INLEDNING. Andreas Rahim

INLEDNING Många tycker att matten på högskoleprovet är svår. Ibland blir man frustrerad för att man inte förstår. Frustrationen gör ibland att man ger upp. Man övertygar sig själv att det är omöjligt. Men det är aldrig omöjligt. Jag är övertygad om att alla kan lära sig matte. Och att bli bra på matte. Med den här boken vill jag lära dig matte på ett sätt som jag tror är lättare att ta till sig. Matte bygger på att man inte har kunskapsluckor, därför är det viktigt att börja från den allra första början. Boken tar upp den matte som kommer på högskoleprovet och är uppdelad i tre delar. Den första delen tar upp den mest elementära matte - allt från plus och minus och gångertabellen till vad ett bråktal är. Den andra delen bygger vidare på allt som vi tagit upp i den första delen. I den tredje delen går vi ännu mer in på djupet och tar även upp hur man löser uppgifter från riktiga högskoleprov. Jag hoppas verkligen att du kommer att tycka att den här boken hjälper dig att bättre förstå matte och framförallt tycka att det är kul och känna att uppgifterna på högskoleprovet inte är så svåra! Jag vill också passa på att nämna min andra bok på ungefär 300 sidor i samma serie ( Högskoleprovsboken ) där du hittar utförliga och pedagogiska lösningar till många, många tidigare XYZ, KVA, DTK och NOG. Den är ett bra komplement till den här boken och stor hjälp när man fastnar på uppgifter och inte förstår hur man ska lösa dem. Den heter Högskoleprovsboken : den ultimata boken med lösningar till XYZ, KVA, DTK och NOG på högskoleprovet och går att hitta på bl a Bokus och Adlibris. Lycka till! Andreas Rahim

Så blir du bra på matten på högskoleprovet Det första, och kanske det viktigaste, du kan göra för att bli bra på matte är att sluta vara rädd för matte. Matte skiljer sig från många andra ämnen. Din prestation på högskoleprovet är direkt proportionell mot antalet och svårighetsgraden av uppgifter du löser innan högskoleprovet, vilket i sin tur är proportionellt mot tiden du ägnar åt att lära dig matte och räknar uppgifter på högskoleprovet. För att bli bra på matematik behöver du göra tre saker. För det första måste du börja på rätt nivå. De flesta av oss har stora kunskapsluckor när det gäller matematik. Regler och begrepp bygger på att du förstått tidigare regler och begrepp. I praktiken innebär det här att du mycket väl kan behöva gå tillbaka till tidigare kapitel eller till och med tidigare matteböcker innan du kan tackla uppgifterna på högskoleprovet. Först när du har grunden i bagaget kommer du att klara av mer avancerade uppgifter. Men du sparar in den här investerade tiden rejält sen när uppgifterna på högskoleprovet går mycket smidigare och tar betydligt mindre tid i anspråk än de hade gjort om du inte hade haft stenkoll på grunderna. Skriv upp alla mattebegrepp på ett papper. Det kan vara ekvationer, ekvationssystem, räta linjen, procenträkning, etc. Bocka sedan av dem ett efter ett allt eftersom du bemästrar dem. För det andra behöver du någon som är bra på matematik som kan hjälpa dig med uppgifterna som du inte förstår. Det här kan vara din kamrat, dina föräldrar, din pojk- eller flickvän eller en privattutor. För det tredje, och det här är det viktigaste, så måste du själv sitta ner 12

