Nationalekonomi Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling LINKÖPINGS UNIVERSITET. Matematik och nationalekonomi, en introduktion

Nationalekonomi Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematik och nationalekonomi, en introduktion Thomas Sonesson 01

Förord Nationalekonomi är en vetenskap som i stor utsträckning använder sig av matematik för att beskriva och analysera ekonomiska förhållanden. Förmodligen är nationalekonomi det ämne bland samhällsvetenskaperna där matematiken har störst betydelse. På grundläggande nivå, d.v.s. under vad som motsvarar den första terminens studier, utnyttjas oftast grafiska framställningar och man märker som student inte alltid så mycket av matematiken. Ändå finns den där. Varje efterfrågeutbuds- eller kostnadssamband, varje skärning eller tangering mellan kurvor eller varje härledning av ett marginalsamband från ett totalsamband, exempelvis en marginalintäktskurva, som illustreras grafiskt har förstås en matematisk motsvarighet. Att på grundläggande nivå huvudsakligen bygga på grafiska framställningar behöver nödvändighetsvis inte vara fel. Ofta underlättar det förståelsen, och även högre upp har man god hjälp av grafer som komplement i sin analys. Men samtidigt blir matematiken där ett måste. Även om inte alla delar av nationalekonomin använder sig av matematik, blir man som nationalekonom väldigt smal utan goda matematiska kunskaper. Samtidigt är det viktigt att påpeka att det förstås inte räcker med att vara en god matematiker för att vara en god nationalekonom. Matematiken är ett hjälpmedel, inte ett självändamål. Eller för att uttrycka sig matematiskt. Ett nödvändigt, men inte tillräckligt, villkor för att vara en god nationalekonom är att man också har goda kunskaper i matematik. Denna skrift innehåller Ett diagnostiskt test av matematiska förkunskaper med lösningar, (sidan 4). Testet omfattar 1 uppgifter som utan hjälp av miniräknare skall lösas på maximalt 30 minuter. Samtliga uppgifter utom möjligen uppgifterna 9 och 1 bör kunna lösas utan svårigheter med hjälp av kunskaper från gymnasieskolan (matte C). Den som inte klarar dessa uppgifter rekommenderas starkt att lägga ned tid på att fräscha upp sina slumrande kunskaper. Även för den som klarar testet bra är det dock värdefullt att läsa vidare i detta kompendium. Särskilt gäller detta förstås dem som tänkt sig läsa mer än grundläggande kurser i nationalekonomi. Föreläsningsunderlag för den matematikintroduktion som utgör en del av kursen Introduktion till Nationalekonomi på civilekonomprogrammet, (sidan 10). Även om underlaget är tänkt att användas tillsammans med föreläsningar är stora delar så detaljerade att det kan läsas på egen hand. Ett drygt trettiotal övningsuppgifter (sidan 38) indelade i fyra kategorier, följt av utförliga lösningar (sidan 48). De fyra kategorierna är o Funktioner och ekvationssystem o Tillväxt- ränte- och nuvärdesberäkningar o Optimering o Marginella och totala samband, tolkning av ytor i grafer Ytterligare möjligheter att förbättra sina matematikkunskaper finns förstås; Den som har tillgång till sina matematikböcker från gymnasiet kan med fördel använda dem. Många av er kommer säkert att upptäcka att de innehåller mycket mer än vad ni minns. Birgit Hagberg har skrivit ett kompendium med titeln Räkneövningar inför grundkurserna i nationalekonomi som oftast finns utlagt på kurshemsidan. Det behandlar delvis samma moment som föreläsningsunderlaget ovan och innehåller även en del matematiska uppgifter, inklusive svaren på dessa. Som ett alternativ till gymnasieböckerna finns ett gratis kompendium som ni kan ladda ner från adressen http://www.bookboon.com/se/student/matematik/matematik-kompendium. På bookboon.com kan ni också hitta en övningsbok med matematiska uppgifter. Thomas Sonesson. Linköping mars 01. 3

Test av matematiska förkunskaper Använd maximalt 30 minuter till detta test. Jämför därefter dina svar med det facit som följer närmast efter testet. Uppgift 1 a) Vad är 1/4 av /3? b) Hur stor andel utgör 1/4 av /3? c) Vad är 1/4 plus /3? Uttryck svaren på bråkform och förenkla så långt som möjligt Uppgift Utveckla/förenkla nedanstående uttryck så långt som möjligt utan att använda miniräknare 0,5 3 a) 0,5 3 b) ( ) 3 c 0,7 d 3 0,7 Uppgift 3 Priset på en vara är 100:- år 0. Det sjunker med 0% till år 1. Med hur många procent måste det stiga mellan år 1 och år för att priset år åter skall vara 100:-. Uppgift 4 a) Bestäm värdet för X ur ekvationen 3( X 50) = ( X 100) X b) Bestäm värdet för X ur ekvationen + 50 = 60 3 c) Bestäm värden för X och Y ur ekvationssystemet X Y = 8 Y X Uppgift 5 = 1 a) Bestäm värdet för X ur ekvationen X 3 = 7 b) Bestäm värdet för X ur ekvationen X = 9 c) Bestäm värdet för X ur ekvationen X = 1000 Uppgift 6 1 1 3 a) Om 3 år är Emma dubbelt så gammal som hon var för 5 år sedan. Låt Emmas ålder idag vara X år, teckna en ekvation från citatet ovan och bestäm Emmas ålder idag från denna ekvation. b) För fyra år sedan var Patriks pappa nio gånger så gammal som Patrik. Idag är Patriks pappa endast fem gånger så gammal som Patrik. Låt Patriks ålder idag vara X år och hans pappas ålder idag vara Y år, teckna två ekvationer från citatet ovan och bestäm med hjälp av dem åldern idag för Patrik och hans pappa. 4

Uppgift 7 Antag att Y = f (X ), d.v.s. Y är en funktion av X. Det specifika funktionssambandet visas av Y = 100 + 0X a) Bestäm f() b) Hur mycket förändras Y-värdet om X-värdet ökar från 109,65 till 110,65? Uppgift 8 dy Bestäm derivatan eller f (X ) eller Y (vilka alla anger samma sak) för nedanstående funkt- dx ioner a) Y = 100 + 0X,5X b) Y = 100X 10 c) Y = X Uppgift 9 0,8 Antag att marginalskatten i inkomstintervallet 0 till 100 000:- är 0%, för att sedan vara 50% för inkomster ovanför 100 000:- a) Hur mycket betalar en person med inkomsten 50 000:- totalt i skatt? b) Hur mycket betalar en person med inkomsten 150 000:- totalt i skatt? Uppgift 10 För vilket värde för X är Y-värdet som allra högst om Y 100 X X = + 0,5? Uppgift 11 Figuren nedan illustrerar en rät linje. Skärningarna med Y- och X-axeln framgår av figuren. Bestäm från figuren funktionen Y = f (X ), (antag att den räta linjen är oändligt utsträckt i båda riktningar). Bestäm även inversfunktionen X = f (Y ) 1000 000 X Uppgift 1 En person får 1100:- om ett år, samt ytterligare 1100:- om två år. Vad är det sammanlagda nuvärdet av dessa två belopp om diskonteringsräntan är 10%? 5

