Matematisk statistik

Relevanta dokument
helst. poäng. (betyg Fx). Vem som Komplettering sker c:a Uppgift Uppgift Uppgift veta hur vänd! Var god

SYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER GRUNDLÄGGANDE BEGREPP

KURVOR OCH PÅ PARAMETER FORM KURVOR I R 3. En kurva i R 3 beskrivs anges oftast på parameter form med tre skalära ekvationer:

Bilaga 6.1 Låt oss studera ett generellt andra ordningens tidsdiskreta system

Betygsgränser: För (betyg Fx).

TENTAMEN. Kursnummer: HF0021 Matematik för basår I. Rättande lärare: Niclas Hjelm Examinator: Niclas Hjelm Datum: Tid:

FOURIERSERIER. Definition 1. (Trigonometrisk serie) Ett utryck av följande form. är en trigonometrisk serie.

Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, betecknar temperaturen i punkten x vid tiden t.

============================================================ ============================================================

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN

Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic

1 av 10. (sys1) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd:

=============================================== Plan: Låt vara planet genom punkten )

6 Strukturer hos tidsdiskreta system

Tentamen TEN1, HF1012, 16 aug Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Följande begrepp används ofta vid beskrivning av ett statistiskt material:

TENTAMEN Datum: 16 okt 09

Matematisk statistik

INGENJÖRSMATEMATISK FORMELSAMLING

KONTROLLSKRIVNING 3. Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

I detta avsnitt ska vi titta på den enklaste formen av ekvationer de linjära.

Tentamen 1 i Matematik 1, HF sep 2016, kl. 8:15-12:15

Vilka varor och tjänster samt länder handlar svenska företag med? - och varför?

Datum: xxxxxx. Betygsgränser: För. Komplettering sker. Skriv endast på en. finns på omslaget) Denna. Uppgift Låt u och w. Uppgift 2x. Uppgift.

I den här stencilen betraktar vi huvudsakligen reella talserie, dvs serier vars termer ak

i) oändligt många lösningar ii) exakt en lösning iii) ingen lösning?

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

Ekvationen (ekv1) kan beskriva vågutbredning, transversella svängningar i en sträng och andra fysikaliska förlopp.

Tentamen 1 i Matematik 1, HF jan 2016, kl. 8:15-12:15

Korrelatio n : Korrelation Korrelation är samma sak som faltning med. Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 12

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

1 av 12. (sys1) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd:

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 onsdag 7 januari 2015, kl

verkar horisontellt åt höger på glidblocket. Bestäm tangens för vinkeln så att

a) Beräkna arean av triangeln ABC då A= ( 3,2,2), B=(4,3,3) och C=( 5,4,3).

Här finns något för alla!

Heureka Fysik 2, Utgåva 1:1

1. M öt et s öp pn an d e S ve n fö r k la r a r mö t et ö p p nat k lo c k a n i me d le ms k o nt o r et.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

LÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 6

Ur en kortlek på 52 kort väljer man ( utan återläggning och utan hänsyn till ordning) slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten för att få

Tentamen TEN1, HF1012, 29 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic

HOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

Räta linjer: RÄTA. Därför PM. Eftersom. x y z. (ekv1) Sida 1 av 11

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN kl

Uppgift 2. För två händelser A och B gäller P(A B)=0.5, P ( A ) = 0. 4 och P ( B

KONTROLLSKRIVNING 2 Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: 14 apr 2014 Skrivtid: 13:15-15:00

NOLLRUMMET och BILDRUMMET till en linjäravbildning. MATRISENS RANG. DIMENSIONSSATSEN.

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ)

Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, temperaturen i punkten x vid tiden t.

S0005M V18, Föreläsning 10

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

Förslag till övningsuppgifter FN = Forsling/Neymark, K = Kompendiet Vektorer, linjer och plan, ÖT = Övningstentamen

Tentamen i Envariabelanalys 1

Interpolation. Interpolation. Teknisk-vetenskapliga beräkningar 1. Några tillämpningar. Interpolation. Basfunktioner. Definitioner. Kvadratiskt system

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Approximationen med den här metoden kallas minstakvadratmetoden.

Vilka varor och tjänster samt länder handlar svenska företag med? - och varför?

SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 6 Väntevärden Korrelation och kovarians Stora talens lag. Jörgen Säve-Söderbergh

Datum: 11 feb Betygsgränser: För. Komplettering sker. Skriv endast på en. finns på omslaget) Uppgift. Uppgift 2 2. Uppgift. Beräkna.

TENTAMEN Datum: 12 mars 07. Kurs: MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK 6H3000, 6L3000, 6A2111 TEN 2 (Matematisk statistik )

Kontrollskrivning 2 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: To Σ p P/F Extra Bonus

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007

TENTAMEN. Datum: 11 feb 2019 Skrivtid 8:00-12:00. Examinator: Armin Halilovic Jourhavande lärare: Armin Halilovic tel

Dagordning. Pågående planering Information om kommunalt VA Hur påverkar VA utbyggnaden fastighetsägaren? Information om avgifter mm Frågor

Matematisk statistik

Tentamen med lösningar i IE1304 Reglerteknik Måndag 16/

Värt att memorera:e-fältet från en punktladdning

0 x 1, 0 y 2, 0 z 4. GAUSS DIVERGENSSATS. r r r r. r r k ut ur kroppen

. Mängden av alla möjliga tillstånd E k kallas tillståndsrummet.

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E

Omtentamen med lösningar i IE1304 Reglerteknik Fredag 12/

Formelsamling. i= 1. f x. Andelar, medelvärde, standardavvikelse, varians, median. p = Stickprovsandel. Populationsandel

(sys1) Definition1. Mängden av alla lösningar till ett ekvationssystem kallas systemets lösningsmängd.

Ekvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.

jz j k k k k k k k kjz j k k j j k k k k j j

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Motion till LO-kongressen 2012 Allmän arbetsförsäkring

Tentamen TEN1, HF1012, 30 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Specifik ångbildningsentalpi (kj/kg) p. (bar)

Programmering Emme-makro rvinst_ic.mac version 2

Formler, grundläggande statistik

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12

( ik MATRISER ELEMENTÄRA RÄKNEOPERATIONER. Definition 1. Inom matematiken är en matris ett rektangulärt schema... a1

LINJÄRA AVBILDNINGAR AV PUNKTER OCH PUNKTMÄNGDER

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.

Härlighetens väg procession 4. Hur kan jag tro 8. Vi vänder oss till dig Gud förbön 10. Gud, när du bjuder till bordet beredelse 13

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 19 nov 07

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Tentamen i Linjär Algebra, SF december, Del I. Kursexaminator: Sandra Di Rocco. Matematiska Institutionen KTH

Folkets Parkskullen. Holmtebo. Gusum Vargbrogärdet. Ringarums Prästgård. Borg. Gryt Konvaljekullen. Öppet landskap med cykelavstånd till centrum.

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

VECKANS LILLA POSTKODVINST á kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 270 lottnummer kronor vardera:

TILLÄMPNINGAR AV DIAGONALISERING Beräkning av potenser A n. Rekursiva samband (s.k. differensekvationer).

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

TENTAMEN Datum: 14 april 09 TEN1: Omfattar: Differentialekvationer, komplexa tal och Taylors formel Kurskod HF1000, HF1003, 6H3011, 6H3000, 6L3000

Transkript:

Teme TEN, HF, -5-4 Memis sisi Kusod HF Sivid: 8:5-:5 Läe: Ami Hlilovic Hjälmedel: Bifog fomelhäfe "Fomle och belle i sisi " och miiäe v vile som hels Siv m och esoumme å vje bld De emesl få ej behålls efe emesillfälle u läms i illsmms med lösig Poägfödelig och begsgäse: Teme ge miml oäg Begsgäse: Fö beg A, B, C, D, E ävs, 4,, 6 eseive oäg Komleeig: oäg å eme ge ä ill omleeig beg F Vem som h ä ill omleeig fmgå v bege F å MINA SIDOR Komleeig se c: vå veco efe eme ä äd Om omleeig ä godäd oes beg E, s oes F

