ser vi att de uppfattar olika saker och betonar att de ska förklara hur de tänkt och argumentera för sin egen lösning. Karin skriver: NU KANRSA NIUNRARHRU ALTNG HNGER IHOPHUR STÖDET KOM DIT JOV DET KOM TIL SÅ HER IFALDET INTEHAR STÖDET SÅSVAJAR DET OMKUL 60 Nationellt Centrum för Matematikutbildning

51 Vi utforskar former och mönster Detta är två figurer i en följd. Hur ser figur 5 och figur 10 ut. Vilket är mönstret? d v s Nu kanske ni undrar hur allting hänger ihop hur stödet kom dit jo det kom till så här ifall det inte har stödet så svajar det omkull. Hon visar att figur 1 finns i botten på stapeln i varje figur. Stapeln blir en ruta högre för varje figur. Andra elever har andra lösningar: Eleverna uppfattar figurerna som djur, med nosen åt vänster. Skillnaden finns på magen. De flesta ser figurerna som nr 1 och 2 i serien och menar att den växer med två rutor. Gabriel har en annan uppfattning. JAG TYKER AT MAGEN BLIR DBELT SÅ LÅN JAG NRAR HR LAN TIAS MAG R FR DN PLAS HRINÄ: Jag tycker att magen blir dubbelt så lång. Jag undrar hur lång tians mage är. Får den plats härinne? Här är Gabriels figur 3 och 4: Per berättar: "D KMER N RUT TIL I ÄNDN". Det kommer en ruta till i ändan. Figur 1 finns i botten på stapeln. För Marika är figur 1 toppkvadraten på de följande figurerna, det växer ut en våning för varje. Paul berättar att figuren växer i botten som en trappa. En rad till, två rutor längre än föregående. Eleverna överraskades och fascinerades av att de uppfattade sambandet mellan figur 1 och 2 olika. Det är tankeväckande att lärarstudenter i en studie med samma utgångsfigurer såg och beskrev samma variation i fortsättningen (Jaworskij, 1996). Gabriel tänker multiplikativt. Han berättar och jag skriver mönstret med symboler. Fig 1: 1 x 2 Fig 2: 2 x 2 Fig 3: 2 x 2 x 2 Fig 4: 2 x 2 x 2 x 2 Fig 5: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Fig 10: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Hur många rutor är magen på den tionde figuren? Gabriel använder miniräknaren, Han kan inte läsa det stora talet. Jag läser ettusentjugofyra. Vad betyder det? Kan vi ta reda på om figur 10 får plats i rummet? Eleverna gör remsor av rutpapper, hundra i varje. Hur många behövs? Ellen vet att tio hundringar är tusen. Remsorna får plats i den långa korridoren. Gabriel påpekar att huvudet och stjärten inte är med. Det blir tre rutor till, 1027 rutor. Elever mäter med mäthjulet, mer än 20 m. Om det varit ett riktigt djur hade den behövt fler ben, annars släpar magen i marken. Alla inser hur Gabriel tänker. Senare följer vi upp hur det skrivs i potens: 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, osv. Nationellt Centrum för Matematikutbildning Vi arbetar också med hur andra figurer växer. På bilden är det en följd av giraffer. 61

52 Hur många prickar har en gepard? Olof säger att vi inte vet vilka nummer i följden figurerna har. De kan vara nr 2 och nr 4. I så fall kanske magen växer med en ruta för varje figur. Främsta drivkraft bakom de matematiska framstegen är inte det logiska tänkandet utan fantasin. A. de Morgan ( ) 3, 4, 6, 9, 13, , 9, 25, 49, , 22, 21, 7, 6, , 6, 5, 15, 14, , 11, 121, 12321,... 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,... I den sista följden är varje tal summan av de två närmast föregående. Den är uppkallad efter Leonardo Fibonacci, som på talet använde följden för att beskriva kaniners förökning. Talet i frimärkets valör är ett Fibonaccital. Olika funderingar och lösningar utvecklar och berikar tänkandet. Eleverna inser att lösningar kan vara olika för att de grundar sig på skilda antaganden. Vi pratar om orsak och verkan, om... så. När de lyssnar till kamraters förklaringar växer respekten för olika sätt att resonera. Rätt och fel får minskat utrymme. Talmönster Vi arbetar ofta med talmönster. I uppbyggnad av tabeller är mönster en självklar utgångspunkt. Det är viktigt att eleverna uppfattar