Svar till test av matematiska förkunskaper Uppgift 1 Uttryck svaren i bråkform och förenkla så långt som möjligt d) vad är 1/4 av /3? 1 1 = = 4 3 1 6 e) hur stor andel utgör 1/4 av /3? 1/ 4 1 3 3 = = / 3 4 8 f) vad är 1/4 plus /3? 1 3 8 11 + = + = 4 3 1 1 1 Uppgift Utveckla/förenkla nedanstående uttryck så långt som möjligt utan att använda miniräknare 0,5 3 0,5+ 3 3,5 a) = = 0,5 3 0,5 3 1,5 d) ( ) = = 3 3 c) = = 0,7 0,7 0,7 d) 3 = ( 3) = 6 0,7 Uppgift 3 Priset på en vara är 100:- år 0. Det sjunker med 0% till år 1. Med hur många procent måste det stiga mellan år 1 och år för att priset år åter skall vara 100:-. År 1 kostar varan 80:- 0,8 100 = 80 :. Varan måste till år öka i pris med 0:-, vilket utgör 5% av Uppgift 4 d) Bestäm värdet för X ur ekvationen 3( X 50) = ( X 100) 3 X 150 = X + 00 5X = 350 X = 70 X e) Bestäm värdet för X ur ekvationen + 50 = 60 3 X = 10 X = 30 3 f) Bestäm värden för X och Y ur ekvationssystemet X Y = 8 Y X = 1 Svaren X = 5 Y = erhålls på följande sätt Från ekvation 1 får man Y = X 8 som sätts in i ekvation istället för Y. Detta ger (X 8) X = 1 4X 16 X = 1 3X 16 = 1 3X = 15 X = 5 Y- värdet får man sedan från Y = X 8 10 8 = 6

Uppgift 5 d) Bestäm värdet för X ur ekvationen X 3 = 7 X = 7 3 1 = 3 e) Bestäm värdet för X ur ekvationen X = 9 X = 9 = 81 f) Bestäm värdet för X ur ekvationen X = 1000 3 9 X = 1000 = 1000000000 = 10 1 1 3 Uppgift 6 a) Om 3 år är Emma dubbelt så gammal som hon var för 5 år sedan. Låt Emmas ålder idag vara X år, teckna en ekvation från citatet ovan och bestäm Emmas ålder idag från denna ekvation. X + 3 = ( X 5) Lösning: X + 3 = X 10 X = 13 b) För fyra år sedan var Patriks pappa nio gånger så gammal som Patrik. Idag är Patriks pappa endast fem gånger så gammal som Patrik. Låt Patriks ålder idag vara X år och hans pappas ålder idag vara Y år, teckna två ekvationer från citatet ovan och bestäm med hjälp av dem åldern idag för Patrik och hans pappa. (1) () 9 ( X 4) = Y 4 5X = Y Lösning: Ekvation (1): 9 X 36 = Y 4 9X 3 = Y. Det erhållna uttrycket för Y sätts in i ekvation (): 5 X = 9X 3 4X = 3 X = 8 och Y = 40 Uppgift 7 Antag att Y = f (X ), d.v.s. Y är en funktion av X. Det specifika funktionssambandet visas av Y = 100 + 0X. a) Bestäm f() f() är funktionens värde (Y-värdet) om X=, d.v.s. f() = 140 b) Hur mycket förändras Y-värdet om X-värdet ökar från 109,65 till 110,65? Förändringen av Y är +0. X ökar med en enhet och parametern 0 framför X visar hur då hur mycket Y förändras Uppgift 8 dy Bestäm derivatan eller f (X ) eller Y (vilka alla anger samma sak) för nedanstående funkt- dx ioner a) Y = 100 + 0X,5X f ( X ) = 0 5X b) Y = 100X f ( X ) 0,8 0,8 1 = 0,8 100X = 80X 0, 7

c) 10 3 0 Y = = 10X f ( X ) = 0X = 3 X X Uppgift 9 Antag att marginalskatten i inkomstintervallet 0 till 100 000:- är 0%, för att sedan vara 50% för inkomster ovanför 100 000:- c) Hur mycket betalar en person med inkomsten 50 000:- totalt i skatt? 0, 50000 = 10000 d) Hur mycket betalar en person med inkomsten 150 000:- totalt i skatt? 0, 100000 + 0,5 50000 = 45000 Uppgift 10 För vilket värde för X är Y-värdet som allra högst om Y = 100 + 0X,5X? f ( X ) = 0 5X = 0 X = 4. Ett maximum eftersom f (X ) är positiv för lägre värden för X och negativ för högre värden för X Uppgift 11 Figuren nedan illustrerar en rät linje. Skärningarna med Y- och X-axeln framgår av figuren. Beskriv matematiskt det samband som figuren visar (antag att den räta linjen är oändligt utsträckt i båda riktningar) Y 1000 000 En rät linje kan skrivas på formen Y = a + bx, där a visar skärningen med Y-axeln (1000) och b 1000 visar linjens lutning = 0, 5. Funktionssambandet i figuren får vi då som 000 Y = 1000 0, 5X. Detta ger i sin tur 0,5X = 1000 Y X = 000 Y Uppgift 1 En person får 1100:- om ett år, samt ytterligare 1100:- om två år. Vad är det sammanlagda nuvärdet av dessa två belopp om diskonteringsräntan är 10%? 1100 1100 Nuvärdet = + = 11000 + 10000 = 1000 1,1 1,1 X 8

9

MATEMATISK INTRODUKTION Innehåll - Räkneregler för bråk - Räkneregler för potenser - Procenträkning - Ekvationer o Ekvationer och tillväxtförlopp - Nuvärdesberäkningar - Funktioner o Linjära funktioner o Inversfunktionen o Hur påverkas funktionssamband av ändrade förutsättningar? o Linjära ekvationssystem o Icke-linjära funktioner o De enklaste deriveringsreglerna o Marginella och totala samband - Optimering - Funktioner av två variabler o Partialderivator o Nivåkurvor o Optimering med två förklaringsvariabler, med och utan bivillkor 10

Räkneregler för bråk a b c d = ac bd a / b c / d = a b d c = ad bc a c ad bc ad bc + = + = + b d bd bd bd för att kunna addera två bråk krävs att de har en gemensam nämnare! a + b b = a b + b b = a b +1 a + b a + 1 obs inte = = a + 1 b 1 FEL! Räkneregler för potenser x m x n = x m+ n x x m n = x m n x n = 1 0 x n x = 1 ( x 0) x 1 x 1 = x n mn n ( x m ) = x ( x n ) = x 1 1 = m m m m n x y = ( xy) x y = x x x m y n d.v.s. uttrycket kan inte skrivas om Exempel: 3 + 3 5 3 3 10 10 = 10 = 10 (10 ) = 10 = 10 10 1,1 = (10 1,1) = 11 men 10 1,1 6 11 11

Procenträkning Exempel: Priset på en vara stiger år 1 med 50% för att år sjunka med 50%. Med hur många procent har priset stigit eller sjunkit totalt? p 0 = 100 p1 = 100 + 50% 100 = 100 + 0,5 100 = 150 p = 150 50% 150 = 150 0,5 150 = 150 75 = 75 Sammanlagt har priset således sjunkit med 5/100 = 5% 5% av befolkningen har år 0 en inkomst >400 000:-. Andelen ökar med a) 10 procentenheter om året b) 10 procent om året Hur stor del av befolkningen har en inkomst > 400 000:- år? a) 5 +10 +10 =45% b) år 1 : 5 + 0,1 5 = 7,5% år : 7,5 + 0,1 7,5 = 30,5% Hur många procent av bruttopriset utgör momsen om momspåslaget på nettopriset är 5%? Pris utan moms 100:- Pris med moms 15:- Momsens andel av bruttopriset = 5/15= 1/5 eller 0% 1

