Gränsvärdesberäkningar i praktiken - ett komplement till kapitel i analsboken Jonas Månsson När man beräknar gränsvärden använder man sig av en rad olika strategier beroende på det givna problemet. Avsikten med dessa sidor är att ge eempel på de viktigaste av dessa strategier. Det vi kommer att titta närmare på är I. Gränsvärden som vi kan bestämma direkt II. Standardgränsvärden då III. Standardgränsvärden då IV. Instängning av funktioner V. Gränsvärden av tpen a I. Gränsvärden som vi kan bestämma direkt När vi arbetar med gränsvärden kan vi förutsätta att vi känner till gränsvärdena för våra vanliga elementära funktioner, t.e. e, ln, 3,,... Vi behöver således inte bevisa dessa gränsvärden, utan kan ange dem direkt. Jag rekommenderar dock att man gör en snabb skiss av grafen till funktionen i fråga som stöd för sin slutsats. Låt oss titta på ett eempel: Eempel : Genom att skissera graferna nedan ser vi att ln, e,, arctan π. π
Vi kan också använda oss av olika räkneregler för gränsvärden (se sid.36 i boken). Dessa räkneregler säger väsentligen att vi naturligt kan kombinera gränsvärden av elementära funktioner med de fra räknesätten och funktionssammansättning. Eempel : Vi beräknar några gränsvärden: ln + e + då (arctan) ( π ) π 4 då 3 3 arctan + 5 3 π + 5 3 då Här stöter vi inte på några konstigheter, utan gränsvärdena blir precis vad vi tror att de ska bli. Observera att uttrck som är skrivna inom citationstecken inte är formellt korrekta, utan bara uttrck för hur man ska tänka vid gränsvärdesberäkningen. (Eempelvis finns ingenting i matematiken som skrivs π + 5, men vi inser att detta uttrck totalt sett kommer att gå mot oändligheten.) Alla elementära funktioner som vi arbetar med är kontinuerliga, vilket betder att om man vill beräkna gränsvärdet då går mot ett tal, så sätter man helt enkelt in talet i funktionsuttrcket. Eempel 3: ln( + ) ln( + ) ln 3 då. + arctan + arctan + π 4 då. Hade det alltid varit så här lätt att beräkna gränsvärden hade allting varit frid och fröjd. Tvärr uppstår det situationer där man inte kan resonera så enkelt som i eemplen ovan. Eempel 4: Beräkna gränsvärdena e + ln 3e + ln( + ) och. Vi börjar med det förstnämnda och provar att göra en direkt beräkning av gränsvärdet: e + ln 3e + + + (?) Här stöter vi på ett problem. Hur ska vi egentligen tolka? Uttrcket indikerar att både täljare och nämnare går mot oändligheten, men vi har ingen aning hur snabbt de går mot oändligheten jämfört med varandra. Här går det inte att komma längre med direkta metoder, utan vi måste använda oss av standardgränsvärden (se II). Låt oss prova nästa gränsvärde: ln( + ) ln (?)
Även här stöter vi på problem då vi inte vet hur vi ska tolka. Vi måste använda oss av andra metoder (se III). Anmärkning: Uttrcken och ovan är eempel på farliga uttrck där vi inte kan säga något direkt om gränsvärdet. Andra eempel på farliga uttrck är,,,,. Får vi något av dessa uttrck kan vi inte beräkna gränsvärdet direkt, utan måste använda oss av någon annan metod. (Uttrcket a, där a är en konstant, är lite speciellt och kommer särskilt behandlas i avsnitt V.) II. Standardgränsvärden då Om man försöker bestämma ett gränsvärde direkt och kommer fram till ett farligt uttrck, t.e., får man i stället lösa problemet genom att försöka hänvisa till redan bevisade gränsvärden, s.k. standardgränsvärden. De standardgränsvärden vi kan använda finns beskrivna på sid.55 56 i boken. Vi ska nu försöka illustera principen för att använda standardgränsvärden då. De standardgränsvärden som används i eemplen nedan är a log α då () α då () a Dessa gränsvärden säger sammantaget att varje eponentialfunktion väer snabbare mot oändligheten än varje annan potensfunktion, som i sin tur väer snabbare mot oändligheten än varje annan logaritmfunktion. Eempel 5: Beräkna gränsvärdet e + ln 3e +. Vi såg i eempel 4 att detta gränsvärde inte kan beräknas direkt, då det är av tpen. Men nu vet vi att eponentialfunktioner väer snabbare mot oändligheten än både potensfunktioner och logaritmer, vilket innebär, för stora värden på, att Gränsvärdet borde därför vara /3. e + ln 3e + e 3e 3, Detta fungerar dock inte som ett helt övertgande argument, då vi vet att man i matematiken måste hänvisa till bevisade satser. För att kunna använda standardgränsvärdena ovan måste uttrcket vara eakt på formen i () och (). Vi använder därför följande allmänna princip för att skriva om funktionen: Dividera både täljare och nämnare med nämnarens dominerande term.