Några ord på vägen... Ordet matte väcker sällan jätteroliga känslor hos de flesta. Varför är det så? Många tycker att matte är jobbigt, svårt, frustrerande. Adjektiven är många men sällan smickrande. Men så är det med allting i livet. I början är allt svårt. Man känner att man bara vill lägga sig på golvet i fosterställning och skrika när det inte går vägen och man försöker och försöker och försöker men ändå inte lyckas förstå. Grejen med matte är att när man väl förstår så är det plötsligt lätt. Det kan ta en hel dag att förstå ett koncept men när man väl gör det, när man plötsligt inser att man fattar - ja då känns det plötsligt lätt och man blir nästan paff över att det tagit så lång tid att fatta när det i själva verket var så lätt. Matte är som ett språk. Det finns nya ord som man måste lära sig. Det finns, precis som det finns grammatik, regler att lära sig. Istället för bara bokstäver använder vi både siffror och bokstäver och dessutom krångliga symboler som man aldrig tidigare sett. Men precis som att lära sig franska handlar allt om att börja från början. Det är ingen idé att på en gång försöka ge sig på att läsa L Être et le néant : Essai d ontologie phénoménologique av den franske filosofen Jean-Paul Sartre. På samma sätt är det med matte. De flesta av oss har kunskapsluckor när det gäller matte och det sätter krokben för oss när vi försöker lära oss ett nytt begrepp som till exempel hur andragradsgrafer fungerar. Allting som man lär sig i matte följer en ganska logisk ordning. Och därför är det viktigt att börja från början med det lättaste man kan tänka sig, till exempel plus och minus och gångertabellen. Kan man till exempel inte gångertabellen utantill blir det till exempel svårare att lära sig bråkräkning och förenkling av algebraiska uttryck. Därför har jag valt att inleda den här boken med en första del (Del I) där vi går genom den förhållandevis enkla matten. Om du redan kan den så är det bara att hoppa framåt i boken. Budskapet är dock att emedan man absolut bör tänka stort, är det klokt att börja smått. Ta små, små steg så att det inte känns överväldigande. Om du fastnar på något och trots upprepade försök inte förstår så kanske det beror på att du har en lucka i kunskapen och behöver backa några steg och repetera något. Tror du att du inte kan lära dig matte? Mitt råd till dig är att glömma det som hänt och försöka på nytt, från början. Det som hindrar oss är 9 av 10 15

DEL I DEL I I del I av boken kommer vi att introducera många nya begrepp. I del II ska vi sedan bygga vidare på dessa byggstenar (och samtidigt introducera ytterligare begrepp nya). I det här kapitlet kommer du bland annat att få lära dig vad ental, tiotal och hundratal är, vad är tallinje har för funktion, skillnaden mellan udda och jämna tal... vi pratar talföljder, rest, primtal, procent, medelvärde, median, enheter, skala, geometri, överslagsräkning, negativa tal, bråk och potenser... ibland kan det säkert kännas som att det går för långsamt (då är det okej att hoppa fram i texten) men se till att du verkligen förstår allt i del I innan du sedan går vidare till del II.... spänn fast säkerhetsbältet, nu kör vi! 18

DEL I Testa dig själv! Titta på tallinjen ovan. Ringa i de fyra fallen nedan in vilket av de två talen som är störst! 5 eller 7? -3 eller -2? -4 eller -4,5? 3 eller 3,2? Lite allmänt om olika typer av tal Tal och siffror finns överallt i samhället. Har du tänkt på att vi ser och använder dem hela tiden? När du till exempel kliver in på favoritcaféet en söndagsmorgon eller är ute och shoppar finns de där och anger priser. Och precis som det finns alla möjliga typer av människor så finns det alla möjliga typer av tal. Stora och små, positiva och negativa, komplicerade och okomplicerade. Och eftersom vi människor gillar att sorta in allt i olika fack och kategorier så har vi förstås också sorterat in talen i olika kategorier. Tal kan vara: Positiva (till exempel 5) Negativa (till exempel -5) Jämna (till exempel 2, 4, 6, 8) Udda (till exempel 1, 3, 5, 7) Heltal (till exempel 1, 4, 7, 12) Decimaltal (till exempel 2,3 och 12,6) Positiva tal är precis som det låter tal som är större än noll, och negativa tal är tal som är mindre än noll. Ett jämnt tal är till exempel 2, 4 eller 16. Hur vet vi att ett tal är jämnt? Vi kan dela det med 2 och det går jämnt ut. På samma sätt är alla ojämna tal de tal som inte är jämna. Ojämna tal kalllas också för udda tal (till exempel 1, 3, 5, osv). Vi tar några exempel. Ett par snygga jeans kostar 999 kr. Talet 999 är ett positivt och udda heltal. Du köper jeansen och ger dig ut från affären. Det är januari och -12 grader ute. -12 är, till skillnad från 999, ett negativt och jämnt heltal. Några minuter senare ser du att temperaturen sjunkit till -13,1 grader. -13,1 är ett negativt decimaltal. Varför är det här viktigt tänker du? Jo, för att på högskoleprovet (som till exempel på uppgift 2, provpass 4, våren 2015) kommer du att 22