Ugif B fö dem som ie l s Fö de vå hädelse A och B gälle PA 8 P A B c 6 och P A c B Ri mägddigm och besäm P A B b P A B c Besäm och föl om A och B ä obeoede hädelse Ugif B fö dem som ie l s E oiuelig sosis vibel X h födeligsfuioe F 8 om < Besäm ähesfuio b medie och c väeväde ill sv X Ugif B fö dem som ie l s Vie ehe: gm v e ble ä e sosis vibel med medelväde och sdvvielse Beä med hjäl v cel gäsvädessse solihee blee väge högs 5 gm Ugif 4 5 E sosis vibel X h fevesfuioe f / c, < < fö övig Vis mee c h väde c5/ b Beä solihee P < X < 4 c Besäm väeväde, medie och vise ill X Ugif 5 5 Lå Y v summ v omlfödelde sv Y X L X X som h väeväde μ EX och sdd vvielse σ DX Beä solihee P58< Y < 6 b Besäm le så P Y > 8

Ugif 6 5 E fose vill jämfö vå msie A och B med vseede å e viss vliesvibel hos de illvede ehee Fö båd msie de vibel s v omlfödelde med oäd sddvvielse M h 4 dg i d illve e l ehee med msie A vvid m få följde obsevioe A 5 4 M h 6 dg i d illve ehee med msie B vvid m få följde obsevioe B 4 Age e 95% ofidesievll fö m A mb dä A m och m B ä medelväde fö vliesvibel hos de båd msie K m med 95% solihe åså de fis silld mell msie? Ugif 7 Regessiosoefficie Regessiosoefficie σ σ, dä σ och σ sddvvielse fö X och Y, väds som e må å hu s ä LINJÄRT smbd mell vible X och Y Bevis följde åsåede om egessiosoefficie : Om ue i, i ligge e å lije b och > es < då ä es Ugif 8 5 E ssem h i geomsi fel e å Reiosid ä eoeilfödeld och ssemes eiosid ä i geomsi måde Vid ä sseme i fuio Vi beec solihee fö ssem fuge vid idue och solihee fö ssem ie fuge vid idue Ri gfe med övegågsiesiee idsehe å b Besäm Q-mise som vis övegågsiesiee c Besäm de sioä solihesveo, dvs lös evioe Q d Besäm de sie solihesveo, dvs lös sseme Q, med vseede å, e Beä solihee sseme fuge vid idsmome å Lc ill

FACIT Ugif B fö dem som ie l s Fö de vå hädelse A och B gälle PA 8 P A B c 6 och P A c B Ri mägddigm och besäm P A B b P A B c Besäm och föl om A och B ä obeoede hädelse Lösig: A c B c A B A B c P A P A B P A B 8 P A B 6 P A B c c b P A B P A B P A B P A B 9 c A och B ä obeoede hädelse om och eds om P A B P A P B I vå fll gälle: P A B, c PB P A B P A B, däfö P A P B 4 Sluss: A och B ä INTE obeoede hädelse efesom P A B P A P B Sv: P A B b P A B 9 c EJ obeoede Ugif B fö dem som ie l s E oiuelig sosis vibel X h födeligsfuioe

F 8 om < Besäm ähesfuio b medie och c väeväde ill sv X Lösig: Amäig: De v e c fel i oigilvesioe dä sod Läe og häs ill de cfel i bedömig v eugif Tähesfuio ä f 4 F' 4 om > < b Medie ä lösige ill evioe F 5 8 8 F 5 6 6 598 4 4 c Väeväde μ f d d 4 4 4 d d Ugif B fö dem som ie l s Vie ehe: gm v e ble ä e sosis vibel med medelväde och sdvvielse Beä med hjäl v cel gäsvädessse solihee blee väge högs 5 gm Lösig: Lå X, v vie v blee Då gälle Cel gäsvädessse: Y X ä oimiv N μ, σ N, X X födeld 5 P Y 5 F5 Φ Φ5,99995 elig fomelbld Sv: P Y 5,99995 Ugif 4 5 E sosis vibel X h fevesfuioe f / c, < < fö övig