Ekvationer Lösningsprincip: Lös ut x genom att addera eller subtrahera samma tal till båda sidor av ekvationen multiplicera, dividera eller upphöj båda sidor med samma tal (ej 0) ax = b Exempel: x = b a ax + c = b x = b c a Av en persons inkomstökning går 40% bort i skatt. Hur mycket måste hon öka sin inkomst med för att få behålla 1 000:- efter skatt? 1000 ( 1 0,4) x = 1000 0,6x = 1000 x = = 0000 0,6 När företaget höjde priset på sin vara med 0% steg försäljningsintäkterna med 8%. Med hur många procent sjönk antalet enheter som företaget sålde av varan? Vi kan godtyckligt anta att pris =100 och kvantitet = 100 i utgångsläget pris kvantitet intäkter före 100 100 100 100 = 10000 efter 10 x 10x = 10800 10800 10 x = 10800 x = = 90 10 Antalet enheter har sjunkit från 100 till 90, d.v.s. med 10% 13

Ekvationer och tillväxtförlopp KPI (konsumentprisindex) är 1990 = 100. Antag att inflationen de följande 10 åren är 5% om året. Vad är KPI år 000? tidpunkt belopp 1990 100 1991 100 1,05 199 100 1,05 1,05 = 100 1,05 000 x =100 1,05 10 tillväxtfaktor = 1,05 x 10 = 100 1,05 100 1,69 x 16,9 En person kan sätta in ett belopp på ett bankkonto som ger 5% årlig ränta. Personen önskar kunna plocka ut 0 000:- om 10 år. Hur mycket måste han sätta in? tidpunkt belopp 0 x 1 x 1,05 x 1,05 1,05 = x 1,05 10 x 1,05 10 = 0000 x 1,05 10 = 0000 x 0000 0,6139 178 = 0000 10 1,05 = 0000 1,05 10 14

En obligation kostar på marknaden 10 000:- idag och kan lösas in om 10 år till beloppet 0 000:-. Ingen årlig utdelning förekommer. Vad motsvarar detta för årlig ränta, (d.v.s. vad är marknadsräntan för obligationen)? tidpunkt belopp 0 10000 1 10000 x 10000 x 10 10000 x 10 = 0000 x = tillväxtfaktor 10000 x ( x 10 ) 0,1 10 = = 0000 0,1 x 10 0,1 x 10 = 0000 = = 10000 x 1,071773 0,1 tillväxtfaktor = 1,071773 Den årliga räntan är knappt 7,18% Antag att marknadsaktörernas inflationsförväntningar stiger (d.v.s. man förväntar sig att den årliga inflationen skall bli högre än tidigare, varje år under 10-årsperioden). Marknadsräntan för obligationen stiger därför till 8%. Vad blir då kursen idag för ovanstående obligation? tidpunkt belopp 0 x 1 x 1,08 10 x 1,08 10 = 0000 tillväxtfaktor = 1,08 x 1,08 10 = 0000 0000 0,463 964 x = 0000 1,08 10 15

Nuvärdesberäkningar Vid (exempelvis) en beräkning av en investerings lönsamhet måste hänsyn tas till att kostnader och intäkter inträffar i olika tidpunkter. Normalt är en intäkt/kostnad mindre värd/kostsam ju längre fram i tiden den inträffar Exempel: Personen i tidigare exempel är indifferent mellan (tycker exakt lika bra om) att få 178:- idag eller 0000:- om 10 år, eftersom 178:- idag kan investeras till 5% ränta och växa till 0000:- om 10 år. Man säger då att nuvärdet av 0000:- om 10 år vid diskonteringsräntan 5% är 178:- PV Nuvärdet PV (present value) av beloppet x:- om n år vid diskonteringsräntan i = x = x(1 + i n ( 1+ i) ) n Diskonteringstabell 1: ( 1+ i) n Nuvärdet av en krona som utfaller efter n år vid olika räntesatser år/ränta 0,0 0,03 0,05 0,07 0,10 1 0,9804 0,9709 0,954 0,9346 0,9091 0,961 0,946 0,9070 0,8734 0,864 3 0,943 0,9151 0,8638 0,8163 0,7513 4 0,938 0,8885 0,87 0,769 0,6830 5 0,9057 0,866 0,7835 0,7130 0,609 10 0,803 0,7441 0,6139 0,5083 0,3855 0 0,6730 0,5537 0,3769 0,584 0,1486 30 0,551 0,410 0,314 0,1314 0,0573 16

Ofta förekommer det att samma intäkts- eller kostnadspost återkommer flera år i rad: Nuvärdet av 10 000 kronor (i slutet av) varje år från år 1 till år 3 vid diskonteringsräntan 5% PV = 10000 1,05 1 + 10000 1,05 + 10000 1,05 3 PV 0,954 0,9070 0,8638 10000 (0,954 + 0,9070 + 0,8638) = 10000,73 = 73 PV Nuvärdet PV (present value) av beloppet x:- (i slutet av) varje år i n år vid diskonteringsräntan i är = n t = 1 x(1 + i) t = x(1 + i) Diskonteringstabell : n t = 1 1 + x(1 + i) (1 + i)... x(1 + i) n 1 (1 + i) = x i Nuvärdet av en krona som utfaller i slutet av varje år i n år vid olika räntesatser år/ränta 0,0 0,03 0,05 0,07 0,10 1 0,980 0,971 0,95 0,935 0,909 1,94 1,913 1,859 1,808 1,736 3,884,89,73,64,487 4 3,808 3,717 3,546 3,387 3,170 5 4,713 4,580 4,39 4,100 3,791 10 8,983 8,530 7,7 7,04 6,145 0 16,351 14,877 1,46 10,594 8,514 30,396 19,600 15,37 1,409 9,47 t n 17

PV Nuvärdet PV av beloppet x:- (i slutet av) varje år i ett oändligt antal år vid diskonteringsräntan i är = t = 1 x(1 + i) = x(1 + i) + x(1 + i)... i all oändlighet = x i t 1 1 Nuvärdet av 10 000 kronor (i slutet av) varje år från år 4 till år 10 vid diskonteringsräntan 5% Beräknas som nuvärdet av 10 000 kronor varje år från år 1 till 10 minus nuvärdet av 10 000 kronor varje år från år 1 till 3 PV 10000 (7,7,73) = 10000 4,999 = 49990 Diskonteringstabell : Nu även med oändlig tid år/ränta 0,0 0,03 0,05 0,07 0,10 1 0,980 0,971 0,95 0,935 0,909 1,94 1,913 1,859 1,808 1,736 3,884,89,73,64,487 4 3,808 3,717 3,546 3,387 3,170 5 4,713 4,580 4,39 4,100 3,791 10 8,983 8,530 7,7 7,04 6,145 0 16,351 14,877 1,46 10,594 8,514 30,396 19,600 15,37 1,409 9,47 50,000 33,333 0,000 14,86 10,000 18

Funktioner En funktion illustrerar ett samband mellan två (eller flera) variabler En variabel y är en funktion av en annan variabel x, om det till varje värde som x som får anta (definitionsmängden för x) är ordnat ett och endast ett värde på y y = f(x) eller enbart y(x) Linjära funktioner y = a + bx y Antag x 0 a+b a+b a x = 1 y = b 1 x a = interceptet, skärningen med y-axeln (där värdet för x = 0) b = linjens lutning, definierad som kvoten y/ x för två godtyckliga punkter på linjen b > 0 innebär positiv lutning b < 0 innebär negativ lutning b = 0 innebär att y-värdet är konstant, oberoende av x f(x 0 ) betyder funktionens värde för x = x 0 För funktionen ovan är exempelvis f() = a+b 19

Ekonomiskt exempel: q = c dp Efterfrågad kvantitet (q) är beroende av priset (p). När priset ökar sjunker efterfrågad kvantitet (d > 0 -d < 0) q q = c dp c För att q = 0 krävs att c-dp = 0 dp = c p = c/d f(c/d) = 0, medan f(0) = c Inversfunktionen Om y(x) är strikt stigande eller sjunkande existerar inversfunktionen x(y). (Obs y(x) behöver inte vara linjär) c/d p q = c dp p = c d 1 d q linjens lutning = -1/d p p = c d 1 d q c/d D OBS: I ekonomiska modeller är det vanligt att man beskriver sambandet mellan pris och kvantitet med p på yaxeln och q på x-axeln oavsett om q(p) eller p(q) efterfrågekurvan ofta betecknad D (demand) c q 0

