Matematik repetition

Matematik repetition

Matematik repetition Fastighetsakademin, 03 Fjärde upplagen, rev. a Tryckt på Fastighetsakademin Fastighetsakademin J A Wettergrens gata 4, 4 30 Västra Frölunda www.fastighetsakademin.se Tel: 03-734 60, fax: 03-734 69 info@fastighetsakademin.se

Förord Varför behöver man repetera matte inför skolstarten? Nio av tio sökande säger att de har glömt den matematik de lärt i skolan och tycker att det är svårt. Men matematik är ett ämne som är grundstenen för många andra ämnen, därför är det viktigt att man repeterar och återupplivar sina kunskaper inför de fortsatta studierna. Kompendiet innehåller många lösta exempel och det finns förutom svar med kommentarer även ledningar och fullständiga lösningar till ett urval av uppgifterna. Kompendiet täcker in allt väsentligt från gymnasiets kurser A- till B- nivå, men vi har lagt tonvikten vid de mer grundläggande färdigheterna samt anpassat innehållet för de matematiska förkunskaper som krävs för vidare studier i andra ämnen vid Fastighetsakademin, t.ex. byggfysik, elteknik och vvsteknik. Du bör försöka att räkna samtliga tal i kompendiet. Ju mer du kan desto lättare kommer det att bli. Lycka till med dina studier! juni 03 Fastighetsakademin

Innehållsförteckning Innehållsförteckning Studietips... Allmänna studietips... Matematiska studietips... Strategitips inför problemlösning... Antal decimaler...3 Avrundning...3 Överslag...3 De fyra räknesätten...4 Inledning...4 Addition...5 Subtraktion...6 Multiplikation...6 Division...8 Potenser...9 Tiopotenser...9 Stora och små tal...0 Prefix...3 Prioriteringsregler...3 Räkneordning i uttryck...3 Decimaltal...6 Miniräknaren eller inte?...6 Avrundning...7 Avrundningsregler...7 Överslagsräkning...9 Sammanfattning...30 Antal gällande siffror...30 Tillämpade beräkningar...3 Proportionellt...3 Översikt...34 3 Negativa tal...35 Tallinjen och termometern...35 Addition av negativa tal...38 Subtraktion av negativa tal...39 Multiplikation med negativa tal...40 Multiplikation...40 Multiplikation...4 Division med negativa tal...4 Översikt...43 4 Bråkräkning...44 Hela och delar...44 Addition och subtraktion av bråk...44 Gemensam nämnare...45 Multiplikation av bråk...45 Division med bråk...46 Förkorta och förlänga...47 Översikt...53 5a Formler och ekvationer...54 Exempel på problemlösning...55 Förenkling av uttryck...56 Formler...56 Fastighetsakademin 7

Innehållsförteckning Ekvationer... 56 Ekvationer av första graden med flera obekanta (linjära ekvationssystem)... 58 Översikt... 6 5b Massa, densitet och tryck...63 Påkänning... 63 6 Procent...65 En procent och hundra procent... 65 Vanliga problemtyper:... 69 Procent, promille och ppm... 70 Beräkning av procenttal och promille division... 70 Förändringsfaktorn... 7 Procent och procentenheter.... 73 Beräkning av procentsatsen och nya värdet... 75 Vilken procentsats?... 76 Tre basproblem... 76 Tillämpningar... 79 Översikt... 83 7 Index...84 Konsumentindex... 85 8 Statistik och diagram...86 Lägesmått... 86 Tabeller... 87 Diagram... 88 Olika typer av diagram... 88 Stolpdiagram... 88 Histogram... 88 Stapeldiagram... 89 Cirkeldiagram... 90 Linjediagram... 9 Missbruk av statistik... 9 9 Geometri...96 Mäta med linjal... 96 Omkrets... 96 Längdenheter... 97 Area... 97 Cirklar... 98 Cylindrar, koner... 98 Mantelarea... 98 Areaenheter... 99 Volym... 99 Volymenheter... 00 Trianglar och vinklar... 0 Pythagoras sats... 06 Kvadratrötter... 07 Översikt... 3 0 Trigonometri...4 Likformighet och skala...5 Likformiga trianglar... 6 Andra likformiga figurer... 7 8 Fastighetsakademin

Innehållsförteckning Lutning...33 3 Algebraiska uttryck och ekvationer...35 Algebraiska uttryck...35 Förstagradsekvationer...38 Problemlösning med förstagradsekvationer...4 Lösa ut variabler i formler...43 Kvadratrötter...45 Andragradsekvationer...46 Allmänna andragradsekvationer...46 Repetion inför linjära funktioner...50 Att räkna med negativa tal...50 Att multiplicera in ett tal i en parentes och att lösa ut en variabel i en formel...5 Funktionsbegreppet...5 Graf...5 Tabell...5 Formel...5 När är y en funktion av x?...5 Funktion...53 4 Blandad problemlösning...57 Facit...60 Fastighetsakademin 9

0 Fastighetsakademin

Kapitel : Studietips Studietips Allmänna studietips Att studera är ganska krävande och tar tid. Du har nu valt att studera och vi utgår från att du naturligtvis vill lyckas så bra som möjligt! Det är en konst att kunna prioritera rätt och använda sin tid för studier så effektivt som möjligt. För att underlätta detta arbete för dig kommer här ett antal tips som kan vara värdefulla, speciellt om du inte studerat på längre, för att du ska nå ditt mål.. Börja med att fundera över din personliga situation och hur dina studier skall genomföras. Arbetar du hel- eller deltid? Har du barn och familj? Har du någon bra plats för dina studier? Din tid är viktig! För att dina studier ska flyta på så bra som möjligt är det viktigt att vara ekonomisk med tiden och utnyttja den på bästa sätt. Bästa utnyttjande av tiden förutsätter en bra plats för studierna.. När du väljer plats för ditt läsande är det bra om du kan stänga dörren om dig så att du kan vara ifred och koncentrera dig, du har plats för och ordning på dina böcker, pärmar m.m., så att du inte behöver ödsla tid på att leta efter dina saker, du har bra belysning så att du inte blir så trött i ögonen, du möblerar så att det känns trivsamt. Är det någon i klassen som bor i närheten av dig? Arbeta gärna tillsammans om ni kan! Det finns möjlighet att stanna kvar varje dag efter lektionerna och sitta i våra lokaler. Att ha någon i närheten att bolla sina idéer med, få inspiration av, knäcka problem tillsammans med är ovärderlig hjälp. 3. Utveckla goda arbetsvanor. Se gärna dina studiepass som ett heltidsjobb. Sätt upp delmål som skall nås inom uppsatt tid, avsätt regelbunden tid för varje pass, alla pass är viktiga, räcker inte studietiden får man utöka den. På det här sättet kan alla bli bättre. Skaffa dig en översikt över vad kursen innehåller så att du kan sätta upp dina delmål. Har boken sammanfattningar i slutet av varje kapitel blir det enkelt. Använd skolschema och kursbeskrivning för att planera dina studier så att du är förberedd inför varje lektion och kan ställa frågor kring det du inte förstått. Gör din personliga tidsplanering utifrån dina förkunskaper. 4. Fler tips! Läs igenom och begrunda eventuella lektionsanteckningar så fort som möjligt, och komplettera dem om det är nödvändigt medan du har allt färskt i ditt minne. Räkna och fundera, räkna och begrunda, räkna och reflektera! Att lära sig matematik är som att lära sig ett nytt språk, matematikspråket. Läs boken med pennan i hand; stryk under, kommentera. Är något avsnitt svårt, märk ut var det är (t.ex. skriv sidnumren i bokens pärm) och be om hjälp med det. Traggla inte i timtal om du kör fast på någon uppgift. Lägg bort den ett tag och räkna en annan uppgift i stället. Återkom till den besvärliga uppgiften senare. Gör små pauser eftersom för långa pass gör dig trött. Ät och drick gärna lite mellan varven; hjärnan arbetar ju när du tänker. En promenad, en tur i motionsspåret eller annan fysisk aktivitet är också bra avbrott. Kroppen behöver röra på sig och det du läst och räknat faller på plats under tiden. Fastighetsakademin

