2. Find to the differential equation 2y + (y ) 2 = 0 the solution whose graph at the point with the coordinates (1, 0) has the tangent line x + y = 1.

Relevanta dokument
2 4xy. and classify each of them with respect to the corresponding linearized system. x 2 dy + 2xy = y2

1. Find, for x > 0, the general solution of the differential equation. dy/dt 4xy + 10y + 6y 2,

2. Find an equation for and sketch the curve which begins at the point P : (3, 1) and which otherwise is given by the linear system 1 = 2

x 2 2(x + 2), f(x) = by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points. γ : 8xy x 2 y 3 = 12 x + 3

2(x + 1) x f(x) = 3. Find the area of the surface generated by rotating the curve. y = x 3, 0 x 1,

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

f(x) = x2 + 4x + 6 x 2 4 by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points.

1. Find the 4-tuples (a, b, c, d) that solves the system of linear equations

f(x) =, x 1 by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points. cos(x) sin 3 (x) e sin2 (x) dx,

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

2. For which values of the parameters α and β has the linear system. dy/dt x + y

1. Find an equation for the line λ which is orthogonal to the plane

Find an equation for the tangent line τ to the curve γ : y = f(4 sin(xπ/6)) at the point P whose x-coordinate is equal to 1.

1. Find the volume of the solid generated by rotating the circular disc. x 2 + (y 1) 2 1

(4x 12) n n. is convergent. Are there any of those x for which the series is not absolutely convergent, i.e. is (only) conditionally convergent?

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

2. Find, for each real value of β, the dimension of and a basis for the subspace

sin(x 2 ) 4. Find the area of the bounded region precisely enclosed by the curves y = e x and y = e.

2. Let the linear space which is spanned by the functions p 1, p 2, p 3, where p k (x) = x k, be equipped with the inner product p q = 1

1. The sum of two non-negative numbers x and y equals 4. Which is the smallest interval that surely contains the number x 3 + 3y 2?

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

1. Find for each real value of a, the dimension of and a basis for the subspace

is a basis for M. Also, find the coordinates of the matrix M = with respect to the basis M 1, M 2, M 3.

For which values of α is the dimension of the subspace U V not equal to zero? Find, for these values of α, a basis for U V.

for M, the matrix of the linear transformation F : R 3 M defined as x1 + x F ((x 1, x 2, x 3 )) = 2 + x 3 2x 1 + x 2 + 3x 3

, m 3 = 3. Determine for each real α and for each real β 0 the geometric meaning of the equation x 2 + 2y 2 + αz 2 + 2xz 4yz = β.

8 < x 1 + x 2 x 3 = 1, x 1 +2x 2 + x 4 = 0, x 1 +2x 3 + x 4 = 2. x 1 2x 12 1A är inverterbar, och bestäm i så fall dess invers.

is introduced. Determine the coefficients a ij in the expression for, knowing that the vectors (1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 1) constitute an ON-basis.

6. a) Visa att följande vektorer är egenvektorer till matrisen A = , och ange motsvarande

2. Find the area of the bounded region precisely enclosed by the curves y = 3 x 2 and y = x + x.

dx/dt x y + 2xy Ange även ekvationerna för de mot de stationära punkterna svarande linjariserade systemen.

. Bestäm Rez och Imz. i. 1. a) Låt z = 1+i ( b) Bestäm inversen av matrisen A = (3p) x + 3y + 4z = 5, 3x + 2y + 7z = 3, 2x y + z = 4.

x + 9y Skissa sedan för t 0 de två lösningskurvor som börjar i punkterna med koordinaterna

the standard scalar product, i.e. L E 4. Find the orthogonal projection of the vector w = (2, 1, 2, 1) on the orthogonal complement L of L (where

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik

1. Talföljden {t n } n=0 24, n = 13, då den för n 2 satisfierar differensekvationen 12t n 8t n 1 + t n 2 =

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

12.6 Heat equation, Wave equation

(D1.1) 1. (3p) Bestäm ekvationer i ett xyz-koordinatsystem för planet som innehåller punkterna

Tentamen i Matematik 3: M0031M.