relationer inom och mellan tal. Efterhand tar vi med svårare talmönster. Vi ger elever möjlighet att upptäcka talföljder, dubbleringar, halveringar, tillväxt i kvadrater och kuber, Fibonaccital. Vår erfarenhet är att elever tycker det är spännande att utforska relationer mellan tal som de i marginalen. Eleverna fascineras av att hitta mönster, helst flera och följa dem till riktigt stora eller små tal. Det är spännande att få fram tal i bråk- och decimalform och negativa tal, men också följder som kan uttryckas med potenser. Följande exempel är hämtat från åk 5: 200, 100, 50, 25,... Vilka tal följer? Eleverna ser snabbt att talen halveras. Närmast kommer 12 ½, 6 ¼, Därefter är utmaningen större. De resonerar med varandra. Vad är hälften av 3 1 8? Hälften av 3, är 1 ½. Många vet att 1 16 är hälften av 1 8. Hur uttrycker man ½ ? Några funderar över hur många 16-delar som är lika mycket som ½. De påminner varandra om arbetet med bråktårtorna. Sambandet klarnar, 8 16 är en halv. Hälften av måste vara Längre än så kommer inte gruppen som helhet. Några särskilt intresserade fortsätter. Hälften av 1 är ½, hälften av 9 16? De tänker i hälften så stora delar som sextondelar. Krister är van att läsa noter. Helnoter, halvnoter, fjärdedelar, åttondelar osv. Sambandet mellan musikens och matematikens notationssystem blir tydligt. Erfarenheter från ett annat sammanhang ger idéer. Värdet 9 16 kan också skrivas som Krister menar att om ½ också uttrycks som delar med nämnaren 32 har de , alltså som ska halveras. Det blir 17 32, de säger också drygt en halv. De fortsätter 17 64, , När de kommer hit menar de att hur långt de än fortsätter, kommer det alltid att vara 17 av den aktuella bråkdelen. När de berättar för kamraterna inser de att något inte stämmer. De reviderar sin lösning. De gör om till hälften så stora delar innebär hälften av 50 32, Hälften av det måste då vara Därefter Ursprungliga tanken om en generell andel stämmer, men den ska vara 25, inte 17. En annan grupp väljer att följa mönstret i decimalform. 12,5 är hälften av 25. Fortsatt halvering ger 6,25, 3,125. Hälften av 3,125, vad är det? Hälften av 3 är 1,5. Vad är hälften av 0,125? Albin menar att 125 hundradelar är detsamma som 1250 tusendelar. Hälften av det är 625 tusendelar. Hur skriver man det? Diskussionen leder till 1,5 och 625 tusendelar. De diskuterar värdet av de enskilda talen och beslutar sig för att skriva 1,5 som 1,500. När de då lägger samman 1,500 och 0,625 inser de att något blivit fel. Summan av de två talen är mer än 2, det kan inte stämma. De går tillbaka till sina 62 Nationellt Centrum för Matematikutbildning

53 Vi utforskar former och mönster anteckningar och funderar. De kommer fram till att hälften av 0,125 eller 0,1250 är 0,0625. De lägger ihop 1,5 och 0,0625. För säkerhets skull skriver de 1,5000. Hälften av 3,125 är 1,5625. Linus funderar över hur det blir om tal mönstret utgår från Vi tänker att det är pengar. Då är hälften kr. Sedan kr, kr, kr, kr, kr, 1 562,5 alltså ettusen femhundrasextiotvå och femtio. Hälften av det är... hälften av tusen femhundra; hälften av femhundra tvåhundrafemtio; hälften av sextiotvå trettioen och hälften av femtio öre tjugofem öre... Sjuhundrafemtio och trettioen och tjugofem: sjuhundraåttioen och tjugofem. Han kopplar resonemanget till ursprungsproblemet. Hur mycket är då hälften av 1,5625? Linus och Olof enas om att det måste vara enbart decimaler: 0, Kan det stämma? Vi kollar med miniräknaren, säger Olof. Det stämmer. De båda gruppernas talmönster ser olika ut: 200, 100, 50, 25, 12 ½, 6 ¼, 3 1 8, , 25 32, 25 64, , 100, 50, 25, 12,5, 6,250, 3,125, 1,5625, 0,78125 Det är svårt att se om det är samma följd. De har uttryckt delar av helheter på olika sätt. Att 0,78125 är lika mycket som är inte lätt att se. Krister säger att båda två är ungefär ¾. 0, är tre fjärdedelar är tre fjärdedelar. Kanske börjar de se relationer mellan