Linköpings universitet tekniska högskolan IEI/mekanik Tentamen Mekanik MI, TMMI39, Ten 1 Torsdagen den 14 januari 2016, klockan 14 19 Kursadministratör Anna Wahlund, anna.wahlund@liu.se, 013-281157 Examinator Joakim Holmberg Tentamensjour Joakim Holmberg, joakim.holmberg@liu.se, 013-282338 Besöker salen 15:30 Antal uppgifter 5 stycken uppgifter, där varje uppgift ger maximalt 3 poäng Antal sidor 9 stycken (inklusive försättsblad) Hjälpmedel Formelblad (medföljer tentamenstesen) samt räknedosa Betygsgränser Summa poäng Betyg 0 5 UK 6 8 3 9 11 4 12 15 5 Svar Anslås på kurshemsidan efter skrivtidens slut http://www.solidmechanics.iei.liu.se/examiners/courses/bachelor_level/tmmi39/
2016-01-14 Tentamen i Mekanik f.k. (TMMI39) 1 Stången AE, vars massa kan försummas, påverkas av krafterna 3 kn och 4 kn. Stången hålls i läge av linorna BC och BD. I punkten A sitter stången fast i en kulled, som kan ta upp krafter i alla tre axelriktningar. Bestäm storleken på kraften i linan BC. (3p)
2 I det läge som figuren visar är vinkelhastigheten och vinkelaccelerationen för vevaxeln AB 10 rad/s respektive 20 rad/s 2 medurs. Vinkelhastigheten för vevstaken BC är 2.43 rad/s moturs. Mått enligt figur. Bestäm accelerationsvektorn för kolven, dvs a C, i det avbildade läget. (3p)
3 Stången AB, med totala längden 4L och massan m, är upphängd via en gångjärnsled i punkten A. Stången kan därmed endast röra sig i vertikalplanet. Ett snöre är fastsatt vid stången enligt figuren och löper sedan genom en friktionsfri trissa vid C. Stången hänger i vila rakt ned när kraften P börjar verka på snöret. Bestäm stångens vinkelacceleration α omedelbart efter det att P börjat verka. (1p) Bestäm kraftvektorn som verkar på stången vid A omedelbart efter det att P börjat verka. (2p)
4 Armen OA roterar med vinkelhastigheten ω 1 och har vinkelaccelerationen ω 1. Samtidigt roterar skivan kring armen OA med vinkelhastigheten ω 2 och har vinkelaccelerationen ω 2. Koordinatsystemet xyz sitter fast i punkten O och roterar med armen OA. XYZ är ett rumsfixt koordinatsystem. Bestäm skivans totala vinkelhastighetsvektor. (1p) Bestäm skivans totala vinkelaccelerationsvektor. (1p) Bestäm totala accelerationsvektorn för punkten P i det läge som figuren visar. (1p)
5 Systemet i figuren är en förenklad modell av en vevaxel. För de lumpade massorna gäller att m 1 = m 2 = m 3 = m 4 = m. Basvektorerna i, j och k sitter fast i vevaxeln som roterar med den konstanta vinkelhastigheten ω relativt det rumsfixa koordinatsystemet XY Z. Lager B 1 tar upp kraft i xy-planet. Lager B 2 tar upp krafter i alla riktningar. Försumma gravitationen och bestäm reaktionskrafterna på vevaxeln vid lager B 1 enbart på grund av den dynamiska obalansen. (3p) punkt.
Formelblad TMMI39 Beteckningar: A, B: godtyckliga punkter P: fix punkt i rummet O: fix punkt i kroppen och i rummet G: masscentrum V : godtycklig vektor d v : vinkelräta avståndet mellan A och v G d a : vinkelräta avståndet mellan A och a G I G G : masströghetsmoment m.a.p. axeln G G genom masscentrum I D D : masströghetsmoment m.a.p. axeln D D parallell med axeln G G d: vinkelräta avståndet mellan axlarna G G och D D Kinematik Naturliga komponenter: v = ṡe t = ρ βe t, Polära koordinater: v = ṙe r +r θe θ, a = a = ṡ2 ρ e n + se t ( r r θ 2) ( ) e r + r θ +2ṙ θ e θ Derivering i roterande koordinatsystem (xyz) ( ) ( ) V dv dv = +Ω V dt dt /XYZ /xyz där Ω är vinkelhastigheten hos xyz relativt XYZ Hastighet och accelerationssamband: Låt A och B vara fixa punkter i en stel kropp. Då gäller Kinetik v B = v A +ω AB a B = a A +ω ( ω AB ) + ω AB Kraft- och momentlagar ΣF = Ġ = ma G ΣM G = H G, Momentlagar (2D) ΣM P = H P, ΣM A = H G +AG ma G ΣM G = I G α, ΣM O = I O α, ΣM A = I G α±ma G d a Förflyttningssatser H B = H A +BA mv G ΣM B = ΣM A +BA ΣF Rörelsemängdsmoment H G = I G ω, H O = I O ω H A = I G ω ±mv G d v (2D)
Arbete och energi Energibalans T 1 +V g1 +V e1 +U 1 2 = T 2 +V g2 +V e2 där En kraft F resp. ett kraftparsmoment C utför arbetet U 1 2 = U 1 2 = 2 1 2 Plan rörelse 1 F dr resp. U 1 2 = F dr resp. U 1 2 = 2 1 2 1 C ωdt Cdθ (2D) T = 1 2 mv2 G + 1 2 I Gω 2 T = 1 2 I Oω 2 Tredimensionell rörelse T = 1 2 mv G v G + 1 2 ω H G T = 1 2 ω H O Impuls och impulsmoment G 1 + t2 H P 1 + t2 t 1 ΣFdt = G 2, G = mv G t2 ΣM P dt = H, H + P ΣM 2 G1 G dt = H G 2 t 1 t 1 Tröghetssamband I xx I xy I xz I = I xy I yy I yz I xz I yz I zz (y I xx = 2 +z 2) dm, I xy = xydm d 2 2 y +d z d x d y d x d z I A = I G +m d x d y d 2 2 x +d z d y d z d x d z d y d z d 2 2 x +d y där d x d y d z = GA (eller AG) I D D = I G G +md 2, I Dxy = I G xy +md x d y Algebra a (b c) = b (c a) a (b c) = b(a c) c(a b) a b = a b sinϕ
Å ØÖ Ø ÑÓÑ ÒØ Ö ÙÐÖØ Ö Ö ËØÒ I Gxx =0, I Gyy = I Gzz = ml2 12 I Gxx = I Gzz = m 12 (6r2 + h 2 ), I Gyy = mr 2 Ë Ö Ø ÐÓØ Ö Ð Ú I Gxx = I Gyy = mr2 4, I Gzz = mr2 2 I Gxx = I Gyy = I Gzz = 2 5 mr2 Ë Ö Ø Ð Ê Ò I Gxx = I Gyy = mr2 2, I Gzz = mr 2 I Gxx = I Gyy = I Gzz = 2 3 mr2 Ö ÙÐÖ ÝÐ Ò Ö Ê Ø Ò ÙÐÖØ ÐÓ I Gxx = I Gzz = m 12 (3r2 + h 2 ), I Gyy = mr2 2 I Gxx = m 12 (b2 + c 2 ), I Gyy = m 12 (a2 + c 2 ), I Gzz = m 12 (a2 + b 2 )