Trösklar i matematiklärandet
|
|
- Linnéa Ingeborg Bergman
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Matematik, Specialpedagogik Grundskola åk 7 9 Modul: Inkludering och delaktighet lärande i matematik Del 7: Trösklar i matematiklärandet Trösklar i matematiklärandet Ingemar Holgersson, Högskolan Kristianstad Lärare får efter hand erfarenhet av vad eller vilka områden i matematik som en del elever har svårt att förstå och erövra stabila kunskaper om. Ofta är det samma områden som återkommer i samma årskurser. Sådana områden där det tar emot, men som eleven behöver kliva över för att utveckla grundläggande förmågor i matematik, kan vi kalla trösklar. Ett exempel på en sådan tröskel är att det finns elever i såväl grundskolan som i gymnasieskolan som aldrig har utvecklat förtrogenhet med att dela upp de grundläggande talen 1 till 10 i olika mindre delar, utan har fastnat i att alltid använda ett till ett-räkning, oftast med hjälp av fingrarna, när de ska addera eller subtrahera hela tal med varandra. Andra exempel är att förstå bråkbegreppet och hur det används i olika sammanhang, att förstå proportioner som vid procenträkning eller användning av skala, och att förstå användningen av bokstäver i generella uttryck då de skapar eller använder en formel för att beräkna något. I studier där forskare försökt kartlägga hur elever utvecklar förståelse för olika områden inom matematik finns det ofta en god beskrivning av den här typen av trösklar. Två sätt att använda tal Terezinha Nunes och Peter Bryant (2015) skiljer på två sätt att använda tal. Grunden för denna skillnad är att kvantiteter och tal inte är samma sak. Vi använder tal som mått på kvantiteter, till exempel fem äpplen, men vi kan också tänka på kvantiteter i termer av mer eller mindre och avgöra i vilken mängd det finns mest, utan att egentligen veta hur många eller hur mycket det egentligen finns i respektive mängd. Samband mellan tal och kvantiteter är av många olika slag som det tar flera år för elever att få erfarenhet av och att lära sig. Det första sättet att använda tal på, som Nunes och Bryant urskiljer, är just att vi använder dem för att ange hur många det finns i en mängd eller hur mycket det finns av någon storhet. Då använder vi tal för att representera en kvantitet, det vill säga på ett representativt sätt. Men vi kan också använda tal fristående från någon koppling till en kvantitet, till exempel när vi resonerar om tals egenskaper, som att 8 kan delas upp i eller i Detta andra sätt att använda tal på kallar Nunes och Bryant för analytiskt. Poängen är att det visat sig att elever inte alltid använder sin analytiska kunskap om tal när de ska lösa problem som handlar om antal eller storheter. Ett exempel är att även om de vet att och är lika mycket, så är det inte säkert att de i en praktisk situation kan tillämpa detta när de ska jämföra händelser som kan beskrivas med 4 kr + 2 kr och 2 kr + 4 kr. Att skilja på dessa båda sätt att använda tal kan hjälpa oss att förstå varför det ibland är svårt för elever att tillämpa det de lärt sig i skolan i uppgifter som handlar om 1 (7)
2 konkreta situationer. Det är heller ingen självklarhet att elevers kunskaper om kvantiteter automatiskt förs över till diskussioner om tal som inte har någon koppling till konkreta erfarenheter. Sharon Griffin (2007) argumenterar för att matematisk kompetens har sin grund i tre världar, den verkliga, konkreta världen, den verbalt språkliga världen och den symboliska världen. För att utveckla en god taluppfattning, number sense, behöver elever först få rika tillfällen att upptäcka och skapa begreppsmässiga samband mellan de erfarenheter de gör i den konkreta världen, och att verbalt få sätta ord på dessa erfarenheter och hur de förstår dem. Först när en sådan språklig bro mellan erfarenheter och verbalt språk har etablerats, finns det en grund för att på ett meningsfullt sätt använda och förstå skriftliga symboler, för att uttrycka olika samband och relationer mellan tal. Detta sker hela tiden inom olika avgränsade områden, men vid olika tidpunkter, och varierar för olika individer. Elever i svårigheter eller elever med begränsade matematiska vardagserfarenheter och begränsade erfarenheter av att räkna, behöver extra mycket stöd med att skapa samband mellan i första hand erfarenheter av kvantiteter och verbala uttryck (ett representativt sätt att använda tal på), och i andra hand hur detta kopplar till den symboliska världen (ett analytiskt sätt att använda tal på). Kan vi förbättra förståelsen av algebraiska uttryck och formler? Många elever kan ha svårt att hantera bokstäver som någon form av obestämt eller generellt uttryck. Det tycks bli för abstrakt eller fritt från någon koppling till erfarenheter som de kan relatera till. Samtidigt är det viktigt att alla elever får en grundläggande förståelse för olika uttryck eller formler för att exempelvis beräkna ränta eller avgifter av olika slag. När vi introducerar bokstäver i algebran sker det ofta i form av ekvationer, där konventionen bjuder att vi använder x för att representera ett