bråk och decimaltal? Mönstret 1, 8, 27, 64 är svårt länge. Eleverna ser inte hur talen hänger samman. Efter arbetet med tredimensionella representationer av kuber diskuterar vi vilka volymer den växande följden har. Då faller mönstret på plats. Vi observerar att kuberna har samma bredd, längd och djup. Den minsta kuben är en enhet åt tre håll. 1 x 1 x 1. Eftersom vi tidigare uttryckt 1 x 1 som 1 2 reflekterar några elever över möjligheten att 1 x 1 x 1 kanske följer samma mönster, 1 3. I så fall kan de följande storlekarna av kuber skrivas 2 3, 3 3, 4 3,... Eleverna har byggt solida kroppar av kuber. De har använt olika stora kuber vid olika tillfällen. Gemensamt för de olika kropparna var att oavsett vilken storlek de små kuberna hade, behövdes det lika många för att konstruera följande storlekar. För att beskriva kubers specifika volym måste däremot volymenheten bestämmas av den minsta byggstenens volym. Elever som byggt kuber med 1 cm3-klossar skriver: Kubtorn av två slag. I 1:an får det plats 1 cm3 I 2:an får det plats 8 cm3 I 3:an får det plats 27 cm3 I 4:an får det plats 64 cm3 I 5.an får det plats 125 cm3 I 6:an får det plats 216 cm3 I 7:an får det plats 343 cm3 I 8:an får det plats 512 cm3 I 9:an får det plats 729 cm3 I 10:an får det plats 1000 cm3 De jämför kuberna: Den största är 1000 gånger så stor som den minsta. Den 5:e är 1 8 av den största. Den 9:e är 27 gånger så stor som den 3:e. Nationellt Centrum för Matematikutbildning 63

54 Hur många prickar har en gepard? En droppe droppade i livets älv Har inte kraft att lyfta sig själv Det finns ett krav på varje droppe Hjälp till att hålla varandra oppe Tage Danielsson Mönster som tema I åk 6 var mönster vårt tema under en period. Exempel på uppdrag: Här ser du figur 1, 2, och 3 i en serie. Hur ser figur 4 och 5 ut? Gör en tabell som visar hur många ljusa och hur många mörka rutor varje figur består av. Använd tabellen för att komma fram till hur många ljusa och mörka rutor det finns i figur 10, 15 och 100. Elever samarbetar, i par eller 3 4 st. De flesta ser gruppen som resurs där de kan pröva idéer. De får uppmuntran men förslag blir också ifrågasatta. Tankar och argument utmanas. Det är lätt att tänka ut hur följande figurer ser ut. Kvadratens tillväxt har de arbetat med tidigare. Tabellen ger en bra överblick och talmönstren framträder tydligt. Figur nr Mörka Ljusa De beskriver mönstren på olika sätt: Mörka rutor: Figurens nummer gånger sig själv. Ljusa rutor: Lägg till fyra för varje figur. Mörka fält: Figur 1 är 1 2, sedan 2 2, 3 2 osv. Ljusa fält: Ökar med 4 för varje figur. Mörka fält: Figurens nummer gånger sig själv. Ljusa fält: 8, 12, 16, 20. Ökar med fyra i taget. Dom vita ökar hela tiden med fyra. De mörka ökar med nästa udda tal. De mörka: Ordningstalet gånger sig själv. De ljusa: Ordningstalet + 1 gånger fyra. Varje figur växer med en rad på höjden och en på bredden. I figur 100 är det 102 x 102 = Då är mörka (100 x 100 ) och alltså = 404 ljusa. Elevernas beskrivningar ger inspiration. Vi går vidare för att hitta ett algebraiskt uttryck. Jag berättar att n används för att beskriva vilket positivt heltal som helst. Hur kan vi använda det för att beskriva våra upptäckter? Efter diskussion föreslår de att n kan vara numret på figuren. Då är de svarta n 2 och de vita (n + 2) 2 n 2. De vita kan också beskrivas som 4(n + 1). Vi har arbetat något med användning av parenteser. Nu ser eleverna en konkret och tydlig nytta med det. Vi diskuterar vad noteringen betyder utan parenteser, n och 4n + 1, det är inte vad eleverna menar. Triangeltal Talen 1, 3, och 6 är exempel på triangeltal. Vilket triangeltal följer närmast efter talet 6? Vilket är det tionde triangeltalet? Sök efter mönster som hjälper dig att förutse fler triangeltal. 64 Nationellt Centrum för Matematikutbildning

