MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största och minsta värde, gtrafen till en funktion samt nollställen. Om du inte kan dessa begrepp lönar det sig att repetera dem från tidigare kurser. Ex. 203 (s. 19) Anta att funktionen g(x) = 9 (3x 2) 2. a) Bestäm funktionens definitionsmängd, värdemängd och nollställen. b) För vilka värden på variabeln x får funktionen negativa värden? c) Bestäm funktionens största och minsta värde. Räkna: (s. 19 20) 201, 202, (207), (215)
2.2 Växande och avtagande funktioner - För alla x 1, x 2 A där x 1 < x 2 är funktionen a) växande om f(x 1 ) f(x 2 ), dvs. ordningen bevaras. b) strängt växande om f(x 1 ) < f(x 2 ), dvs. ordningen bevaras. c) avtagande om f(x 1 ) f(x 2 ), dvs. ordningen byts. d) strängt avtagande om f(x 1 ) > f(x 2 ), dvs. ordningen byts. - Om man förenklar det hela kan man säga ett funktionen är växande då grafen går nerifrån upp när man rör sig från vänster till höger och att funktionen är avtagande om grafen går uppifrån ner när man rör sig från vänster till höger. - En funktion som är (strängt) växande eller (strängt) avtagande är (strängt) monoton. Ex. 2.1 Bestäm när funktionen är a) växande b) avtagande. Ex. 219 (s. 34) Undersök med hjälp av funktionens graf för vilka värden på variablen x som funktionen är avtagande. a) f(x) = 1 b) 2x 6 f(x) = 2x 2 8. Se graferna i boken. Ex. 232 (s. 35) Anta att f: R R. Lös olikheten f(x) > f(3), om funktionen f är a) strängt växande b) strängt avtagande. 7 Ex. 2.2 Lös olikheten 3x 5 > 2. Räkna: (s. 34 36) 220, 221, 224, (226), 227, 228, 229, 231, (233)
3. Rationell funktion 3.1 Grundbegrepp - Ett rationellt tal är av typen m n, m, n Z, n 0. - Ett rationellt uttryck är av formen P(x), där P(x) och Q(x) är polynom. Uttrycket är Q(x) definierat då Q(x) 0. - Ibland kan ett rationellt uttryck förkortas till ett polynom. Om uttrycket inte kan förkortas till ett polynom kallas det för ett bråkuttryck. - En rationell funktion är en funktion av typen f(x) = P(x), där P(x) och Q(x) är polynom och Q(x) 0. Ex. 302 a) (s. 43) För vilka värden på variabeln x är den rationella funktionen f(x) = x 5 x 2 25 definierad?. Ex. 304 b) (s. 43) Hyfsa uttrycket 9x2 y 2 3y. Ex. 308 a) (s. 43) Hyfsa uttrycket 3 k k 2 6k+9. Ex. 313 (s. 44) För vilka värden på parametern k går divisionen kx2 +x 1 jämnt ut, dvs. uttrycket kan hyfsas till ett polynom? Q(x) x+1 Räkna: (s. 43 44) 301, 302, 305, 306, 309, (317), (318)
3.2 Räkneoperationer - För rationella funktioner gäller samma räkneregler som för rationella tal. Ex. 322 (s. 48) Hyfsa uttrycken a) n 1 n + 1 n b) 1 x 1 + 1 x+1 + 2 Ex. 324 (s. 48) Hyfsa uttrycken a) n 1 n n 2 1 n b) x+2 2x+2y x+y x 2 1 Räkna: (s. 48) 319, 321, 326, 328, 332, (336) 3.3 Rationella ekvationer - Då man löser rationella ekvationer måste man komma ihåg att förbjuda nämnarens nollställen. Efter det kan man lösa ekvationen som vanligt och till slut kontrollera att svaret stämmer överens med kravet. Ex. 339 c) (s. 55) Lös ekvationen x x 1 = 2. Ex. 341 b) (s. 55) Lös ekvationen 2x2 +10x 5+x = 2x. - Om man skall bestämma nollstället för en rationell funktion skall man lösa ekvationen f(x) = 0. Då skall man igen börja med att ställa kravet. Efter det räcker det att räkna täljarens nollställe. Ex. 342 a) (s. 55) Bestäm nollställena för den rationella funktionen f(x) = x+2 x 2 4. Räkna: (s. 55) 339b, 340b, 342b, 343b, 346, (349)