Kapitel : Studietips Matematiska studietips Läs igenom avsnittet om problemlösning nedan och tillämpa de metoder som beskrivs där. Tag för vana att rita och skriva upp det du känner (vet) i frågeställningen på ett papper så klarnar ofta bilden av vad du skall räkna ut. Stryk under dina delresultat och ditt slutresultat. Redovisa till sist svaret separat. Studera noga alla exempel på lösningar. Bli vän med din miniräknare. Olika märken har ibland olika beteckningar för samma funktion. Strategitips inför problemlösning Hur gör man då när man löser ett problem?. Du ska förstå problemet. Vad söker man? Vad är givet? Verkar problemet rimligt? Rita en figur om det går. Inför lämpliga beteckningar.. Gör upp en plan. Har du sett detta tidigare? Har du sett eller löst något liknande förut? Kan du dela in i delproblem? Kan du lösa eventuella delproblem? Vilka fakta saknas? Du måste tänka efter hur du ska lösa problemet och ställa upp de beräkningar du ska göra. 3. Genomför planen. Du måste genomföra beräkningarna för att få ett resultat. Kontrollera varje steg. Fungerar det inte gör du upp en ny plan. 4. Se tillbaka. Är resultatet rimligt? Kan man lösa problemet på ett annat sätt? Är resultatet eller metoden användbar i andra sammanhang? Steg 3 är viktigt att kunna genomföra. Klarar man inte det får man inget resultat till problemet. Beräkningarna kan utföras med huvudräkning handräkning räknare. Före räknarens tid måste de flesta beräkningar utföras med handräkning. Nackdelar med detta är att de tar lång tid man kan lätt räkna fel verklighetsnära uppgifter kan sällan lösas då de ofta leder till för svåra beräkningar. Vi tar därför hjälp av räknaren för svårare beräkningar. Enkla beräkningar kan du göra i huvudet. Exempel : 7,0 8,3 utför du med räknare 7 8 räknar du i huvudet Exempel : 6, / 4,3 utför du med räknare 6 / 4 räknar du i huvudet. Fastighetsakademin

Kapitel : Studietips Antal decimaler När vi använder räknare är det naturligt att skriva upp talen med decimaler. Som följande exempel visar måste vi dock se upp med antalet decimaler. Exempel 3: Jenny köpte 9 äpplen för 37 kr. Vad kostade ett äpple? 37 Räknaren ger kr =,9473684 kr 9 Avrundning Vi kan inte svara med 7 decimaler, då mynt för ören är avskaffade. Vid kontantbetalning måste därför talet avrundas till heltal. 37 kr 9 Tecknet betyder ungefär lika med. Överslag Ofta är det bra att göra ett överslag innan man använder räknare. 37 40 9 0 Fastighetsakademin 3

Kapitel : De fyra räknesätten De fyra räknesätten Inledning Varför läser du ämnet matematik? Det är för att du ska kunna lösa matematikproblem av olika slag som du möter i samhället, i arbetslivet och i flera andra ämnen under utbildningen. I vårt vardagsliv påverkas vi alla av matematik och behöver enkla basfärdigheter för att klara oss i samhället. Matematik är en urgammal vetenskap. Från början hade man bara behov av de hela positiva talen, de som vi i dag kallar de naturliga. Naturliga tal är 0,,, 3 o.s.v. Vårt talsystem är det s.k. tiosystemet, som är ett positionssystem. I ett positionssystem är det av avgörande betydelse var siffran står i talet, d.v.s. vilken position den har. 7 betyder 00 + 0 + 7 0,3 betyder 0, + 0,0 + 3 0,00 Ordet aritmetik kommer av grekiskans ord för räknekonst. Denna den del av matematiken arbetar vanligen med de hela talen och de fyra enkla räknesätten. Ordet aritmetik används även som sifferräkning ( + 3), i motsats till algebra som är bokstavsräkning (a + b). De fyra vanliga räknesätten är: Addition (plus) Subtraktion (minus) Multiplikation (gånger) Division (delat) 4 + 9 = 3 term + term = summa 5 7 = 8 term term = differens/skillnad 4 8 = 3 faktor faktor = produkt 5 / 7 = 3 täljare / nämnare = kvot I tiosystemet, även kallat decimaltalsystemet, är basen 0 och siffrorna 0 till 9, med s.k. arabiska siffror: 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. De arabiska siffrorna infördes i Europa på 300-talet och är de mest använda i världen. 4 Fastighetsakademin

Kapitel : De fyra räknesätten Tiosystemet är överlägset andra talsystem när det gäller praktiska beräkningar. Datorer däremot arbetar med -systemet, det binära systemet. Ett binärt talsystem har två som bas och behöver bara två tecken, och 0. Positionsvärdet multipliceras här med två för varje steg åt vänster. Så t.ex. är det binära talet 0 uttryckt i det decimala systemet detsamma som 8 + 0 4 + + =. Det binära systemet har kommit till användning särskilt inom datatekniken, där alternativen och 0 kan motsvaras av två olika tillstånd hos en elektronisk krets eller ett magnetiskt medium. Addition Att addera är att lägga samman två eller flera tal till ett enda. Räkneoperation 5 + 7 = kallas en addition. Två eller flera tal, termer, adderas till en summa. Mellan termerna skrivs plustecken: a + b = s. Term + term = summa. Additionen är vad matematikerna kallar för kommutativ, d.v.s. summan är oberoende av termernas ordningsföljd: a + b = b + a, t.ex. 3 + = + 3 Med vardagligt språk är det enklast att säga: Det spelar ingen roll i vilken ordning man lägger ihop talen för svaret blir det samma i alla fall. Additionen är dessutom associativ, d.v.s. summan av termer kan bildas på olika sätt: (a + b) + c = a + (b + c) Endast storheter av samma slag får adderas. Exempel : cm + 5 cm = 7 cm Exempel : 4 äpple + päron + 5 äpple + 6 päron = 9 äpplen + 8 päron, eller som en ekvation 4a + b + 5a + 6b = 9a + 8b Beräkningar. Ett jämnt naturligt tal slutar på någon av siffrorna. Ett udda naturligt tal slutar på någon av siffrorna 3. Vilket av talen är störst? 457 098 0 50 4. Vilket av talen är minst? 9 689 0 05 5. 345 + 8 = 6. 756 + 89 = 7. 4 587 + 90 = 8. 00 + 756 = 9. 03 + 987 = 0. 345 + 67 = Fastighetsakademin 5

Kapitel : De fyra räknesätten Subtraktion Genom subtraktion beräknas skillnaden/differensen mellan två tal, eller ett tals överskott över ett annat. Räkneoperationen 4 9 = 5 kallas subtraktion. 4 och 9 kallas termer, och resultatet kallas en differens. Term term = differens Subtraktion och addition är motsatta räknesätt. Subtraktion kan kontrolleras genom en addition: 4 9 = 5 5 + 9 = 4 Provet kallas subtraktionsprovet. Subtraktionen a b = c är riktig, om c + b = a. Endast storheter av samma slag får subtraheras. Exempel : 7 cm 5 cm = cm Exempel : 9a + 6b 5a b = 4a + 4b Beräkningar. 34 6 =. 4 30 876 = 3. 7a 3a = 4. 53 5 = 5. 3 65 = 6. 5 789 987 = 7. 543 345 = 8. 63 54 = 9. 9 3 = 0. 540 340 = Multiplikation När man multiplicerar ett tal, är det i verkligheten detsamma som att addera det ett visst antal gånger. 4 + 4 + 4 uppfattas som 3 gånger 4 och skrivs kort 3 4, 3 4, 3 4 eller 3 x 4. Vid ekvationsberäkningarna och användning av formler utelämnas ofta multiplikationstecknet. Det innebär att a = a = a + a. Multiplikation är kommunikativ, d.v.s. ordningen spelar ingen roll: 4 3 = 3 4 Multiplikation är associativ. Parenteser kan tas bort och sättas dit godtyckligt i en produkt: 4 3 = (4 3) = 4 (3 ) 6 Fastighetsakademin

