Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Moul 2 Mål och Sammanfattning Derivata. 1. MÅL FÖR MODUL 2 Förstå och använa erivatans efinition Förstå och använa erivata i linjär approximation Förstå och använa eriveringsreglerna obehinrat Kunna erivera vanliga och ovanliga funktioner Förstå och använa implict erivering Förstå och använa högre orningens erivator Förstå och använa meelväressatsen och ess följsatser Kort sagt: man måste bli otroligt bra på att erivera och på att använa erivatan för linjär approximation och för att avgöra om funktioner växer eller avtar mm. 2. SAMMANFATTNING AV MODUL 2 1. Derivatans efinition. Om f är efiniera i en omgivning av punkten a så säger vi att f är eriverbar i a om gränsväret f(a + h) f(a) lim h 0 h existerar änligt. Gränsväret kallas i så fall erivatan av f i a och skrivs f (a) eller Df(a) eller f x x=a. Observera att samma gränsväre kan skrivas på många olika sätt. I tillämpningar skriver man ofta f(a + x) f(a) lim. x 0 x En annan vanlig variant är lim x a f(x) f(a). x a
SF1625 Moul 2 Läsåret 2017-2018 Tolkningar. Om f (a) existerar är etta tal riktningskoefficienten för tangentlinjen till grafen y = f(x) i en punkt på grafen som har x-koorinat a. Ekvationen för tangenten blir me enpunktsformeln för linjens ekvation y = f(a) + f (a)(x a). Mer allmänt så ger oss erivatans efinition ett sätt att approximera f(x) för x nära a som kallas linjär approximation: f(x) f(a) + f (a)(x a), för x nära a. Derivatan f (a) är alltså ett mått på föränringstakten hos funktionen f i punkten a. Vi såg att f (a) är riktningskoefficient för tangenten till funktionsgrafen i punkten (a, f(a)). Det betyer att normalen i samma punkt har riktningskoefficient 1/f (a). Om vi i erivatans efinition inskränker oss till att låta h 0 + eller h 0 så får vi högererivata respektive vänstererivata. De punkter är f är eriverbar är en elmäng av efinitionsmängen för f. För en eriverbar funktion f blir å f en ny funktion som mäter föränringstakten hos f. Om f i sin tur är eriverbar får vi ännu en funktion f som mäter föränringstakten hos f. Osv. Om f(t) anger positionen vi tipunkten t så anger f (t) hastigheten och f (t) accelerationen. Alla funktioner är inte eriverbara. Det finns kontinuerliga funktioner som inte är eriverbara. Till exempel är absolutbeloppsfunktionen inte eriverbar i origo. Däremot gäller följane: Sats. Om f är eriverbar i a så är f kontinuerlig i a. Bevis: Anta att f är eriverbar i a. Då gäller ( ) f(x) f(a) lim(f(x) f(a)) = lim (x a) = f (a) 0 = 0, x a x a x a vilket betyer att f(x) f(a) å x a, vs f är kontinuerlig i a. Deriveringsregler. Om man varje gång man ville erivera skulle använa erivatans efinition blev livet jobbigt. Man kan bevisa följane eriveringsregler som gör eriveranet lättare. 2
