Övningsuppgifter Ht-2017 1
Innehållsförteckning: Taluppfattning, positionssystem s. 3 4 Räkning, prioriteringsregler s. 4 6 Tvåbassystemet s. 6-7 Avrundning och noggrannhet s. 8-11 Bråk s. 12-17 Decimaltal s. 18 20 2
Taluppfattning, positionssystem Addition 3 + 4 = 7 Term + term = summa Subtraktion 4 3 = 1 Term term = differens Multiplikation 4 3 = 12 Faktor faktor = produkt Division 12 3 = 4 TTällllllllll nnämmmmmmmmmm = kvot Övningsuppgifter: 1. Summan av 7 och 4,5 multipliceras med differensen av 8 och 5,5. Vad blir resultatet? 2. Differensen av 6,5 och 4,6 divideras med produkten av 3,2 och 3,125. Vad blir resultatet? 3. En kvot med nämnaren 8 och täljaren 5 subtraheras från en produkt med faktorerna 2,1 och 1,2. Vad blir resultatet? 4. Produkten av 7 och 2 divideras med en kvot där nämnaren är 6 och täljaren är 42. Vad blir resultatet? 5. Summan av två kvoter divideras med 4. Kvoternas täljare är 5 respektive 11 och kvoternas nämnare är 4. Vad blir resultatet? 6. Skriv följande tal med siffror: En miljard två tusen elva. 7. Skriv följande tal med siffror: Två hundra två miljarder sex hundra tusen tre. 8. Skriv följande tal med siffror: Trettio sju miljarder elva. 9. Skriv följande tal med siffror: En biljon elva miljarder ett hundra elva tusen. 10. Skriv följande tal med bokstäver: 50004003. 11. Skriv följande tal med bokstäver: 700501000400. 12. Skriv följande tal med bokstäver: 49001701002. 13. Skriv följande tal med bokstäver: 2000020000022. 3
14. Vilket platsvärde har den plats där 9 står i talet 39134762100314? 15. Vilket platsvärde har den plats där 7 står i talet 176453912002644? Facit: 1. 28,75 2. 0,19 3. 1,895 4. 2 5. 1 6. 1000002011 7. 202000600003 8. 37000000011 9. 1011000111000 10. Femtio miljoner fyra tusen tre 11. Sju hundra miljarder fem hundra en miljoner fyra hundra 12. Fyrtio nio miljarder en miljon sju hundra en tusen två 13. Två biljoner tjugo miljoner tjugo två 14. biljontal 15. tiobiljontal Räkning, prioriteringsregler 1. Parenteser 2. Multiplikation/division 3. Addition/subtraktion Räknelagarna vid addition: Den kommutativa lagen a + b = b + a Vid grundläggande addition kan man beräkna 2 + 6 som 6 + 2. Vid huvudräkning av typen 47 + 84 + 53 kan man byta ordning på 84 och 53. Man får då 47 + 53 + 84 = 100 + 84 = 184 Den associativa lagen (a + b) + c = a + (b + c) Vid grundläggande additioner såsom 8 + 7 kan man först dela upp 7 i 2 och 5. Man kan sedan tänka 8 + 7 = 8 + (2 + 5) = (8 + 2) + 5 = 15 4
Vid huvudräkning av typen 84 + 43 + 57 kan man byta ordning på operationerna och räkna så här: 84 + (43 + 57) = 84 + 100 = 184 Räknelagarna vid multiplikation Den kommutativa lagen a b = b a En multiplikation som 7 2 är lika med 2 7. Det innebär att 2 + 2 + 2+ 2 + 2 + 2 + 2 = 7 + 7. Vid beräkningar som 5 7 2 kan man byta ordning på faktorerna och istället räkna 5 2 7 = 10 7 = 70. Den associativa lagen (a b) c = a (b c) Vid grundläggande multiplikation kan man beräkna 7 5 2 som 7 (5 2) = 7 10 = 70 Vid huvudräkning av typen 28 25 kan man först dela upp 28 i 7 4, vilket ger 28 25 = 7 4 25 = 7 100 = 700 Den distributiva lagen a (b + c) = a