Hur påverkas funktionssamband av ändrade förutsättningar? p 600 q = 1000 p p = 500 0, 5q 500 Exempel: Efterfrågesamband D 0 D 1 00 D 1000 100 1500 q Utgångsläget D 0 D 1 visar vad som händer om efterfrågad kvantitet ökar med 50 % vid alla priser 1 q = 1,5(1000 p) = 1500 3p p = 500 q 3 D visar vad som händer om efterfrågad kvantitet stiger med en given storlek (00) vid alla priser q = 100 p p = 600 0, 5q 1

p 750 700 q = 1000 p p = 500 0, 5q 500 00 D 0 D 1 D 1000 1400 q Utgångsläget D 0 D 1 visar vad som händer om samtliga konsumenter är beredda att betala 50 % mer för varan 4 p = 1,5(500 0,5q) = 750 0,75q q = 1000 3 p D visar vad som inträffar om samtliga konsumenter är beredda att betala ett givet belopp (00 kronor) mer för varan p = 700 0,5q q = 1400 p

Linjära ekvationssystem Låt såväl efterfrågad kvantitet som utbjuden kvantitet vara linjära funktioner av priset Efterfrågesambandet (D) visas av p = 500 q Utbudssambandet (S) visas av p = 15 + 0, 5q p 500 S p* = jämviktspris q* = jämviktskvantitet p* 15 D -50 q* 500 q Ekvationssystemet löses lämpligen med substitutionsmetoden, vilket innebär att man först löser ut den ena variabeln som en funktion av den andra (vilket i detta exempel redan är gjort) och sen sätter in denna lösning i den återstående ekvationen 500 q = 15+ 0,5q q* = 50 500 15= 0,5q + q 1,5 q = 375 I nästa steg: p = 500 q * p* = 50 3

Icke-linjära funktioner Icke-linjära funktioner kan matematiskt se ut på väldigt många olika sätt. 0,5 1 3 y = x y = x y = x y = x y = a + bx + är exempel på potensfunktioner, d.v.s. funktioner där förklaringsvariabeln (x) förekommer upphöjt till ett positivt eller negativt tal. Den sista utgör en generell kvadratisk funktion cx Ekonomiskt exempel: Antag att efterfrågesambandet ett visst företags produkt gäller efterfrågan på Företagets totala intäkter (TR) som en funktion av den kvantitet som företaget säljer (q) är då en kvadratisk funktion TR = pq = ( 500 q) q = 500q q p = 500 q Observera att konstanten = 0 eftersom q = 0 TR = 0 TR 6500 60000 40000 TR (tusen) q 0 0 40 100 60 00 6,5 50 60 300 40 400 0 500 100 00 50 500 q 4

Lutningen på en icke-linjär funktion varierar längs kurvan och definieras för en viss punkt på kurvan som lutningen för tangenten till punkten = derivatan till funktionen i denna punkt Derivatan av y = f(x) är i sin tur en funktion av x och skrivs vanligen som dy f ( x), eller y dx I vårt exempel där TR =f(q) skriver vi Genom att utnyttja deriveringsreglerna får vi i vårt exempel: f ( q) = 500q q f ( q) = 500 q dtr f ( q), eller TR dq TR 6500 60000 40000 dtr/dq q 500 0 300 100 100 00 0 50-100 300-300 400-500 500 100 00 50 500 q 5

De enklaste deriveringsreglerna y = f ( x) = a f '( x) = 0 n y = f ( x) = ax f '( x) = nax Exempel: y = 5x f '( x) = 1 5x 0 = 1 y = 3x f '( x) = 3x = 6x y = = 1 y = = x x f '( x) = 1 x 3 x f '( x) = 3 x 6x 1 1 = 5 x n 1 y = f ( x) = h( x) + g( x) f '( x) = h ( x) + g ( x) Exempel: 3 y = 10 + 5x + x f '( x) = 5 + 6x TR = f ( q) = 500q q f ( q) = 500 q Marginella och totala samband Derivatan till en funktion visar funktionens förändringstakt i en viss given punkt på kurvan, d.v.s. i vilken takt funktionens värde förändras om man marginellt ändrar värdet för förklaringsvariabeln Om den ursprungliga funktionen visar ett totalsamband visar derivatan motsvarande marginella samband Exempel: Derivatan av totalintäktsfunktionen (TR) visar marginalintäktsfunktionen (MR) TR = f ( q) = 500q q MR = f ( q) = 500 q MR visar alltså i vilken takt totalintäkten förändras om man förändrar den kvantitet man säljer marginellt 6

Exempel: Ett företag säljer en vara till ett konstant pris 10:-, respektive 0:- per enhet. Företagets totala intäkt är en funktion av kvantiteten TR TR = 0q 0000 TR = 10q 10000 1000 q Företagets marginalintäkt är här konstant och lika med priset för varan MR 0 MR = dtr/dq = 0 10 MR = dtr/dq = 10 1000 q 7

Från ytan under den funktion som visar det marginella sambandet kan man också härleda det totala sambandet Hur mycket ökar företagets totala intäkter om q ökar från 500 till 1000? Antag här att priset = 0:- TR TR = 0q Intäktsökning = 0000 10000 = 10000 0000 10000 500 1000 q MR Intäktsökning = 0 500 = 10000 0 MR = 0 500 1000 q 8

Antag att företagets totala kostnader (TC) visas av funktionen TC = 4000 + 0,01q TC TC = 4000 + 0,01q 6500 kostnadsökning = 14000 6500 = 7500 14000 6500 4000 500 1000 1500 q TC q 4000 0 6500 500 14000 1000 6500 1500 44000 000 Marginalkostnaden (MC) visas av derivatan till TC- funktionen, MC = 0,0q MC MC = 0,0q 30 0 10 kostnadsökning = 10 500+ 10 500/=7500 MC q 0 0 10 500 0 1000 30 1500 40 000 500 1000 1500 q 9

Optimering Att söka en funktions högsta eller lägsta värden (maximum eller minimum) Exempel: Att bestämma den kvantitet som maximerar företagets vinst Att bestämma den kombination av olika produktionsfaktorer som minimerar företagets produktionskostnad för en given kvantitet En funktions maximum och minimum finner man antingen där funktionen vänder eller i någon ändpunkt (om sådana finns) y f(x) Antag att funktionerna är definierade endast för x o g(x) x 0 x 1 x Lokalt och globalt maximum och minimum f(x) har ett lokalt maximum där x = x 0. Detta utgör även ett globalt maximum. g(x) har lokala maximum där x = 0 och x = x 1. Den har sitt globala maximum där x = 0. g(x) har ett lokalt minimum där x = x 0, men såväl g(x) som f(x) verkar saknar globala minimum (så vitt man kan se av grafen) 30

Där funktionen vänder är derivatan (normalt) = 0, vilket ger oss följande metod för att finna ett globalt maximum eller minimum Bestäm för vilket/vilka värden på x som derivatan = 0 och huruvida det rör sig om lokala maximum eller minimum y y f(x) f(x) x 0 x x 0 x Undersök derivatan strax före x 0 (x = x 0 - x) respektive strax efter x 0 (x = x 0 + x) f (x 0 - x) f (x 0 ) f (x 0 + x) typ av extremvärde positiv noll negativ lokalt maximum negativ noll positiv lokalt minimum Bestäm funktionens värde (d.v.s. värdet för variabeln y) för de värden på x man hittat och jämför med eventuella ändpunkter för att avgöra vad som utgör globalt maximum eller minimum 31