SF1625 Moul 2 Läsåret 2017-2018 x (Cf(x)) = Cf (x), C konstant x (f(x) ± g(x)) = f (x) ± g (x) x (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) ( ) f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x), om g(x) 0 x g(x) (g(x)) 2 Reglerna gäller uner förutsättning att f och g båa är eriverbara i en aktuella punkten. Den treje kallas prouktregeln och en fjäre för kvotregeln. Den viktiga kejeregeln talar om hur man eriverar en sammansatt funktion: x (f(g(x))) = f (g(x))g (x) Dessa eriveringsregler bevisas i boken. För att komma igång och erivera me hjälp av em behövs ock först några grunläggane funktioners erivator som man en gång för alla tar fram me hjälp av erivatans efinition. Det görs också i boken. Till exempel (kolla gärna upp etaljerna): x C = 0, C konstant x x = 1 x xr = rx r 1 sin x = cos x x cos x = sin x x Me hjälp av ovanståene erivator och eriveringsreglerna kan vi nu erivera anra funktioner, utan att använa efinitionen varje gång. Till exempel: x tan x = sin x x cos x = cos2 x + sin 2 x cos 2 x x x sin2 x = sin 2 x + 2x sin x cos x = 1 cos 2 x = 1 + tan2 x Meelväressatsen. Om f är kontinuerlig på [a, b] och eriverbar på (a, b) så finns ett tal c mellan a och b så att f f(b) f(a) (c) = b a 3
SF1625 Moul 2 Läsåret 2017-2018 Meelväressatsen ger en teoretiska grunen till många använningar av erivata. Innan vi formulerar essa ska vi efiniera några viktiga begrepp. Definition. Anta att f är efiniera på ett intervall I. Om et för alla punkter x 1 och x 2 i I gäller att x 1 < x 2 = f(x 1 ) < f(x 2 ) så sägs f vara strängt växane i I. Anta att f är efiniera på ett intervall I. Om et för alla punkter x 1 och x 2 i I gäller att x 1 < x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) så sägs f vara växane i I. Anta att f är efiniera på ett intervall I. Om et för alla punkter x 1 och x 2 i I gäller att x 1 < x 2 = f(x 1 ) > f(x 2 ) så sägs f vara strängt avtagane i I. Anta att f är efiniera på ett intervall I. Om et för alla punkter x 1 och x 2 i I gäller att x 1 < x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) så sägs f vara avtagane i I. Följsats till meelväressatsen. Låt J vara ett öppet intervall (a, b) och låt I vara vilket som helst av intervallen (a, b), [a, b), (a, b] och [a, b]. Anta att f är kontinuerlig på I och eriverbar på J. Då gäller: Om f (x) > 0 för alla x i J, så är f strängt växane i I Om f (x) 0 för alla x i J, så är f växane i I Om f (x) < 0 för alla x i J, så är f strängt avtagane i I Om f (x) 0 för alla x i J, så är f avtagane i I Om f (x) = 0 för alla x i J, så är f konstant i I Följsatsen säger alltså att man kan använa erivata för att avgöra om en funktion är (strängt) växane eller avtagane på ett intervall. Förutsättningen är förstås att funktionen är eriverbar. Funktionen f(x) = x 3 är strängt växane på hela R. Observera att etta inte motsäger satsen ovan. Den viktiga tekniken implicit erivering måste man lära sig. Se t ex filmen! 4
SF1625 Moul 2 Läsåret 2017-2018 3. REKOMMENDERADE UPPGIFTER UR BOKEN Kap 2.1: uppg 5, 7. Kap 2.2: uppg 1, 3, 11, 26, 27, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 47. Kap 2.3: uppg 1, 7, 11, 17, 25, 33, 35, 47. Kap 2.4: uppg 3, 5, 11, 18, 23, 30, 31, 37. Kap 2.5: uppg 13, 15, 23, 29, 31, 35, 45, 62. Kap 2.6: uppg 3, 9. Kap 2.7: uppg 1, 3, 11, 13, 23, 29. Kap 2.8: uppg 5, 13, 21, 27. Kap 2.9: uppg 3, 9, 13. Kap 2.11: uppg 5, 7, 13, 16, 17, 18, 19. x 2 Uppgift 1. Låt f(x) = 1 + sin x. A. Bestäm efinitionsmängen till f. B. I vilka punkter är f kontinuerlig? C. Bestäm f (x). D. I vilka punkter är f eriverbar? Uppgift 2. Låt g(x) = x cos 2 x. A. Bestäm efinitionsmängen till g. B. I vilka punkter är g kontinuerlig? C. Bestäm g (x). D. I vilka punkter är g eriverbar? Uppgift 3. Låt h(t) = 1 + t + 1 t A. Bestäm efinitionsmängen till h. B. I vilka punkter är h kontinuerlig? C. Bestäm h (t). D. I vilka punkter är h eriverbar? 