DEL I vara positiva, negativa, positiva, negativa...) En kombination av två av ovanstående Om du inte hittar någon bra räkneoperation eller kombination av räkneoperationer som verkar passa in så fundera på om det gemensamma för talen i själva verket är att de alla är primtal (och talserien behöver inte börja med det första primtalet 2... du kan få en talserie som börjar med 31, 37, 39, 41, 43, 47, 53... de är fortfarande primtal!). Vi kommer prata mer om primtal alldeles strax. 2, 4, 8, 16, 32,... Lösning: Multiplicera ett tal med 2 för att få nästa tal i talföljden (nästa tal blir 32 2 = 64). 0, -1, 1, -2, 2, -3... Lösning: Mönstret är -1, +2, -3, +4, -5, osv. Talen växlar tecken (positivt, negativt, positivt, negativt,...) och storleksmässigt ökar de med 1 (1, 2, 3, 4, 5,...). Nästa tal blir därför -3 + 6 = 3. 3, 5, 7, 11, 13, 17... Lösning: Mönstret är primtal (talen i talföljden är alla primtal i storleksordning... så nästa tal bli 19) Övningsuppgifter. Vad blir nästa tal i talföljden? 1. 2, 4, 6, 8,... 2. -1, 2, -3, 4, -5, 6,... 3. 1, 1/3, 1/9, 1/27, 1/81,... 4. 1, 3, 3/2, 9/2, 9/4, 27/4,... 6. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,... 29

DEL I (-8) 3 = (-8) (-8) (-8) = -512 (bas -8, exponent 3) (3/2) 4 = 3/2 3/2 3/2 3/2 = 81/16 (bas 3/2, exponent 4) Tips: en smart regel på högskoleprovet är: Om du multiplicerar ett ojämnt antal negativa tal med varandra blir svaret alltid negativt Om du multiplicerar ett jämnt antal negativa tal med varandra blir svaret alltid positivt (-8) 2 = (-8) (-8) = 64 (positivt) (-8) 3 = (-8) (-8) (-8) = -512 (negativt) (-8) 4 = (-8) (-8) (-8) (-8) = 4096 (positivt) När vi jämför två potenser där basen är negativ måste vi därför ta hänsyn till om exponenten är ett jämnt eller udda tal. Är exponenten udda (till exempel 3, 5, 9, 13) så vet vi att svaret blir ett negativt tal. Är exponenten däremot ett jämnt tal blir svaret ett positivt tal. Ska vi till exempel jämföra (-9) 9 och (-8) 10 kan vi direkt säga att (-8) 10 är störst, utan att behöva räkna, eftersom exponenten är jämn medan den är udda i (-9) 9. (-9) 9 blir nämligen ett negativt tal medan (-8) 10 blir ett positivt tal. Fiffigt eller hur? Sådana här uppgifter kommer på högskoleprovet. Vilket tal är minst: (-76) 40 eller (-76) 39? Talet med exponenten 40 blir ett positivt tal eftersom 40 är ett jämnt tal. Talet med exponenten 39 blir ett negativt tal eftersom 39 är ett ojämnt tal. Därför blir (-76) 39 minst. Vad händer om exponenten är antingen 0 eller 1? 5 0 = 1 56

DEL II men inte ur negativa tal. 4 = 2 (och även -2) 81 = 9 (och även -9) Tredje roten Att ta tredje roten ur 125 ( 3 125 = 5), är att fråga vilket tal ska vi ta gånger sig självt 3 gånger för att få 125?. Svaret är 5, eftersom 5 5 5 = 125. Med andra ord är 3 125 = 5. Svaret är inte -5 eftersom -5-5 -5 = -125. Det finns ett samband mellan kvadratrötter och potenser som du måste kunna på högskoleprovet. Alla kvadratrötter kan skrivas som en potens med exponenten 1/2, exempelvis 3 = 3 1/2 och 8 = 8 1/2. 3 = 3 1 = 3 1/2 3 1/2 = 3 3 3 3/2 = (3 3 ) 1/2 = 27 1/2 = 27 Övningsuppgifter. 1. 81 =? 2. 9 =? 3. 3 27 =? 4. Vilken kvantitet är störst? I. 15 II. 2 + 3 5. Vilken kvantitet är störst? I. 3 3 II. 2/ 2 6. Vilken kvantitet är störst? I. 3/ 2 II. 24 Rotuttryck Vi kan givetvis multiplicera och dividera rotuttryck. 81

