Kan du det här? Geometrisk summa och linjär optimering

Kan du det här? Geometrisk summa och linjär optimering o Vad menas med en geometrisk talföljd? o Vad menas med geometrisk summa? Kan du beräkna geometrisk summa? o Hur kan geometrisk talföljd tillämpas inom natur- och ekonomisamhällsvetenskap? Vad menas med nuvärde, slutvärde och annuitetslån? o Hur ritar vi system av linjära olikheter och områden i ett koordinatsystem? o Vad menas med linjär optimering? Kan du genomföra en linjär optimering? Centralt innehåll Användning av begreppet geometrisk summa samt linjär optimering i tillämpningar som är relevanta för karaktärsämnena. En uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som svårare. Vad menas med en geometrisk talföljd och geometrisk summa och hur du beräkna geometrisk summa? En talföljd är en följd av tal uppställda i en bestämd ordning och enligt en bestämd regel. Varje tal har ett bestämt ordningsnummer. Det kallas en geometrisk talföljd och om vi adderar alla talen som ingår i talföljden så kallas svaret en geometrisk summa. Formeln för att beräkna en geometrisk summa är: a + ak 1 + ak 2 +... +ak n(1 = a(kn 1) (k 1) och då är a det första talet och k kvoten Ex Vi har talföljden 4, 12, 36 a) Vilket är det femte talet? b) Beräkna talföljdens geometriska summa. Lösning: a) För att komma till nästa tal multiplicerar vi med 3, för kvoten mellan två tal är 3. fjärde talet är 36 3 = 108 och sedan femte talet är 108 3 = 324 vi kan även använda oss av att a G = a k J dvs a G = 4 3 J = 324 Första talet + Andra talet + Tredje talet + Fjärde talet + Femte talet = Geometrisk summa 4 + 12 + 36 + 108 + 324 = 484 4 + 4 3 + 4 3 3 + 4 3 3 3 + 4 3 3 3 3 = 484 med hjälp av formeln blir så här: K(LM (N) (L(N) = J(OP (N) (O(N) = 484 Se sidan 202

Ex 1 Beräkna summan av de tio första talen i den geometrisk följden om k = 0,93 a = 12 00 Ex 2 Vi har följande geometriska talföljd 6,18, 54, 162,,13122. a) Hur många tal finns i talföljden? b) Beräkna den geometriska summan. Ex 3 Vi har följande geometriska talföljd: Tal 1: 52 Tal 2: 93,6 Tal 3:168,48 och Tal 4: 303,264 a) Vilket är det femte talet? b) Beräkna summan av de 14 första talen. JTTT(N,TO P (N) Ex 4 En viss geometrisk summa kan beräknas med (N,TO(N) a) Skriv ut termerna i den geometriska summan ovan. b) Formulera ett verkligt problem som kan formuleras med formeln ovan. Hur kan geometrisk talföljd tillämpas inom natur- och ekonomi- samhällsvetenskap? Tillämpning av geometrisk summa är användbar när du vill beräkna slutsumman när har ett värde från början som förändras med ett regelbunden ökning/minskning med ett visst antal gånger. Det kan gälla pengar som regelbundet sätts in på ett bankkonto med en viss ränta eller medicin som ges till en patient. Vi är intresserade att veta hur mycket pengar som tillslut finns på bankkontot och hur stor dos av medicinen patienten har kvar i kroppen efter ett visst antal timmar. När det gäller ekonomi så används geometrisk summa vid beräkningar på annuitetslån. Ett annuitetslån innebär att varje inbetalning är lika stor. Det betyder att summan av amortering och ränta är konstant. I början när skulden är hög, är amorteringen lägre eftersom man har högre räntekostnader men efterhand som skulden minskar ökar amorteringarna eftersom räntekostnaderna minskar. När vi gör beräkningar med annuitetslån behöver vi känna till begrepp som nuvärde och slutvärde. Nuvärdet är det belopp vi skulle betala idag av en framtida betalning/kapital när vi tar hänsyn till gällande ränta och slutvärdet är det totala belopp som skall betalas för hela lånet. Ex Mia är tio år och hennes föräldrar har lovat att ge henne 5000 kr på hennes femtonårsdag. Om de sätter in pengarna på ett konto är sparräntan 3%. a) Hur mycket skulle pengarna vara värda i dag dvs beräkna nuvärdet. b) Beräkna slutvärdet om hon inte tar ut pengarna förrän på sin 18 årsdag. Lösning a) Nuvärdet är det belopp de behöver sätta in på banken idag för att det skall växa till 5000 kr inom fem år. Använd formeln y = C a W. C 1,03 G = 5000 forts