4. UPPGIFTER ATT ARBETA MED Uppgift 4. Derivera neanståene uttryck me avseene på x och ange i vilka punkter erivatan existerar. A. 5x + 3 2x + 7. B. 1 2x. C. (1 + x 2 ) 2/3. D. sin x E. cos(x 2 ) Uppgift 5. Bestäm ekvationer för tangenten och normalen i punkten (2, 8) till kurvan y = x 3. 5
SF1625 Moul 2 Läsåret 2017-2018 Uppgift 6. Bestäm en ekvation för tangenten i punkten (9, 3) till kurvan y = x. Kan u me hjälp av tangenten (linjär approximation) hitta ett närmeväre till 9.3? Uppgift 7. Bestäm en ekvation för tangenten till kurvan y = tan x i en punkt på kurvan som har x-koorinat π/4. Uppgift 8. På vilka intervall är funktionen f(x) = x 3 3x 2 +1 strängt växane? Strängt avtagane? Uppgift 9. På vilka intervall är funktionen f(x) = x sin x strängt växane? Strängt avtagane? Uppgift 10. Betrakta funktionen s given av x 2 + 1, x < 0 s(x) = x + 2, 0 x < 2 x 2, x 2 A. I vilka punkter är funktionen eriverbar? B. Beräkna om möjligt s (1) och ange en ekvation för tangenten till funktionskurvan y = s(x) i en punkt på kurvan är x = 1. Uppgift 11. Bestäm en ekvation för tangenten till kurvan x 2 + y 3 + xy = 1 i punkten ( 1, 1). Tips: implicit erivering. Uppgift 12. Betrakta funktionen f(x) = cos x 2. Beräkna f (n) (x) för n = 1, 2, 3. Uppgift 13. Du får veta om en (flera gånger eriverbar) funktion f att f(1) = 10 och f (1) = 5. Baserat på etta, ge ett närmeväre till f(0.8). Titta inte i facit förrän u har löst uppgifterna så bra u kan! 6
SF1625 Moul 2 Läsåret 2017-2018 5. FACIT OCH LÖSNINGSTIPS 1. A. Alla x π/2 + n2π, n gotyckligt heltal. 1. B. Samma som ovan. 1. C. f (x) = 2x(1 + sin x) x2 cos x (1 + sin x) 2 1. D. Samma som A och B. 2. A. Alla x 2. B. Samma svar som i 2A. 2. C. g (x) = cos 2 x 2x cos x sin x 2. D. Samma svar som A och B 3. A. Definitionsmängen är alla reella tal t. 3. B. Funktionen är kontinuerlig överallt. 3. C. Då t > 1 är h (t) = 2. Då 1 < t < 1 är h (t) = 0. Då t < 1 är h (t) = 2 3. D. Funktionen är eriverbar överallt utom i punkterna t = 1 och t = 1. 29 4. A. efinierat för x 7/2 (2x + 7) 2 1 4. B. efinierat för x < 1/2 1 2x 4. C. 4x 3 (1 + x2 ) 1/3 efinierat för alla x 4. D. cos x om 2nπ < x < (2n + 1)π och cos x om (2n + 1)π < x < (2n + 2)π, n gotyckligt heltal. Definierat för alla x nπ, n heltal. 4. E. 2x sin(x 2 ), efinierat för alla x 5. Tangent: y 8 = 12(x 2). Normal: y 8 = 1 (x 2) 12 6. y 3 = 1 6 (x 9). Vi får 9.3 3.05 ( 7. y + 1 = 2 x + π ) 4 8. Strängt växane på intervallen x 2 och x 0. Strängt avtagane på intervallet 0 x 2. 9. Funktionen är strängt växane på hela R 10. A. Funktionen är eriverar överallt utom i punkterna x = 0 och x = 2. 10. B. s (1) = 1 och en sökta tangentens ekvation är y = x + 2. 11. y 1 = 1 (x + 1) (Tips: implicit erivering) 2 12. f (x) = 2x sin x 2, f (x) = 2 sin x 2 4x 2 cos x 2, f (x) = 12x cos x 2 + 8x 3 sin x 2 13. f(0.8) 9 7