Mönster statiska och dynamiska

Transkript

1 Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 3: Fantasi, mönster och sannolikhet Mönster statiska och dynamiska Berit Bergius & Lena Trygg, NCM I många matematiska aktiviteter ska deltagarna upptäcka, hantera och uttrycka likheter och skillnader. Ofta handlar det om att kunna förutse vad som kommer att hända. Mönster är nära kopplat till likheter och skillnader och är ett exempel på matematiskt innehåll som kan användas för att stimulera nyfikenhet, lust och fantasi. Att upptäcka likheter och skillnader samt att se strukturer och mönster är viktigt. Att beskriva det man upptäckt, till en början med vardagsspråk och på sikt med matematikens ord och symboler, är en del i matematiklärandet. Vygotskij talar om dialektiken mellan språk och tanke. Det vi kan berätta om så att andra förstår, har vi själva förstått. Eller som skalden Esaias Tegnér uttryckte det motsatta: Det dunkelt sagda är det dunkelt tänkta. I boken Ni kan räkna med oss matematik i träningsskolan märks det tydligt att pedagogerna använder stora mått av nyfikenhet och fantasi för att göra matematiken närvarande i elevernas vardag. Ett område som beskrivs är mönster och kategorisering och arbetet med det visar på stora möjligheter att utveckla matematik i träningsskolan. Läs gärna boken! I gymnasiesärskolans ämnesplaner tillkommer algebra som ett central innehåll. Arbete med mönster är en lämplig utgångspunkt för att öva förmågan att generalisera. Ett sådant arbete knyter samman aritmetik (räkneläran, läran om tal) och algebra (i skolan möter eleverna algebran i form av bokstavsräkning, dvs de räknar med variabler istället för som tidigare med tal). Det fyrfältsblad som beskrivs i artikeln Laborativ arbetssätt i Del 2 är en arbetsgång att använda för att låta elever gå hela vägen från en konkret händelse via uttrycksformer som bild, tal och ord till en generaliserad formel i ytterst små steg. Ett konkret undervisningsförslag finns i lektionsaktiviteten Mönster med grejer. Statiska mönster I vardagen omges vi av mönster och strukturer i olika sammanhang. Mönster kan vara dekorationer och arbetsmanualer, men de kan också beskriva cykliska förlopp som exempelvis årstider, veckans dagar eller dag och natt. Människor har rutiner och de flesta gör samma saker, på samma sätt och i samma ordning varje dag. Sådana upprepade, oförändrade förlopp är uttryck för statiska mönster, vilka också finns i kläder, på tapeter, i danser osv. Såväl hemma som i skolan, kan elever utforska och skapa upprepade mönster med olika saker och skilda egenskaper: kottar och löv, små och stora stenar och pinnar, leksaker, klossar med olika form, läskburkar, koppar och fat, sig själva och kamrater. De trär pärlor växelvis röda och vita. De ställer sina bilar på rad i en bestämd följd: röd, blå, gul, röd, blå, gul, eller de dukar fram en bulle och två kex till var och en som är med på fikat. Eleverna behöver även möta mönster gestaltade genom andra uttrycksformer som rörelser, ljud, händelser, bilder och symboler för att befästa förståelsen för begreppet mönster. 1 (5)

2 Det som utmärker statiska mönster är att sekvensen, oavsett hur många delar den består av, upprepas utan att förändras. För att fortsätta ett påbörjat mönster måste vi studera hur det ser ut, låter eller visas för att upptäcka dess delar och ordningen på dem. Frågan är hur mönstret kan fortsätta utan att förändras. För att eleverna ska upptäcka strukturen i statiska mönster behöver de utmanas på ett systematiskt sätt. Det kan vara nödvändigt att starta med ett mönster med en enda del, som upprepas, t ex och att diskutera hur det ska fortsätta och motivera varför. Antalet komponenter får sedan öka successivt, t ex följt av. För en del elever är det enklare att gå från till innan mönstret utökas med fler komponenter. Mönstret kan fortsätta oändligt långt i båda riktningarna, inte nödvändigtvis i en lång rak rad. Ett mönster kan också gå runt, som dekoration på en rund tårta eller på ett armband, det bara fortsätter. Antalet komponenter kan vara hur många som helst, men med för stort antal olika delar blir det svårt att få överblick och att hålla ordning: Dynamiska mönster I dynamiska mönster förändras en eller flera delar på ett bestämt sätt och efter givna förutsättningar, t ex. Vad är det som förändras? Hur förändras det? Hur ska mönstret fortsätta? Hur kan vi veta det? Hur ser det ut efter nästa flygplan eller efter det tionde? Hur vet vi det? Hur kan mönstret beskrivas med egna ord? Med symboler av något slag? Kvadraterna ovan representerar ett dynamiskt mönster. Vad förändras? På vilket sätt? Hur ser nästa figur ut? Den femte? Den tionde? Hur vet vi det? Talmönster både statiska och dynamiska Aritmetiken är också rik på samband och mönster. Talen i talraden följer ett mönster. Oavsett var i den vi börjar är talet som följer ett mer än starttalet och talet före ett mindre: 3, 4, 5, 6, Detta mönster kan beskrivas med ord, som i exemplet, men också algebraiskt, (n + 1) eller (n 1), där n står för det tal vi utgår från. Beroende på vilka eleverna är, kan talmönstren som tas upp vara olika komplexa. Några exempel: 1, 2, 3, 4, Mönstret är enkelt för den som kan och ser att det hela tiden ökar med ett. Är det självklart för alla elever? Mönstret kan vara oöverstigligt för en elev som t ex har svårt för att skilja mellan 1 och (5)