obekant tal eller en obekant storhet. Här fokuserar vi i det första fallet på talens analytiska egenskaper och i det andra fallet på talens representativa roll. Det finns en tradition att försöka göra användningen av x begriplig genom att använda enkla exempel, där det blir lätt att se vad x står för. Samtidigt kan det då också kännas meningslöst för elever: Varför x, när det är så lätt att lösa uppgiften utan? Tänk på ett tal Ett sätt att väcka intresse för behovet av att införa en okänd variabel är att använda någon form av Tänk på ett tal -uppgift. Då ber läraren eleverna tänka på ett tal, och ger därefter ett antal instruktioner om att göra en aritmetisk operation med utgångspunkt i det tal en elev har valt. Efter en tre, fyra operationer frågar så läraren någon elev om vilket resultat hon/han fick, och kan då lätt tala om vilket tal hon/han tänkte på från början, eftersom operationerna på ett inte helt genomskinligt sätt tar ut varandra. Det som kan locka elever är att också framstå som en tankeläsare. För att förstå varför det alltid går att tala om vilket tal eleven börjat på behöver man någon bokstav för att representera det tänkta talet. Ett exempel: 2 (7)
3 Tänk på ett tal! (5) x Addera 6. (5 + 6 = 11) x + 6 Dubbla. (11 2 = 22) 2 (x + 6) = 2x + 12 Addera 12. ( = 34) 2x = 2x + 24 Subtrahera 24. (34 24 = 10) 2x = 2x Säg ditt tal. (10) 2x Nu vet jag att du tänkte på (5) 2x/2 För att konkretisera tankegången kan en stängd ask representera x och lösa bönor representera konstanterna. 2x kan då visas med två askar och 24 bönor. Mönster i matematiken I Sverige har det blivit vanligt att fokusera på mönster i matematiken. Ofta blir det då talföljder såsom 1, 3, 5, 7, eller 1, 1, 2, 3, 5, 8,. Men sådana talföljder dyker också upp vid problemlösning i geometrisk kontext, till exempel olika former av växande geometriska mönster som man kan tänka sig hämtade från plattläggning i trädgårdar eller liknande. Det kan också handla om olika tändsticksmönster som successivt kan göras större på något sätt (Figur 1). Mönster med stickor Figur 1 Figur 2 Figur 3 Figur 1. Exempel på talföljder där mönstret visualiseras med hjälp av tändstickor. Här går det att ställa frågor om hur många stickor figur 1, figur 2, och så vidare har, men även om vilken figur som det behövs 42 stickor att bygga. För att besvara sådana frågor behöver eleverna studera de talföljder som uppstår och på något sätt beskriva hur de växer. I figurerna ovan behövs det 6, 10, 14, 18, stickor eller med ett generellt uttryck n stickor för figur nr n. Men erfarenhetsmässigt är det inte så lätt för elever att få fram denna formel genom att bara studera talföljden. Eleverna upptäcker att det växer med fyra stickor för varje ny figur, men hur hänger det ihop med 4 n? Det kanske blir lättare ifall de inte räknar ut hur många stickor det blir för varje figur, utan istället bara tecknar hur de kan räkna ut det, det vill säga att ange antalet stickor som 6, 6 + 4, , ,, vilket kan formuleras om som 6, , , , Detta kan bli tydligare om talen skrivs in i en tabell (Tabell 1). 3 (7)
4 Tabell 1. Exempel på hur talföljder kan tydliggöras i tabellform Här finns det nu möjlighet att titta på vad som förblir lika för varje figur och vad det är som förändras. Jo, beräkningen för antalet stickor i respektive figur börjar alltid med 6, och sedan kommer det ett tal som växer med ett i taget gånger 4. Detta går då att skriva som 6 + x 4, där x är ett mindre än figurens nummer n, alltså blir x lika med n 1, och formeln för antalet stickor för figur nummer n lika med 6 + (n 1) 4. Kommer eleverna också på att antalet stickor i figur 1 kan uttryckas som kan de skriva om formeln som 2 + n 4. Därefter går det att gemensamt resonera om att man brukar skriva, det vill säga det är en konvention, 4n + 2 och med multiplikationstecknet underförstått. Poängen med resonemanget ovan är att det många gånger är lättare att formulera en formel ifall man inte räknar ut varje antal i en följd för sig, utan bara skriver upp hur man räknar ut det. Då bevarar man nämligen strukturen hos beräkningen, den struktur som den formel man skapar är ett uttryck för. Kostnad för körkort En lärare försökte hitta något sätt för elever att förstå formler, som är eller blir relevanta i vardagslivet. En uppgift hon presenterade för sina elever var: När man ska ta körkort i Cityskolan kostar teorin och de obligatoriska körlektionerna tillsammans 4300 kr. De extra körlektionerna kostar 450 kr per lektion. Visa hur man beräknar kostnaden för körkortet beroende på hur många extra körlektioner man behöver ta. Fyll i tabellen nedan och beskriv med ord hur du tänker. Skriv ett uttryck som visar hur kostnaden för körkortet förändras beroende på hur många extra körlektioner (n) man vill ta på Cityskolan. För att hjälpa eleverna att bevara strukturen i sina beräkningar, hade hon gjort en färdig tabell med Antalet extra körlektioner och Den totala kostnaden, så att de skulle kunna få en bättre överblick. Bokstaven n blev en naturlig representant för hur många extra lektioner man behöver. Efter att eleverna först fick diskutera uppgiften med varandra ställde hon följande fråga: L: Jag ser att ni börjat räkna. Kan ni först förklara hur ni gör? 4 (7)
