Försättsblad Denna inlaga till TUN (tekniska utbildningsnämnden) är föranledd a en skrielse från forskningsansariga professorer i fysik angående behoen a analytisk mekanik som det ar nödändigt att bemöta. Inlagan har lagts in här p.g.a. ett blogginlägg från t-profil som hänisar till inlagan. Den som läser inlagan får därmed möjlighet att själ analysera om texten är etenskaplig eller ej. En asikt är att tydliggöra att teknisk fysik är en mycket seriös utbildning som starkt ärnar ett etenskapligt förhållningssätt, där ingenjörsreleanta aspekter dock inte får försummas. Studenter, bliande studenter och framtida arbetsgiare kan känna sig trygga i att teknisk fysik är en garanti för hög kalité med stor releans! 017-11-08 Olo Ågren, Professor i teknisk fysik Programansarig för ciilingenjörsprogrammet i teknisk fysik id Uppsala uniersitet
Analytisk mekanik: Mer generellt än Newton-Maxwells formalism? Olo Ågren, 015-11-16 Bankuror: Låt oss först illustrera att analytisk mekanik för konseratia system endast innebär en d triial omplacering a massan i ekationerna: Rörelseekationen m U( x ), [som ger m U( x ) = konst] kan öerföras till system a första ordningens ODE: Runge-Kutta: Hamiltons ek: p U( x ) m dx dx p m (Lagrange: L p x ) d 1 U m dp U (innebär endast omflyttning a m!) Stelkropp: På motsarande sätt innebär Hamilton-Lagranges ekationer för stelkropp bara att man flyttar om tröghetsmomenten Iij i ekationerna och detta innehåller inget principiellt nytt. De grundläggande relationerna är Eulers ekationer för stel kropp, där ett al att anända Lagrangeformulering dock inte ger någon ny fysik! Det är mer fruktbart att utgå från Newtons ekationer om man ill få med friktion eller magnetkrafter. Man leds då naturligt till att ersätta energianalys med analys a tillförd energi per tidsenhet (maskiningenjörer gör detta!). Genom att utgå från effekt (snarare än energi) ses att för roterande motorer relateras effekt, ridmoment och artal a P (låg äxel ger högt ridmoment, friktion kan tas med.) Ibland anförs att Lagrangebeskrining skulle motsara minimering (Hamiltons princip) a integralen t L [ m U ( x )] t1 I så fall skulle man kunna få fram enkla approximationer med testfunktioner och ariationskalkyl, men det anänds i praktiken aldrig!! Orsaken är att minimering förutsätter att ändpunktsärdena för x ( t ) är fixa!! Ett speciellt område där minimering är fruktbart är bestämning a geodeter inom differentialgeometri (detta och allmän relatiitetsteori ligger dock utanför teknisk fysiks kärnområde). Om man utidgar minimering till fler rumsariabler finns också en rad tillämpningar, men olyckligtis är det inte åt det hållet kursen i analytisk mekanik blickar. I sådana situationer betraktas fältekationer i rummet (till skillnad från banekationer) och man kan ofta omformulera fältekationerna till en minimering (exempelis motsarar 0 a en minimering a fältenergin
3 dx, och liknande minimeringar för fältekationer anänds inom kantmekanik, elasticitetsteori, stabilitetsanalys, egenärdesbestämningar m.h.a. Rayleigh-Ritz m.m.). Ett annat problem med Lagrangebeskriningen är hur krafter som inte uträttar arbete skall tas med. För punktladdning i stationärt elektromagnetiskt fält med potentialerna (, A) är energin d m q( x ) konstant. Deriering ger 0 [ m q ]. Notera att detta inte innebär att termerna inom hakparentesen tar ut arandra om det finns krafter (typiskt ases magnetkrafter) d som inte uträttar arbete. Istället har i 0 m q α, som med αqb ger d m q( B ) (Lorentzkraften, där magnetkraften inte uträttar arbete!) Exemplet illustrerar arför s.k. irtuella förflyttningar, som är