Vis mee c h väde c5/ b Beä solihee P < X < 4 c Besäm väeväde, medie och vise ill X Lösig: 5/ / Ae f d c d c 5/ 5 c c Ae c 5 4 5 5/ 4 5/ 5/ 5/ b P < X < 4 c [ / d 4 9 4 5 7 / 5 5 5 c Väeväde μ f d 5/ d 74 7 / 7 Medie ä lösig ill evioe 5 / 5/ d 5 5 /5 5 757858 Vise 5 7 / 5 f d μ d 7 5 5 σ 455 9 49 44 Ugif 5 5 Lå Y v summ v omlfödelde sv Y X L X X som h väeväde μ EX och sdd vvielse σ DX Beä solihee P58< Y < 6 b Besäm le så P Y > 8 Lösig: Y N μ, σ N6, N6,8944 födeld

6 6 58 6 P58 < Y < 6 F 6 F58 Φ Φ 8944 8944 Φ 8 Φ 6 868 67 85555 P Y > 8 ä evivle med 6 6 P Y 9 Φ 9,45 8944 8944 som ge 66 Sv: P Y 5,99995 Ugif 6 5 E fose vill jämfö vå msie A och B med vseede å e viss vliesvibel hos de illvede ehee Fö båd msie de vibel s v omlfödelde med oäd sddvvielse M h 4 dg i d illve e l ehee med msie A vvid m få följde obsevioe A 5 4 M h 6 dg i d illve ehee med msie B vvid m få följde obsevioe B 4 Age e 95% ofidesievll fö m A mb dä A m och m B ä medelväde fö vliesvibel hos de båd msie K m med 95% solihe åså de fis silld mell msie? Lösig: m s 857 α / m s 44 * s s σ 58 5% l fihes gde 4-6-8

Kofidesievll: m m α / * σ, m m α / * σ Efesom 4, 6, m m α / 5% α / 975 och 6 α / 8 få vi * α / 8 σ 56 4 6 Allså m m ± 55 Häv få vi fö m A mb följde ofidesievll: [54, 5 Efesom ievlle iehålle vi ie åså med 95% ofidesgd de fis silld mell msie? Sv Kofidesievll: [54, 5 Efesom ievlle iehålle m INTE åså de fis silld mell msie Ugif 7 Regessiosoefficie Regessiosoefficie σ σ, dä σ och σ sddvvielse fö X och Y, väds som e må å hu s ä LINJÄRT smbd mell vible X och Y Bevis följde åsåede om egessiosoefficie : Om ue i, i ligge e å lije b och > es < då ä es Lösig: Om ue i, i ligge e å lije b då gälle b Fös beä vi b b b och

[ [ b b σ [ Nu föel vi [ [ b b σ σ [ [ < > om ej def om om vd sulle beviss Ugif 8 5 E ssem h i geomsi fel e å Reiosid ä eoeilfödeld och ssemes eiosid ä i geomsi måde Vid ä sseme i fuio Vi beec solihee fö ssem fuge vid idue och solihee fö ssem ie fuge vid idue Ri gfe med övegågsiesiee idsehe å b Besäm Q-mise som vis övegågsiesiee c Besäm de sioä solihesveo, dvs lös evioe Q d Besäm de sie solihesveo, dvs lös sseme Q, med vseede å, e Beä solihee sseme fuge vid idsmome å Lösig:

b Q 6 6 c Lå, v de sioä solihesveo d v s de solihesveo som sisfie Q Då gälle i de gälle efesom, ä e solihesveo, och ii,, 6 6 Vi få sseme: ev 6 ev 6 ev Evio e ä ooioell med ev, däfö besämme vi, få de fös vå evioe Vi få :, Sv c De sioä veo ä s, d Vi subsiue, i evioe Q och få,, 6 6 6 ev 6 ev b sm ev c ev c gälle efesom, ä e solihesveo

Få ev c få vi som vi subsiue i ev fö få e diffeecil evio med obe fuio : 6 Efe föelig h vi följde evio med os oefficiee: 9 6 * Mosvde eisis evioe ill homoge dele ä 9 9 och dämed ä Y h 9 Ce de llmä lösige ill de homoge dele E iulä lösig få vi med hjäl v sse A efesom högelede i * ä, dvs e os Subsiuioe v A i * gö 9A A 6/ 9 / Allså / 9 Däfö Y Ce / h Begelsevilloe: Elig gde ä sseme i fuio vid Däfö Allså Ce / C / och e 9 Fö få väde vi och få e 9 Sv d, e 9, e 9 9* Sv e e 7