b + a c Om man vet att 8 5 = 40 så kan man beräkna 8 6 som 8 ( 5 + 1) = 40 + 8 = 48 Vid huvudräkning av typen 8 51 kan man tänka 8 (50 + 1) = 400 + 8 = 408 Vid huvudräkning av typen 8 49 kan man tänka 8 (50 1) = 400 8 = 392 Den kommutativa lagen gäller inte vid subtraktion och division: 1111 3 2 2 3 33 33 1111 Övningsuppgifter: 1. Beräkna 3( 7 3) 2 2. Beräkna 2 + 3 5 + 6 3. Beräkna ( 6 + 4) ( 7 4) 4. Beräkna 3 7 4 5 5. Beräkna 68 5( 4 + 8) 6. Beräkna (23 4) (6 + 9) 5
7. Beräkna 27 6 3 2 8. Beräkna 3 ( 9 7) 5 9. Beräkna 5 + 8 3 4 10. Beräkna ( 6 + 4) ( 7 4) 11. Beräkna 2( 3 5) + 4( 5 2) Facit: 1. 10 2. 23 3. 30 4. 1 5. 8 6. 285 7. 7 8. 30 9. 1 10. 30 11. 8 1. Skriv nedanstående decimaltal som binära tal. a) 7 b) 19 2. Skriv nedanstående decimaltal som binära tal. a) 16 b) 31 3. Skriv nedanstående decimaltal som binära tal. a) 64 b) 117 6
4. Skriv nedanstående decimaltal som binära tal. a) 128 b) 109 5. Skriv nedanstående binära tal som decimaltal. a) 11två b) 100110två 6. Skriv nedanstående binära tal som decimaltal. a) 101två b) 10000två 7. Skriv nedanstående binära tal som decimaltal. a) 111två b) 101010två 8. Skriv följande decimaltal i basen 3. a) 73 b) 12 9. Skriv följande decimaltal i basen 5 a) 58 b) 175 10. Skriv följande sexbastal som decimaltal a) 440sex b) 1144sex 11. Skriv om följande tal till basen 4 a) 324fem b) 21121tre Facit: 1. a) 111 b) 10011 2. a) 10000 b) 11111 3. a) 1000000 b) 1110101 4. a) 10000000 b) 1101101 5. a) 3 b) 38 6. a) 5 b) 16 7. a) 7 b) 42 8. a) 2201tre b) 110tre 9. a) 213fem b) 1200fem 10. a) 168 b) 280 11. a) 1121fyra b) 3031fyra 7
1 gällande siffra 7 0,7 0,07 0,007 2 gällande siffror 53 7,0 0,030 0,0084 3 gällande siffror 102 1,20 0,600 0,0407 Gällande siffror (eller värdesiffror) Nollorna framför ett tal räknas inte som gällande. Det gör dock nollor som hamnar mellan två siffror (som inte är 0). Gällande siffror är även de siffror som skrivs ut efter ett decimaltecken. Som t.ex. 0,600 i tabellen ovan. Egentligen behöver inte nollorna vara med men är det här på grund av att man vill visa på hur noggrant det är mätt eller beräknat. Om enheten är meter så betyder det att noggrannheten är på millimetern. Hur många gällande siffror har talen: a) 508 b) 3908 c) 5,6 d) 0,17 e) 6,17 f) 6,70 g) 5,910 h) 3,06 i) 13,00 Vad gäller för nollor efter talen? 7000. Hur många gällande siffror har det? Detta beror på sammanhanget! Om det är 1 gällande siffra: 6500 7000 < 7500 (Avrundning till närmaste 1000-tal) a = 3 b = 4 c = 2 d = 2 e = 3 f = 3 g = 4 h = 3 i = 4 8
Om det är 2 gällande siffror 6950 7000 < 7050 (Avrundning till närmaste 100-tal) Om det är 3 gällande siffror 6995 7000 < 7005 (Avrundning till närmaste 10-tal) Om det är 4 gällande siffror 6999,5 7000 < 7000,5 (Avrundning till närmaste hel-tal) Värdesiffror Vid mätningar får man aldrig exakta värden på storheterna. Alla mätvärden har fel som bland annat beror på vilken mätmetod och vilket mätinstrument som använts. Bilderna nedan visar mätning av längden av en bräda med tre olika mätlinjaler. 0 1m L 0,6m ( en värdesiffra) 0 10dm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 L 0,64m ( två värdesiffror) 0 100cm 10 20 30 40 50 60 70 80 90 L 0,642m ( tre värdesiffror ) 9