Med dominerande term menas den term som väer snabbast mot oändligheten, och nämnarens dominerande term i vår funktion är e. Vi utför divisionen: e + ln 3e + + ln e 3 + Nu kan vi använda standardgränsvärde () på uttrcket e, och det följer att e då. Visserligen så vet vi att logaritmfunktioner väer väldigt mcket långsammare än eponentialfunktioner, så det borde vara uppenbart att ln då. Ska man dock vara riktigt e bråkratisk, så finns det faktiskt inget standardgränsvärde som säger det. Man kan dock skriva om uttrcket genom att slänga in en godtcklig potensfunktion (t.e. ) och på så sätt kunna använda standardgränsvärde () och (): e. ln e ln då. e (Riktigt så bråkratiska behöver dock inte ni vara; det hade gått bra att säga ln e direkt.) Nu återstår det bara att sammanfatta våra resultat: e + ln 3e + + ln e + 3 + 3 + 3 e då. Eempel 6: Beräkna gränsvärdet + (ln) 5 3 + 7. Här är nämnarens dominerande term 3, och vi dividerar täljare och nämnare med den: + (ln) 5 3 + 7 + + 7 Här skulle vi vilja tillämpa standardgränsvärde () på termen, men problemet är att logaritmen i täljaren är upphöjd med fem. För att få använda gränsvärdet skriver vi först om kvoten 3 som en enda potens: ( ) (ln) 5 5 ln 5 då. 3 3/5 Sammanfattningsvis får vi nu (ln )5 3. (ln )5 + (ln) 5 3 + 7 + + 7 (ln )5 3 + + då.
III. Standardgränsvärden då Hur arbetar man med standardgränsvärden då? Nedan finns ett antal eempel för att illustrera principerna. De standardgränsvärden som används i eemplen är (Observera att alla gränsvärdena ovan är av tpen.) sin då (3) e då (4) ln( + ) då (5) Eempel 7: Beräkna gränsvärdet sin. Här ser det ut som om vi skulle kunna använda standardgränsvärde (3) direkt. Men observera att detta inte går eftersom vi har innanför sinusfunktionen i täljaren och bara i nämnaren. Som påpekades ovan - för att få använda ett standardgränsvärde måste vår funktion överensstämma eakt med denna. Däremot kan vi, genom att förlänga med, skriva om funktionen som sin sin vilket gör att vi nu har samma uttrck (d.v.s. ) i både täljare och nämnare. Vi gör nu en s.k. substitution och kallar för t. sin sin sin t t Observera att eftersom t så kommer t att gå mot noll när gör det, och nu kan vi använda standardgränsvärde (3). Skriver vi ut hela lösningen får vi ( ) sin sin t sin t då t då t Eempel 8: Beräkna gränsvärdet e 3. Här vill vi gärna använda standardgränsvärde (4), men ser att täljare och nämnare är omkastade. Detta kan vi dock lätt fia genom omskrivningen e 3 e 3.