55 Vi utforskar former och mönster Eleverna beskriver: Om man tar figur 4 så är det 4 i basen. Triangeltal 4: = 10 I figur 10 är det 10 i basen. Triangeltal 10: = 55 1:a = 1 2:a = 3 3:e = 6 4:e = 10 Antalet i föregående figur + den nya figurens grund = det nya triangeltalet. Grunden ökar med ett varje gång. Hur kan ett generellt uttryck se ut? Eleverna diskuterar och föreslår: Ordningstalet i följden anger antalet punkter i triangelns bas och antalet våningar i triangeln. T8 (det åttonde triangeltalet): = 36 Elever fascineras av generella beskrivningar. Deras intresse och engagemang att söka sådana är stort. De förvånas över min fråga om matematiska mönster har med verkligheten att göra. Eftersom vi så ofta använt vardagssituationer som utgångspunkt för olika undersökningar, menar de att det säkert finns sådana här också. I den övre bilden ser vi en elev som färglagt kvadrater som visar summan av de fem första udda talen är 25 dvs 5 i kvadrat. Färger på tal och småkvadrater hör ihop. Vilket mönster hittar du? Elever i sexan undersöker hur många handslag som behövs för att alla ska ha hälsat på alla i klassen. De inleder med att fundera på hur många handslag som behövs när två hälsar på varandra: Hur är det om tre ska hälsa på varandra? Fyra, fem? Alla i klassen? För in resultaten i en tabell. Vilket mönster hittar du? Här är torn med färgburkar. De mindre burkarna följer inte riktigt triangeltalen, varför inte? Hur många stora burkar finns det? Nationellt Centrum för Matematikutbildning 65

56 Hur många prickar har en gepard? Det finns en avsikt med att använda en tabell, den ger åskådlighet över samband. Eleverna behöver fungerande verktyg. De arbetar delvis praktiskt. Resultaten förs in i tabellen. Antal kompisar Antal handslag Mönstret som framträder är triangeltalen. För att få fram antalet handslag, när alla 29 elever i klassen har hälsat på varandra, kan vi bestämma värdet av triangeltal 28: Det ger uppslag till frågeställningar om sannolikheter, som vi arbetar med senare. Du erbjuder dig att ta hand om disken, bädda allas sängar eller dammsuga hemma mot en viss ersättning. Det enda du önskar dig är att första dagen få en krona och för varje följande dag dubbelt så stor ersättning. Hur lång tid tar det tills du blir miljonär? Flera elever tycker att det verkar för jobbigt. Det måste ju ta hur lång tid som helst. De tänker på en tidigare undersökning om en miljon. Vi kom då fram till att om vi räknar oavbrutet ett tal per sekund, tar det nästan 12 dygn. Men vi kan väl räkna på det. Eleverna samarbetar. Till en början använder de enbart huvudräkning. Några grupper skriver osv och parallellt beräknar de den totala förtjänsten. Dag fem är den 31 kr, enligt ovan. Andra grupper skriver bara aktuell förtjänst, 1, 3, 7, 15, 31 osv. Flera tappar så småningom bort sig = 406 Summan av alla talen mellan 1 och 28 kan vi beräkna genom att lägga ihop första och sista (28 och 1) andra och näst sista (27 och 2) osv. Alla dessa summor är 29 och antalet summor är 28 /2 st. Denna summa är alltså 29 x 28 /2. Detta är början till en generell formel för summan av de första positiva heltalen: (n + 1)x n /2. Var och en av de 29 eleverna ska hälsa på 28 andra. Det blir 29 x 28 handslag, men i varje handslag klaras två hälsningar av, så det behövs hälften så många 29 x 28 / 2. Jämför resonemanget med elevtexten härintill. Den stora ökningen är oväntad och det stora antalet 406 fascinerar. Flera tycker att det kan vara ett intressant problem för släktingar och vänner. Julen råkar ligga nära i tid och många ska träffas på släktkalas. Vill du bli miljonär? Alla i klassen vill det. Men hur? Hur lång tid tar det? Eleverna diskuterar lotterier, spel på hästar, tips, aktier och annat. Chansen är inte särskilt stor. Parallellräkningen blir alltför svår och talområdet större än de kan överblicka. De inser att det är nödvändigt att ha en strukturerad skriftlig dokumentation, för att ha kontroll. De som uppfattar det multiplikativa mönstret, har bäst överblick. Miniräknaren blir ett nödvändigt hjälpmedel. En av grupperna skriver så här: Dag 1 1 kr Dag 2 2 kr Dag 3 4 kr 2 x 2 Dag 4 8 kr 2 x 2 x 2 Summa: Dag 5 16 kr 2 x 2 x 2 x 2 31 kr Nationellt Centrum för Matematikutbildning