Kapitel : De fyra räknesätten Multiplikation är distrubutiv över additionen: a(b + c)=ab + ac. Multiplicerar man ett tal med 0 innebär det att man ska ta det 0 gånger vilket ger resultatet 0. Det vill säga: En produkt är 0, då någon av faktorerna är 0: 3 0 = 0. De sista siffrorna i talen ska stå under varandra i en multiplikation. Det betyder att man inte behöver tänka på heltal, decimaler o.s.v. För att få decimaltalet på rätt ställe i svaren kan man räkna samman antalet decimaler i uppställningen, d.v.s. antal siffror efter decimaltecknet. Beräkningar. 5 38 =. 3 3 = 3. 4,5 4,5 = 4. 4,5 00 = 5. 6 3 = 6. 3,4 0,6 = 7. 34 3 = 8. 908 607 = 9. 0,00 0,4 = 0. Hur flyttas siffrorna i positionssystemet när du multiplicerar ett tal med 0?. Inför en studieresa betalade 30 studenter 85 kr vardera. Hur mycket kostade resan? a) Teckna den uträkning du ska göra. b) Gör en överslagsberäkning.. När man ska sätta kakel över diskbänken, spisen och bänkskåpet går det åt 6 kakelplattor i varje rad. Hur många plattor går det åt om man sätter fyra rader? 3. Du ska armera 4 st pelare på bottenvåningen av ett hus. Varje pelare har 4 st stående, L= 450, samt 4 st byglar 8. a) Hur många blir det sammanlagt till alla pelarna? b) Hur många byglar blir det sammanlagt till alla pelarna? c) Hur mycket väger st, L= 450 mm om,0 m väger 0,95 kg? Fastighetsakademin 7

Kapitel : De fyra räknesätten Division Det finns två typer av division: Delningsdivision: Divisionen är att dela ett givet tal i ett visst antal lika stora delar. Räkneoperationen 8/7 = 4 kallas en division. 8 kallas täljare, 7 kallas nämnare, resultatet av divisionen (4) kallas kvoten. Täljare/nämnare = kvot Innehållsdivision: Divisionen är även att finna hur många gånger ett tal innehålls i ett annat och detta angivs av kvoten. Divisionen kan tecknas som ett bråk med ett kolon (a : b) eller med ett snedstreck (a / b). Även tecknet förekommer. Division och multiplikation är motsatta räknesätt. Man kan inte dividera med 0. Beräkningar. 63 / 7 =. 64 / 8 = 3. 90 / 0 = 4. 30 / 6 = 5. 555 / 5 = 6. 550 / 5 = 7. Du ska kapa brädor till ett staket som är 8,55 m långt. Bräderna ska sitta med ett avstånd på 50 mm. Hur många brädor ska du kapa till? 8. Två tårtor ska delas på 4 personer. Antag att alla vill ha lika stor del av tårtan. Hur många bitar blir det på varje tårta? 9. Hur flyttas siffrorna i ett positionssystem när du dividerar ett tal med 00? 0. Ett rött månadskort hos Västtrafik kostar 445 kr per månad. Om du istället köper s.k. 00- kort för 00 kr kostar varje resa kr. Hur många enkelresor måste du åka i månaden för att det ska bli billigare att köpa ett månadskort? 8 Fastighetsakademin

Kapitel : De fyra räknesätten Potenser En summa där alla termerna är lika kan skrivas som en produkt: 7 + 7 + 7 = 7 3 7 gånger 3 En produkt där alla faktorerna är lika kan skrivas som en potens: 7 7 7 = 7 3 7 upphöjt till 3 Observera att 7 3 och 7 3 är två olika tal: 7 3 = och 7 3 = 343. En potens består av bas och exponent. 3 3 = 3 exponent Exempel : 3 = 3 3 = 9 Exempel : 3 3 = 3 3 3 = 7 Exempel 3: 5 = = 3 Exempel 4: 0 = 0 0 = 00 bas Tiopotenser Potenser med talet tio som bas kallas tiopotenser: 0 = 0 0 = 0 0 = 00 0 3 = 0 0 0 = 000 0 4 = 0 0 0 0 = 0 000 0 5 = 0 0 0 0 0 = 00 000 0 6 = 0 0 0 0 0 0 = 000 000 ( miljon). 0 9 =... = 000 000 000 ( miljard). 0 =... = 000 000 000 000 ( biljon) Observera att exponenten är lika med antalet nollor i det utskrivna talet. Multiplikation och division Vid multipikation av tiopotenser skall exponenterna adderas. 0 a 0 b 0 a b Vid division av tiopotenser skall exponenterna subtraheras. 0 a a b 0 b 0 Fastighetsakademin 9

Kapitel : De fyra räknesätten Stora och små tal Genom att använda tiopotenser kan man skriva stora tal på ett bekvämt sätt. 6 miljoner = 6 0 6 ( miljon = 0 6 ) 6,5 miljoner = 6,5 0 6 6,5 miljoner = 6,5 0 6 De tre talen är av samma storleksordning vilket visar sig genom att exponenterna är lika. Grundpotensform innebär att talet skrivs som en produkt av en tiopotens och ett tal som är större än eller lika med men mindre än 0. 6 50 000 = 6,5 0 6 tal mellan och 0 tiopotens Även för att skriva små tal behövs många siffror. Men här visar vi att man även kan skriva små tal i grundpotensform. Tiopotenser med negativ exponent: 0,00 = tusendel 3 000 0 3 Men istället för att skriva 3 skriver man 0. 0 000 000 = 0 6 00 000 = 0 5 0 000 = 0 4 000 = 0 3 00 = 0 0 = 0 = 0 0 0, = 0 0,0 = 0 0,00 = 0 3 0,000 = 0 4 0,000 0 = 0 5 0,000 00 = 0 6 Beräkningar. Skriv i potensform a) 3 3 b) 4 4 c). Beräkna a) 6 b) 4 c) 8 3. Skriv i potensform a) 9 9 b) 8 8 8 c) 3 3 3 3 4. Skriv en potens med a) basen 9 och exponenten 5 b) exponenten och basen 4 0 Fastighetsakademin

Kapitel : De fyra räknesätten 5. Skriv i potensform och beräkna a) 0 0 0 b) 0 0 0 0 c) 0 0 d) 0 0 0 0 0 0 6. a) 5 3 b) 3 c) 4 + 7. a) 0 + b) 3 0 c) + 7 8. a) 0, + 0, b) 8 6 c) 3 4 9. Skriv med vanliga ord a) 4 0 3 b) 9 0 c) 7 0 6 Skriv både som vanligt tal och i tiopotensform 0. a) Fyra tusen b) Åtta miljoner c) Två miljarder. a) Nio hundra b) Fem tusen c) Sju miljoner. a) Två tusen b) Tre miljarder c) Sex tusen Skriv i grundpotensform 3. a) 4 500 b) 8 300 c) 900 000 4. a) 7 500 b) 0 000 c) 30 500 5. a) 300 000 b) 780 000 c) 900 6. a) 6 000 b) 5 000 c) 85 000 7. a) 560 b) 5 600 c) 560 000 8. a) 000 b) 00 c) 0 00 Skriv som vanligt tal 9. a) 5 0 3 b) 5,4 0 3 c) 5,4 0 0. a) 0 5 b),7 0 4 c) 3, 0. a) 8, 0 b) 8, 0 3 c) 8,5 0 3. a), 0 3 b) 9 0 3 c),6 0 4 3. a) 3,5 0 b) 4,5 0 3 c) 8,07 0 5 4. a) 5 0 6 b) 0 3 c),08 0 5. Sveriges befolkning är ungefär 8 600 000. Skriv detta tal i grundpotensform. 6. Ljuset går med hastigheten 3 0 8 m/s. Skriv ljusets hastighet utan tiopotens. 7. Runt ekvatorn är det cirka 40 000 km. Skriv detta i grundpotensform. 8. Jordens ålder beräknas till 4,7 0 9 år. Skriv detta utan tiopotens. Fastighetsakademin