DEL II LINJER. Linjer är något som kommer på högskoleprovet. En rät (rak) linje har ekvationen y = kx + m. k och m har olika värden för olika linjer (k-värdet är alltid den siffra som står precis framför x i ekvationen). Varje kombination av k och m ger alltså en ny, unik linje. En viss linje, som vi kallar för L1, har ekvationen y = 5x + 3. Här är k = 5 och m = 3. En annan linje, L2, har ekvationen y = 5x - 1. Här är k = 5 och m = -1. Observera att de här två linjerna har samma k-värde men olika m-värden och är alltså två helt olika (unika) linjer. För att bestämma linjens ekvation måste vi ta reda på vilka värden k och m har. Om vi till exempel får reda på att m = 4 och k = 12, då har vi bestämt linjens ekvation eftersom vi har all information vi behöver för att skriva upp linjens ekvation (som i det här fallet blir y = 12x + 4). Vad är då k respektive m? En linjes k-värde Linjens k-värde anger hur brant den lutar ( linjens lutning ). Det finns både positiv och negativ lutning. När vi ska avgöra om linjens lutning är positiv eller negativ så hjälper det att tänka att linjen börjar från papprets vänstra sida och löper åt höger. Om k = 1 lutar linjen exakt + 45 Om k = -1 lutar linjen exakt -45 Om k är större än 1 (till exempel 2 eller 4) har linjen en brantare (närmare 90 ) lutning än 45 (till exempel 60 eller 80 ) Om k är mindre än -1 (till exempel -3 eller -5) har linjen en brantare lutning än -45 (till exempel -55 eller -85, det vill säga närmare -90 ) Linjens m-värde m-värdet för en linje säger var någonstans (det vill säga för vilket y-värde) på y-axeln som linjen skär y-axeln. 92

DEL III DEL III Nu är det dags att ta allt vi har lärt oss och tackla de riktigt svåra uppgifterna. I den här delen anpassar vi det vi har lärt oss efter hur uppgifterna på högskoleprovet ser ut. Var inte rädd för att gå tillbaka till del I eller del II och repetera något begrepp. Den här delen innehåller även många lösta exempel på tidigare högskoleprovsuppgifter. 140

DEL III 4y + 2y = 6y 3x + 7y - y = 3x + 6y 5a + 3b = 5a + 3b x - 2y + 5 = x - 2y + 5 w - 6w - (6 + 2w - 5w - 2) = w - 6w - 6-2w + 5w + 2 = -2w - 4 2π - (3a + 3) = 2π - 3a - 3 5a + (3-5) = 5a + 3-5 = 5a - 2 -x - (3x + 2) = -x -3x -2 = -4x - 2 2y - (5x + y - x 2 ) = 2y - 5x - y + x 2 = y - 5x + x 2 a + (-b + 5) = a - b + 5 8 + (-3-5a) = 8-3 - 5a = 5-5a w - 6w + (6 + 2w -5w -2/3) = w - 6w + 6 + 2w - 5w - 2/3 = -8w + 5 + 1/3 = -8w + 16/3 LÖSNING Våren 2014 provpass 1 uppgift 6(D) 4x 5 /2x + 8x/2x = 2x 4 + 4 LÖSNING Våren 2014 provpass 1 uppgift 12(A) x/(2x/3) = 8 + 4x x 3 = 16x + 8x 2 8x 2 + 13x = 0 x 2 + 13/8 x = 0 x (x + 13/8) = 0 x 1 = 0 (men vi får veta att x 0 så därför kan vi bortse från denna rot) x 2 = -13/8 LÖSNING Våren 2014 provpass 1 uppgift 21(B) Substituera x = 2y istället för x i I och II: I: 5x - y = 5 2y - y = 9y II: 2x + 4y = 2 2y + 4y = 8y Eftersom y är ett negativt tal är II > I 143

DEL III x -2t = 1/x 2t s -7x = 1/s 7x a -0,5b = 1/a 0,5b Om exponenten är ett negativt bråk fungerar reglerna på samma sätt som förut: x -t/2 = 1/x t/2 s -x/7 = 1/s x/7 a -b/3 = 1/a b/3 Minns också från del II följande samband 3-1/2 = 1/(3 1/2) = 1/ 3 (kvadratrot) 3-1/3 = 1/(3 1/3) = 1/ 3 3 (tredjerot) 3-1/4 = 1/(3 1/4) = 1/ 4 3 (fjärderot) 3-1/5 = 1/(3 1/5) = 1/ 5 3 (femterot) osv. Dessa samband gäller även för bokstäver. x -1/2 = 1/(x 1/2) = 1/ x (kvadratrot) y -1/3 = 1/(y 1/3) = 1/ 3 y (tredjerot) z -1/4 = 1/(z 1/4) = 1/ 4 z (fjärderot) a -1/5 = 1/(a 1/5) = 1/ 5 a (femterot) osv. x -1/y = 1/(x 1/y) = 1/ y x 3-1/y = 1/(3 1/y) = 1/ y 3 Det var väldigt, väldigt mycket på en gång. Men börja med övningsuppgifterna nedan, du kommer att märka att efter du har gjort dem några gånger så kommer det att sitta som berget. Försök nu själv (det här är samma tal som vi gick genom på föregående sidor - du hittar med andra ord svaret till uppgifterna nedan på föregående sidor): 157