5 E1: Om man vill ta en extra körlektion ska man betala 4300 kr plus 450 (skriver i tabellen) vänta, jag ska bara räkna! Den färdiga tabellen (Tabell 2) som eleverna fyllde i under diskussionen såg ut på följande sätt: Tabell 2. Beräkning av kostnaden för antalet extra körlektioner L: Det räcker med bara uträkningen. Kan du fortsätta med två extra lektioner? E1: Då tar jag två gånger 450 L: Prova skriv på samma sätt som för en extra lektion. E1: Ska jag ta 4300 först? då är det 4300 plus 450 gånger 2? L: Rätt. Fortsätt bara. (eleverna fortsätter fylla i tabellen) L: Har ni upptäckt nåt samband? Vad är det som ändras hela tiden? E2: Det blir ju samma, bara antal lektioner blir olika. L: Ja. Då kan vi skriva en formel för n antal lektioner ett generellt uttryck. E2: Det var ju lätt! L: Absolut. Nu har ni ett färdigt algebraiskt uttryck för att räkna ut kostnaden för körkortet. E1: Vad är det bra för? L: Man kan använda färdiga formler i till exempel Excel för att bekvämt räkna ut kostnaden för alla elever på körskolan, bara man vet hur många extra lektioner de tog. 5 (7)
6 Eleverna visade återigen svårigheter i att skriva uträkningarna på en rad. Jag antar att det finns en del osäkerhet om räkneregler, samt bristande förståelse för uttryck, där olika delar innehåller olika fakta. Elev E1 började fundera på vad det färdiga uttrycket var bra för och efterlyste användningsområden för algebra. I intervjun med E3 och E4 kom jag fram till liknande resultat. Eleverna blev erbjudna att visa hur de beräknade kostnaden för körkortet först för en extra körlektion, sedan för två, tre, fyra, fem och till slut n körlektioner. Även dessa elever visade osäkerhet i att kunna skriva beräkningen på en rad och försökte räkna ut resultatet för varje deloperation för sig. Beräkningar leder till tal i en talföljd Idén med att stanna vid att skriva ned de beräkningar som leder till ett tal i en talföljd och studera de mönster som finns i dessa, istället för att studera mönstret i själva talföljden, kommer från den engelske professorn i matematikdidaktik John Mason (2005). När en lärare märker att det tar emot för en elev att förstå ett speciellt begrepp är det nödvändigt att inse att det finns behov av särskilda och intensiva insatser (Clements & Sarama, 2014). Målet för insatserna är att uppnå rimligt flyt grundad på en god förståelse. Det är viktigt att notera att förståelse bör föregå träning, och att träningen bör vara varierad, där det inte primärt är fokus på memorering. Resultaten blir också bättre genom att eleven får korta pass ofta snarare än längre pass med långa mellanrum. Det är också viktigt att se till, att övningen matchar elevens behov, vilket förutsätter att man tagit reda på, just vad det är de inte förstår eller behöver öva på. Att öva snabbhet är viktigt, och att övningarna kontinuerligt utvecklar hur eleven uppfattar relationer och strategiskt tänkande. Att utveckla flyt innefattar även att utveckla flyt med olika sätt att resonera. Även om detta är uttalat främst med tanke på yngre elever, finns det inget som talar emot att detta gäller även för äldre elever. Vikten av att koppla ihop elevers förståelse av kvantiteter med deras förmåga att förstå och utveckla mer analytiska sätt att hantera tal på, blir tydligt i exemplen. De flesta elever kan beskriva hur de gör, när de exempelvis ska räkna ut vad den totala kostnaden blir för ett visst antal extralektioner. Att därifrån formulera beräkningen med symboler är inte helt självklart. Men detta steg blir i sin tur till en ny bro, som gör det möjligt att fokusera på strukturen och mönstret i beräkningarna, vilket lägger grunden för att kunna generalisera uttrycket genom att introducera variabeln n. Trots allt är det just att bevara fokus på struktur, som gör algebra till ett så användbart redskap för matematik. Referenser Clements, D. & Sarama, J. (2014). Learning and teaching early math The learning trajectories approach. Routledge. Griffin, S. (2007). Early intervention for children at risk for developing mathematical learning difficulties. I Berch, B.B. & Mazzocco, M.M.M. (Red.): Why is math so hard for some children? (s ). Baltimore: Paul H. Brookes Publishing Co., Md. 6 (7)
7 Mason, J., Graham, A. & Johnston-Wilder, S. (2005). Developing thinking in algebra. The Open University. Nunes, T. & Bryant, P. (2015). The development of mathematical reasoning. I Handbook of Child Psychology and Developmental Science. 7 (7)
Trösklar i matematiklärandet
Matematik, Specialpedagogik Grundskola åk 1 3 Modul: Inkludering och delaktighet lärande i matematik Del 7: Trösklar i matematiklärandet Trösklar i matematiklärandet Ingemar Holgersson, Högskolan Kristianstad
Läs merJag tror att alla lärare introducerar bråk
RONNY AHLSTRÖM Variabler och mönster Det är viktigt att eleverna får förståelse för grundläggande matematiska begrepp. Ett sätt att närma sig variabelbegreppet är via mönster som beskrivs med formler.