Exempel 1: Bestäm den kvantitet som maximerar intäkterna om TR = f ( q) = 500q q MR = f ( q) = 500 q = 0 q* = 50 f ( 49) = 500 49 = > 0 f (51) = 500 51= < 0 Funktionen har således ett lokalt maximum för q = 50 f (50) = 500 50 50 = 6500 f ( 0) = 0 En jämförelse med ändpunkten visar att q = 50 även är ett globalt maximum Exempel : Bestäm den kvantitet som maximerar vinsten Företagets vinst π (q) = TR(q) TC(q) TR = 0q TC = 4000 + 0,01q π(q) = 0q (4000 + 0,01q ) π ( q) = 0 0,0q = 0 q* = 1000 π ( 999) = 0 0,0 999 > 0 π '(1001) = 0 0,0 1001< 0 Vinstfunktionen har således ett lokalt maximum för q = 1000 π (1000) = 0 1000 (4000 + 0,01 1000 π ( 0) = 4000 ) = 6000 En jämförelse med ändpunkten visar att q = 1000 även är ett globalt maximum Alternativt sätt att bestämma lokalt maximum för vinstfunktionen: π ( q ) = TR ( q) TC ( q) = 0 MR MC = 0 MR = MC MR = 0 MR MC 0 = 0,0q q* = 1000 För lokalt maximum önskar vi sedan att: MC = 0,0q MR MC > 0 för q något mindre än q* MR > MC MR MC < 0 för q något större än q* MR < MC 3

Grafisk illustration TC TR TC π q 0 4000-4000 0 10000 6500 3500 500 0000 14000 6000 1000 30000 6500 3500 1500 40000 44000-4000 000 TC TR 0000 14000 6000 3500-4000 500 1000 1500 π q Vinsten maximeras där MR = MC, d.v.s. där lutningen på TR = lutningen på TC. MR > MC för q strax under 1000 och MR < MC för q strax över 1000 lokalt maximum MC 30 0 10 MC MR MR MC q 0 0 0 0 10 500 0 0 1000 0 30 1500 0 40 000 500 1000 1500 q 33

Funktioner av två variabler Exempel: En produktionsfunktion, där den producerade kvantiteten (q) antas vara en funktion av mängden kapital (K) och arbetskraft (L) q = f(k,l) Även nu visar derivatan funktionens förändringstakt i en viss given punkt på kurvan, d.v.s. i vilken takt funktionens värde förändras om man marginellt ändrar värdet för förklaringsvariabeln, men nu finns det två förklaringsvariabler Partialderivator q K q L = partialderivatan med avseende på K. Visar hur q förändras om K förändras samtidigt som L hålls konstant = partialderivatan med avseende på L. Visar hur q förändras om L förändras samtidigt som K hålls konstant När man deriverar partiellt skall man behandla den andra variabeln som en konstant Exempel 1: f(k,l) = K + 0K+ L 3 q K q = K + 0 = 3L L Exempel : f(k,l) = K + LK + 5L q K q = K + L = K + 5 L 34

Nivåkurvor För att undvika tredimensionella figurer åskådliggörs en funktion av två variabler grafiskt vanligen med hjälp av nivåkurvor, som sammanbinder olika kombinationer av förklaringsvariablerna som ger ett visst värde för funktionen Exempel q = f(k,l) = KL Nivåkurvan för q = 100: 100 KL = 100 K = L På motsvarande sätt härleds andra nivåkurvor K 5 K=100/L K L q = KL 4 5 100 5 0 100 8 1,5 100 10 10 100 1,5 8 100 0 5 100 5 4 100 0 1,5 10 8 5 4 q=150 q=10 q=100 4 5 8 10 1,5 0 5 L 35

Optimering med två förklaringsvariabler, med och utan bivillkor Antag ett företag som tillverkar två olika varor. Producerad och såld kvantitet betecknas X och Y vinstfunktionen: π(x, Y) Y X + Y = 100 100 Y 0 Y 1. π =1000 π =000 π =3000 π =6000 π =5000 π =4000 X 1 X 0 100 X Antag att företaget kan välja kvantiteter fritt Vinsten maximeras med kombinationen X 0, Y 0, där båda partialderivatorna = 0 (OBS, generellt krävs att man går vidare för att avgöra huruvida detta är π π = 0 = 0 X Y maximum, minimum eller något annat) Antag att företaget inte kan välja kvantiteter fritt Vi har ett bivillkor som säger att företaget totalt måste producera och sälja 100 enheter, d.v.s. X + Y = 100 (se den streckade linjen i figuren, som visar nivåkurvan för kvantiteten 100) Vinsten maximeras med kombinationen X 1, Y 1, där den nivåkurva som visar bivillkoret tangerar en nivåkurva för den funktion som skall optimeras, d.v.s. där de har exakt samma lutning 36

Exempel: Ett minimeringsproblem med bivillkor Säg att företaget i tidigare exempel vill producera q = 100 så billigt som möjligt. Kombinera nivåkurvan för q = 100 med nivåkurvor som binder ihop olika kombinationer av K och L som kostar företaget lika mycket Antag att varje enhet K kostar 50:- och varje enhet L kostar 1000:- TC = f(k,l) = 50K + 1000L K 40 TC = 10000:- TC = 5000:- K = 0-4L K L TC 0 0 5000 10,5 5000 4 4 5000 4,5 5000 0 5 5000 5 0 1,5 10 8 5 4 Företagets val q=100 (bivillkor) K = 40-4L K L TC 40 0 10000 0 5 10000 8 8 10000 4 9 10000 0 10 10000 4 5 8 10 1,5 0 5 L Lösningen till företagets problem (K = 0, L = 5) finner vi där nivåkurvan som visar den önskade kvantiteten tangerar en nivåkurva som visar kostnaden, d.v.s. där nivåkurvorna har samma lutning 37

Uppgifter Funktioner och ekvationssystem Uppgift 1 Vilma har 10 000:- att årligen spendera på antingen bio- eller restaurangbesök. Hon skall använda hela summan och inget annat användningsområde är aktuellt. Ett biobesök kostar 100:-, medan ett restaurangbesök kostar 500:-. Låt oss beteckna antalet biobesök med B och antalet restaurangbesök med R. a) Illustrera grafiskt i en figur med R på x-axeln och B på y-axeln de kombinationer av R och B som är möjliga för henne. Var noga med att ange kvantiteterna vid skärningspunkterna med de båda axlarna. b) Antalet biobesök hon kan göra beror förstås på hur många restaurangbesök hon gör, d.v.s. B = f (R). Bestäm det matematiska utseendet på denna funktion. c) Vad är alternativkostnaden för ett restaurangbesök. OBS, var noga med definitionen! Uppgift Ett företag producerar en vara med hjälp av produktionsfaktorerna kapital (K) och arbetskraft (L). Priset per enhet kapital är 50 000:-, medan priset per enhet arbetskraft är 100 000:-. a) Illustrera grafiskt de kombinationer av kapital och arbetskraft som innebär att företaget har en total kostnad på 15 miljoner kr i en figur där K mäts på y-axeln och L på x-axeln. Beräkna/märk ut skärningspunkterna med respektive axel. b) Bestäm det matematiska utseendet på den funktion som illustreras ovan, med K = f (L). Använd sedan funktionen för att bestämma lutningen på funktionen. Uppgift 3 Följande information är känd om en marknad: Vid priset 800:- efterfrågas 000 enheter Vid priset 400:- efterfrågas 6000 enheter Sambandet mellan pris och efterfrågad kvantitet är linjärt Bestäm det matematiska uttrycket för den funktion som visar hur priset på marknaden beror på kvantiteten, d.v.s. p = f (Q), samt illustrera funktionen grafiskt, med priset på y-axeln. Utmärk särskilt skärningspunkterna på respektive axel. 38