DEL III x -t =? s -x =? a -b =? x -2t =? s -7x =? a -0,5b =? x -t/2 =? s -x/7 =? a -b/3 =? Här följer lite fler exempel: (1/2) -1/2 = 1/(1/2) 1/2 = 1/ (1/2) = (1/1)/( 1/ 2) = 1/1 2/1 = 2 3-2x = 1/3 2x 5-1/2 = 1/5 1/2 = 1/ 5 5-2 = 1/5 2 = 1/(5 5) = 1/25 3 -x = 1/3 x 3-2 = 1/3 2 = 1/9 4-5 = 1/4 5 = 1/(4 4 4 4 4) = 1/1024 (3/2) -3 = 1/(3/2) 3 = 1/(27/8) = 8/27 (-b/c) -3 = 1/(-b/c) 3 5-3 = 1/5 3 = 1/(5 5 5) = 1/125 9-1/2 = 1/9 1/2 = 1/ 9 = 1/3 a -t = 1/a t UPPGIFTER (FACIT PÅ FÖREGÅENDE SIDA UNDER MARKERINGEN *) (1/2) -1/2 =? 3-2x =? 5-1/2 =? 5-2 =? 3 -x =? 3-2 =? 4-5 =? 158

DEL III LÖSNING. Hösten 2014 provpass 5 uppgift 1 (C). Sätt in talen i svarsalternativen i y 2 + y: y = 4 ger 4 2 + 4 = 16 + 4 = 20, det vill säga ett tal mellan 12 och 30. LÖSNING. Hösten 2014 provpass 5 uppgift 7 (A). x är ett tal mellan 0 och 1. y är ett tal större än 1. x/y blir därför ett tal dividerat på ett större tal (vilket alltid ger ett tal mindre än 1 som svar) LÖSNING. Hösten 2014 provpass 5 uppgift 13 (B). n är större än z m är mindre än y y är mindre än z det vill säga m är mindre än n LÖSNING. Hösten 2014 provpass 5 uppgift 22 (D). I är som störst: (10 + (-1) + (-3))/3 = 6/3 = 2 I är som minst: (4 + (-6) + (-8))/3 = -13/3 II är som störst: (-4 + 6 + 8)/3 = 10/3 II är som minst: (-10 + 1 + 3)/3 = -6/3 = -2 Medelvärdet för I blir således ett tal mellan -10/3 och 2 Medelvärdet för II blir således ett tal mellan -2 och 10/3 (överlappande intervaller) 168

DEL III SAMMANFATTNING AV MATEMATISKA FORMLER. Symboler = lika med inte lika med π pi (= 3,14) Tal Heltal 3 Bråktal 2/3 (2 är täljaren, 3 är nämnaren) Udda tal (1, 3, 5, 7, etc) Jämna tal (2, 4, 6, 8, etc) Potenser 2 3 (2 är basen, 3 är exponenten) Primtal Primtal är tal som är större än 1 och delbara endast med sig självt samt med talet 1. 5 är ett primtal eftersom vi endast kan dela 5 med 5 (och får då 1) samt med 1 (och får då 5). Vi kan inte dela 5 med ett annat heltal (exempelvis 3, 4 eller 2) och få ett heltal som svar. Talet 6 är inte ett primtal eftersom vi kan dela det med 6 (och får då 1), med 1 (och får då 6), med 2 (och får då 3), med 3 (och får då 2). Primtal: 3 (endast delbart med 1 och 3) 5 (endast delbart med 1 och 5) Ej primtal: 1 197