3 2, 4, 6, 8, Här är mönstret +2. Att kunna skutträkna grupper av föremål, t ex som här två eller fem, tio i taget underlättar i olika sammanhang och är ett stöd vid beräkningar med olika räknesätt. 90, 80, 70, Talföljder har alltid två riktningar. Här ser vi en del av en talföljd. Ofta följer vi mönstret i läsriktningen, dvs åt höger. Vilket är mönstret? Hur ser fortsättningen ut åt vänster? 200, 100, 50, 25, Vilken är den generella förändringen? Fortsätt mönstret i båda riktningarna. Hur kan mönstret beskrivas algebraiskt? I ovanstående mönster är ökningen eller minskningen konstant, statisk. Andra talföljder följer växelvis två mönster, t ex: 32, 29, 27, 24, Varannan gång minus 3 och varannan gång minus 2. 2, 6, 5, 15, 14, 42, Varannan gång gånger 3 och varannan gång minus 1. I vissa talmönster förändras relationen mellan talen på ett systematiskt sätt. Förändringen är dynamisk: 6, 7, 9, 12, 16, Vilken är förändringen från det ena talet till det andra? Hur ser fortsättningen ut enligt mönstret? 1, 1, 2, 3, 5, 8, Hur fortsätter mönstret? Beskriv det med ord. Detta mönster kallas ibland för Fibonaccis talföljd och beskriver förhållanden som återfinns på många sätt i naturen. När vi dividerar två på varandra följande tal i talföljden närmar vi oss det som kallas gyllene snittet. 1, 5, 13, 25, 41, Multiplar av talet fyra beskriver förändringen. 1 (+4) 5 (+8) 13 (+12) osv. Vilket tal kommer som nummer tio i följden? 1, 4, 10, 19, 31, Här beskriver multiplar av talet tre den dynamiska förändringen. 1, 4, 9, 16, Detta mönster kan beskrivas på flera sätt. Ökningen ökar med nästa udda tal, 3, 5, 7, 9 osv. En annan beskrivning är att talen i mönstret är kvadrattal, dvs talet gånger sig självt: 1 2, 2 2,, 3 2, 3 (5)

4 Tittar vi på 1, 2, 4, 7, 11, kan vi se att ökningen är 1, 2, 3, 4, Detta kan skrivas tydligt i en tabell: Hur ser fortsättningen ut? Varför? Hur vet vi det? Inspiration för undervisning om mönster I ett textutdrag från boken Hur många prickar har en Gepard? beskrivs hur unga elever kan möta det stora och fantasieggande området matematiska mönster. Ju mer man själv lär sig att se och upptäcka mönster i sin egen omgivning, desto rikare blir möjligheterna att finna intressanta uppdrag att ge till sina elever. De elever som finns nämnda i texten hör hemma på grundskolans låg- och mellanstadium. Just här har det egentligen ingen betydelse vilka eleverna är. Texten finns med i fördjupningen i denna modul, främst för att inspirera och sätta fart på din egen fantasi. Vad kan du om matematiska mönster och vad skulle du vilja lära mer om? I Matematiklyftets modul Algebra för årskurs 1 3 finns flera grundläggande texter om mönster, se förslag nedan. Litteratur och referenser Bergius, B. & Emanuelsson, L. (2010). Hur många prickar har en gepard? Unga elever upptäcker matematik. NCM; Göteborgs universitet. Bergström, L. (2010). Ni kan räkna med oss matematik i träningsskolan. Härnösand: Specialpedagogiska skolmyndigheten. Tegnér, E. (1820). Epilog vid magisterpromotionen litteraturbanken.se/#!forfattare/tegnere/titlar/epilogvidmagister/info/etext Material från Matematiklyftets Lärportal Grundskolan åk 1 3. Algebra. Del 1: Upprepade mönster. Anna-Lena Ekdahl, Högskolan i Jönköping. 4 (5)

5 Del 2: Upprepade mönster (fortsättning från del 1). Anna-Lena Ekdahl och Robert Gunnarsson, Högskolan i Jönköping. Del 3: Talföljder. Anna-Lena Ekdahl, Högskolan i Jönköping. Material om mönster som bifogas under Fördjupning Bergius, B. & Emanuelsson, L. (2010). Hur många prickar har en gepard? Unga elever upptäcker matematik. NCM: Göteborgs universitet. Utdrag s (5)