C = 5000 1,03 5 C 4313 kr är det belopp de behöver sätta in. b) Använd formeln y = C a W. 4313 kr 1,03 Z = 5464 kr (räknat från nuvärdet) 5000 kr 1,03 O = 5464 kr (räknat från 15-årsdagen) Ex Alfred skall låna pengar till en bil. Han har råd att betala 10 000 kr varje år (annuitetslån) och vill betala av lånet inom fem år. Räntesatsen är 5%. Hur mycket har han råd att låna? Lösning: Han kommer att behöva ta ett annuitetslån där inbetalningarna är lika stora varje år. Lånets storlek är det vi skall räkna ut så det kallar vi x. Värdet av lånet är den översta pilen (dvs slutvärdet) och beräknas x 1,05 G Värdet av alla inbetalningarna är de andra pilarna känner vi igen som en geometrisk summa. 10 000 + 10 000 1,05 + + 10 000 1,05 J = 10 000 1,055 1 Eftersom inbetalningarnas värde skall vara lika stora som lånets värde efter fem år (slutvärdet) får vi ekvationen 10 000 1,05 5 1 x 1,05 G = x = 10 000 1,05 5 1 1,05 5 x 43 295 kr Svar: Alfred kommer att ha råd att låna 43 295 kr.

Ex Max skall låna pengar till en lägenhet. Han vill låna 100 000 och skall betala tillbaka dem inom tio år med en inbetalning per år. Han vill betala lika mycket varje gång. Räntesatsen är 5%. Hur mycket skall han betala varje gång? Lösning: Han kommer att behöva ta ett annuitetslån där inbetalningarna är lika stora varje år. Inbetalningens storlek är det vi skall räkna ut så det kallar vi x. Värdet av lånet är den översta pilen (dvs slutvärdet) och beräknas 100 000 1,05 NT Värdet av alla inbetalningarna är de andra pilarna känner vi igen som en geometrisk summa. x + x 1,05 + + x 1,05 ] = x 1,0510 1 Eftersom inbetalningarnas värde skall vara lika stort som lånets värde efter fem år (slutvärdet) får vi ekvationen W N,TG^_ (N N,TG(N = 100 000 1,05 10 x = 100 000 1,0510 1,05 10 1 x 12 950 kr Svar: Max skall betala 12 950 kr varje år.

Ex 5 Lindas hund Fido skall genomgå en penicellinkur. Han skall få en tablett 20 mg varje morogn och varje kväll i 7 dagar. Man uppskattar att 35% av penicillin bryts ner mellan varje intag. Hur stor mängd penicillin finns i blodet efter sista tabletten? Ex 6 Gustaf är skyldig Karin 25 000 kr som skall betalas tillbaka om tre år. Vad bör Gustaf betala idag om han vill göra sig skuldfri? Räkna med en ränta på 5 %. Ex 7 Om fem år skall Adrian få ett engångsbelopp på 15 000 kr i pension. Räntan är 7%. a) Vad är pengarna värda idag? (nuvärdet) b) Vad är pengarna värd om tio år? (slutvärdet) Ex 8 Randi har lånat pengar och har avtalat om att betala 1000 kr per år under kommande fem år med den första inbetalningen om ett år. Räntesatsen kan antas vara 4%. a) Vad är värdet/summan av inbetalningarna om fem år? b) Vad är värdet av betalningarna idag? Ex 9 Karim vill låna pengar till en bil. Han kan betala 30 000 kr varje år och vill betala av hela lånet på tio år med den första betalningen efter ett år. Årsräntesatsen är 6%. Hur mycket har Karim råd att låna om han betalar ränta och amortering engågn per år? Ex 10 Alina vill låna 250 000 kr med en inbetalning per år tjugo år framöver. Hon vill att varje inbetalning skall vara lika stor. Hur mycket skall hon betala per år om första inbetlaningen görs efter ett år och räntesatsen är 5%.

Hur ritar vi system av linjära olikheter och områden i ett koordinatsystem? Vi kan rita in en rät linje i ett koordinatsystem. Ett annat ord för koordinatsystem är xy-planet. Linjen delar in koordinatsystemet i två delar som kallas halvplan. Ett halvplan beskriver man med hjälp av en olikhet. Beroende på vilket håll olikhetstecket skrivs avgör på vilken sida av linjen som menas. Ritar vi in flera olikheter i ett koordinatsystem kommer vi med hjälp av dessa kunna avgränsa ett område. Detta område blir viktigt i linjär optimering. Det är där vi hittar största och minsta värdet. Ex a) Markera olikheten y x 2 b) och c) Beskriv med en olikhet det gröna området. c) c) Lösning a) Det gröna området motsvarar olikheten y x 2 b) c) y < 2 y > 2 3x y 2x y x Ex 11 Markera i ett koordinatsystem det område som uppfyller följande system av olikheter. a) y 3x + 5 x 0 y 0 b)* 2x y 0 x + y 3 x 2 y 1