Tumregel: Vid multiplikation och division av närmevärden skall svaret innehålla lika många värdesiffror som det finns i det minst noggranna utgångsvärdet. Exempel 1: Sveriges totala area är 449 000 km 2 och invånarantalet är 8,9 miljoner. Ange antalet invånare som bor per km 2. Arean är avrundad till 3 värdesiffror och invånarantalet till 2 värdesiffror. Svaret bör alltså anges med 2 värdesiffror. 8 900 000 / 449 000 = 19,821826. 20 inv / km 2 Exempel 2 Räkna ut omkretsen av ett hjul med diametern 1,2 m. O = d O = 3,14 1,2m = 3,768 3,8m O = 1,2m = 3,7699112 3,8m Miniräknaren visar 3,7699112 om man slår på miniräknaren. Om man i stället slår 3,14 visar den 3,768 Man svarar med samma antal värdesiffror som finns i mätetalet med det minsta antalet värdesiffror En vägskylt t.ex, hur noggrann är den? Stockholm 200 Är den noggrann på metern, km eller milen? Övningsuppgifter: 1. Ange antalet gällande siffror a) 0,0020 b) 2,0001 10
2. Ange antalet gällande siffror a) 604,000 b) 3, 70 10 5 3. Ange antalet gällande siffror a) 0,003000 b) 60003 4. Avrunda till tre gällande siffror a) 4563,8 b) 0,03521 5. Avrunda till två gällande siffror a) 6053 b) 9,490 6. Avrunda till en gällande siffra a) 0,05099 b) 7501,9 7. Avrunda till tre gällande siffror a) 4014,30 b) 2, 7549 10 9 Facit 1. a) 2 b) 5 2. a) 6 b) 3 3. a) 4 b) 5 4. a) 4560 b) 0,0352 5. a) 6100 b) 9,5 6. a) 0,05 b) 8000 7. a) 4010 b) 2, 75 10 9 11
Bråk Förlängning Om man vill ha ett högre tal i täljare eller nämnare kan man förlänga bråket. Det gör man genom att multiplicera både täljare och nämnare med samma tal: Så länge man gör samma sak i både täljaren och nämnaren så förändras inte kvoten. Förkortning 3/12 och 1/4 är alltså samma tal, skrivet på två olika sätt. Om man istället vill ha ett lägre tal i täljaren eller nämnaren kan man istället förkorta. Då dividerar man både täljare och nämnare med samma tal. Man kan inte förkorta hur som helst, både täljare och nämnare måste bli heltal. När man inte kan komma längre, det vill säga att det inte finns något tal som man kan dela både täljare och nämnare med och få nya heltal - då säger man att talet är skrivet i sin enklaste form. När man pratar om förhållande mellan tal, då menar man kvoten av dem. Förhållandet mellan 3 och 12 är 12
När man skriver om förhållanden skriver man ofta 1:4 (utläses som 1 till 4) istället för det vanliga bråket. ADDITION OCH SUBTRAKTION AV BRÅK Tidigare nämnde vi att ju färre delar något är uppdelat i, ju större är varje del. Detta ställer till problem när vi vill addera och subtrahera bråk. Om vi till exmpel vill lägga ihop 1/3 och ¼ så kan vi inte göra det direkt eftersom "ettorna" inte är lika mycket värda. Om vi istället tittar på bråk med samma nämnare ser vi att det går bra att addera dem eftersom nämnarna här är lika stora och delarna alltså jämförbara. Det här talar om för oss att om vi vill addera två bråk med olika nämnare så måste vi först se till att nämnarna blir lika stora. Vi vill liksom översätta täljarna så att de betyder lika mycket. För att få fram en gemensam nämnare så använder vi oss av förkortning och förlängning. Vi förlänger med tre respektive fyra för att få båda nämnaren till 12 och sen kan vi bara lägga ihop täljarna. Ibland när man lägger ihop två bråk kan man få en summa som är större än 1: Detta resultat kan också skrivas som vilket kallas för ett bråk skrivet i blandad form. MULTIPLIKATION OCH DIVISION AV BRÅK Multiplikation 13
