2004-12-09 Enaxlig drag/tryck & skjuvning Anders Ekberg Hållfasthetslära Sammanfattning Anders Ekberg Ekvationsnummer hänvisar till Hans Lundh, Grundläggande Hållfasthetslära, Stockholm, 2000 Denna sammanfattning får användas på tentan på egen risk. Jag reserverar mig för ev. skrivfel och tvetydiga formuleringar 1.0 Enaxlig drag/tryck & skjuvning 1.1 Statiskt bestämda system Frilägg (inför stödkrafter) Beräkna stödreaktioner med jämvikt Beräkna snittkrafter Spänning och töjning fås ur (2-5), resp. Hookes lag (2-13) (för elastiskt material) Eventuell termisk last hanteras med ekvation (5-3) Deformation fås genom att integrera töjning över verkande längd. Specialfall (2-15). 1.2 Statiskt obestämda system (improviserad kraftmetod) Frilägg (inför stödkrafter) Inför en av stödreaktionerna som (statiskt övertalig) last Beräkna övriga stödreaktioner med jämvikt Bestäm den införda (statiskt övertaliga) lasten m.h.a. deformationsvillkor (typiskt förskjutning = 0) Fortsätt enligt avsnitt 1.1 1.3 Stångens differentialekvation Används i fall med komplicerad last, speciellt då förskjutning söks. DE för rent drag/tryck (3-7) och (3-8) Med termisk last (5-4) 1.4 Ren skjuvning Medelskjuvspänning enligt (3-15) Skjuvtöjning enligt (3-19) 2.0 Materialrespons 2.1 Enaxlig elasticitet Hookes lag (2-13) Hållfasthetslära Sammanfattning 1 av 7
2004-12-09 Balkteori Anders Ekberg Hookes lag i skjuvning (3-21) Tvärkontraktionstalet (3-11) Samband mellan E och G (3-22) Respons av termisk last (5-3) 2.2 Fleraxlig elasticitet 2.2.1 Spännings- och töjnings-tensorn 9 spännings- / töjningskomponenter enligt (9-11) och (9-138) Symmetri hos skjuvspänningar (och skjuvtöjningar): τ xy = τ yx, etc. Detta ger 6 oberoende spännings-/töjningskomponenter. 2.2.2 Spänningar på snittyta Normalspänning (9.30) Skjuvspänning (9-31) eller mer förståeligt ur exempel 34 2.2.3 Huvudspänningar (9-39) med koefficienter enligt (9-40) Specialfall: (9-49) Numreringskonvention (9-41) Största skjuvspänning (9-79) 2.3 Enaxligt elastiskt ideal-plastiskt σ < : Hookes lag σ s Högre last: σ = σ s 2.3.1 Flytlastförhöjning Generellt (5-8) Vridning (6-25). Specialfall: (6-26) Böjning (7-99) 2.4 Effektivspänningar Beskriver ett fleraxligt spänningstillstånd med ett värde (norm). Plasticitet antas när effektivspänningen uppgår till (den effektiva) flytspänningen. von Mises effektivspänning: (12-4) eller (12-6) Trescas effektivspänning: (12-14) 3.0 Balkteori 3.1 Konventioner Används följande konventioner på kraft-/deformations-riktningar och stödkrafter så kommer de samband som ges i boken att stämma. 2 av 7 Hållfasthetslära Sammanfattning
2004-12-09 Balkteori Anders Ekberg Last och snittstorheter enligt figur 46 Stödreaktioner enligt tabell 2 (sid 68) och tabell 3 (sid 96) Deformationsriktningar enligt figur 45 För elemantarfall i utdelad kopia gäller de riktningskonventioner som är inritade i elementarfallen. 3.2 Beräkning av snittkrafter 3.2.1 Statiskt bestämda balkar Frilägg och inför stödreaktioner Beräkna stödreaktioner m.h.a. jämvikt Bestäm snittkrafter genom att snitta och använda jämvikt 3.2.2 Statiskt obestämda balkar (improviserad kraftmetod) Frilägg och inför stödreaktioner Ansätt statiskt övertaliga stödreaktioner som okända krafter Använd deformationsvillkor för att lösa ut statiskt övertaliga krafter (typiskt fås deformationerna m.h.a. elementarfall) Beräkna resterande stödreaktioner m.h.a. jämvikt Bestäm snittkrafter genom att snitta och använda jämvikt 3.2.3 Elastiska linjens ekvation (balkens diffekvation) Används typiskt då lasten är komplicerad, speciellt för att