Ex 12 Det markerade området i figuren kan beskrivas med hjälp av ett system av olikheter. *Bestäm systemet av olikheter. Vad menas med linjär optimering och hur vi genomför en linjär optimering? Att optimera innebär att finna den bästa, "optimala", lösningen på ett problem utifrån de förutsättningar som ges. Vi har en funktion som vi vill hitta ett maximum eller ett minimum till. Den funktionen kallas målfunktionen. Till funktionen hör olika villkor och begränsningar som vi måste ta med i beräkningarna. Vi söker alltså den optimala kombinationen av x och y för att få det största eller minsta värdet för målfunktionen. Detta hittas alltid i någon av områdets hörnpunkter. Metoden kallas linjär opitmering och kan beskrivas genom några få punkter: 1) Ställ upp målfunktionen. Var tydlig med vad som är x och vad som är y. 2) Ställ upp olikheterna i ett system 3) Skriv dessa på formen y = kx + m och rita in dem i ett koordinatsystem. Nu får du området grafiskt 4) Bestäm koordinaterna för områdets hörnpunkter, dvs där de olika linjerna skär varandra. Detta gör du genom att lösa ekvationssystem 5) Sätt in dessa koordinater i målfunktionen och beräkna uttryckets värde. Avgör vilket av dem som blir det största/minsta värdet. Ex Bestäm största och minsta värdet av funktionen m = 120x + 180y kan anta utifrån de begränsningar och villkor som ges i koordinatssytemet. Lösning m(0, 0) = 120 0 + 180 0 = 0 (minsta värdet) m 0, 500 = 120 0 + 180 500 = 90 000 m 700, 0 = 120 700 + 180 0 = 84 000 m 400, 400 = 120 400 + 180 400 = 120 000 (största värdet)

Ex Ett leksaksföretag tillverkar två modeller av leksaksbilar. En liten sportbil och en lastbil. I tabellen ser vi hur tillverkningstid, monteringstid och vinst fördelar sig beroende på sort av bil. Företaget kan lägga 4800 min/vecka för tillverkning och 6000 minuter vecka för montering. Bestäm den maximala vinst de kan få. Sportbil x Vinst (kr/bil) 3 2 Tillverkningstid (tid/bil) 1 1 Monteringstid (tid/ bil) 2 1 Lastbil y Lösning 1. Bestäm målfunktionen: m = 3x + 2y och ange x och y. 2. Bestäm systemet av olikheter x + y 4800 2x + y 6000 x 0 y 0 3. Skriv olikheterna på formen y = kx + m Rita in olikheterna i ett koordinatssystem y x + 4800 y 2x + 6000 x 0 y 0 4. Bestäm koordinaterna för områdets hörnpunkter. y = 0 x = 0 y = x + 4800 x = 0 ger med insättning y = 4800 eller använd m-värdet direkt y = x + 4800 (1) y = 2x + 6000 (2) x + 4800 = 2x + 6000 x + 2x = 6000 4800 x = 1200 insatt i (1) ger y = 1200 + 4800 = 3600 y = 2x + 6000 y = 0 ger med direkt instättning x = 3000 5. Sätt in punkterna i målfunktionen för att beräkna största vinst. m 0, 0 = 3 0 + 2 0 = 0 (minsta värdet) m 0, 4800 = 3 0 + 2 4800 = 9600 m 1200, 3600, m = 3 1200 + 2 3600 = 10 800 (största värdet) m 3000, 0 = 3 3000 + 2 0 = 9000 Svar: För att opitmera sin vinst till 10 800 kr bör företaget tillverka 3600 sportbilar/vecka och 1200 lastbilar/vecka.

Ex 13 Den totala vinsten z kr som företaget tjänar på att tillverka två olika sorters kepsar A och B kan beskrivas med målfunktionen z = 20x + 30y. Om x är antalet sålda kepsar A och y är antalet sålda kepsar B. Hur stor är företagets totala vinst om man säljer 40 st kepsar av modell A och 80 st av modell B? Ex 14 Sofie har ett enmansföretag som köper in färdiga trädetaljer i furu. Hon tillverkar enbart två produkter pallar och byråer. Hennes arbetsuppgifter består av att montera och lacka dessa. Hon kan inte göra dessa saker samtidigt. Följande data gäller för hennes produktion. Arbetstimmar (h) Arbetstimmar (h) Tillgängliga arbetstimmar per vecka (h) Pall (x) Byrå (y) Montering 0,25 0,50 15 Lackning 0,40 1,00 25 Vinst per produkt 150 kr 320 kr Antag att Sofie tillverkar x pallar och y byråer under en vecka. a) Sofie får en order på 40 pallar och 10 byråer. Hinner hon tillverka dessa på en vecka? b) Bestäm den maximala vinst Sofie kan göra på en vecka.