Kapitel : De fyra räknesätten Skriv som en potens 0 9. a) 0 3 0 4 b) 0 0 7 c) 4 0 30. a) 0 0 8 b) 0 3 0 0 6 c) 0 7 0 6 5 0 3. a) 0 0 3 b) 0 5 0 0 0 9 c) 0 6 0 3. a) 0 3 3 0 b) 3 0 8 0 c) 4 0 33. a) 0 3 0 4 0 5 b) 0 0 4 0 34. a) 0 0 3 0 0 6 5 b) 0 0 0 3 9 0 3 Skriv i grundpotensform 35. a) 0,08 b) 0,006 c) 0,0045 36. a) 0,07 b) 0,0075 c) 0,000 3 37. a) 0,000 09 b) 0,000 005 c) 0,000 04 38. a) 0,000 63 b) 0,000 000 33 c) 0,009 39. a) 0,000 8 b) 0,07 c) 0,000 00 40. a) 0,00 05 b) 0,000 045 c) 0,000 408 Skriv utan tiopotens 4. a) 7 0 3 b) 9 0 c) 0 6 4. a) 5, 0 b) 4,9 0 5 c),7 0 3 43. a) 0 3 b) 4,05 0 3 c) 3,8 0 4 44. a) 7 0 4 b) 0 c),6 0 3 45. a) 0 b) 8,07 0 c) 9,50 0 6 Skriv i grundpotensform 46. a) 0,00 b) 0,095 c) 0,000 95 47. a) 0,07 b) 0,00 c) 0,000 06 48. a) 0,09 b) 0,000 85 c) 0,000 49. a) 0,005 b) 0,006 08 c) 0,037 Fastighetsakademin

Kapitel : De fyra räknesätten Prefix Då stora och små tal skall skrivas tillsammans med enheter används ofta prefix. De vanligaste prefixen i SI (det internationella måttenhetssystemet) är: T (tera) = 0 = biljon G (giga) = 0 9 = miljard M (mega) = 0 6 = miljon k (kilo) = 0 3 = tusen m (milli) = 0 3 = tusendel (mikro) = 0 6 = miljondel ( my ) är en grekisk bokstav n (nano) = 0 9 = miljarddel p (piko) = 0 = biljondel Prioriteringsregler Räkneordning i uttryck Exempel : Martin och Lisa ska beräkna värdet av uttrycket 6 + 3 5 Martin: Det blir 9 5 = 45 Lisa: Nej, det blir 6 + 5 = Olika resultat trots att ingen räknat fel. Martin har tagit additionen först och Lisa har börjat med multiplikationen. En beräkning med flera räknesätt måste naturligtvis ge samma resultat oavsett vem som utför den. Räkneordning: Därför har man inom matematiken kommit överens om en räkneordning som innebär att multiplikation går före addition. Lisa hade alltså rätt. Överenskommelse: I uttryck med flera räknesätt beräknar man. först parenteserna. sedan multiplikationer och divisioner 3. sist additioner och subtraktioner Prioriteringsregler: Vi kallar dessa räkneregler för prioriteringsregler. Exempel : Beräkna a) (7 + 3) 5 b) 7 + 3 5 c) 4 + / 4 3 Parentesen beräknas a) (7 + 3) 5 = 0 5 = 50 först b) 7 + 3 5 = 7 + 5 = Multiplikationen beräknas först c) 4 + / 4 3 = 4 + 3 6 = Division och multiplikation beräknas först Fastighetsakademin 3

Kapitel : De fyra räknesätten Så länge det bara är två tal som skall räknas ihop på något sätt är det sällan problem att lösa uppgifterna. Skall du däremot räkna en uppgift där flera räknesätt är med måste du veta i vilken ordning du skall räkna dem, med andra ord hur du skall prioritera dina beräkningar. Man kan testa en räknare med följande exempel: Slå in 3 + 5 3 = Om resultatet blir 4 kan inte din miniräknare ta hänsyn till prioriteringsreglerna. Om resultatet blir 8 kan du lita på att din miniräknare tar hänsyn till prioriteringsreglerna. Exempel 3: Beräkna 3 ( + 5) 3 ( + 5) = 3 7 = Exempel 4: Beräkna 75 5 5 0 Beroende på vilken typ av miniräknare du har måste du använda dig av parenteser. 75 5 50 6 5 0 5 40 Exempel 5: Beräkna 6 3 3 ( 3) 40 40 6 40 6 40 6 8 3 3 ( 3) 3 3 9 3 7 30 Beräkningar. a) 3 3 b) 50 + 50 c) 3 0 + 0 d) 50 40 /. a) 5 + 3 0 b) 3 (0 + 0) c) 3 6 + / d) 7 5 + 0 / 5 3. a) 4 + 3 b) 9 4 c) 7 8 + 4 d) 5 9 5 4. a) 6 + 3 9 b) 0 6 c) 5 / 5 + 4 d) / 3 3 5. a) 3 + 5 b) 4 5 + 3 3 c) 5 5 d) (5 5) 6. a) 5 + 0 / 5 b) (5 + 0) / 5 c) 5 / 5 d) 5 / (5 ) 7. a) 4 8 b) 4 8/ c) (4 8) / d) 4 / (8 ) 8. a) + 3 8 0 b) 35 + 5 / 5 + 0 c) 4 + 4 / 7 6 d) 7 4 5 3 9. a) 5 + 6 3 b) / 4 + 5 / 5 c) 9 / 3 + 7 d) 8 6 8 / 4 0. a) 7 3 + 5 8 / 3 b) 4 / 3 6 / 4 8 / 3 5. a) 3 (4 ) + 3 4 b) 33 3 ( + 8) 4 Fastighetsakademin

Kapitel : De fyra räknesätten. Inträdesbiljetter till en djurpark kostar 35 kr för barn och 00 kr för vuxna. Hur mycket ska en grupp på 0 barn och 4 vuxna betala? Resultatet kan tecknas (0 35 + 4 00) kr. Beräkna detta resultat. 3. I personalmatsalen vid en arbetsplats kostar en lunch med Dagens rätt 5 kr. Om man köper ett rabatthäfte får man 0 lunchkuponger för 380 kr. Hur mycket tjänar man per måltid på att köpa rabatthäfte? a) Teckna resultatet. b) Beräkna resultatet. 4. Vilket tal ska stå i den tomma rutan? a) 5 + 5 = 0 b) 8 + = 50 c) 4 8 = 0 c) 30 + 5 = 70 5. Vilket av alternativen a c är rätt om du skall räkna ut 3 5 + 8 9? a) I den ordning räknesätten står. b) Först multiplikationerna sedan additionen. c) Först additionen sedan multiplikationerna. 6. Du skall köpa tre förpackningar spaghetti för kr per styck och 5 burkar krossade tomater för fyra kronor per styck. Hur mycket det kostar totalt kan man skriva på en rad så här utan enhet: 3 + 5 = Sedan skriver man svaret med enhet på en rad under det: Svar: Det kostar 7. På bilskolan R&R betalar man 300 kr för teorilektionerna och de obligatoriska körlektionerna. Behöver man fler körlektioner kostar det 0 kr per lektion. a) Lena behöver 4 extralektioner. Vad blir hennes totala kostnad? Totalpriset för henne blir (utan enheter) (fast pris) + (antal lektioner) (pris per lektion) = Svar: Lenas totala kostnad blir (glöm ej enhet) b) Bertil betalar totalt 4 940 kronor till bilskolan. Hur många extralektioner tog han? Problemet kan lösas i flera steg eller i ett enda svep. Prova båda varianterna! I Med flera steg (utan enheter): Steg ) Kostnad för extralektioner: (totalpris) (fast pris) = Steg ) Antal lektioner: (kostnad för alla lektioner) / (pris per lektion) = II I ett enda svep: Antal lektioner: ( ) / = Svar: Bertil tog extra körlektioner. Fastighetsakademin 5