DEL III FACIT TILL ÖVNINGSUPPGIFTER I BOKEN 206

DEL III 3. Medianen är (4 + 3)/2 = 3,5. Medelvärdet = (5 + 4 + 4 + 3 + 2 + (-1))/6 = 17/6 4. Medianen är 2. Medelvärdet = (5 + 4 + 2 + (-1) + (-3))/5 = 7/5 SIDA 54 (BRÅK) 1. 3/2 + 2/3 = (3 3)/(2 3) + (2 2)/(3 2) = 9/6 + 4/6 = (9 + 4)/6 = 13/6 2. (4/3)/(8/4) = 4/3 4/8 = (4 4)/(3 8) = 16/24 = 2/3 3. 8/3-4/3 = (8-4)/3 = 4/3 4. = (28/10)/(4-5)/4 = (28/10)/(-1/4) = 28/10 4/(-1) = -112/10 = -56/5 5. 3/4 5/6 = 15/24 = 5/8 6. (8/5)/(3/2) = 8/5 2/3 = 16/15 7. (3/9)/4 (2-1/10) = 3/9 1/4 (20/10-1/10) = 3/36 19/10 = 57/360 = 19/120 8. 1/3 2/4-3/2 4/1 5/3 6/4 7/2-8/1 9/3 1/2 1/6 2/8-3/4 4/2 5/6 6/8 7/4-8/2 9/6 2/3 2/9 4/12-6/6 8/3 10/9 12/12 14/6-16/3 18/9-3/4-3/12-6/16 9/8-12/4-15/12-18/16-21/8 24/4-27/12 4/2 4/6 8/8-12/4 16/2 20/6 24/8 28/4-32/2 36/6 5/3 5/9 10/12-15/6 20/3 25/9 30/12 35/6-40/3 45/9 6/1 6/3 12/4-18/2 24/1 30/3 36/4 42/2-48/1 54/3-7/2-7/6-14/8 21/4-28/2-35/6-42/8-49/4 56/2-63/6 8/3 8/9 16/12-24/6 32/3 40/9 48/12 56/6-64/3 72/9 9/2 9/6 18/8-27/4 36/2 45/6 54/8 63/4-72/2 81/6-1/4-1/12-2/16 3/8-4/4-5/12-6/16-7/8 8/4-9/12 SIDA 62 (ÖVNINGSUPPGIFTER DEL 1) Ental, tiotal, etc. Ringa in siffran som efterfrågas i talen nedan! 1. 8 2. 9 208

222 FACIT TILL TIDIGARE XYZ, KVA, DTK OCH NOG 2011-2016

Kvantitativa provpass 2013 Kvantitativa provpass 2014 VÅR HÖST VÅR HÖST 224 2 4 3 5 1 4 2 5 1 C C 1 B A 1 C B 1 B C 2 C C 2 A D 2 C C 2 B C 3 B B 3 C A 3 A D 3 C B 4 C D 4 B B 4 A D 4 C C 5 C A 5 C B 5 C D 5 B C 6 A A 6 B C 6 D C 6 D D 7 A B 7 B A 7 D A 7 B A 8 A C 8 A D 8 B D 8 D D 9 A C 9 A A 9 B C 9 B D 10 C A 10 D C 10 C B 10 C A 11 B D 11 D D 11 B A 11 A B 12 B B 12 C B 12 A B 12 A B 13 B A 13 A B 13 B B 13 A B 14 B C 14 D C 14 A B 14 C A 15 C C 15 C D 15 D A 15 A A 16 B B 16 D C 16 C B 16 A D 17 C A 17 B C 17 C A 17 B B 18 B B 18 B A 18 B C 18 D A 19 C B 19 D C 19 D C 19 A B 20 D D 20 D B 20 C D 20 B B 21 C B 21 B C 21 B C 21 C C 22 A D 22 A D 22 A C 22 C D 23 E D 23 C E 23 E A 23 D C 24 B B 24 C C 24 B C 24 C D 25 D E 25 E C 25 C B 25 A E 26 B D 26 C B 26 E C 26 E A 27 A C 27 D C 27 C E 27 B E 28 C C 28 B D 28 A D 28 A B 29 B D 29 C A 29 D B 29 C A 30 A C 30 A D 30 D A 30 B B 31 D B 31 C A 31 A D 31 A B 32 B A 32 B B 32 D B 32 A B 33 A D 33 A C 33 C C 33 C B 34 C D 34 B A 34 D B 34 C D 35 A B 35 B A 35 C B 35 D A 36 C A 36 B D 36 C C 36 D A 37 B D 37 C A 37 B A 37 B C 38 C D 38 D C 38 A B 38 B C 39 B C 39 C D 39 B C 39 D B 40 A A 40 D C 40 C C 40 D C