3.4 Rationella olikheter - För att lösa rationella olikheter skall man följa några enkla steg: 1. Flytta alla termer till vänstra ledet (eller alla termer till högra ledet). 2. Förläng vid behov, så att hela vänstra ledet är skrivet på ett bråksträck. 3. Beräkna täljarens nollställen. 4. Beräkna nämnarens nollställen. 5. Rita teckenschema med hjälp av skisser eller testpunkter. Teckenschemat skall ha en rad för täljaren, en rad för nämnaren och en rad för kvoten. 6. Nämnarens nollställen skall markeras in på teckenschemat med sågtand medan täljarens nollställen kan markeras med vanligt rakt sträck. Ifall täljaren och nämnaren har ett gemensamt nollställe skrivs det in som sågtand, dvs. som ett nollställe för nämnaren. 7. Se på tecknen för att bestämma tecknet på kvoten. 8. Resultatet kan nu avläsas från teckenschemat. Ex. 351 (s. 58) Lös den rationella olikheten x 2 x 2 3x+2 0. Ex. 352 (s. 58) Lös den rationella olikheten 5x x+1 1. Räkna: (s. 58) 350, 353, (355), 358
4. Gränsvärde för en funktion 4.1 Ensidiga gränsvärden - Ensidiga gränsvärden delas i vänster- och högergränsvärden. Funktionens värde i punkten x = x 0 har ingen betydelse då man definierar ensidiga gränsvärden. Funktionen behöver inte ens vara definierad i punkten. - Vänstergränsvärde betecknas lim f(x) och högergränsvärde lim f(x). x x0 x x+ 0 - Det är också möjligt att ett numeriskt ensidigt gränsvärde saknas. Ex. 401 (s. 62) Bestäm med hjälp av grafen de ensidiga gränsvärdena för funktionen för a) x = 1 b) x = 1 c) x = 2 d) x = 4. Se grafen i boken. Räkna: (s. 62 63) 402, 404, 405 4.2 Gränsvärde - Definition: Funktionens gränsvärde lim x x0 f(x) är a om både vänster- och högergränsvärde är a, dvs. lim f(x) = a lim f(x) = a och lim f(x) = a x x 0 x x0 x x+ 0 OBS! Funktionsvärdet behöver inte vara samma som gränsvärdet. Se bilden i boken s. 64. Ex. 409 (s. 67) Bestäm med hjälp av funktionens graf gränsvärdet för funktionen för a) x = 0 b) x = 3 c) x = 2. Se grafen i boken. - Om man inte har tillgång till grafen kan gränsvärdet bestämmas numeriskt. Detta är inte den mest praktiska metod dock. Ex. 415 (s. 68) Undersök numeriskt om funktionen f(x) = x3 1 har ett gränsvärde för x = 1. x 2 1 Räkna: (s. 67 68) 412, 414, 416
5. Kontinuerlig funktion 5.1 Inledning - Se på exemplen i boken s. 72 73. Dessa exempel försöker förklara begreppet kontinuitet. 5.2 Kontinuitet - En funktion är kontinuerlig från vänster om vänstergränsvärde är lika med funktionsvärdet i punkten x = x 0, dvs. om lim f(x) = f(x x x0 0). kontinuerlig från höger om högergränsvärde är lika med funktionsvärdet i punkten x = x 0, dvs. om lim x x0 + f(x) = f(x 0). kontinuerlig om vänstergränsvärde är lika med högergränsvärde som är lika med funktionsvärdet i punkten x = x 0, dvs. om lim f(x) = lim f(x) = f(x x x 0 x x+ 0) 0 Med andra ord, funktionen är kontinuerlig i punkten x = x 0 om gränsvärdet är lika med funktionsvärdet lim f(x) = f(x 0 ) x x0 - Om funktionen inte är definierad i ett intervall kan man inte tala om kontinuitet eller dikontinuitet. - Funktionen är kontinuerlig i ett intervall om den är kontinuerlig i varje punkt i intervallet. - Om funktionerna f och g är kontinuerliga och c R så är följande funktioner kontinuerliga i sina definitionsmängder: c x cf(x) f(x) ± g(x) f(x) g(x) f(x) g(x) f(x)