Kapitel : De fyra räknesätten 8. I en fembarnsfamilj har man en pojke och fyra flickor. Barnens medelålder är 4 år och pojken är 8 år. Vad är flickornas medelålder? Medelåldern är (utan enheter): ( (antal barn) ) / = Svar: Flickornas medelålder är (glöm ej enhet) Decimaltal Det är inte alltid som verkligheten erbjuder heltal. Ofta stöter vi på decimaltal som t.ex. priset för ett anteckningsblock 7,50 kr och målarprover för 9,50 kr. Vid uträkning av heltal och decimaltal ska entalssiffror räknas för sig, tiondelar för sig o.s.v. När man beräknar bråk med miniräknare och utför division får man bråken på decimalform. 3 0,75 går jämnt ut. 4 0,485... tar aldrig slut. 7 Beräkningar. Skriv i decimalform a) 6 tiondelar b) hundradelar c) 5 tusendelar. a) + 6,45 b),5 + 6,4 c) 5 4,8 d) 5 4,85 e) 3 0,8 3. a),5 / 0 b) 0,5 c) 8,5 / 00 d) 00 8,5 e) 0,45 / 0 f) 0,45 0 Miniräknaren eller inte? Miniräknaren är ett mycket kraftfullt hjälpmedel för att klara beräkningar, om man vet hur den ska användas. Det finns en mängd olika miniräknare så det är viktigt att veta hur just din miniräknare fungerar. De flesta av dagens räknare klarar prioriteringen, d.v.s. den räknar multiplikation och division före addition och subtraktion. Testa din miniräknare för att se hur den fungerar! 8 3 57 + 5 / 5 3 = 9. Får du detta svar på din miniräknare? Varför? Varför inte? 6 Fastighetsakademin

Kapitel : De fyra räknesätten Avrundning Avrundningsregler Om siffran efter avrundningssiffran är Avrundningssiffra 0,,, 3 eller 4 behåller vi avrundningssiffran 7,43 7,4 5, 6, 7, 8 eller 9 höjer vi avrundningssiffran 7,48 7,5 7,45 7,5 Lägg märket till att enligt våra avrundningsregler avrundas 7,45 till 7,5. Exempel : 63,849 63,85 Avrundning till två decimaler. Efter avrundningssiffran 4 följer en 9. Vi höjer avrundningssiffran ett steg. 374,8 370 Avrundning till tiotal. Efter avrundningssiffran 7 följer en 4. Vi behåller avrundningssiffran. Avrundning är helt enkelt en metod att ersätta ett tal med närmaste decimaltal av önskad noggrannhet genom att stryka alla siffror efter en viss siffra (för heltal: ersätta dem med nollor). Om den första strukna siffran är en fyra eller mindre, ändras inte de siffror som behålls. Om den första strukna siffran är en femma eller mer, ökas den sista kvarvarande siffran med en enhet. T.ex.: Avrundning av 3,873 till tre decimaler ger 3,87, till två decimaler 3,8; avrundning av 8 37 till hundratal ger 8 300; avrundning av 5,8500 till två decimaler ger 5,9. Man bör avrunda endast en gång. Avrunda aldrig delberäkningar. Räkna med tillräckligt antal siffror så slutsvaret skall bli tillräckligt noggrant. Exempel : Avrunda till 3 decimaler. a) 3,456 b) 0,6554 c),6333 De avrundade värdena blir då a) 3,45 b) 0,66 c),633 När du gör beräkningar med din räknare bör du ha full noggrannhet så långt som möjligt för att sedan avrunda på slutet. Exempel : 7 kg äpplen kostar 6 kr. Vad kostar 000 kg? 6 Dålig lösning: kg kostar 5,4 5 kr. 7 000 kg kostar: 000 5 = 5 000 kr. 6 Bra lösning: kg kostar kr. 7 000 6 000 kg kostar: 5 4 5 400 7 kr. Svar: 5 400 kr Fastighetsakademin 7

Kapitel : De fyra räknesätten Exempel 3: Kursen på Belgiska Franc är,5 SEK = 00 BF. Hur många BF får man för 780 kr? SEK = 00 /,5 BF 780 00 780 kr = 3 687,9 3 690,5 BF Svar: 3 690 BF Exempel 4: dollar kostar 6,84 SEK. D-Mark kostar 4,4 SEK. Hur många D-Mark får man för 60 dollar? 60 dollar = 60 6,84 SEK = 094,4 SEK 094,4 094,4 SEK = 48 D-Mark 4,4 Svar: 48 D-Mark 8 Fastighetsakademin

Kapitel : De fyra räknesätten Överslagsräkning En enkel överslagsräkning är ofta tillräcklig för att du ska se om ett resultat är rimligt. Vid en överslagsräkning ersätter man de givna talen med enklare tal så att resultatet blir ungefär det samma, räkningarna går lätt att genomföra i huvudet. Exempel : hg lösgodis kostar 5,60 kr. Hur mycket kostar 8,4 hg? 8,4 hg lösgodis kostar 8,4 5,60 kr. Med räknare 47,04 kr. Vi diskuterar några olika sätt att göra en överslagsräkning. Olika sätt att avrunda A: 8 5 = 40 Båda faktorerna nedåt. 40 är för litet. B: 9 6 = 54 Båda faktorerna uppåt. 54 är för stort. C: 8 6 = 48 En faktor nedåt, en faktor uppåt. Bäst. Exempel : Hur många US dollar får man för 500 kr om dollar kostar 7,63? 500 600 Antal dollar = 00 7,63 8 Vi har ökat både nämnare och täljare. Divisionen går lätt att utföra. Med hjälp av en räknare får du 500 / 7,63 96,6 Vårt överslag ligger nära det riktiga resultatet. Vid division får man bästa resultatet om både täljare och nämnare ökas eller minskas. Exempel 3: Gör en överslagsräkning a) 875 + 545 b) 736 39 c) 5,78 9,7 d) 4 / 0,69 a) 875 + 545 900 + 500 = 400 b) 736 39 700 300 = 400 c) 5,78 9,7 6 9 = 54 d) 4 4 4 0 = 0,69 0, 7 7 4 00 7 = 600 Fastighetsakademin 9

Kapitel : De fyra räknesätten Sammanfattning Vid multiplikation: Vid addition: Vid division: Vid subtraktion: Den ena faktorn ökas och den andra minskas.,7 85 3 80 = 40 Den ena termen ökas och den andra minskas. 75 + 453 700 + 500 = 00 Både täljare och nämnare ökas eller minskas. 548 600 = 300,53 Se till att du får så enkla tal att divisionen går lätt att utföra i huvudet. Båda termerna ökas eller minskas 6 30 834 6 300 800 = 5 500 Antal gällande siffror När man gör beräkningar med miniräknaren ger den ofta ett stort antal decimaler eller många siffror över huvudtaget. Det finns regler för hur man svarar. Man talar om Antalet gällande siffror. Tal Antal gällande siffror 76 76, 3 76,0 4 76 000 eller 3 eller 4 eller 5. Det är svårt att veta. 0,00 0,00000 5 Regeln är följande:. Nollor i slutet av heltal räknas inte. Nollor i slutet av decimaltal räknas 3. Nollor i början av decimaltal räknas inte. 4. Svara inte med fler gällande siffror än du har i texten. Exempel : Inför julen 996 köpte 35 personer julklappar för sammanlagt 330 000 kr. För hur mycket handlade var och en? 330 000 444,44 35 Ett lämpligt svar blir 400 kr, eftersom 330 000 har gällande siffror. Svar: 400 kr 30 Fastighetsakademin

Kapitel : De fyra räknesätten Beräkningar. Avrunda 3,048 till a) heltal b) en decimal c) hundradelar d) tiotal. Gör en överslagsräkning a) 459 + 853 b) 6 33 4 579 c),9 3,8 c) 3, / 0,39 3. Jonas sprang 00 m på 37 sekunder. Bestäm hans medelhastighet. a) Gör en överslagsräkning. b) Vad visar räknaren? c) Hur ska du svara? 4. Vilket av talen är störst 3 / 9 eller 5 / 9? 5. 0,60 kg medwurst kostar,60 kr. Hur mycket kostar 0,8 kg medwurst? Ibland är miniräknaren ett mycket bra verktyg för långa eller krångliga beräkningar. Det gäller dock att inte ta för givet att räknaren är det enda sättet! För att du ska bli påmind om att hjärnan kan vara din egen privata miniräknare som du bär omkring på hela dagarna föreslås att du arbetar med uppgifterna nedan utan räknare. 6. Vilket tal är närmast 9? 5 7 30 7. Vilket eller vilka tal ligger mellan och,?,5,5,05,5,0 8. Vilka av bråken ligger mellan ½ och? 3 9 5 9 eller eller eller eller 5 4 4 00 40 9. Avrunda 48,5 till a) tiotal b) heltal c) en decimal d) hundradelar 0. Vilka beräkningar är orimliga? a) 0,7 7,5 = 5,5 b) 740, = 888 c) 600 0,48 = 768 d) 58 000 0, = 696. Vilket är det bästa närmevärdet? Gör ett överslag. a) 3 79? 7 700 7 000 83,3 b)? 0, 0 00 4,3. a) 0,5 + 0,5 b) 0,4 0, 3. a) 0, 4,3 b) 4,3 0, 4. a) 5 + 3 7 b) 3,5 + 0,5 5. Vilka tal är utelämnade om vi räknar a),7,8,9 b) 3,3 3, 3,? 6. a) 9 5 b) 5 ( 6) Fastighetsakademin 3