Multiplikation av bråk är ganska enkelt. Man multiplicerar täljarna och nämnarna var för sig. För att hålla reda på uträkningen är det bra att skriva upp det hela på ett gemensamt bråkstreck. Till exempel Vi förkortar med 3 för att få svaret i sin enklaste form. Allmänt skrivs detta som Division Med hjälp av detta kan vi gå vidare och förklara division av bråk. Hur delar vi 3/4 med 4/5? Jo, vi förlänger bråket så att nämnaren blir ett. Med hjälp av vad vi vet om multiplikation blir det så här: Vi vet att Det gör att nämnaren blir Vi fortsätter Att dividera med 4/5 är alltså detsamma som att multiplicera med 5/4. 5/4 kallas det inverterade talet till 4/5, vilket egentligen innebär att vi bara byter plats på täljaren och nämnaren. Att dividera med ett bråk är då samma sak som att multiplicera med 14
dess inverterade tal. Du tar alltså bråket i nämnaren och byter plats på dess täljare och nämnare och multiplicerar med det. Allmänt skrivs det som Övningsuppgifter: 1. Hur stor del av figuren är inte skuggad? 3 2 74 83 95 ; ; ; eller? 4 3 100 112 164 2. Skriv 2 3 8 i bråkform. 3. Skriv 3 1 7 i bråkform. 4. Skriv 12 6 11 i bråkform. 5. Skriv 19 9 19 i bråkform. 6. Skriv 0, 5 i bråkform. 7. Skriv 0,09 i bråkform. 8. Skriv 1,13 i bråkform. 9. Skriv 2,002 i bråkform. 10. Skriv 11 6 i blandad form. 15
11. Förläng bråket 7 9 så att nämnaren blir 54. 12. Vilket tal ska 2 13 13. Vilket tal ska 11 12 14. Förkorta 18 27 15. Förkorta 16 42 16. Förkorta 72 96 17. Beräkna 1 3 18. Beräkna 2 5 19. Beräkna 7 9 förlängas med för att nämnaren ska bli 52? förlängas med för att nämnaren ska bli 84? så långt som möjligt. så långt som möjligt. så långt som möjligt. 1 + och förenkla svaret så långt som möjligt. 7 3 +. Svara i blandad form. 4 8 +. Svara i blandad form. 11 20. Beräkna 1 1 2 + 1 3 4 och förenkla svaret så långt som möjligt. 21. Beräkna 3 3 4 1 1 4. Svara i bråkform. 22. Beräkna 1 3 4 20 5 21 och förenkla så långt som möjligt. 23. Beräkna 7 5 11 18 9 70 och förenkla så långt som möjligt. 24. Beräkna 2 1 4 3 2. Svara i bråkform. 5 25. Beräkna 4 1 7 11. Svara i bråkform. 3 26. Beräkna 10 11 2 1. Svara i blandad form. 2 27. Beräkna 6 1 4 28. Beräkna 2 5 29. Beräkna 1 6 2. Svara i blandad form. 7 4 9 1 3 och förenkla svaret så långt som möjligt. och förenkla svaret så långt som möjligt. 16