Läs merVad innebär det att undervisa i algebra i årskurs 1 3? Vart ska dessa
Åsa Brorsson Algebra för lågstadiet I denna artikel beskriver en lärare hur hon arbetar med algebra redan i de tidiga skolåren. Det är ett arbete som hjälper elever att förstå likhetstecknets betydelse,
Läs merAlgebra utan symboler Learning study
Algebra utan symboler - - - - - Learning study Johan Häggström, NCM Göteborgs universitet 1 Är algebra verkligen något för grundskolans första år? Om eleverna förstår aritmetiken så bra att de kan förklara
Läs merUtvidgad aritmetik. AU
Utvidgad aritmetik. AU Delområdet omfattar följande tio diagnoser som är grupperade i tre delar, negativa tal, potenser och närmevärden: AUn1 Negativa tal, taluppfattning AUn Negativa tal, addition och
Läs merHär är två korta exempel på situationer då vi tillämpar den distributiva lagen:
Modul: Algebra Del 8: Avslutande reflektion och utvärdering Distributiva lagen Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet Distributiva lagen a (b + c) = a b + a c Den distributiva lagen kallas den räknelag
Läs merVardagssituationer och algebraiska formler
Modul: Algebra Del 7: Kommunikation i algebraklassrummet Vardagssituationer och algebraiska formler Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet och Jörgen Fors, Linnéuniversitetet En viktig del av algebran
Läs merPå vilka sätt kan mönster vara en ingång till att utveckla förmågan att uttrycka och argumentera för generaliseringar algebraiskt?
På vilka sätt kan mönster vara en ingång till att utveckla förmågan att uttrycka och argumentera för generaliseringar algebraiskt? Jenny Fred, lärare på Ekensbergsskolan och doktorand vid Forskarskolan
Läs merLokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9
Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Arbetsområde 4. Samband och förändring Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera
Läs merNär vi läste Skolverkets rapport Svenska elevers matematikkunskaper
Florenda Gallos Cronberg & Truls Cronberg Två perspektiv på att utveckla algebraiska uttryck Svenska elever påstås ha svårt med mönstertänkande. Eller är det så att de inte får lärarledd undervisning i
Läs merMÖNSTER OCH TALFÖLJDER
MÖNSTER OCH TALFÖLJDER FÖRELÄSNINGENS INNEHÅLL OCH SYFTE Genomgång av viktiga matematiska begrepp, uttryck och symboler med anknytning till mönster och talföljder. Skälet till att välja detta innehåll
Läs merProblem med stenplattor
Rolf Hedrén, Eva Taflin & Kerstin Hagland Problem med stenplattor Författarna har under flera år bedrivit ett forskningsprojekt med syfte att ta reda på hur lärare och elever tänker om lektioner kring
Läs merAtt arbeta med öppna uppgifter
Modul: Samband och förändring Del 1: Öppna uppgifter Att arbeta med öppna uppgifter Ingemar Holgersson, Högskolan Kristianstad Kursplanen i matematik betonar att undervisningen ska leda till att eleverna
Läs merBedömning för lärande i matematik
Bedömning för lärande i matematik Vilka har arbeta med materialet Varför ser det ut som det gör När och hur kan du som lärare använda materialet Katarina Kjellström PRIM-gruppen Vilka har deltagit i arbetet
Läs merUpprepade mönster kan talen bytas ut mot bokstäverna: A B C A B C eller mot formerna: Anna-Lena Ekdahl, Högskolan i Jönköping
Algebra Del 1 Upprepade mönster Anna-Lena Ekdahl, Högskolan i Jönköping Det är välkänt att barn långt innan de börjat skolan utforskar och skapar mönster på olika sätt och med olika material. Ofta skapas
Läs merUpprepade mönster (fortsättning från del 1)
Modul: Algebra Del 2: Resonemangsförmåga Upprepade mönster (fortsättning från del 1) Anna-Lena Ekdahl och Robert Gunnarsson, Högskolan i Jönköping Ett viktigt syfte med att arbeta med upprepade mönster
Läs merJörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8
PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 TERMINSPLAN HÖSTTERMINEN ÅK 8: 1 1.1 ANDELEN 2 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 3 FORTS. 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 4 1.3 HUR STOR ÄR DELEN 1 5 AKTIVITET + 1.4 HUR STOR ÄR
Läs merLokal pedagogisk planering
Lokal pedagogisk planering RO/Skola: Rebbelberga skola Arbetsområde: Taluppfattning Ämne: Matematik Termin/År: ht 2013 Årskurs: 1 Ämnets syfte enligt grundskolans kursplan: Genom undervisningen i ämnet
Läs merOlika sätt att lösa ekvationer
Modul: Algebra Del 5: Algebra som språk Olika sätt att lösa ekvationer Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet och Lucian Olteanu, Linnéuniversitetet Att lösa ekvationer är en central del av algebran, det
Läs merMatematik - Åk 9 Funktioner och algebra Centralt innehåll
Matematik - Åk 9 Funktioner och algebra Centralt innehåll Innebörden av variabelbegreppet och dess användning i algebraiska uttryck, formler och ekvationer. Algebraiska uttryck, formler och ekvationer
Läs merLgr 11 matriser i Favorit matematik 4 6
Lgr 11 matriser i Favorit matematik 4 6 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla förmågan att De matematiska förmågor
Läs merKursplan för Matematik
Sida 1 av 5 Kursplan för Matematik Inrättad 2000-07 SKOLFS: 2000:135 Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för
Läs merMönster statiska och dynamiska
Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 3: Fantasi, mönster och sannolikhet Mönster statiska och dynamiska Berit Bergius & Lena Trygg, NCM I många matematiska aktiviteter ska deltagarna
Läs merOm Lgr 11 och Favorit matematik 4 6
Om Lgr 11 och Favorit matematik 4 6 TYDLIG OCH MEDVETEN MATEMATIKUNDERVISNING En stark koppling mellan läroplan/kunskaps mål, innehåll och bedömning finns för att medvetande göra eleverna om syftet med
Läs merBedömning för lärande i matematik. PRIM-gruppen. Inger Ridderlind. Inger Ridderlind, PRIM-gruppen
Bedömning för lärande i matematik Workshop 15 juni 16 juni Inger Ridderlind PRIM-gruppen Workshop Komma igång med materialet Avgränsa ett Tema- Kunskapsområde Algebra (Samband och förändring) Hela materialet
Läs merOm LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.
Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt
Läs merPRIM-gruppen har på uppdrag av Skolverket utarbetat ett webbaserat
Katarina Kjellström Ett bedömningsstöd för grundskolans matematiklärare På Skolverkets webbplats finns nu ett fritt tillgängligt bedömnings stöd. Artikel författaren har deltagit i arbetet med att ta fram
Läs merLikhetstecknets innebörd
Modul: Algebra Del 5: Algebra som språk Likhetstecknets innebörd Följande av Görel Sterner (2012) översatta och bearbetade text bygger på boken: Carpenter, T. P., Franke, M. L. & Levi, L. (2003). Thinking
Läs merConstanta Olteanu, Linnéuniversitetet och Anna-Lena Ekdahl, Högskolan i Jönköping
Modul: Algebra Del 3: Bedömning för utveckling av undervisningen i algebra Intervju Constanta Olteanu, Linnéuniversitetet och Anna-Lena Ekdahl, Högskolan i Jönköping I en undervisning kan olika former
Läs merPlanering Matematik åk 8 Algebra, vecka Centralt innehåll
Planering Matematik åk 8 Algebra, vecka 49 2015 Centralt innehåll Innebörden av variabelbegreppet och dess användning i algebraiska uttryck, formler och ekvationer. Algebraiska uttryck, formler och ekvationer
Läs mer1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta
Läs merSy$e. Möjliga innebörder i förmågan a5 föra och följa algebraiska resonemang undersöka förmågan att kunna föra algebraiska resonemang
Möjliga innebörder i förmågan a5 föra och följa algebraiska resonemang Carolina Blomström, Jenny Fred och Sanna We5ergren STLS, FoU-enheten, Stockholms stad Sy$e undersöka förmågan att kunna föra algebraiska
Läs merGöra lika i båda leden
Modul: Algebra Del 6: Sociomatematiska normer Göra lika i båda leden Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet och Lucian Olteanu, Linnéuniversitetet Ordet algebra kommer från det arabiska ordet al-djabr
Läs merMona Røsseland Författare till Pixel. Vad innebär den nya läroplanen? Hur möter ni den nya utmaningen med Pixel
Temat för föreläsningen Ny läroplan, nya utmaningar! Vad innebär den nya läroplanen? Hur möter ni den nya utmaningen med Pixel Mona Røsseland Författare till Pixel Hur lyfter PIXEL matematiken? Läraren
Läs merEnhet / skola: Lindens skola i Lanna Åk: 3
Skolområde Väster Lokal Pedagogisk Planering Enhet / skola: Lindens skola i Lanna Åk: 3 Avsnitt / arbetsområde: Undersöka med Hedvig Ämnen som ingår: Svenska/svenska som andraspråk, matematik, bild, So,
Läs merHåkan Lennerstad, Blekinge Tekniska Högskola och Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet
Modul: Algebra Del 5: Algebra som språk Algebra som språk Håkan Lennerstad, Blekinge Tekniska Högskola och Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet Att ha ett språkligt perspektiv på algebra innebär att
Läs mer3. Instruktioner för att genomföra provet
INSTRUKTIONER FÖR ATT GENOMFÖRA PROVET 3. Instruktioner för att genomföra provet I det här kapitlet beskrivs hur samtliga delprov som ingår i provet ska genomföras. Genomförande av Delprov A Tabell 2 Praktisk
Läs merArbetsområde: Jag får spel
Arbetsområde: Jag får spel Huvudsakligt ämne: Matematik, åk 7-9 Läsår: Tidsomfattning: 6-9 lektioner à 60 minuter Ämnets syfte Undervisning i ämnet matematik syftar till: länk Följande syftesförmågor för
Läs merOm LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.
Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt
Läs merSamband och förändring en översikt med exempel på uppgifter
Modul: Samband och förändring Del 1: Öppna uppgifter Samband och förändring en översikt med exempel på uppgifter Örjan Hansson, Högskolan Kristianstad Problem om samband och förändring spänner över stora
Läs merRÄDDA EKVATIONERNA! Cecilia Christiansen
RÄDDA EKVATIONERNA! Cecilia Christiansen Innehåll Introduktion...4 Innan du börjar...6 Lektion 1 Vad är matematiska uttryck och hur förenklar man dem?...8 Lektion 2 Ekvationsspelet del 1...11 Lektion 3
Läs merVad algebra är bra till? Några gymnasieelevers förståelse av algebra.