57 Vi utforskar former och mönster Dag kr 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x kr Ungefär här utbrister Sten: Oj så snabbt det växer nu. Det kan inte vara många dagar kvar! Det ger ny energi. Att en grupp är nära att lösa problemet, sätter fart på tävlingsinstinkten hos andra. Dag kr 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Dag kr 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x kr kr Nu inser gruppen att målet, en miljon kronor kommer att nås följande dag. Men i själva verket är den efterfrågade summan över en miljon dag 19. Dag kr 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x kr Linus kommer ihåg att detta går att skriva i potensform. Han menar först att det kan skrivas , men glömmer summera bakåt. Dag 1 är förtjänsten 1 kr, sedan dubbelt så mycket dag för dag, det blir i själva verket Utifrån hans inlägg kan samtalet leda vidare till en generaliserad, algebraisk formel. Förvåning och förtjusning över resultatet är tydlig. Tänk att det kan gå så fort! Eleverna får en aning om konsekvensen av exponentiell tillväxt. Pascals triangel Mönstertänkande är förankrat. Kan vi använda våra erfarenheter i Pascals triangel i åk 6? Den första uppgiften har en ofullständigt ifylld triangel, med sexton våningar. Talen längs triangelns sidor är ifyllda samt de fyra översta raderna. På några ställen finns kontrolltal som visar om vald strategi är korrekt. Vilka tal fattas i de tomma rutorna? Sök mönstret och gör triangeln klar. Beskriv mönstret. Eleverna diskuterar. Efterhand inser de att det nya talet är summan av de två tal som gränsar till rutan, i våningen ovanför. Flera har arbetat med problem med liknande strategi. Det är mycket huvudräkning. Efterhand som talen blir större använder de flesta miniräknare. Kontrolltalen indikerar om strategin håller och om beräkningarna är korrekta. Om kontrolltalet 1365 i den nedersta raden stämmer, bör övriga beräkningar stämma. De jämför spontant med varandra. De flesta upptäcker tidigt att triangeln är symmetrisk. Talen finns på Pascals triangel är ett schema, namngivet efter Blaise Pascal ( ), fransk matematiker och fysiker. Varje rad börjar och slutar på 1 och varje tal inne i schemat är summan av de två närmsta talen ovanför. Koefficienterna från våning 3 uppifrån finner du i utvecklingarna av: (a + b) 2 = a 2 +2ab+b 2 (a + b) 3 = a 3 +3a2b+3ab2 + b 3 Vad är (a + b) 4 enl mönstret? Frimärke från Monaco, utgivet 350 år efter Pascals födelse. Nationellt Centrum för Matematikutbildning 67

58 Hur många prickar har en gepard? båda sidor om en vertikal mittaxel. När eleverna hittat talen i triangeln, kopierar vi för att ha underlag till följande uppdrag: Addera talen i varje rad. Sök mönster. Måla alla jämna tal gröna, alla jämnt delbara med 5, orange, alla som är jämnt delbara med 3, gula, alla som är jämnt delbara med 7, lila. Summan dubbleras rad för rad. Kolla, det dubblas kommer spontant. Eleverna fascineras över mönstren som växer fram. De inser att de inte alltid behöver räkna. Placeringen i schemat ger svar. Flera upptäcker att när tal, som stämmer med förutsättningen dubbleras, gäller samma sak. Eftersom 126 och 462 är delbara med 3 är 252 och 924 också det. Måla diagonalerna med start i det yttre talet i tredje raden. Vilket mönster finner du? Studera talen i de tre yttersta diagonalerna. Vilka mönster hittar du? Tal som framträder är 1, 3, 6, 10, 15, 21, osv. Eleverna känner igen triangeltalen. Den yttersta diagonalen innehåller samma tal, 1, hela vägen. I den följande diagonalen inåt ser eleverna att talen ökar med 1, 2, 3, 4 osv. Även Fibonaccis talföljd döljer sig i en diagonal. Vi ställer frågan om talföljden stämmer hela vägen. Nej, det