- Några exempel på funktioner som är kontinuerliga i sina definitionsmängder: Konstanta funktioner: f(x) = c Potensfunktioner: f(x) = x n Polynomfunktioner: P(x) Rationella funktioner: P(x) Q(x) Ex. 503 (s. 84) Använd grafen för att avgöra om den givna funktionenä r kontinuerlig eller ensidigt kontinuerlig för a) x = 3 b) x = 0 c) x = 2 d) x = 4. Räkna: (s. 84 86) 501, 502, 505, 506 5.3 Bestämning av ett gränsvärde med hjälp av kontinuitet - Om funktionen är kontinuerlig kan gränsvärdet beräknas genom att låta x = x 0. - Alla polynomfunktioner är kontinuerliga. - Har man en funktion som inte är ett polynom måste man först se för vilka värden funktionen är definierad. Sedan skall uttrycket hyfsas och först efter det kan man göra insättningen lim x x0 f(x) = f(x 0 ) om möjligt. Ex. 5.1 Beräkna gränsvärdet för funktionen f(x) = 3x 3 7x + 16 för x = 2. Ex. 5.2 Beräkna gränsvärdet för funktionen f(x) = x4 2x 2 +x x för x = 0. Ex. 519 a) (s. 97) Bestäm gränsvärdet lim x2 9. x 3 x 3 - Om uttrycket inte kan hyfsas så att man kan göra insättningen kan man försöka räkan vänster- och högergränsvärde skilt och se om de är lika. Ex. 527 a) (s. 98) Undersök om gränsvärdet existerar: lim x x2. x 0 x Räkna: (s. 97 99) 513b, 514b, 515b, 516b, 517b, 518b, 519b, 523, (524), 528, 530, 539, (540), (542), (546)
5.4 Existensen av ett gränsvärde - Sats: Om lim x x0 f(x) = a 0 och lim x x0 g(x) = 0 så existerar inte ett numeriskt gränsvärde lim x x0 f(x) g(x). Det vill säga om nämnarens gränsvärde blir noll måste täljarens gränsvärde också vara noll för att ett numeriskt gränsvärde för den rationella funktionen kan existera. OBS! Även om både täljarens och nämnarens gränsvärde blir noll behöver inte ett gränsvärde existera, men möjligheten finns. Ex. 552 c) (s. 106) Anta att funktionen f(x) = 4 x2 2x 3 4x 2. Bestäm lim f(x) då x 0 = 0. x x 0 Räkna: (s. 106 107) 549, (555) 5.5 Kontinuitetsundersökningar 2x + 1, x < 3 Ex. 563 (s. 114) Är funktionen f(x) = { 2 x 2 kontinuerlig för, x 3 a) x = 0 b) x = 3? Ex. 570 (s. 114) För vilka värden på konstanten a är funktionen f(x) = 2x 3, x < a { 1 kontinuerlig för x = a? x + 2, x a 3 Räkna: (s. 114 115) 564, 567, 568, 569, (576)
5.6 Satser om kontinuerliga funktioner - Bolzanos sats: Om f(a) och f(b) har olika tecken och f är kontinuerlig i det slutna intervallet [a, b], så har funktionen åtminstone ett nollställe i det öppna intervallet ]a, b[. - Om funktionen är strängt monoton (dvs. strängt växande eller strängt avtagande) så har funktionen exakt ett nollställe i ett givet intervall. Ex. 584 (s. 121) Visa att funktionen f(x) = x 3 4x 2 + x 5 har åtminstone ett nollställe. - Sats: Om funktionenä r kontinuerlig i det slutna intervallet [a, b] så antar funktionen i intervallet ett största och ett minsta värde samt alla värden mellan det största och det minsta värdet. - Denna sats möjliggör att man bestämmer en funktions värdemängd genom att bestämma endast det största och det minsta värdet. Ex. 5.3 Bestäm värdemängden för funktionen f: [1, 5] R, f(x) = x 2 + 3. Räkna: (s. 121 122) 582, 583, (585), 590