Självständigt arbete (examensarbete),15 hp, för Speciallärarexamen, specialisering matematikutveckling VT 2017 Vad algebra är bra till? Några gymnasieelevers förståelse av algebra. What is algebra good
Läs merFöreläsning 4: Aritmetik, forts. Tal i bråkform Tal i decimalform Sambandet mellan tal i bråkform och decimalform Procentbegreppet och Procenträkning
Föreläsning 4: Aritmetik, forts. Tal i bråkform Tal i decimalform Sambandet mellan tal i bråkform och decimalform Procentbegreppet och Procenträkning Algebra Läroplanen om algebra och algebraiskt tänkande
Läs merMatematiska undersökningar med kalkylprogram
Matematik Grundskola årskurs 7-9 Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 7: Matematiska undersökningar med kalkylprogram Matematiska undersökningar med kalkylprogram Håkan Sollervall, Malmö
Läs merKunskapskrav och nationella prov i matematik
Kunskapskrav och nationella prov i matematik Luleå universitet 16 mars 2012 PRIM-gruppen Astrid Pettersson Disposition PRIM-gruppens uppdrag Bedömning Lgr 11 och matematik Det nationella provsystemet PRIM-gruppens
Läs merAtt uttrycka och argumentera för en mönstergeneralisering algebraiskt
Att uttrycka och argumentera för en mönstergeneralisering algebraiskt Jenny Fred, lärare på Ekensbergsskolan, koordinator på STLS, forskningsassistent i Skolfi-projekt och doktorand vid Forskarskolan i
Läs merLikhetstecknets innebörd
Likhetstecknets innebörd Följande av Görel Sterner översatta och bearbetade text bygger på boken: arithmetic & algebra in elementary school. Portsmouth: Heinemann Elever i åk 1 6 fick följande uppgift:
Läs merEnhet / skola: Lindens skola i Lanna Åk: 1
Skolområde Väster Lokal Pedagogisk Planering Enhet / skola: Lindens skola i Lanna Åk: 1 Avsnitt / arbetsområde: Ämnen som ingår: Tema: Undersöka med Hedvig Svenska/svenska som andraspråk, matematik, bild,
Läs merMetoder för beräkningar med potenser med rationella exponenter.
Kurskod: MATMAT02a Kursen matematik 2a omfattar punkterna 1 7 under rubriken Ämnets syfte. Centralt innehåll Kommentar Begrepp i kursen matematik 2a Metoder för beräkningar vid budgetering. Budgetering
Läs merProvmoment: Tentamen Matematik och matematikdidaktik, 3 hp, tillfälle 1
Matematik med didaktisk inriktning för grundlärare i förskoleklass och grundskolans a rskurs 1-3, III, VT18 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen Matematik och matematikdidaktik, 3 hp, tillfälle 1 Ladokkod:
Läs mer1. Skollagen 2. Läroplanen Lpo 94 / Lpf Grundskole- / Gymnasieförordningen
Olika styrdokument har olika dignitet 1. Skollagen 2. Läroplanen Lpo 94 / Lpf 94 3. Grundskole- / Gymnasieförordningen Riksdagen Regeringen Utskott SOU Departement (utbildnings-) Statliga verk (Skolverket)
Läs merSkolverkets förslag till kursplan i matematik i grundskolan. Matematik
Matematik Matematiken har en mångtusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den har utvecklats ur människans praktiska behov och hennes naturliga nyfikenhet och lust att utforska. Matematisk verksamhet
Läs merObservationsschema Problemlösningsförmåga
Observationsschema Problemlösningsförmåga Klass: Elevens namn Kan formulera räknehändelser i addition/ subtraktion/multiplikation/division. Läser och visar förståelse för matematiska problem. Kan överföra
Läs merkvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.