Kapitel : De fyra räknesätten Tillämpade beräkningar Exempel 4: En bilist tankar blyfri bensin för 400 kr i en sedelautomat. Bensinen kostar 8, kr per liter. Hur många liter får hon? a) Gör en överslagsräkning. b) Vad visar räknaren? c) Hur ska vi svara? 400 400 a) Bensin i liter = 50 8, 8 400 b) Bensin i liter = 48,70786 8, c) Här är det rimligt att svara med hela liter. Vi avrundar 48,70786 49 Svar: Han får 49 liter bensin. Exempel 5: Johan köper,6 kg äpplen för 3,50 kr. a) Vad får Pia betala för, kg äpplen på samma ställe och till samma kilopris? b)hur mycket äpplen får Petra för 0 kr? a),6 kg äpplen kostar 3,50 kr 3,50 kg äpplen kostar =,50 kr,6, kg äpplen kostar,,50 kr = 5 kr b) kg äpplen kostar,50 kr. 0 För 0 kr får då Petra kg =,6 kg.,50 Svar: a) 5 kr. b),6 kg. kg äpplen kostar,50 kr, 3 kg kostar 3,50 kr o.s.v. Priset ökar i förhållande till (i proportion till) antalet kg. Proportionellt Vi säger att priset är proportionellt mot antalet kg. 3 Fastighetsakademin

Kapitel : De fyra räknesätten Beräkningar. Hur många liter bensin får man för 00 kr om priset är 8, kr/l? a) Gör en överslagsräkning. b) Vad visar räknaren? c) Hur ska du svara?. Johanssons bil gick 49,4 mil på 4,7 liter bensin. Hur stor var bensinförbrukningen i liter/mil? 3. Berit köper,9 kg äpplen som kostar 9,0 kr/kg. Hur mycket ska hon betala? a) Gör en överslagsräkning. b) Beräkna priset med räknare. 4. Antalet betalande åhörare vid en konsert var 3 8. Hur stora blev intäkterna då biljettpriset var 95 kr? a) Gör en överslagsräkning. b) Beräkna med räknare. 5. Vilket tal är störst? 3 a) eller 9 7 7 749 b) eller 03 339 6. Ordna följande tal i storleksordning med det minsta först.,09 9 7 39 35 9 6 7. Vad kostar en bit ost som väger 0,384 kg, om kilopriset är 8,75 kr? ton = 000 kg kg = 0 hg kg = 000 g hg = 00 g g = 000 mg 8. På Pelles lastbil får man lasta högst, ton. Hur många järnrör kan Pelle lasta om ett rör väger 3,7 kg? 9. En pillerburk väger 3 g. Vad väger den fylld med 50 tabletter om varje tablett väger 87 mg? 0. Vad kostar ett års rökning för en person som röker ett halvt paket cigarretter om dagen om ett paket cigarretter kostar 35,50 kr? Fastighetsakademin 33

Kapitel : De fyra räknesätten Översikt Addition 6 + 3 = 9 Term + term = summa Subtraktion 9 4 = 5 Term term = differens Multiplikation 5 4 = 0 Faktor faktor = produkt Division 36 / 6 = 6 Täljare/nämnare = produkt Multiplikation med 0, 00 och 000 Division med 0, 00 eller 000 Vikt 0 45 = 450 00 45 = 4 500 000 45 = 45 000 45 / 0 = 4,5 45 / 00 = 0,45 5 600 / 000 = 5,6 ton = 000 kg kg = 0 hg = 000 g hg = 00 g Flera räknesätt 5 + 7 = 9 3 (5 + 6) = Tallinjen Olikhetstecken 5 < 7 8 > 4 Avrundning 5,67 6 6,34 6 Vid multiplikation med ett tal och 0, 00 eller 000 flyttas decimaltecknet,, eller 3 steg åt vänster Vid division med 0, 00 eller 000 flyttas täljarens decimaltecken,, eller 3 steg åt vänster När det förekommer flera räknesätt i samma uppgift gör man beräkningarna enligt följande ordning:. först parenteser. sedan multiplikation och division 3. sist addition och subtraktion -6-5 -4-3 - - 0 3 4 5 6 5 är mindre än 7 8 är större än 4 Om siffran efter avrundningssiffran är 0,,, 3, eller 4 så avrundar man neråt. Om siffran efter avrundningssiffran är 5, 6, 7, 8 eller 9 avrundar man uppåt. Tecknet betyder ungefär lika med 34 Fastighetsakademin

Kapitel 3: Negativa tal 3 Negativa tal Tallinjen och termometern Talen,, 3,. Kallas positiva heltal. Sätter vi minustecken framför får vi de negativa talen,, 3.. De positiva och negativa heltalen bildar tillsammans med talet 0 de hela talen. Vill man speciellt markera att ett tal är positivt kan man skriva t.ex. +7. Du har säkert sett de hela talen utsatta på en termometerskala. -5-4 -3 - - 0 3 4 5 Tallinje Detta är ett exempel på en tallinje, där negativa tal, talet noll och positiva tal är utsatta. -6-5 -4-3 - - 0 3 4 5 6 Negativa tal Positiva tal Nollpunkten kallas origo Du ser att ju längre vi går åt höger på tallinjen, desto större blir talen. Ju längre åt vänster man går desto mindre blir talen. 3 är större än men 3 är mindre än. Större än och mindre än skrivs med tecknen > och < Här är 3 > och 3 <. Vi jämför talens storlek på följande sätt: På tallinjen Med symboler I ord ligger till höger om 5 ligger till vänster om > 5 < är större än 5 är mindre än Olikhetstecken Lägg märke till att båda olikhetstecknen > (större än) och < (mindre än) pekar med spetsen mot det mindre talet. För våra förfäder existerade nästan inte negativa tal. Så småningom infördes de negativa talen och har i dag praktisk betydelse. Vi har minusgrader och underskott på konto som vanliga exempel. Fysiker pratar om lägesenergi som kan vara negativ och om potential (spänning i förhållande till jord) som också kan vara negativ. Räknereglerna är enkla. Lika tecken ger plus och olika tecken ger minus. Mer om detta senare i kapitlet. Fastighetsakademin 35

Kapitel 3: Negativa tal Exempel : 5 + 7 =? Temp. är 5 +7-5+7 = -5-4 -3 - - 0 3 4 5 Temperaturen är 5 och stiger 7. Den blir då. Svar: 5 + 7 = Exempel : 4 7 =? 3.Resultat -3. Sjunker 7 7 steg bak. Temp. är 4-6 -5-4 -3 - - 0 3 4 5 6 Svar: 4 7 = 3 Exempel 3: Sätt ut rätt olikhetstecken, > eller <, mellan talen a) 9 5 b) 9 5 c) 3 9 d) 6 3 Svar: a) 9 > 5 b) 9 < 5 c) 3 > 9 d) 6 < 3 Exempel 4: Beräkna (jämför gärna med temperaturskalan) a) 4 5 b) 3 0 c) 6 + 9 d) 8 Svar: a) 4 5 = 9 b) 3 0 = 7 c) 6 + 9 = 3 d) 8 = 0 Exempel 5: 3 ( ) = 6 ( 3) ( ) = 6 3 + ( 3) = 3 3 = 6 0 5 4 ( ) ( ) ( ) ( ) = 36 Fastighetsakademin