är inte så, varför? För några är detta ett mysterium. För andra är det självklart. Triangeln har många fler våningar längre ner som inte syns. I diagonaler som inte slutar med 1 fattas ett eller flera tal. Om vi gör fler våningar i triangeln stämmer mönstret. På klassrumsväggen har vi samma triangel i storformat. Där fyller vi på talen och markerar mönstren efterhand. Besökare undrar vad det är. Eleverna visar och berättar. Hur kan alla dessa talmönster som vi tidigare undersökt finnas i triangeln? Uppbyggnaden är så enkel och samtidigt så genial. Elevernas fascination och förtjusning är tydlig. Förutom det vi undersökt, kan triangeln berätta om mer spännande matematik. Det får ligga i framtiden Nationellt Centrum för Matematikutbildning

59 Sagt & gjort Sannolikhet från början I början av oktober, när eleverna gick i årskurs 1, började vi prata om ifall det var sannolikt, troligt, att det skulle snöa just den dagen. Det var bara en elev som trodde det. Vi funderade på om vi hade fått andra svar om vi ställt samma fråga i början av december och det trodde alla. Att det skulle regna krokodiler tyckte däremot alla var väldigt osannolikt. Ordet sannolikt var inte bekant för eleverna och jag använde det parallellt med orden troligt och möjligt. Efter diskussionen fick eleverna parvis ett kuvert med en vit pappersstrumpa i. Eleverna skulle nu ta ut strumpan från kuvertet och jag frågade om de trodde att de skulle få ut en vit strumpa. Alla såg på mig med en frågande blick Är fröken inte riktigt klok? men alla trodde det. Då sa jag, att det är väldigt sannolikt att man får ut en vit strumpa om det bara finns en vit strumpa i kuvertet. Därefter fick eleverna lägga till en gul strumpa i kuvertet. Nu frågade jag om de trodde att det skulle vara lika lätt att få ut en vit strumpa om de blundade när de tog ut en av dem. Det trodde de inte. Nu fick eleverna prova hur många gånger de fick ut den vita respektive gula strumpan. De skulle testa tio gånger och efter varje gång stoppade de tillbaka strumpan. Resultaten blev 6 4, 4 6, 5 5. Sannolikheten att de skulle få ut den vita strumpan var ungefär varannan gång och det kom de nära. Därefter lade vi till en blå strumpa i varje kuvert. Nu blev det spännande att ta reda på vilken strumpa de skulle få flest gånger. Resultatet blev oväntat ojämnt och det gav mig anledning att prata mer om ordet sannolikt att det betyder just troligt. Det behöver inte nödvändigtvis bli exakt som det borde när man testar i verkligheten. Pirjo Repo 36 Nämnaren nr

60 Karin Landtblom Hur sannolikt är det? Uttrycket Hur sannolikt är det på en skala? använder många till vardags, ofta med viss ironi. I denna artikel om grunder för begreppet sannolikhet åskådliggör författaren begreppet, bland annat genom att pricka in olika sannolikheter på en skala från noll till hundra procent. Hur stor är sannolikheten att någon i klassen har en katt? Hur stor är sannolikheten att någon i klassen har 20 katter? Hur stor är sannolikheten att det är julafton i morgon? Hur stor är sannolikheten att du ska gå till skolan i morgon? Hur stor är sannolikheten att en hund säger god morgon när den vaknar? Hur stor är sannolikheten att du inte vill gå och lägga dig på kvällen? Hur stor är sannolikheten att du andas varje dag? Slumpmässiga händelser Är detta matematik, att svara på mer eller mindre tokiga frågor? Ja, det är det! Det står till och med i Lgr 11. Inte just de här frågorna förstås, men de är exempel på hur vi kan behandla det centrala innehållet slumpmässiga händelser, vilket finns med redan från årskurs 1 3. Om vi tittar på frågorna ser vi att innehållet är av olika karaktär. Svaren till vissa kan vara mer eller mindre troliga eller sannolika. Att någon elev i klassen har en katt kan vi nästan utgå ifrån, vilket leder till en sannolikhet nära 100 %. Att någon i klassen har 20 katter är däremot mycket mer osannolikt, vilket leder till en