Turen har kommit till geometriska talföljder och summan av en geometrisk talföljd. Talföljden 1,, 4, 8, 16, 3,... är ett exempel på en geometrisk talföljd. Utmärkande för en geometrisk talföljd är att
Läs merDagens innehåll Bedömning för lärande i matematik. PRIM-gruppen. Inger Ridderlind och Anette Skytt. Vad är syftet med detta bedömningsstöd
Bedömning för lärande i matematik Seminarium 30 september Inger Ridderlind och Anette Skytt PRIM-gruppen Dagens innehåll Vad är syftet med detta bedömningsstöd Vilka har arbetat med materialet Varför ser
Läs merÖvningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
Läs merDagens innehåll 2014-10-27. Bedömning för lärande i matematik. PRIM-gruppen. Katarina Kjellström Inger Ridderlind Anette Skytt
Bedömning för lärande i matematik Mullsjö 16 juni 2014 Katarina Kjellström Inger Ridderlind Anette Skytt PRIM-gruppen Dagens innehåll Vad är syftet med detta bedömningsstöd Vilka har arbeta med materialet
Läs merAtt arbeta med öppna uppgifter
Modul: Samband och förändring Del: 1 Öppna uppgifter Att arbeta med öppna uppgifter Ingemar Holgersson, Högskolan Kristianstad Kursplanen i matematik betonar att undervisningen ska leda till att eleverna
Läs merMA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs
MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning
Läs merLuleå universitet 16 mars 2012 PRIM-gruppen Astrid Pettersson
Kunskapskrav och nationella prov i matematik Luleå universitet 16 mars 2012 PRIM-gruppen Astrid Pettersson Disposition PRIM-gruppens uppdrag Bedömning Lgr 11 och matematik Det nationella provsystemet PRIM-gruppens
Läs merJörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 9
PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 9 TERMINSPLAN HÖSTTERMINEN ÅK 9: 1 1.1 TALMÄNGDER 2 1.2 NEGATIVA TAL 3 FORTS. 1.2 NEGATIVA TAL 4 1.3 POTENSER 5 1.4 RÄKNA MED POTENSER 6 TALUPPFATTNING + RESONERA 7
Läs merArbetsområde: Från pinnar till tal
Arbetsområde: Från pinnar till tal Huvudsakligt ämne: Matematik, åk 1-3 Läsår: Tidsomfattning: Ämnets syfte Undervisning i ämnet matematik syftar till: länk Följande syftesförmågor för ämnet ska utvecklas:
Läs merAtt förstå algebra. Liv Sissel Grønmo & Bo Rosén
Att förstå algebra Liv Sissel Grønmo & Bo Rosén I Nämnaren nr 1, 1998 presenterades diagnostiska uppgifter kring inledande algebra, generaliseringar oc elevers uppfattningar av symboler. Uppgifterna ar
Läs merNär en Learning study planeras väljs ett område som upplevs som problematiskt
K. Drageryd, M. Erdtman, U. Persson & C. Kilhamn Tallinjen en bro mellan konkreta modeller och abstrakt matematik Fem matematiklärare från Transtenskolan i Hallsberg har under handledning av Cecilia Kilhamn
Läs merOm LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.
Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt
Läs merVad kan vi i Sverige lära av Singapores matematikundervisning?
Vad kan vi i Sverige lära av Singapores matematikundervisning? Singapore tillhör sedan länge toppnationerna i internationella undersökningar som Pisa och TIMSS. Deras framgångar har gjort att många andra
Läs merÖvningshäfte 1: Induktion, rekursion och summor
LMA100 VT2006 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 1: Induktion, rekursion och summor Övning A 1. Kan ni fortsätta följden 1,3,5,7,9,11,...? 2. Vilket är det 7:e talet i följden? Vilket är det 184:e?
Läs merAlgebra och Ekvationer År 7
Undervisning Algebra och Ekvationer År 7 Lärandemål (konkretisering av syfte och centralt innehåll ur Lgr 11) Rimlighetsbedömning vid uppskattningar och beräkningar i vardagliga och situationer och inom
Läs mer1. Skriv = eller i den tomma rutan, så att det stämmer. Motivera ditt val av tecken.
Modul: Taluppfattning och tals användning. Del 3: Det didaktiska kontraktet Likhetstecknet Ingrid Olsson, fd lärarutbildare Mitthögskolan Läraraktivitet. 1. Skriv = eller i den tomma rutan, så att det
Läs merUndervisa i matematik genom problemlösning
Modul: Problemlösning Del 1: Matematikundervisning genom problemlösning Undervisa i matematik genom problemlösning Maria Larsson, Mälardalens högskola Att hjälpa barn att bli bättre problemlösare är inte
Läs merMa7-Per: Algebra. Det andra arbetsområdet handlar om algebra och samband.
Ma7-Per: Algebra Det andra arbetsområdet handlar om algebra och samband. Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera
Läs merTänka, resonera och räkna i förskoleklass presentation av en pedagogisk modell
Tänka, resonera och räkna i förskoleklass presentation av en pedagogisk modell Görel Sterner Nationellt centrum för matematikutbildning, NCM Göteborgs universitet gorel.sterner@ncm.gu.se Motiv för intervention
Läs merFörslag den 25 september Matematik
Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk
Läs merOm LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.
Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt
Läs merÄmnesblock matematik 112,5 hp
2011-12-15 Ämnesblock matematik 112,5 hp för undervisning i grundskolans år 7-9 Ämnesblocket omfattar ämnesstudier inklusive ämnesdidaktik om 90 hp, utbildningsvetenskaplig kärna 7,5 hp och VFU 15 hp.
Läs mer3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd
I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4
Läs merDIAMANT. NaTionella DIAgnoser i Matematik. Ett diagnosmaterial i matematik för skolåren årskurs F- 9. Anpassat till Lgr 11. Löwing januari 2013
DIAMANT NaTionella DIAgnoser i Matematik Ett diagnosmaterial i matematik för skolåren årskurs F- 9 Anpassat till Lgr 11 Diamantmaterialets uppbyggnad 6 Områden 22 Delområden 127 Diagnoser Till varje Område
Läs merKursplaner i matematik och lärares mål med undervisningen. Ola Helenius, LUMA 2010
Kursplaner i matematik och lärares mål med undervisningen Ola Helenius, LUMA 2010 Skolinspektionens kvalitetsgranskningar Grundskolan: 23 skolor (avslutad) Matematikutbildningens mål och undervisningens
Läs merMönster och Algebra. NTA:s första matematiktema. Per Berggren & Maria Lindroth
Mönster och Algebra NTA:s första matematiktema Per Berggren & Maria Lindroth 1 Lgr11- Matematiska förmågor Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att
Läs mer2015-03-11. Kunskapskrav. Materialet består av flera olika komponenter.