Kapitel 3: Negativa tal Exempel 6: Kalle hade 600 kr på sitt checkkonto. Kalles fru gick genom sta n med en hastighet av 800 kr/h. Hur stort var saldot på Kalles konto 4 timmar senare? 600 4 800 = 600 Svar: 600 kr. Exempel 7: Temperaturen var under en vecka i december 8,, 7, +3, 5, 3 och 9 Beräkna medeltemperaturen under veckan ( 8) ( ) ( 7) 3 ( 5) ( 3) ( 9) 7,3 7 Svar: 7,3 grader Beräkningar. Vilka tal är markerade på tallinjerna? a) -6-5 -4-3 - - 0 3 4 5 6 b) -6-5 -4-3 - - 0 3 4 5 6 c) -6-5 -4-3 - - 0 3 4 5 6. Sätt ut rätt olikhetstecken mellan talen a) 6 9 b) 6 3 c) 3 d) 3 9 e) 5 0 f) 0 3. Beräkna a) 7 b) 7 c) 8 + 3 d) 5 9 4. A B C -6-5 -4-3 - - 0 3 4 5 6 Vilka tal är markerade vid A, B och C? 5. Sätt ut rätt olikhetstecken, > eller <, mellan talen a) 7 3 b) 5 c) 5 d) e) 0 5 f) 0 7 Fastighetsakademin 37

Kapitel 3: Negativa tal 6. Temperaturen är 7. Vad blir den om den a) ökar med 4 b) minskar med 7 c) minskar med 0 d) minskar med 8? 7. Temperaturen är. Vad blir den om den a) ökar med 3 b) minskar med 4 c) ökar med 7 d) minskar med? 8. Beräkna a) 3 5 b) 3 5 c) 3 + 5 d) 5 + 3 9. Beräkna a) 3 b) 4 7 c) + 8 d) 7 0. Par på en golfbana är 70 slag. Resultatet 7 slag anges som +. Ange följande resultat på detta sätt. a) Annika 67 slag b) Jesper 73 slag c) Lotta 69 slag d) Tiger 64 slag. Skriv talen i storleksordning med det minsta först. a), 7, 3, 9 b) 6, 0,, 4 c) 5, 0, 3 d), 9, 0, 6. Ange temperaturändringen med ett positivt eller negativt tal. Starttemperatur Sluttemperatur a) + C +3 C b) + C +3 C c) 7 C +7 C d) 3 C 9 C Addition av negativa tal Exempel : Vad blir 5 + ( 0)? Addition Vi vill att man ska kunna addera alla tal i vilken ordning som helst, d.v.s. att; 5 + ( 0) = ( 0) + 5 Om temperaturen är 0 och stiger med 5 blir den nya temperaturen; ( 0 ) + 5 = 5 Vi vet redan att 5 0 = 5 d.v.s. 5 + ( 0) = 5 0 = 5 Att addera talet 0 är det samma som att subtrahera talet 0. 5 + ( 0) = 5 0 38 Fastighetsakademin

Kapitel 3: Negativa tal Subtraktion av negativa tal Exempel : Vad blir 5 ( 0)? Subtraktion Tänk er följande: Ett flygplan flyger 3 000 m över havet, en bergstopp under flygplanet är 88 m hög, och djupet i havet bredvid berget är 394 m. Havets yta är nollpunkten. Hur högt över berget flyger planet? 3 000 m 88 m = 8 m Hur högt över havets botten flyger planet? 3 000 m ( 394) m =? Med logik kan vi räkna ut att ovanstående fråga kan räknas ut med addition. 3 000 m + 394 m = 3 394 m Alltså är 300 ( 394) = 3 000 + 394 = 3 394 På samma sätt är 5 ( 0) = 5 + 0 = 5 Att subtrahera talet 0 är det samma som att addera talet 0. 5 ( 0) = 5 + 0 Exempel : Beräkna a) 5 + ( ) b) 5 + ( ) c) 5 ( ) d) 5 ( ) a) 5 + ( ) = 5 = 3 b) 5 + ( ) = 5 = 37 Tecknen +( ) ersätts med c) 5 ( ) = 5 + = 37 d) 5 ( ) = 5 + = 3 Tecknen ( ) ersätts med + Beräkningar. a) 5 + ( ) b) 9 + ( 5) c) 8 + ( ) d) 5 + ( 3). a) 4 + ( 6) b) 5 + ( 7) c) 6 + ( ) d) 8 + ( 4) 3. a) 8 ( ) b) 6 ( 4) c) 9 ( 3) d) ( ) 4. a) 5 ( 6) b) 7 ( 9) c) 4 ( ) d) 9 ( 5) Fastighetsakademin 39

Kapitel 3: Negativa tal 5. a) 3 + ( 5) b) 35 + ( 5) c) 5 ( 5) d) 5 ( 5) 6. a) 8 ( ) b) 8 ( ) c) ( 8) d) ( 8) 7. Beräkna temperaturändringen, d.v.s. beräkna differensen av sluttemperatur och starttemperatur. a) b) c) d) Starttemperatur +7 C +9 C C 4 C Sluttemperatur +3 C 3 C 4 C 3 C Multiplikation med negativa tal Exempel : På vintern är det lätt att förfrysa sig om det är minusgrader och blåser kraftigt. Om en termometer i lä visar 4 C och vindstyrkan är 5 m/s kan de kännas som om temperaturen i C är 3 ( 4) 5 För att få veta hur kallt det kan bli måste vi kunna beräkna 3 ( 4). Vad blir 3 ( 4)? Vi jämför med 3 4 d.v.s. 3 4 = 4 + 4 + 4 På samma sätt får vi 3 ( 4) = ( 4) + ( 4) + ( 4) = Multiplikation 3 ( 4) = Produkten av ett positivt och ett negativt tal är negativ. Du vet att 3 4 = 4 3 d.v.s. att ordningen mellan faktorerna inte spelar någon roll. Därför är också ( 4) 3 = Detta kunde vi också ha upptäckt med ett mönster. Läs uppifrån och ner. Talen minskar med för varje rad. 3 3 = 9 3 = 6 3 = 3 0 3 = 0 ( ) 3 = 3 ( ) 3 = 6 ( 3) 3 = 9 ( 4) 3 =... Läs uppifrån och ner. Talen minskar med 3 för varje rad. Här bör det stå ( 9) 3 = 40 Fastighetsakademin

Kapitel 3: Negativa tal Exempel : Vad blir ( 3) ( 4)? Vi använder nu ett liknande mönster för att upptäcka resultatet av produkten ( 3) ( 4). Läs uppifrån och ner. Talen minskar med för varje rad 3 ( 4) = ( 4) = 8 ( 4) = 4 0 ( 4) = 0 ( ) ( 4) =? ( ) ( 4) =? ( 3) ( 4) =? Läs talen uppifrån och ner. Talen ökar med 4 för varje rad. Om mönstret ska fortsätta, bör efter 0 följa 4, 8,. Nu kan vi svara på frågan Vad blir ( 3) ( 4)? Enligt uppställningen ovan gäller Multiplikation ( 3) ( 4) = Produkten av två negativa tal är positiv. Division med negativa tal Vad blir 7 / ( 9)? Vi tar hjälp av följande resonemang: 7 / ( 9) = 3 Kvoten av ett positivt och ett negativt tal är negativ. ( 7) / 9 = 3 Kvoten av ett negativt och ett positivt tal är negativ. ( 7) / ( 9) = 3 Kvoten av två negativa tal är positiv. 306 Är divisionen = 34 korrekt? 9 Vi kan kontrollera genom att bilda produkten 34 9. Då 34 9 = 306 är divisionen korrekt. Vi kan nu beräkna temperaturen i det inledande exemplet, exempel, multiplikation. 3 ( 4) 5 5 6 5 Temperaturen om man utsätts för full vindstyrka blir C. Exempel 3. Beräkna a) 8 ( 6) b) ( 5) ( ) c) ( 7) / 8 d) ( 56) / ( 8) Svar: a) 8 ( 6) = 48 b) ( 5) ( ) = 60 c) ( 7) / 8 = 9 d) ( 56) / ( 8) = 7 Fastighetsakademin 4