sannolikhet nära 0 %. Frågorna om att en hund pratar och om att du andas kan endast besvaras med nej respektive ja. Sannolikheten för att en händelse ska inträffa varierar mellan 0 % och 100 % och med de olika frågeställningarna kan eleverna på ett spännande sätt närma sig begreppet sannolikhet. Om sannolikheten är 0 % kan man även säga att den är 0 och på samma sätt kan man säga att sannolikheten är 1 då den är 100 %. I den här typen av övning ges tillfälle att införa begreppet sannolikt. I de resonemang som uppstår när eleverna svarar på frågorna kommer de att uttrycka sig med olika synonymer och benämningar såsom slump, chans, risk, troligt och otroligt. De har lärt sig orden i skilda sammanhang och som lärare kan vi ge alternativa formuleringar med begreppet sannolikt. Övningen är kommunikativ och läraren får möjlighet att lyssna på de resonemang som förs, men också hjälpa till att förstärka den matematiska argumentationen i elevernas resonemang. Beroende på frågeställning kan den matematik som berörs vara på olika nivå. Frågorna kan diskuteras utifrån om de är otroliga eller troliga, vilket är lättare att förstå än sannolikheten uttryckt som en del av en helhet. Att förstå att sannolikheten för att det är julafton i morgon är 1/365, alltså en dag av ett helt år, är inte helt enkelt. Eleverna kan ha svårt att överblicka ett Nämnaren nr

61 så långt tidsintervall och att uttrycka det i procent är ingen större mening för dem. Däremot kan vi resonera om sannolikheten och komma fram till att det är bara en av årets alla dagar då detta påstående är sant, vilket gör att det är ganska otroligt att frågan kommer att besvaras med ja. Särskilt som det dessutom inte brukar vara skoldag dagen för julafton. Följande lektionsförslag är exempel på övningar som är tänkta att placera elevernas egna föreställningar om hur sannolikt något kan vara i en matematisk kontext. Övningarna syftar också till att ge eleverna en struktur för hur sannolikheten för en händelses utfall kan beskrivas, dels i förhållande till en slags skala och dels i förhållande till andra händelser. Hur sannolikt är det? 1. Bygg upp en struktur för hur olika händelser kan illustreras Sannolikheten för att en hund pratar. Sannolikheten för att du andas varje dag. 0 % 100 % Ställ olika frågor med sannolikheten 0 eller 1. Välj ett lämpligt sätt hur du benämner gränserna. Procentskalan känner elever igen från exempelvis datorer som laddar ner program. För yngre elever kan det var lämpligt att även markera ändpunkterna med olika färger. Det viktiga är att eleverna får en känsla för att sannolikheter begränsas av aldrig och alltid eller otroligt och troligt. Arbetar du med en smartboard kan du dra frågorna till lämplig placering och arbetar du med en whiteboardtavla kan du använda lappar och magneter. 2. Öka strukturens användbarhet med fler referenspunkter? 0 % 50 % 100 % Nästa steg är att skapa fler referenspunkter i denna struktur och en naturlig progression är att markera mitten, 50 %, på tallinjen där händelser som är lika troliga som otroliga placeras. Frågor här kan vara: Hur stor är sannolikheten att ett barn som föds är en flicka? Eller pojke? Hur stor är sannolikheten att få krona om du singlar slant? Det fortsatta arbetet kan ske på olika sätt. Eleverna kan föreslå en händelse som skulle kunna placeras på mittplatsen eller så får de ta ställning till några 28 Nämnaren nr