bestämma deformationer Då böjmoment är känt: (7-65) Generellt: (7-69) Samband mellan last, tvärkraft, böjmoment ges av (7-1) (7-3). Detta kräver snitt mot positiv koordinatriktning 3.3 Bestämning av spänningar 3.3.1 Normalspänningar Böjning i en riktning: (7-26) Böjning i två huvudaxelriktningar: (7-91) 3.3.2 Skjuvspänningar Medelskjuvspänning (över snittbredden) fås av (7-48). Här är b snittbredden. S A beskrivs nedan. Notera att τ xy = τ yx, o.s.v., vilket innebär att skjuvspänningen i tvärsnittet svarar mot en skjuvspänning i balkens längsriktning (se figur 62). Det är denna man dimensionerar för när man t.ex. beräknar spikförband. Maximal böjskjuvspänning uppstår i tyngdpunktslinjen. 3.3.3 Sektionskonstanter Tyngdpunkt enligt (7-34), se även figur 55 (hävstångsanalogi) Hållfasthetslära Sammanfattning 3 av 7
2004-12-09 Vridning Anders Ekberg Tyngdpunkten ligger alltid på symmetrilinje om sådan finns. Areatröghetsmoment (yttröghetsmoment) enligt (7-35). Enklare beräkning fås med elementarfall för sektionskonstanter. Notera att vad som är höjd respektive bredd beror av böjriktningen. Areatröghetsmoment för sammansatta tvärsnitt enligt (7-42) där det skall noteras att beräknas i böjriktningen (tänk hävstångseffekt) a i Statiskt moment SA enligt (7-49). Enklare variant: Ta den avskjuvade arean och multiplicera den med avståndet mellan den avskjuvade areans tyngdpunkt och hela tvärsnittets tyngdpunkt. Detta avstånd tas vinkelrät mot böjaxeln 4.0 Vridning 4.1 Skjuvcentrum / Vridcentrum Om tvärkraftens verkningslinje går igenom skjuvcentrum utsätts balken för ren böjning (se avsnitt 16.2) Vridmomentet beräknas m.a.p. vridcentrum Om symmetrilinje finns i tvärsnittet, så ligger både skjuvcentrum och vridcentrum på denna För linjärt elastiskt material sammanfaller vrid- och skjuvcentrum 4.2 Pålagt vridande moment Samband mellan överförd effekt och vridande moment ges av (6-1) 4.3 Snittmoment 4.3.1 Statiskt bestämda konstruktioner Frilägg och inför stödreaktion Beräkna stödreaktion m.h.a. jämvikt Bestäm snittmoment genom att snitta och använda jämvikt 4.3.2 Statiskt obestämda konstruktioner (improviserad kraftmetod) Frilägg och inför stödreaktioner Ansätt statiskt övertaliga stödreaktioner som okända vridmoment Använd deformationsvillkor för att lösa ut statiskt övertaliga krafter (typiskt att förvridningen är noll) Beräkna resterande stödreaktion m.h.a. jämvikt Bestäm snittmoment genom att snitta och använda jämvikt 4.4 Spänningar, töjningar och deformationer 4.4.1 Tunnväggiga cirkulära tvärsnitt Skjuvspänning enligt (6-4) 4 av 7 Hållfasthetslära Sammanfattning
2004-12-09 Knäckning Anders Ekberg Förvridning enligt (6-6). Notera att detta är ett specialfall. I allmänna fallet får man integrera fram förvridningen, jmfr enaxligt drag/tryck. 4.4.2 Tjockväggiga cirkulära tvärsnitt Skjuvspänning enligt (6-13) Förvridning enligt (6-11). Notera att detta är ett specialfall. I allmänna fallet får man integrera fram förvridningen, jmfr enaxligt drag/tryck. 4.4.3 Öppna tunnväggiga tvärsnitt Maximal skjuvspänning enligt (16-63) och (16-64), vilka kan skrivas som 1 3 τ max = ------------- a i b i (där i indikerar alla ingående rektangulära strimlor). Se även 3b max exempel 52. Förvridning per längdenhet: i M v ϑ = -------- = GK 3M ---------------------- v 3 G a i b i i 4.4.4 Slutna tunnväggiga tvärsnitt Maximal skjuvspänning enligt (16-69) med vridmotståndet från (16-70). Förvridning per längdenhet: ϑ = M v ( GK) (16-61, första likheten) med K enligt (16-74), vilken kan skrivas som K = ( 4A 2 ) i L ---- i h i 5.0 Knäckning 5.1 Eulers