Kapitel 3: Negativa tal Beräkningar. a) 7 ( 9) b) ( 4) 8 c) ( 6) ( ) d) ( ) 0. a) ( 4) / b) 36 / ( 4) c) ( 8) / ( 9) d) 0 / ( 4) 3. a) 7 ( ) b) ( 0) / 30 c) 65 / ( 5) d) ( 8) ( 5) 4. Vilket tal skall stå i den tomma rutan? a) ( 7) = b) ( 5) = 40 c) ( 4) = 4 d) 3 ( 3) = 63 Blandade beräkningar med negativa tal 5. a) 7 b) 7 7 c) 7 0 d) 7 8 6. Temperaturen är 5 C. Vad blir den om den a) ökar med b) minskar med 3 c) ökar med 9 d) ökar med 5 7. Ange med ett positivt eller negativt tal en ubåts ändring i höjdled, om dess höjd ändras a) från 30 m till 0 m b) från 40 m till 75 m. 8. a) 9 + ( 7) b) ( 8) c) ( 0) d) 9 + ( 5) 9. a) 5 ( 7) b) ( 4) ( 6) c) 4 / ( 8) d) ( 5) / ( 5) 4 Fastighetsakademin

Kapitel 3: Negativa tal Översikt Tallinjen 0 a) 3 7 = 4 b) 6 4 = 0 c) 5 + = 3 Addition a) 5 + ( 3) = 5 3 = b) 6 + ( 9) = 6 9 = 3 c) 3 + ( 4) = 3 4 = 7 Regeln är att framför varje term ska det bara finnas ett tecken. Två olika tecken intill varandra ersätts med ett minustecken. Subtraktion a) 3 ( 4) = 3 + 4 = 7 b) 3 ( 4) = 3 + 4 = c) ( ) = + = Regeln är att ersätta alla dubbla tecken med ett tecken. Två lika tecken intill varandra ersätts med ett plustecken. Multiplikation och division a) 5 ( 3) = 5 b) ( ) 4 = 8 c) ( 0) / = 0 d) 0 / ( ) = 5 Regeln är att vid multiplikation eller division med två tal som har olika tecken blir svaret negativt. a) ( 3) ( ) = 6 b) ( 4) / ( 7) = Regeln är att vid multiplikation och division av två tal som har lika tecken blir svaret positivt. Fastighetsakademin 43

Kapitel 4: Bråkräkning 4 Bråkräkning Ett bråk anger hur stor del av det hela som något är. Med bråk menar man tal av typen /7, 3/8, /9 o.s.v. De kallas även för rationella tal och skrivs som en kvot n t, där t kallas täljare och n nämnare. Orden är de samma som vid division eftersom det är just division som det handlar om! Bråk kan lätt illustreras geometriskt: Varje del är 6 A + B blir 6 men kan också ses som 3 A + B + C + D blir 6 4 men kan också ses som 3 6 6 Hela biten blir eller en hel,. 6 6 Man ser att bråken kan skrivas på många olika, till och med oändligt många olika sätt. 3 4 o.s.v. 3 6 9 Hela och delar Om heltal och blandade tal också ingår i räkningarna, gör om dem till bråk så här: 5 5 och 3 7 3 7 3 7 3 7 7 7 7 3 7 7 7 Addition och subtraktion av bråk Vid addition och subtraktion måste de ingående talen termerna alla vara tredje-delar eller femtedelar eller elfte-delar eller så, d.v.s. ha samma nämnare. Om det inte är så från början, måste man se till att det blir så. (Detta kan jämföras med att de olika talen vid addition och subtraktion inte heller kan anges i olika enheter. Om man t.ex. ska addera 7 mil och 56 km, så måste man först ange de båda talen med samma enhet, 70 km och 56 km eller 7 mil och 5,6 mil.) Exempel : Med alla nämnare lika 5 6 4 5 6 4 7 7 7 7 7 7 Med olika nämnare från början 7 4 6 0 5 där en gemensam nämnare måste skapas, se nedan. 44 Fastighetsakademin

Kapitel 4: Bråkräkning Gemensam nämnare Ett bråk förändras inte om täljare och nämnare multipliceras eller divideras med samma tal. Det kan vi använda oss av för att få en gemensam nämnare. Den gemensamma nämnare som ska användas måste vara delbar med de ursprungliga nämnarna (6, 0 och 5 i exemplet ovan). Pröva först med den största nämnaren (0). Pröva sedan med den dubbla och sedan den tredubbla o.s.v. I detta fall går det inte med 0 eftersom 0 inte är delbart med 6. Det går inte heller med 0 av samma skäl, men 30 är delbart med både 6 och 5 (och förstås 0). Vi förlänger då bråken så att alla får nämnaren 30: 7 5 3 4 6 6 5 0 3 5 6 35 30 33 30 4 30 35 33 4 30 6 30 6 / 30 / Vid dessa beräkningar är kunskaper i multiplikationstabellen värdefulla! 3 5 Exempel : Exempel 3: Beräkna 3 4 5 5 5 9 4 kallas bråkform, kallas blandform 5 5 Beräkna 7 7 5 3 5 4 5 9 5 8 7 7 7 7 4 5 6 7 Multiplikation av bråk Vid multiplikation behöver man inte bekymra sig om någon gemensam nämnare. (Liksom man inte heller behöver ha samma enhet.) Det är bara att multiplicera täljarna med varandra och nämnarna med varandra. Så här: 5 9 3 0 5 3 9 0 5 80 5 / 5 80 / 5 3 36 Eller samma sak på ett litet smartare sätt: 5 9 3 0 5 3 3 5 9 0 9 0 3 / 3 9 / 3 3 / 3 36 / 3 5 / 5 0 / 5 3 4 Exempel : Beräkna a) 3 x /7 b) 7 c) 3 5 7 9 3 6 a) 3 7 7 7 4 7 4 8 b) 7 7 9 3 3 3 3 3 7 7 4 c) täljare täljare och nämnare nämnare 5 9 5 9 5 Fastighetsakademin 45

Kapitel 4: Bråkräkning Division med bråk Inte heller vid division behöver man bekymra sig om någon gemensam nämnare. Man tar helt enkelt det första bråket gånger det andra bråkets inverterade värde (det andra bråket vänt upp och ner). Så här: 4 / 3 9 4 3 9 4 9 4 9 4 / 9 / 3 3 6 6 3 3 / 3 / 3 Exempel : Beräkna a) / 3 b) 3 3 7 c) 7 4 a) / Rimligt då hälften av är 3 3 3 3 3 b) Du har kanske lärt dig att man går över till multiplikation samtidigt som man inverterar (vänder upp och ner) på det andra bråket. 3 7 4 5 3 3 3 9 9 7 Du kanske aldrig har fått lära dig varför man gör så. Nu skall du få veta! 3 7 Observera att 7 3 7 7 7 7 4 Man förlänger bråket med : 3 3 3 3 3 3 7 3 3 9 7 3 Efter ett tag hoppar man direkt till led 3. c) 7 4 9 7 9 4 9 4 7 9 4 7 4 Exempel : I en klass på 8 elever är pojkar. Av flickorna slutar. 7 4 Hur stor andel av klassen är flickor? 3 Flickorna är 8 st. 3 slutar. 7 4 9 Kvar är 9 flickor och 5 elever. Andelen är. 5 Svar: 9 / 5 46 Fastighetsakademin

Kapitel 4: Bråkräkning Förkorta och förlänga Det är nödvändigt att kunna skriva om bråk vid addition och subtraktion av bråktal. Man säger att man förlänger eller förkortar. Förlängning innebär att man multiplicerar täljare och nämnare med samma tal. Förkortning innebär att man dividerar täljare och nämnare med samma tal. 36 Exempel : Förkorta så långt som möjligt. 08 36 08 8 54 9 7 3 En modern räknare förkortar automatiskt om man slår in med bråksymboler. Det finns några enkla delningsregler: Alla jämna tal kan delas med. Alla tal vars siffersumma är delbar med 3 är delbara med 3. 3 67 har siffersumman 3++6+7=8 som är delbart med 3. 3 67 089 3 Alla tal som slutar på 0 och 5 är delbara med 5. Om talets siffersumma är delbart med 9 är även talet delbart med 9. 3 67 3++6+7=8 som är delbart med 9. 3 67 363 9 Exempel : Förläng 7 3 med 3. 3 7 3 3 7 3 9 Exempel 3: Beräkna 3 4 7 9 Bråken har inte lika nämnare så man måste först se till att de blir liknämniga. Vanligtvis söker man efter den s.k. minsta gemensamma nämnaren, mgn. Här är mgn = 7 9 = 63. 3 7 4 3 9 4 7 9 7 9 9 7 7 63 8 63 55 63 Fastighetsakademin 47