Uppgift 4 Jämviktsvillkoret i en makroekonomisk modell kan skrivas Y = C + I + G + NX, där symbolerna står för: Y = BNP, C = konsumtion, I = investeringar, G = offentlig förbrukning och NX = nettoexporten, som i sin tur är skillnaden mellan export (X) och import (IM), d.v.s. NX = X IM. För ett visst land gäller att investeringar, offentlig förbrukning och export är oberoende av Y, medan konsumtion och import beror på storleken på Y. Antag att I = 4000, G = 000 och X = 00. Hur C och IM varierar med några olika värden på Y framgår av tabellen nedan: Y C IM 10000 8600 300 1000 1000 3800 a) Antag att såväl sambandet mellan C och Y och sambandet mellan C och IM är linjärt. Bestäm de båda funktionernas utseende matematiskt, d.v.s. C = f (Y ) och IM = f (Y ). b) Bestäm jämviktsnationalinkomsten Y. Uppgift 5 Vid priset 100:- efterfrågas 16000 enheter, medan endast 400 enheter bjuds ut. Vid priset 300:- efterfrågas 8000 enheter, medan 1300 enheter bjuds ut. Såväl efterfrågad som utbjuden kvantitet är linjära funktioner av priset. a) Bestäm efterfrågad kvantitet och utbjuden kvantitet som funktioner av priset b) Bestäm de båda inversfunktionerna c) Bestäm jämviktskvantitet och jämviktspris Visa i samtliga fall de beräkningar som lett fram till ert resultat Uppgift 6 Följande är känt om efterfråge- och utbudssambandet på en marknad. I båda fallen är kvantiteten en funktion av priset. I båda fallen är sambanden linjära När priset är 100:- är den efterfrågade kvantiteten 90 000 och den utbjudna kvantiteten 40 000. När priset är 180:- är den efterfrågade kvantiteten 80 000 och man har samtidigt marknadsjämvikt. a) Bestäm efterfrågad och utbjuden kvantitet som funktioner av priset. b) Antag att den efterfrågade kvantiteten på marknaden ökar med 1% vid varje pris. Beräkna den nya marknadsjämvikten, (pris och kvantitet) 39

Uppgift 7 Om efterfrågan på en viss produkt vet vi följande: Vid priset 300:- efterfrågas 1000 enheter. Vid priset 400:- efterfrågas 800 enheter. Sambandet mellan pris och kvantitet är linjärt. a) Bestäm den funktion som visar efterfrågan (Q) som en funktion av priset (P), d.v.s. funktionen Q (P). b) Antag att produktens kvalitet förbättras. Vi vet att detta innebär att alla är beredda att betala 100:- mer för produkten än tidigare. Hur ser nu funktionen Q(P) ut? c) Antag åter att produktens kvalitet förbättras men att det nu istället innebär att alla är beredda att betala 5 % mer för produkten än tidigare. Hur ser nu funktionen Q(P) ut? Observera att b) och c) utgör två skilda fall, så att ni vid lösning av c) åter startar i det utgångsläge som beskrivs först i uppgiften. Tillväxt- ränte- och nuvärdesberäkningar Uppgift 1 Nuvarande konsumentprisindex (KPI) för Sverige har 1980 som bas, d.v.s. KPI för 1980 sattes lika med 100. År 010 hade KPI ökat till 30,47. Vad motsvarar förändringen i KPI i genomsnittlig årlig inflation under perioden? Uppgift Antag att marknadspriset idag för en statsobligation som kan lösas in om 10 år är 16 000:-. När obligationen löses in ger staten 5 000:- för den. a) Beräkna vilken årlig ränta obligationen ger med två decimaler. b) Beräkna marknadspriset idag om obligationen istället skulle ha gett en årlig ränta på 6%. Uppgift 3 När riksbanken sänkte reporäntan till %, sjönk räntan för en tioårig statsobligation från,6 % till,5 %. Antag att statsobligationen kan lösas in om 10 år för 100 000:-. Bestäm utifrån de angivna räntorna priset på statsobligationen, dels före räntesänkningen, dels efter räntesänkningen. Uppgift 4 a) Antag att marknadspriset för en obligation idag är 7000:-. Du kan lösa in obligationen om tio år och får då 10000:- för den. Vilken årlig ränta ger obligationen? Ange svaret med två decimaler. 40

b) Nu går det två år. Samma obligation (som alltså då skall lösas in till 10000:- om åtta år) har nu en marknadsränta på exakt 4%. Vad är dess marknadspris? Ange svaret uttryckt i hela kronor. Uppgift 5 En obligation som löses in 15/ 0 till beloppet 1 000 000:- har 15/ 01 priset 795 050:-. Obligationen ger inga utdelningar under tiden. a) Bestäm marknadsräntan för obligationen 15/ 01 med två decimalers noggrannhet. b) Nu går det fyra år och vi befinner oss den 15/ 016. Antag att marknadsräntan för denna specifika obligation fortfarande är densamma som 15/ 01. Bestäm priset på obligationen 15/ 016. Uppgift 6 Antag att du skall köpa en vara, vars pris är 80 000:- om du betalar kontant idag. Du kan emellertid välja två andra betalningsalternativ och det är dessa som frågan behandlar. Alternativ A: Du betalar varan först om fem år, men får då betala 10 000:- Alternativ B: Du betalar inget idag, men sen får du betala 0 000:- om ett år, 0 000:- om två år o.s.v. varje år i fem år, d.v.s. sammanlagt 100 000:- a) Beräkna vilken årlig ränta som alternativ A innebär. Redovisa beräkningen kort! b) Beräkna nuvärdet av kostnaden i alternativ B, givet en diskonteringsränta på 5%. Diskonteringstabeller återfinns i slutet av tentamen. Redovisa beräkningen kort! Uppgift 7 Ett företag kan investera 0 miljoner idag, och väljer mellan två olika projekt, A och B. I projekt A får man årliga överskott på miljoner kr varje år i femton år, (från år 1 till år 15). I projekt B får man vänta till år sex innan man får avkastning på sin investering, Man får sen ett årligt överskott på 3 miljoner kr varje år i 10 år, (från år 6 till år 15). Den diskonteringsränta man använder sig av i sina investeringskalkyler är 5%. Beräkna nuvärdet av de två projekten (inklusive investeringskostnaden) för att avgöra vilket som är mest lönsamt att genomföra, eller om det kanske skulle vara bäst att inte genomföra något av dem. Diskonteringstabeller hittar ni längst bak i tentamen. Uppgift 8 Ett företag väljer mellan att investera i två olika projekt A och B. Båda har en livslängd på 0 år och kräver samma initiala investeringskostnad. I projekt A får man överskott på 10 miljoner varje år i 0 år (från år 1 till år 0). I projekt B får man inga överskott (eller underskott) de 10 första åren. Från och med år 11 har man dock årliga överskott på 5 miljoner under resten av perioden (från år 11 till år 0). Det visar sig att vid normala diskonteringsräntor är båda projekten lönsamma. Men vilket av projekten som är mest lönsamt beror på vilken diskonteringsränta man an- 41