6. Derivata 6.1 Inledning - Monotonitet är en kvalitativ, dvs. en beskrivande, egenskap hos funktionen. Till näst skall vi se på derivatan som är en kvantitativ, dvs. siffermässig, egenskap som motsvarar monotonitetetn. - Derivatan beskriver funktionens tillväxthastighet. 6.2 Derivatans definition - Derivatan anger momentan tillväxthastighet och är således lika med tangentens riktningskoefficient. - Derivatan för funktionen f(x) betecknas f (x). - Derivatan i punkten x 0 för funktionen f är: f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 eller f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Bevis för att båda definitionerna betyder samma sak: Vi betecknar: x = x 0 + h h = x x 0 x 0 = x h Nu får vi att f(x) f(x 0 ) f (x 0 ) = lim x x0 x x 0 = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) x (x h) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Alltså är f f(x) f(x (x 0 ) = lim 0 ) = lim x x0 x x 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h 0 h.
Ex. 602 (s. 131) Bestäm a) differenskvoten från 1 till 3 b) differenskvoten från 1 till 1 + h (h 0) c) derivatan g (1) för funktionen g(x) = x x 3. Ex. 607 (s. 131) Bestäm f (x) med hjälp av derivatans definition om f(x) = x 2. Ex. 613 (s. 131) Bestäm gränsvärdet om f(0) = 3 och f (0) = 5. f(h)+3 f(2h)+3 a) lim b) lim h 0 h h 0 h Räkna: (s. 131) 601, 603, 605, 606, 608, 609, 610, (611), 612, (614) 6.3 Deriveringsregler - Derivatan för funktionen f betecknas f, Df eller df dx. - Andra derivatan, dvs. derivatan av derivatan, betecknas f. Högre derivator, t.ex. n:te derivatan betecknas f (n). - I praktiken bestäms derivatan mha. deriveringsregler. Ex. 6.1 Bestäm derivatan av funktionen a) f(x) = 3x b) g(x) = x 5 + x 3 c) h(x) = 2x 7 3x 4 d) k(x) = x 1 x 3 Ex. 6.2 Bestäm derivatan och andra derivatan till f(x) = (3x 2 4)(6x 5). Ex. 6.3 Bestäm derivatan till funktionen g(x) = (2x 3 5x) n, där du själv väljer ett värde för n. Ex. 6.4 Bestäm värdet för f (2) då f(x) = x 3. - Polynomfunktioner och rationella funktioner är deriverbara i sina definitionsmängder. - Deriverbara funktioner är alltid kontinuerliga. - Alla kontinuerliga funktioner är inte deriverbara (ex. f(x) = x ). - Diskontinuerliga funktioner är inte deriverbara. Räkna: (s. 139 140) 615, 617, 618, 619, 620, 627, 629, (634), (636), (638)
6.4 Tangenten och normalen till en kurva - Derivatan anger riktningskoefficineten för tangenten till kurvan i punkten (x 0, f(x 0 )). - k t = f (x 0 ) och k n = 1 k t - Har man riktningskoefficienten samt en punkt på tangenten kan man bilda tangentens ekvation. Ex. från boken (s. 141) Bestäm ekvationen för normalen till grafen för funktionen f(x) = x 3 + x då x = 1. Ex. 647 (s. 152) Bestäm den tangent till kurvan y = 7x x 3 som går genom punkten (0, 2). - Vinkeln mellan två kurvor är samma som vinkeln mellan kurvornas tangenter i skärningspunkten. - Om kurvorna tangerar varandra är vinkeln mellan dem 0. Detta innebär att kurvorna i tangeringspunkten har en gemensam tangent, dvs. tangenterna har samma riktningskoefficient och går genom samma punkt. Ex. 