Precis som i eempel 7, för att få 3 både i täljare och nämnare, förlänger vi med 3 och gör substitutionen t 3. Sen kan vi använda standardgränsvärde (4) utan problem: e 3 ( ) t 3 e 3 3 e3 t då 3 et 3 då. 3 3 t Eempel 9: Beräkna gränsvärdet ln( + 3) ln( + ). I detta eempel skulle vi vilja använda standardgränsvärde (5). Problemet är att vi nu inte har något i nämnaren utan ett logaritmuttrck. Men ett sådant kan vi, genom en finurlig omskrivning, trolla fram på följande sätt: ln( + 3) ln( + ) ln( + 3) ln( + ) Nu har vi två stcken kvoter som vi kan beräkna gränsvärdet av. Vi använder metoderna i eempel 7 och 8 ovan. Först den ena kvoten: ( ) ln( + 3) ln( + 3) t 3 ln( + t) 3 3 3 3 då. 3 t då t Sen tar vi den andra: ln( + ) ln(+) ln(+) ( t t då ) ln(+t) t då. Allra sist kombinerar vi våra uträkningar: ln( + 3) ln( + ) ln( + 3) ln( + ) 3 3 då. Eempel : Beräkna gränsvärdet e sin sin. Det är lockande att försöka använda standardgränsvärde (4) här. Vi ser dock att vi har sin i stället för i uttrcket. Låt oss fundera lite på vad standardgränsvärde (3) säger. Den upplser oss om att kvoten mellan sin och närmar sig då blir litet. Detta innebär speciellt att sin är ungefär lika stort som för små värden på. Det ligger därför nära till hands att prova substitutionen t sin. Då kommer nu t sin sin. e sin sin ( t sin t sin sin då ) et t då
IV. Instängning av funktioner Ibland är det dock inte möjligt att använda metoden med standardgränsvärden. Ett annat sätt att bestämma gränsvärden är att stänga in funktionen mellan två andra funktioner, vars gränsvärden vi kan beräkna. Då kan vi också dra slutsatser om gränsvärdet av den instängda funktionen. Eempel : Beräkna gränsvärdet Funktionen sin sin. är en sinusfunktion, och därför vet vi att sin. Eftersom alltid är positiv kan vi dra slutsatsen att sin för alla värden på. Här ser vi att vår funktion är instängd mellan funktionerna och, och båda dessa funktioner går mot noll då. Det finns då inget annat alternativ än att vår funktion också närmar sig noll, i.e. sin då. Denna instängningsprincip fungerar även då, vilket illustreras i följande eempel: Eempel : Låt oss tänka en situation där vi lckats visa att funktionen f() uppfller + + f() + + för alla större än något visst tal (t.e. ). Vad blir då f()? Vi dividerar med nämnarens dominerande term (i.e. ) i båda funktionsuttrcken och får + + f() + + Nu ser vi att f() är instängd mellan två funktioner som båda går mot då. Alltså kan vi dra slutsatsen att även f() då. Denna situation illusteras i figuren nedan: f()
V. Gränsvärden av tpen a I fallet a, där a är en konstant, får man iaktta etra försiktighet. Visserligen kan detta uttrcka ett väldigt stort tal, vilket tder på att vi ska tolka det som oändligheten, men det kan också uttrcka minus oändligheten om nämnaren är negativ samtidigt som den närmar sig noll. (Tecknet på a spelar givetvis också roll.) Låt oss studera några eempel: Eempel 3: Beräkna. Detta är ett gränsvärde av tpen. Låt oss först betrakta fallet >. När då närmar sig, d.v.s. närmar sig från höger på tallinjen, är nämnaren hela tiden positiv, vilket betder att ska tolkas som +. Däremot om < och därför närmar sig från vänster på tallinjen tolkar vi uttrcket som. Gränsvärdet kan inte både vara + och och slutsatsen blir att gränsvärde saknas då. Däremot eisterar de s.k. ensidiga gränsvärdena + +, +. Eempel 4: Beräkna de ensidiga gränsvärdena då för f(). Med formella gränsvärdesräkningar får vi nu direkt { f() + + + då + + då.