grunden för att konstruera Lagrangebeskriningar, leder till tetydigheter och inte behöer leda till korrekt rörelseekation! Basen för mekanik är sålunda inte Lagrange-Hamiltons ekationer utan Newton-Maxwells rörelselagar, som kan generaliseras till ekationer för partikelsystem (i synnerhet rörelseekationer för stelkropp eller teorier för materials elasticitet och fluiders rörelse)! Adiabatiska inarianter: Dessa är anändbara för att på förhand få kunskap om hur rörelse begränsas a magnetfält, symmetrier m.m. De anänds också för att bestämma sannolikhetstätheter inom statistisk mekanik. Den enklaste utgångspunkten är Lorentzkraften som kan skrias d ( m q A) ( q q A ) För goyckliga slutna kuror innebär detta C d( m qa) dl 0 (Gauge-inariant) S.k. adiabatiska inarianter (Bohm, Alfen, Teller, Northrop ) kan härledas från oanstående: m / konst (Hannes Alfen, Uppsala 1950) B J ds konst?? (Endast om partikelrörelsen periodisk!! Ej radiell inneslutning!) C Partikelinneslutning i magnetfält påerkas a inkelräta drifter: ΕB 1 m BB ( ) B q B B
Framtida utecklingsområden för mekanik: Utbildningen bör positioneras mot områden som kan föräntas få stor betydelse. Exempelis menar jag att kaosteori antagligen inte blir ett lika iktigt för ingenjörer som områden där mekanik och inbyggda system integreras. Robotmekanik I framtiden kan små mekaniska robotar m.m. bli ett stort område för ingenjörer. A skäl som anges oan (friktion, och därtill styrning och reglering) är det mer praktiskt att basera robotmekanik på Newtons ekationer med gina approximationer för stelkropp m.m. Att ställa upp en Lagrangefunktion för hela systemet är opraktiskt; det är mer skalbart att betrakta ridmoment och krafter (med tångsillkor, friktion, elasticitet och reglerinstrument) för de olika delarna i systemet. Det är också den metodik som anänds a utecklare inom området, där man lägger till giare, intelligens och allt mer sofistikerad utrustning från optik och elektronik för att åstadkomma adaptia system, styrning och kommunikation. Med de allt mer flexibla byggsätten för elektronik kan man förutse en enorm tilläxt a ingenjörsreleanta arbetstillfällen, där multikompetens inom mekanik och inbyggda system kommer att ara nyckelkompetenser.
Är analytisk mekanik grund för statistisk mekanik eller kantmekanik? Statistisk mekanik: Utgångspunkten är att utidga rummet till ett 6-dimensionellt fasrum och införa en sannolikhetstäthet f( x,, t), som i stationära fall uppfyller df ( x, ) 0 (Boltzmann-ekationen) di Eftersom rörelsekonstanter Ik ( x, ) definieras a k 0 inses att jämiktslösningen är en goycklig funktion f f ( I1, I,... In 1) a systemets oberoende rörelsekonstanter. Om kraften i fasrummet är diergensfri (eller area-presering ) kan man också härleda Liouilles teorem för fasrumsolymens konstans (analytisk mekanik behös inte för detta!). Partikeltäthet, ström/flöden m.m. definieras a integraler öer hastigheter (inte kanoniska momenta!!): n d f d p f 3 3 ( x ) ( x, ) ( x, ) Genom att ta olika moment a Boltzmanns ekation får man makroskopiska ekationer för massa, rörelsemängd, energi m.m. Daid Enskog isade i Uppsala 1917 genom att utgå från / kt( x) B f ( x,, t) n( x ) e f (kollisioner drier snabbt fördelningen mot en lokal Maxwell-Boltzmannfördelning) att Ficks lag j Dn (och andra gradientdrina flöden) kunde härledas från Boltzmanns ekation, om den fria medeläglängden mellan kollisioner är kort jämfört med de makroskopiska gradientlängderna. t Kalitatit bestäms diffusionskoefficient a hopp- och steglängd i kollisionsprocesser, D x Entropi och information hos signaler: Boltzmanns H-teorem isar att kollisioner drier sannolikhetstätheten mot en Gauss-fördelning, ilket är den fördelning som har maximal entropi (oordning). Det finns en intressant informationsteori (Shannon, Gabor) som baseras på en motsarande entropimaximering för signaler. Signalen med maximal entropi motsarar ågfunktion med minimal osäkerhet mellan läge och ågtal. 