653 (s. 152) I vilken vinkel skär kurvorna y = med noggrannheten 0,1. x x+2 och y = x+1 x varandra? Ge svar Räkna: (s. 152 154) 643, 644, 645, 650, 652, 655, (664), (667), (670), 676 6.5 En deriverbar funktions förlopp - Funktionens förlopp kan illustreras mha. ett teckenshema för derivatan. Om derivatan är positiv är funktionen växande. Om derivatan är negativ är funktionen avtagande. - Derivatans tecken måste motiveras: Skiss över grafen Testpunkter Ex. 680 (s. 163) Är funktionen f(x) = x 2 + 2x 3 växande? Ex. 691 (s. 164) I vilka intervall är funktionen f(x) = 3 4 x4 + 3x 2 7, x 1, strängt växande? Räkna: (s. 163 164) 677, 683, 685, 688, 692, (694), (698)
7. Undersökning av en funktions förlopp 7.1 Extremvärden för en funktion - De x-värden där funktionens graf byter riktning kallas extremställen. Det y-värde funktionen antar i detta ställe kallas för extremvärde och punkten med både x- och ykoordinat kallas för extrempunkt. - I en topp har vi: maximiställe maximivärde eller maximum maximipunkt - I en dal har vi: minimiställe minimivärde eller minimum minimipunkt - Funktionens största värde kan kallas för globalt maximum och funktionens minsta värde globalt minimum. - För att hitta funktionens största och minsta värde skall man: 1. Derivera funktionen 2. Beräkna derivatans nollställen 3. Rita teckenschema 4. Beräkna funktionsvärdena i topparna och dalarna. - När man söker efter funktionens största och minsta värde skall man egentligen se på 1. Derivatans nollställen 2. Intervallets ändpunkter 3. Punkter där derivatana saknas 4. Diskontinuitetspunkter Ex. 708 (s. 179) Bestäm extremvärdena för funktionen f(x) = x 2 x 4. Räkna: (s. 178 180) 702, 704, 706, 711, (714), (722), 726
7.2 Tillämpningar Ex. 738 (s. 190) En fabrik tillverkar konservburkar för inlagd gurka som har volymen 4,0 liter och som har formen av en rack cirkulär cylinder. Bestäm höjden och basytans radie i konservburken om man använder minsta möjliga mängd plåt för att tillverka burken. - Om man skall ta reda på antalet reella rötter för en ekvation så skall man följa stegen nedan: 1. Flytta allt till samma sida. Då ändras frågan till hur många nollställen har funktionen? 2. Derivera funktionen 3. Räkna derivatans nollställen eller be räknaren göra det 4. Rita teckenshema 5. Undersök hur många nollställen funktionen har. Använd Bolzanos sats vid behov. Ex. 732 (s. 190) Hur många reella rötter har ekvationen 4x 3 + 9x 2 54x + 11 = 0? Räkna: (s. 190 191) 731, 736, 737, (739), 749, (752) 7.3 Fermats sats - Fermats sats: Om funktionen f är kontinuerlig i det slutna intervallet [a, b] och deriverbar i det öppna intervallet ]a, b[ så får funktionen sitt största värde och sitt minsta värde i intervallets ändpunkter eller i derivatans nollställen. Ex. 753 (s. 204) Bestäm största och minsta värde för funktionen f(x) = 2x 3 6x 2 i intervallet [1, 4]. Ex. 762 (s. 204) En handelsman har upptäckt att en höjning av kilopriset på tomat med 20 cent minskar försäljningen med 6,0 kg. Om kilopriset är 1,90 så säljer han 60 kg tomater per dag. Vilket kilopris maximerar hans vinst om han betalar 0,90 per kilogram tomater? Räkna: (s. 204 207) 755, (758), 759, (761), 763, (766), 773, (780), (781)