knäckfall Fem enkla geometrier enligt figur 80 Knäcklaster enligt (8-19), (8-27), (8-39), (8-48) och (8-49). Eulers knäckfall kan användas som extremfall för mer generella situationer 5.2 Andra ordningens teori och allmän knäckningsanalys Differentialekvation enligt (8-63) med lösning för rent axiell last enligt (8-66) Samband mellan horisontell kraft och normalkraft, samt vertikal kraft och tvärkraft enligt (8-59). Detta används för att lösa ut konstanter i lösningen till 2:a ordningens DE Kritisk last (för fall med rent axiell last) fås som den last som ger en icke trivial lösning av 2:a ordningens DE. Typiskt sätts ekvationerna för att finna lösningskonstanterna upp på matrisform C k = 0 och icke-trivial lösning fås ur det(c)=0. Hållfasthetslära Sammanfattning 5 av 7
2004-12-09 Utmattning Anders Ekberg 6.0 Utmattning 6.1 Cyklisk last Nomenklatur för cyklisk last framgår av figur 151, figur 152, samt ekvationerna (13-1) till (13-4) 6.2 Dimensionering för ändlig livslängd S-N (eller Wöhlerkurva) enligt figur 154 ger samband mellan spänningsamplitud (alt. omfång) och utmattningslivslängd (i antal cykler till brott). Delen mellan (ungefär) 10 3 till 10 6 cykler är (ungefär) linjär i ett lin-log (eller log-log) diagram 6.3 Dimensionering för oändlig livslängd Utmattningsgränsen är den spänningsamplitud för vilken Wöhlerkurvan blir horisontell Utmattningsgränsen för växlande och pulserande last (se figur 156) finns ofta tabellerad. För fall däremellan kan man använda ett Haighdiagram, se figur 157 för att få med inverkan av mittspänningen 6.3.1 Reduktion av utmattningsgräns Utmattningsgränsen är en känslig parameter och olika faktorer kan sänka den rejält. För att hantera detta finns reduktionsfaktorer. Se beräkningsgång i figur 163. Teknologiskt volymsberoende ger reduktionsfaktor λ enligt figur 158 Anvisningsverkan: Spänningskoncentrationsfaktorer, K t, enligt figur 159 (eller elementarfall), samt kälkänslighetsfaktorn q enligt figur 160 ger anvisningsfaktorn K f enligt (13-12) Geometriskt volymsberoende (hanterar främst gradienteffekter, men även risk för materialdefekter) ger reduktionsfaktor enligt figur 161 Ytråheten ger reduktionsfaktorn K r enligt figur 162. I figurerna saknas texten 1 K r på vertikala axeln och R m (d.v.s. brottgränsen) i MPa på horisontella axeln i figur a, samt R a i figur b. Reduktionsfaktorerna ger reducerade utmattningsgränser för växlande och pulserande last enligt (13-9) och (13-10). De reducerade utmattningsgränserna kan användas för att konstruera ett reducerat Haigh-diagram, se figur 164 6.4 Spänningskoncentrationer Som nämndes ovan sänker spänningskoncentrationer utmattningshållfastheten p.g.a. en lokal spänningshöjning (därmed sänks naturligtvis även lastnivån vid vilken första plasticitet uppkommer). Spänningskoncentrationsfaktorer definieras enligt (13-11). Observera att definitionen av nominell spänning inte alltid är självklar Spänningskoncentrationsfaktorer för vanliga geometrier/laster finns tabellerade K d 6 av 7 Hållfasthetslära Sammanfattning
2004-12-09 Brottmekanik Anders Ekberg 7.0 Brottmekanik Definitionen av spänningsintensitetsfaktorn framgår av (14-14) Brottkriteriet vid (linjärelastisk) brottmekanisk analys ges av (14-8) För att detta skall vara ett giltigt (läs hyfsat exakt) kriterium måste villkoret (14-16) vara uppfyllt. Här är l plåttjocklek, spricklängd, samt avståndet mellan sprickspets och fri kant (i sprickans längsriktning). Spänningsintensiteter för vanliga geometrier/laster finns tabellerade i utdelade elementarfall. Hållfasthetslära Sammanfattning 7 av 7