62 förberedda förslag. Strukturen kan sedan byggas ut och en styrka är att den inte är exakt. Frågan om julafton kan placeras långt till vänster utan att man behöver beräkna ett exakt värde, det räcker att komma överens med eleverna om ungefär var på tallinjen frågan hör hemma. Övningen kan utvecklas genom att eleverna själva skriver frågor eller formulerar påståenden. Antingen kan de skriva helt fritt och sedan gemensamt resonera om var de ska placeras in på tallinjen eller så anger läraren vilket utfall fråge ställningen ska beskriva, exempelvis 25 %. 3. Sortera händelser genom resonemang I den här övningen ska eleverna sortera kort med olika händelser, från otroligt/osannolikt till troligt/sannolikt. Händelserna som beskrivs är av kategorin osannolik till sannolik och mellan dessa ytterligheter placeras händelserna i en glidande skala. Förslag på vad som skulle kunna stå på korten: Solen kommer att skina idag. Idag föds det ett barn i Stockholm. Om du slår en tärning kommer du att få ett tal större än tre. Fågeln kan simma. Fisken kan simma. Om du slår en tärning fem gånger får du fem femmor. På lördag ska du flyga till månen. Till lunch kommer vi att serveras rostade gräshoppor. Du kommer att äta en smörgås idag. Om du drar ett kort ur en kortlek så kommer det vara ett rött kort. Du kommer att titta på TV ikväll. Slumpmässiga händelser i experiment och spel Efter att ha bearbetat det mest grundläggande i begreppet sannolikhet kan nästa steg vara att undersöka slumpmässiga händelser i experiment och spel. Sannolikhetsövningar i läromedel behandlar ofta spel med tärningar eller snurror. Detta är också vanligt på många webbplatser. Nu blir innehållet mer matematiskt, jämfört med de tidigare frågorna, och det är viktigt att vara medveten om på vilken nivå övningarna ligger så att de ger eleverna möjlighet att utveckla sina matematiska förmågor från där de befinner sig. Det finns snurror av olika slag, både som laborativt material och på nätet. Av dessa tre snurror skulle den som visar halvor och den som visar fjärdedelar kunna vara lämpliga som en uppföljning av det första lektionsförslaget. Däremot kan den tredje snurran som är indelad i sjundedelar orsaka problem för elever som inte har utvecklat sin begreppsuppfattning om bråk, samtidigt som den kan vara en utmaning för andra elever. Nämnaren nr

63 Samma slags resonemang går att föra om vi istället väljer att arbeta med tärningar. Om sjättedelarna vållar bekymmer går det att omformulera i texterna. Istället för att fråga efter hur stor sannolikheten är att få en etta kan frågan vara hur stor sannolikheten är för att få ett udda tal. Övningen handlar då om sannolikheten 50 %, vilket kan vara lättare att förstå. Tomma tärningar kan märkas med tre ettor och tre tvåor. En fördel med att arbeta med spel och sannolikhet är enkelheten att koppla till elevernas egna erfarenheter. Ett bekant spel kan vara vad som behövs för att visa eleverna att matematiken finns i vardagen. Diskutera vad som gör spel rättvisa, till exempel vad som krävs av en tärning för att det inte ska gå att fuska. Slumpmässiga händelser 1. Undersök slumpmässiga händelser i experiment och spel Välj en för eleverna lämplig snurra. Låt dem skriva ner en hypotes om hur de tror att resultatet kommer att bli om de snurrar 10 gånger och låt därefter eleverna utföra experimentet enskilt eller i par. Låt eleverna bokföra sina resultat i en tabell med en spalt för avprickning och en spalt för frekvens. händelse avprickning frekvens röd blå I den här typen av övning är det av stor vikt att göra många försök för att få en större överensstämmelse mellan det experimentella resultatet och den förväntade sannolikheten. Det går naturligtvis också att beräkna sannolikheten. När eleverna har genomfört experimentet där de har snurrat 10 gånger var, är det lämpligt att sammanföra hela klassens resultat på tavlan. Sedan kan klassen diskutera resultatet med stöd av de resonemang som förekom i det första lektionsförslaget utifrån olika frågeställningar som: Hur stor är sannolikheten att pilen stannar på blått? Hur stämmer resultatet av vårt experiment överens med hypoteserna? Hur kan det komma sig att en elev har fått två röda och åtta blå medan en annan elev har fått tvärtom? Det är också intressant att följa upp elevernas hypoteser vilka ofta är av två slag: antingen utifrån ett antagande om sannolikhet eller utifrån favoritfärg. 30 Nämnaren nr