1 Kantmekanik är enormt iktig för statistisk mekanik, och leder till Fermistatistik för populationen a elektroner. Detta ger en rad intressanta kantfenomen på makroskopisk niå, och behös exempelis för att bestämma energigap till ledningsband, ledningsförmåga i metaller m.m. Kantmekanik: Att Hamiltons ekationer skulle ara en bas för att se utidgningen till kantmekanik har antagligen sprungit fram från en feltolkad språklig association mellan Hamilton-operatorn (ett bättre namn ore kanske istället energioperatorn ) och Hamilton-funktionen i klassisk mekanik. Man kan exempelis
inte utgå från att kantmekaniska kommutatorrelationer enkelt ska kunna relateras till klassiska Poissonklamrar genom [ f, g] ih f, g xp, xp, (äen om det i issa fall kan ara en ägledning). Centrala insikter i kantmekanik är att tillstånd beskris a ågpaket ( t) dx( k, t) e ikx, och för alla ågpaket finns en osäkerhetsrelation mellan läge och ågtal: xk 1 1 Man kan i en ågpaketsrepresentation associera ågtalet med en operator k op. Eftersom i x interferensexperiment isar att en partikel har en åglängd (de Broglie-åglängden) med h motsarande ågtal k som relateras till partikelns rörelsemängd genom p k (som motsarar h operatorn pop i på ett ågpaket), leder detta till Heisenbergs osäkerhetsrelation: x xp h 4 Intressant är att ågfunktionen med minimal osäkerhet har en täthetsfunktion som är en Gaussfördelning (maximal entropi). Mer generellt i den kantmekaniska operatormekaniken finns en osäkerhet mellan alla kantiteter ars operatorer inte kommuterar. Återigen ska kommutatorrelationerna inte grundas på en triial relation till Poissonklamrar i klassisk mekanik. Hur ska exempelis den kanoniska rörelsemängden p tolkas med magnetfält? (I klassisk mekanik gäller p m qa ). I fall utan magnetfält introducerade Schrödinger som bekant energi-operatorn 1 Hop pop U( x ), ds H m h m op U( x ). Tanken att analytisk mekanik skulle ara en bas för kantmekanik är på sin höjd en metafysisk spekulation, som därtill isar sig ara tielaktig id en noggrannare kontroll. Hamiltonformalism för klassiska system är inte heller ett ramerk för klassisk teori (exempelis uttrycks de elektromagnetiska ekationerna bekämast med den anliga formen för Maxwells ekationer; eller möjligen som ågekationer som enkelt kan härledas från dessa). Däremot är kommutatoralgebra onekligen ett betydelsefullt område för kantmekanik. Ett område där det öer huud taget inte går att se någon öergång från kantmekanik till klassisk fysik är spridningsteori. I klassisk fysik utgår beräkningar a tärsnitt från äldefinierade banor, medan kantmekaniska beräkningar baseras på hur en inkommande åg sprids. P.g.a. osäkerhetsrelationen är det inte meningsfullt att införa äldefinierade banor i kantmekanik. Kantmekanik och klassisk fysik ger betydande skillnader t.o.m. för elastisk spridning, äen om de tå teorierna råkar ge samma resultat för det totala spridningstärsnittet för Rutherfordspridning. Slutsats: En rad intressanta kopplingar finns mellan kantmekanik, statistisk fysik, fasta tillståndets fysik, informationsteori m.m. som är fruktbara för teknisk fysik. Däremot är analytisk mekanik are sig basen för mer generella teorier (kantmekanik, statistisk fysik), och ger inte heller en mer generell beskrining a klassisk fysik.