vänder sig av i sin investeringskalkyl. Förklara detta genom egna beräkningar med hjälp av de diskonteringstabeller som bifogas sist i tentamen. Optimering Uppgift 1 Ett företags totala kostnader som en funktion av producerad kvantitet uttryckt i ton visas av funktionen TC = Q 3 18Q + 00Q, där TC visar total kostnad och Q visar produktionens storlek. a) Hur stora är företagets totala fasta kostnader? b) Hur ser företagets marginalkostnadsfunktion ut, d.v.s. marginalkostnaden som en funktion av kvantiteten? c) Bestäm den kvantitet, vid vilken marginalkostnaden är som allra lägst. Bestäm också storleken på marginalkostnaden vid denna kvantitet. Uppgift För ett företag gäller att den totala genomsnittskostnaden som en funktion av producerad kvantitet kan skrivas ATC = Q 57Q + 000 a) Hur stora är företagets fasta kostnader? Förklara! b) Hur ser företagets totalkostnadsfunktion ut, d.v.s. totalkostnaden som en funktion av producerad kvantitet. c) Hur ser företagets marginalkostnadsfunktion ut, d.v.s. marginalkostnaden som en funktion av producerad kvantitet? d) Bestäm den kvantitet, vid vilken marginalkostnaden är som allra lägst. Visa att lösningen innebär ett minimum och inte ett maximum. Bestäm även marginalkostnaden vid denna kvantitet. Visa och förklara beräkningarna. Endast matematiskt strikta lösningar godkänns. Uppgift 3 Ett företags totala kostnader som en funktion av producerad kvantitet kan skrivas som 3 TC = Q 10Q + 3000Q Bestäm den kvantitet vid vilken företagets marginalkostnad är som allra lägst. Visa att lösningen verkligen utgör ett minimum. Bestäm även marginalkostnadens storlek vid denna kvantitet. Uppgift 4 Ett företags genomsnittskostnad beror på producerad kvantitet enligt funktionen 4000 ATC = 500 + 10Q + Q 4

a) Bestäm företagets marginalkostnadsfunktion MC = f (Q) b) Bestäm storleken på företagets fasta kostnad c) Bestäm den kvantitet som minimerar genomsnittskostnaden, samt såväl genomsnittskostnadens som marginalkostnadens storlek vid denna kvantitet. Visa att den lösning du funnit verkligen är ett minimum och inte ett maximum. Kommentera och skissa grafiskt hur MC och ATC ser ut och förhåller sig till varandra i detta fall. Uppgift 5 Ett företag kan själv bestämma vilket pris man skall sälja sin vara till, men ju högre pris man tar ut desto mindre kvantitet får man sälja. Sambandet visas av P = 1000 Q. Företagets fasta kostnad är 10 000 och den rörliga kostnaden = 50Q + 3Q. a) Skriv företagets vinst som en funktion av producerad/såld kvantitet. Förenkla uttrycket så långt som möjligt! b) Bestäm den kvantitet och det pris som maximerar företagets vinst, samt bestäm den maximala vinstens storlek. Visa beräkningarna! Uppgift 6 Efterfrågan på ett företags produkt som en funktion av priset visas av Q = 05 0, 05P, medan den funktion som visar hur företagets kostnad beror på producerad kvantitet visas av C = 5000 + 00Q + 10Q. Företaget säljer alla enheter till samma pris. a) Teckna företagets vinst som en funktion av producerad/såld kvantitet, π = f (Q), och förenkla uttrycket så långt som möjligt. Ledning: Gör först om företagets efterfrågefunktion så att den visar priset som en funktion av såld kvantitet! b) Bestäm, utifrån vinstuttrycket i a-uppgiften, vilken kvantitet och vilket pris som maximerar företagets vinst. Visa att den lösning du erhåller verkligen är ett maximum och inte ett minimum. Beräkna även vinstens storlek för att säkerställa att det inte hade varit allra bäst för företaget att inte producera någonting alls. Uppgift 7 Ett företags genomsnittliga rörliga kostnader (AVC) som en funktion av producerad kvantitet visas av AVC = Q 60Q + 1500. Företagets fasta kostnad är 8000. a) Bestäm den kvantitet vid vilken AVC är som allra lägst. Visa att det verkligen rör sig om ett minimum (och exempelvis inte ett maximum). Bestäm också storleken på AVC när den är som allra lägst. OBS: Det är inte tillåtet att hitta lösningen genom att testa sig fram med olika Q- värden! b) Bestäm marginalkostnadsfunktionen (MC), samt beräkna utifrån denna MC vid den kvantitet där AVC är som allra lägst enligt svaret i uppgift a). Visa också matematiskt om MC är stigande, sjunkande eller konstant vid denna kvantitet. 43

Uppgift 8 Det pris ett företag kan sälja sin vara till visas av funktionen P = 1000 5Q. Företagets produktionskostnader kan delas in i en fasta kostnader och rörliga kostnader. Vi vet att företagets totala rörliga kostnader kan skrivas som TVC = 10Q + 0,Q. Vi vet också att företagets totala genomsnittskostnad vid produktionen Q = 100 är 100, d.v.s. ATC ( 100) = 100.. a) Bestäm företagets fasta kostnader. b) Bestäm företagets vinstfunktion. Förenkla den så långt som möjligt. c) Bestäm den kvantitet som maximerar företagets vinst, det pris företaget då skall ta ut samt vinstens storlek när man vinstmaximerar. Uppgift 9 Ett företags genomsnittligt rörliga kostnader som en funktion av producerad kvantitet uttryckt i ton visas av AVC = Q 10Q + 375. Företagets fasta kostnad är 8000. Företaget säljer sin produkt på en marknad till ett pris som varierar med hur mycket företaget säljer på marknaden. Det pris som företaget kan ta ut vid en viss såld kvantitet visas av P = 1875 0Q a) Bestäm utseendet på företagets vinstfunktion π (Q), d.v.s. den funktion som visar företagets vinst vid olika producerade/sålda kvantiteter. b) Bestäm den kvantitet som maximerar företagets vinst. Visa att det verkligen är den kvantitet som maximerar vinsten (och exempelvis inte minimerar den). Bestäm även vinstens storlek. c) Antag att företagets fasta kostnad hade varit 80000 istället för 8000. På vilket sätt hade detta påverkat företagets val av producerad kvantitet? Uppgift 10 För ett företag föreligger nedanstående information. Det pris som företaget kan sälja sin produkt för beror på hur mycket man producerar och säljer enligt funktionen P = 980 6Q. Alla enheter av varan måste säljas till samma pris. Företagets fasta kostnad är 1000:- Marginalkostnaden är konstant, d.v.s. oberoende av produktionens storlek, och lika med 0:-. a) Bestäm ATC som en funktion av producerad kvantitet, ATC = f (Q). Använd sedan uttrycket för att beräkna ATC för kvantiteterna 50 och 100, samt visa utseendet på ATC och MC grafiskt i samma figur, b) Teckna företagets vinst som en funktion av producerad/såld kvantitet, π = f (Q), och förenkla uttrycket så långt som möjligt c) Bestäm, utifrån uttrycket i b-uppgiften, vilken kvantitet som maximerar företagets vinst. Visa att den lösning du erhållit verkligen är ett maximum och inte ett minimum. Beräkna även vilket pris företaget kommer att ta ut samt företagets vinst. 44

Marginella och totala samband, tolkning av ytor i grafer Uppgift 1 Ett företags marginalkostnadsfunktion visas av MC = 000 + 10Q, där Q visar produktionen i ton. Illustrera funktionen grafiskt samt visa hur man med hjälp av grafen kan lösa följande problem: Hur mycket ökar företagets kostnad om företaget ökar sin produktion från 100 till 00 ton? Visa beräkningarna! Uppgift För ett företag har vi information om marginalkostnad (MC) och totalintäkt (TR) vid två olika kvantiteter. Q MC TR 000 60 840 000 3000 340 160 000 Vidare vet vi att såväl MC som MR (marginalintäkten) är linjära funktioner av kvantiteten. a) Bestäm det matematiska utseendet på MC och MR som funktioner av Q. Illustrera de båda funktionerna grafiskt. Markera särskilt i figuren skärningarna med Q-axeln och de värden som gäller i dessa punkter. b) Använd figuren för att bestämma hur mycket företagets vinst förändras om man ökar sin produktion från 4000 till 5000. Förklara hur ni har gått tillväga! Uppgift 3 För ett företag gäller att den genomsnittligt fasta kostnaden (AFC) är 1000:-/kg vid produktionsvolymen 000 kg a) Bestäm företagets totala genomsnittskostnad (ATC) vid produktionsvolymen 1000 kg om marginalkostnaden är konstant och lika med 1500:-. Visa beräkningarna! b) Bestäm företagets totala genomsnittskostnad vid produktionsvolymen 1000 kg om marginalkostnaden är en funktion av producerad volym och sambandet visas av funktionen MC = 00 + Q, där Q visar produktionen uttryckt i kg. Visa beräkningarna! 45