= x 2 y, med y(e) = e/2. Ange även existens-

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

(4x 3 + y)y + x(x 3 + 2y) dy dx = 0

This exam consists of four problems. The maximum sum of points is 20. The marks 3, 4 and 5 require a minimum

1 Find the area of the triangle with vertices A = (0,0,1), B = (1,1,0) and C = (2,2,2). (6p)

a) Ange alla eventuella punkter där f är diskontinuerlig. b) Ange alla eventuella punkter där f är kontinuerlig men inte deriverbar.

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3,

denna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) och v = (a) Beräkna u (2u 2u v) om u = . (1p) och som är parallell

1. Compute the following matrix: (2 p) 2. Compute the determinant of the following matrix: (2 p)

2. För vilka värden på parametrarna α och β har det linjära systemet. som satisfierar differensekvationen

2 + i 2 z = 1 + i, 2. I xy-planet är Ω det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och sin(x) = 6 3

Pre-Test 1: M0030M - Linear Algebra.

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2

(5 + 4x)(5 2y) = (2x y) 2 + (x 2y) ,

{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form.

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för Elektro- och Informationsteknik

Module 1: Functions, Limits, Continuity

Kurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 05 June 2017, 14:00-18:00. English Version

Kurskod: TAIU06 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TENA 31 May 2016, 8:00-12:00. English Version

2. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet x + 2y 13z = 4 4x y + 17z = 5

and u = och x + y z 2w = 3 (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet

3i)z 2013(1 ) och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

Module 6: Integrals and applications

1. Beräkna determinanten

3. Skissa minst en period av funktionskurvan 3y = 4 cos(8x/7). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan.

7 n + 8 n 3 2n. converges or not. Irrespective whether the answer is yes or no, give an explanation

3. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet 3x + 2y 3z = 3 2x + y + 4z = 7

Beräkna determinanten för produkten MMM Skissa, och bestäm arean av, det i det komplexa talplanet belägna området

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

Solutions to exam in SF1811 Optimization, June 3, 2014

Tentamen del 2 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering

Lösningsförslag, version 1.0, 13 september 2016

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. for Elektro- och Informationsteknik. SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, ETI265 Inlämningsuppgift 1 (av 2), Task 1 (out of 2)

x 2 4 (4 x)(x + 4) 0 uppfylld?

Preschool Kindergarten

Tentamen i matematik. Högskolan i Skövde

Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 28 August 2014, 08:00-12:00. English Version

Adding active and blended learning to an introductory mechanics course

MVE500, TKSAM Avgör om följande serier är divergenta eller konvergenta. Om konvergent, beräkna summan. (6p) ( 1) n x 2n+1 (a)

Hjälpmedel: Inga, inte ens miniräknare Göteborgs Universitet Datum: 2018 kl Telefonvakt: Jonatan Kallus Telefon: ankn 5325

1. Antag att g är en inverterbar funktion definierad på intervallet [0, 4] och att f(x) = g(2x).

Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 07 April 2015, 14:00-18:00. English Version

Kurskod: TAIU06 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TENA 17 August 2015, 8:00-12:00. English Version

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.

7. Ange och förklara definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = ln(x) 1.

State Examinations Commission

Module 4 Applications of differentiation

Kursplan MD2022. Matematik III 30 högskolepoäng, Grundnivå 2

Kurskod: TAIU06 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TENA 15 August 2016, 8:00-12:00. English Version

Fortsatt Luftvärdighet

Isometries of the plane

1. Varje bevissteg ska motiveras formellt (informella bevis ger 0 poang)

and Mathematical Statistics Gerold Jäger 9:00-15:00 T Compute the following matrix

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen.

a5 bc 3 5 a4 b 2 c 4 a3 bc 3 a2 b 4 c

Second handbook of research on mathematics teaching and learning (NCTM)

Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 12 January 2015, 08:00-12:00. English Version

EXTERNAL ASSESSMENT SAMPLE TASKS SWEDISH BREAKTHROUGH LSPSWEB/0Y09

UTLYSNING AV UTBYTESPLATSER VT12 inom universitetsövergripande avtal

Transkript:

MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA316 Differential Equations, foundation course Date: 2018-03-21 Write time: 5 hours Aid: Writing materials, ruler This examination consists of eight randomly ordered problems each of which is worth at maximum 5 points. The pass-marks 3, 4 and 5 require a minimum of 18, 26 and 34 points respectively. The minimum points for the ECTS-marks E, D, C, B and A are 18, 20, 26, 33 and 38 respectively. Solutions are supposed to include rigorous justifications and clear answers. All sheets of solutions must be sorted in the order the problems are given in. dx/dt 2x + 3y 1. Find the general solution of the linear system dy/dt = 3x z. dz/dt 6y + 2z 2. Find to the differential equation 2y + (y ) 2 = 0 the solution whose graph at the point with the coordinates (1, 0) has the tangent line x + y = 1. 3. Find to the differential equation y = x/y + 2y/x the solution that satisfies the condition y(1) = 2. Also, identify and state the interval of existence of the solution. 4. Find, in terms of power series in x, the solution of the initial-value problem (x + 2)y 3xy + y = 0, y(0) = 3, y (0) = 2 in a neighbourhood of 0. In the series solution, specify explicitly the terms up to at least degree 5. 5. Find all stationary points of the system ( ) ( ) dx/dt y = 2 xy dy/dt 6 + x y 2, and classify each of them as unstable, stable or asymptotically stable. 6. Find, for x > 0, the general solution of the differential equation xy + (2x 3)y + (x 3)y = 0. 7. Solve the initial-value problem y(0) = 1, y (t) + 3y(t) = δ(t 2) + { 0, 0 t < 4, 1, 4 t < 7, 0, t 7. where δ is the Dirac delta function (in fact the Dirac distribution). 8. Freshly baked thin breads which immediately after baking has the temperature 90 o C are hanged airy for cooling in a well-ventilated room where the air temperature through various techniques is kept constant at 10 o C. Packaging of a thin breads takes place when they have cooled to 15 o C. How long does it take from that a thin bread has been baked until it can be packaged if the temperature of a cooling thin bread is assumed to be described by Newton s cooling/warming law, and if breads after one minute in the cooling room experientially have the temperature 30 o C? It can be considered reasonable to assume that the bread s relatively negligible heat content does not significantly rub the air temperature in the cooling room. Om du föredrar uppgifterna formulerade på svenska, var god vänd på bladet.

MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA316 Differentialekvationer, grundkurs Datum: 2018-03-21 Skrivtid: 5 timmar Hjälpmedel: Skrivdon, linjal Denna tentamen består av åtta stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 5 poäng. För godkänd-betygen 3, 4 och 5 krävs erhållna poängsummor om minst 18, 26 respektive 34 poäng. För ECTS-betygen E, D, C, B och A krävs 18, 20, 26, 33 respektive 38. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. dx/dt 2x + 3y 1. Bestäm den allmänna lösningen till det linjära systemet dy/dt = 3x z. dz/dt 6y + 2z 2. Bestäm till differentialekvationen 2y + (y ) 2 = 0 den lösning vars graf i punkten med koordinaterna (1, 0) har tangenten x + y = 1. 3. Bestäm till differentialekvationen y = x/y + 2y/x den lösning som satisfierar villkoret y(1) = 2. Identifiera och ange även existensintervallet för lösningen. 4. Bestäm, uttryckt som en potensserie i x, lösningen till begynnelsevärdesproblemet (x + 2)y 3xy + y = 0, y(0) = 3, y (0) = 2 i en omgivning till 0. Specificera explicit i serielösningen termerna upp till och med åtminstone grad 5. 5. Bestäm alla stationära punkter till systemet ( ) ( ) dx/dt y = 2 xy dy/dt 6 + x y 2, och klassificera var och en av dem som instabil, stabil eller asymptotiskt stabil. 6. Bestäm, för x > 0, den allmänna lösningen till differentialekvationen xy + (2x 3)y + (x 3)y = 0. 7. Lös begynnelsevärdesproblemet y(0) = 1, y (t) + 3y(t) = δ(t 2) + { 0, 0 t < 4, 1, 4 t < 7, 0, t 7. där δ är Diracs deltafunktion (eg. Dirac-distributionen). 8. Nybakade tunnbröd som direkt efter gräddningen har temperaturen 90 o C hängs upp luftigt för avsvalning i ett välventilerat rum där lufttemperaturen genom diverse teknik hålls konstant vid 10 o C. Inpaketering av tunnbröd sker när de har svalnat till 15 o C. Hur lång tid tar det från det att ett tunnbröd har färdiggräddats till dess att det kan paketeras om temperaturen hos ett avsvalnande tunnbröd antas kunna beskrivas med Newtons avkylnings- och uppvärmningslag, och om bröd efter en minut i avsvalningsrummet erfarenhetsmässigt har temperaturen 30 o C? Det kan anses rimligt att antaga att brödens relativt försumbara värmeinnehåll ej nämnvärt rubbar lufttemperaturen i avsvalningsrummet. If you prefer the problems formulated in English, please turn the page.

MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson Examination TEN1 2018-03-21 EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA316 Differential Equations, foundation course EVALUATION PRINCIPLES with POINT RANGES Academic Year: 2017/18 Maximum points for subparts of the problems in the final examination 1. XX(tt) = cc 1 1 1 2 1 ee tt + cc 2 0 3 ee 2tt + cc 3 3 1 6 ee 3tt 1p: Correctly found one of the eigenvalues and the corresponding eigenspace 1p: Correctly found a second of the eigenvalues and the corresponding eigenspace 1p: Correctly found the third of the eigenvalues and the corresponding eigenspace 2p: Correctly compiled the general solution of the DES 2. yy = 2 ln 3 xx 2 1p: Correctly worked out the substitution yy (xx) = uu(yy(xx)) and correctly found that the DE can be divided into two separate DE:s where yy (xx) = 0 can be disregarded since it contradicts the initial value yy (1) = 1 1p: Correctly solved the remaining (linear) DE for u 1p: Correctly adapted u to the initial value uu(yy(1)) = yy (1) 1p: Correctly solved the (separable) DE for yy 1p: Correctly adapted y to the initial value yy(1) = 0 3. yy = xx 5xx 2 1 II EE = 1 5, 1p: Correctly identified the DE as either a homogeneous equation or a Bernoulli equation, and correctly worked out a suitable substitution, preferable y ( x) = xu( x) or 1 y ( x) = u( x) respectively 2p: Correctly solved the DE 1p: Correctly found the solution of the IVP 1p: Correctly found the interval of existence 4. yy = 3 + 2xx + 3 4 xx2 + 5 24 xx3 + 5 48 xx4 + 1 96 xx5 + 1p: Correctly worked out the derivatives of the power series assumption for the solution, and correctly inserted all terms into the DE 1p: Correctly shifted the indices of summation of the series so that the sum of the series are brought into one series, and correctly identified the iteration relations for the coefficients of the power series of the solution 1p: Correctly adapted to the initial values 2p: Correctly found the terms up to at least order 5 5. PP 1 : ( 6,0) is an unstable SP PP 2 : ( 2, 2) is an unstable SP PP 3 : (3,3) is an asymptotically stable SP 2p: Correctly found the stationary points of the nonlinear system of differential equations 1p: Correctly classified one of the stationary points 1p: Correctly classified one more of the stationary points 1p: Correctly classified the last of the stationary points 1 (2)

6. yy = CC 1 ee xx + CC 2 xx 4 ee xx 7. yy = ee 3tt + ee 3(tt 2) UU(tt 2) + 1 1 3 ee 3(tt 4) UU(tt 4) 1 1 3 ee 3(tt 7) UU(tt 7) 1p: Correctly found one solution of the DE 2p: SCENARIO 1: Correctly found one more solution of the DE such that the two solutions constitute a linear independent set of solutions SCENARIO 2: Correctly performed a reduction of order in the DE, and correctly solved the reduced DE 2p: Correctly compiled the general solution of the DE 1p: Correctly Laplace transformed the differential equation 1p: Correctly prepared for an inverse transformation 1p: Correctly inverse transformed the terms corresponding to the initial value and to the Dirac distribution 2p: Correctly inverse transformed the remaining terms 8. 2 minutes 1p: Correctly formulated a DE for the temperture T (counted in o C) of the thin bread at time t (counted in minutes) of the cooling process 1p: Correctly solved the DE 2p: Correctly adapted the solution of the DE to the given conditions 1p: Correctly found that the thin bread has temperature 15 o C after 2 minutes of cooling 2 (2)

2024 © DocPlayer.se Sekretesspolicy | Användarvillkor | Kontakta oss