Bedömning för lärande i matematik Dagens innehåll Biennette i Malmö 15 mars 2015 Katarina Kjellström Olika bedömningsstöd i matematik Vad är syftet med bedömningsstödet för åk 1-9 Vilka har arbeta med
Läs merTerminsplanering årskurs 6 Matematik Ärentunaskolan
Inledning Terminsplanering årskurs 6 Matematik Ärentunaskolan På Ärentunaskolan arbetar vi med läromedlet MatteBorgen. Förutom uppgifter i boken arbetar vi med problemlösning och tränar olika strategier
Läs merGeometri. Geometriska objekt och dess egenskaper: polygoner, cirklar, klot, koner, cylindrar, pyramider och rätblock
Geometri Matematik åk 4-6 - Centralt innehåll Geometriska objekt och dess egenskaper: polygoner, cirklar, klot, koner, cylindrar, pyramider och rätblock Konstruktion av geometriska objekt Skala Symmetri
Läs merDu promenerar i skogen. Tvärs över stigen ligger en nedfallen gren.
Jöran Petersson Från brakljud till bråkbegrepp Bråkbegreppet är mångfacetterat och ett område inom skolans matematik som elever ofta hamnar i svårigheter kring. Här ges en översikt på hur bråk kan delas
Läs merStatistik, sannolikhet, algebra och funktioner, 3 hp. Studenter i lärarprogrammet F-3 III, 12F380 ht17 Varberg
Grundläggande matematik II 7,5 högskolepoäng Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Statistik, sannolikhet, algebra och funktioner, 3 hp Studenter i lärarprogrammet F-3 III, 12F380 ht17 Varberg TentamensKod:
Läs mer7E Ma Planering v45-51: Algebra
7E Ma Planering v45-51: Algebra Arbetsform under en vecka: Måndagar (40 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa: Läsa på anteckningar
Läs merFormativ bedömning i matematikklassrummet
Modul: Problemlösning Del 5: Bedömning i problemlösning Formativ bedömning i matematikklassrummet Peter Nyström (2012) Originalartikel från modul, Taluppfattning och tals användning, åk 1-3 Termen bedömning,
Läs merMA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs
MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning
Läs merformulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder,
Arbetsområde: Huvudsakligt ämne: Matematik, åk 4-6 Läsår: Tidsomfattning: Ämnets syfte Undervisning i ämnet matematik syftar till: länk Följande syftesförmågor för ämnet ska utvecklas: formulera och lösa
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real
Läs merDen skolan som jag arbetar vid framhåller inkludering som ledord.
Helena Eriksson Taluppfattning i heterogena elevgrupper I denna artikel presenteras en uppgiftsdesign som syftar till att utveckla elevers uppfattning av naturliga och rationella tal. Uppgifterna har använts
Läs merRemissversion av kursplan i matematik i grundskolan. Matematik. Syfte
Matematik Syfte Matematiken har en mångtusenårig historia med bidrag från många kulturer och har utvecklats ur människans praktiska behov och naturliga nyfikenhet. Matematiken är kreativ och problemlösande
Läs merMattekollen. Mattekollen 1. Mattekollen 3. Mattekollen 2. 6 Mål för kapitlet. 156 mattekollen. För att avsluta kapitlet
Mattekollen Eleven har redan under sin tidigare skolgång utvecklat vissa kunskaper kring olika matematiska förmågor genom det centrala innehållet. I Mattekollen 1 sätter eleven ord på det han/hon redan
Läs merMatematikutveckling med stöd av alternativa verktyg
Matematikutveckling med stöd av alternativa verktyg Vad ska man ha matematik till? Vardagslivet Yrkeslivet Skönheten och konsten Underbart att veta att det finns räcker inte det+ LGR11 Undervisningen ska
Läs merMATEMATIK 3.5 MATEMATIK
3.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk
Läs merHands-On Math. Matematikverkstad. Förskolans nya läroplan 1 juli 2011. Matematik är en abstrakt och generell vetenskap
Hands-On Math Matematikverkstad 09.00 10.30 & 10.45 12.00 Elisabeth.Rystedt@ncm.gu.se Lena.Trygg@ncm.gu.se eller ett laborativt arbetssätt i matematik Laborativ matematikundervisning vad vet vi? Matematik
Läs merDel ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan
Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan 3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet
Läs merTaluppfattning och allsidiga räknefärdigheter
Taluppfattning och allsidiga räknefärdigheter Handbok med förslag och råd till lärare för att kartlägga, analysera och åtgärda elevers svårigheter och begreppsliga missuppfattningar inom området tal och
Läs merUndervisningen i ämnet matematik ska ge eleverna förutsättningar att utveckla följande:
Matematik Skolverkets förslag, redovisat för regeringen 2010-09-23. Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans
Läs merI arbetet hanterar eleven flera procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet, både utan och med digitala verktyg.
Kunskapskrav Ma 2a Namn: Gy Betyg E D Betyg C B Betyg A 1. Begrepp Eleven kan översiktligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av några representationer samt översiktligt beskriva sambanden
Läs merExtramaterial till Matematik X
LIBER PROGRMMERING OH DIGITL KOMPETENS Extramaterial till Matematik X NIVÅ TRE Sannolikhet LÄRRE Nu ska du och dina elever få bekanta er med Google Kalkylark. I den här uppgiften får eleverna öva sig i
Läs mer