Uppgift 4 Figuren nedan visar ett företags marginalkostnad som en funktion av producerad kvantitet. MC 300:- MC 00:- 1000 000 Q a) Bestäm funktionens utseende matematiskt, d.v.s. MC = f (Q). b) Antag att vi vet att företagets totala kostnad som en funktion av producerad kvantitet kan beskrivas med en av funktionerna nedan. 1) ) 3) 4) TC = 00 + 100Q + 0,05Q TC = 100 + 100Q + 0,1Q TC = 00 + 1000Q + 0,1Q TC = 100 + 1000Q + 0,05Q Avgör vilken av funktionerna som är den rätta och motivera tydligt varför! c) Antag att företaget skall öka sin producerade kvantitet från 1500 till 000. Använd figuren ovan, med nödvändiga kompletteringar, för att beräkna hur mycket detta ökar företagets kostnad. Visa hur du går tillväga! Uppgift 5 Ett företags marginalkostnad beror på hur mycket man producerar enlig funktionen MC = 100 + 0, Q. Företagets fasta kostnad är 75 000. Företaget säljer sin vara på en marknad till det givna priset 400:- per enhet. Företaget producerar ursprungligen 1000 enheter, men tänker nu utöka produktionen till 1300 enheter. Från informationen ovan är det möjligt att illustrera hur företagets vinst förändras när man utökar produktionen, som en yta i en figur. Gör detta, samt beräkna även vinstförändringen. Uppgift 6 För ett företag gäller att genomsnittlig fast kostnad (AFC) är 600:- per producerad enhet vid produktionsvolymen 000 enheter. 46

a) Bestäm genomsnittlig total kostnad (ATC) vid produktionsvolymen 3000 enheter om marginalkostnaden är konstant och lika med 1000:- per enhet. b) Bestäm genomsnittlig total kostnad (ATC) vid produktionsvolymen 1000 enheter om marginalkostnaden istället är stigande med produktionsvolymen och sambandet visas av MC = 100 + Q, där Q visar producerat antal enheter. Visa beräkningarna! Uppgift 7 Du har köpt upp samtliga 000 biljetter till ett musikarrangemang och vill nu sälja dem så att dina intäkter blir så stora som möjligt. Det pris du kan ta ut beror på hur många av biljetterna du säljer, du har nämligen möjligheten att låta bli att sälja samtliga biljetter och därmed låta vissa platser i lokalen stå tomma. Priset som en funktion av kvantiteten visas av P = 1000 0, 315Q. a) Bestäm det pris och den kvantitet som maximerar dina intäkter. Bestäm även hur stora dina intäkter då blir. Visa särskilt att lösningen är ett maximum och ej ett minimum. Observera att endast strikt matematiska lösningar godkänns. Lösningar som bygger på att man testar sig fram ger ej poäng. b) Den totala intäkt du får i optimum kan grafiskt visas som en yta i en figur på två olika sätt. Man utgår då från två skilda samband som båda kan visas i en figur som har kronor på y-axeln och kvantitet på x-axeln. Visa och förklara de båda ytorna tydligt! 47

Lösningar Funktioner och ekvationssystem Uppgift 1 a) B 100 b) 100B + 500R = 10000 B = 100 5R c) Alternativkostnaden för ett restaurangbesök är 5 biobesök 0 R Uppgift a) K 60 150 L b) 50000K + 100000L = 15000000 K = 60 0, 4L. dk dl = 0,4 visar funktionens lutning 48

Uppgift 3 Pris 1000:- Linjens lutning = -1000/10000 = 0,1 800:- P = 1000 0,1Q 400:- 000 6000 10000 Kvantitet Uppgift 4 a) Y C IM 10000 8600 300 1000 1000 3800 C = f (Y ). Eftersom sambandet är linjärt gäller att funktionen kan skrivas på formen C = a + by. 1000 8600 Parametern b får vi från uppgifterna i tabellen som b = = 0, 8. Konstanten a får vi 1000 10000 genom att utnyttja det erhållna värdet på b samt från någon av uppgifterna i tabellen, exempelvis att när Y = 10000 så är C = 8600: 8600 = a + 0,8 10000 a = 600 Den sökta funktionen är C = 600 + 0, 8Y 3800 300 IM = f (Y ) På motsvarande sätt skriver vi IM = a + by, medb = = 0, 3. 1000 10000 Konstanten a beräknas från 300 = a + 0,3 10000 a = 00 Den sökta funktionen är IM = 00 + 0, 3Y b) Lös ekvationen Y = 600 + 0,8Y + 4000 + 000 + 00 (00 + 0,3Y ) Y = 600 + 0,8Y + 4000 + 000 + 00 00 0, 3Y Y = 8600 + 0, 5Y 0,5Y = 8600 Y = 1700 49

Uppgift 5 a) Funktionerna kan skriva på formen Q = a + bp. För att bestämma a och b används informationen ovan. För efterfrågefunktionen har vi ekvationerna 16000 = a + 100b samt 8000 = a + 300b vilket ger a = 0000 och b = -40, vilket ger Q d = 0000 40P. På motsvarande sätt kan utbudsfunktionen bestämmas till Q s = 6000 + 64P. (Funktionen kan förstås bara vara giltig för priser som ger Q 0, d.v.s. för P 6000/64). 6000 1 b) För efterfrågefunktionen: P = 500 0, 05Qd. För utbudsfunktionen P = + Qs eller på 64 64 decimalform P = 93,75 + 0, 01565Q s c) Sätt efterfrågad och utbjuden kvantitet lika med varandra för att finna jämviktspriset. Vid priset 50:- är såväl efterfrågad som utbjuden kvantitet 10000 enheter. Uppgift 6 a) I båda fallen skall funktionen skrivas på formen Q = a + bp, där a visar interceptet, d.v.s. storleken på Q när P = 0 och b visar hur funktionen lutar (riktningskoefficienten). Q 80000 90000 Efterfrågad kvantitet: Lutningen får vi som = = 15. Vi utnyttjar detta värde P 180 100 plus informationen om efterfrågad kvantitet vid något av priserna, exempelvis när priset är lika med 100:-. Q D = a + bp 90000 = a 15 100 a = 10500. Detta ger efterfrågefunktionen Q D = 10500 15P Q 80000 40000 Utbjuden kvantitet: Lutningen får vi som = = 500. Vi utnyttjar detta värde P 180 100 plus informationen om utbjuden kvantitet vid något av priserna, exempelvis när priset är lika med 100:-. Q S = a + bp 40000 = a + 500 100 a = 10000 Detta ger utbudsfunktionen Q S = 10000 + 500 P b) Den nya efterfrågefunktionen får vi som Q D = 1,1 (10500 15P) = 114800 140P För att bestämma jämvikten sätter vi QD = QS 114800 140P = 10000 + 500P 640P = 14800 P * = 195. Genom att sätta in detta värde i antingen efterfråge- eller utbudsfunktion får vi jämviktskvantiteten. Exempelvis i utbudsfunktionen * Q = 10000 + 500 195 = 107500 I den nya jämvikten är priset = 195 och kvantiteten 87500. 50