30. Beräkna 3 7 31. Beräkna 2 11 15 21 och förenkla svaret så långt som möjligt. 3 och förenkla svaret så långt som möjligt. 32. Beräkna 18 19 6 och förenkla svaret så långt som möjligt. 33. 1 2 kg glass ska delas lika mellan tre personer. Bestäm exakt hur mycket var och en av dem får. 34. 5 1 2 liter jordgubbssylt fördelas lika mellan 8 personer. Exakt hur mycket får var och en? Svara i bråkform. 35. 48 liter sportdryck ska tappas upp i flaskor som rymmer 2 3 liter var. Hur många flaskor kommer det att gå åt? 36. I ett laboratorieförsök tillfrisknade 3 7 av de råttor som fick pröva en ny medicin. 2 5 av de råttor som tillfrisknade blev dessutom immuna. Hur stor andel utgjorde dessa? Svara exakt. 37. I en by är 1 9 av den vuxna befolkningen under 65 år arbetslös och 1 11 förtidspensionerad. Resten arbetar. Hur stor andel utgör dessa? Svara exakt. 38. I en grupp förskolebarn kunde 3 17 läsa. 70 barn i gruppen kunde inte läsa. Hur stor var gruppen? 39. Ett smycke bestod av silver och zink. 15 19 Av smycket är silver. 8 g av smycket utgörs av zink. Hur mycket väger smycket? 40. En bil färdas 82,5 km på 55 minuter. Bestäm bilens medelhastighet. 41. En bonde äger mark. 1 3 Av marken utgörs av åker. Av resten av marken är 4 7 granskog. Hur stor del av marken är varken åker eller granskog? 42. En bil drar 5 7 liter bensin per mil. Hur långt kan man färdas med 40 liter? Facit: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 74 100 19 8 22 7 138 11 370 19 1 2 10. 1 5 6 11. 12. 4 13. 7 14. 15. 16. 42 54 2 3 8 21 3 4 20. 21. 22. 23. 24. 25. 7 12 5 2 1 7 1 11 153 20 116 21 29. 30. 31. 32. 1 2 3 5 2 33 3 19 33. 1 6 kg 34. 11 16 liter 35. 72 38. 85 barn 39. 38 gram 40. 90 km/h 41. 2 7 42. 56 mil 17
7. 8. 9. 9 100 113 100 1001 500 17. 10 21 18. 1 3 20 19. 1 50 99 26. 2 3 11 27. 1 11 14 28. 9 10 36. 37. flaskor 6 35 79 99 Decimaltal Övningsuppgifter: 1. Lös nedanstående uppgifter. a) Skriv 18 hundradelar i decimalform. Endast svar fordras. b) Ange ett tal mellan 0,09 och 0,1 Endast svar fordras. c) Skriv ner följande tal i storleksordning med det minsta talet först 4 70 ppm 0,3 %. Endast svar fordras. (Nationellt prov, kurs A, ht 1998) 2. Skriv talet 450 tusendelar i decimalform. 3. Skriv följande tal i storleksordning med det minsta först. 0,6 500 ppm 0,04% 4. Vilket tal är minst? 1,01 1,002 1,101 1,1 1,02 (Nationellt prov, kurs A, vt 1999) 5. Vilket tal är minst? 9,099 9,909 9,009 9,990 9,091 18
6. Vilket tal är störst? 0,005 0,050 0,505 0,055 0,550 7. Lös nedanstående problem. a) Vilket av följande tal är störst? Endast svar fordras. 0,03 0,033 0,3 0,0303 0,0033 b) Hur gör du för att bestämma vilket av följande tal som är minst? 41 83 163 50 100 200 (Nationellt prov, kurs A, vt 1995) 8. Vilket av följande tal är minst? Endast svar krävs. 2 1 45,1 0,45 10 452 10 300 0,004 10 5 7 9. Vilket av följande tal är störst? Endast svar krävs. 0,08 25 8,01 10 3 3 6 0,000079 10 351 79 10. Vid vilken av följande beräkningar får du det största talet? 0,98 300 300/0,98 300/0,94 300 0,94 11. Ett pannkaksrecept ser ut så här: 8 ägg 4 dl mjöl 8 dl mjölk 70 g smör När Anders ska göra pannkakor efter detta recept så upptäcker han att han endast har 6 dl mjölk. Skriv om receptet så att det passar för 6 dl mjölk. 12. Försäljningspriset för en cd-skiva är 200 kr och intäkten fördelas på följande sätt: Moms: 40 kr Försäljningsstället: 60 kr Skivbolag: 70 kr Artist: 30 kr Hur fördelas intäkten när cd-skivan reas ut för 120 kr? 13. Makaroner ska förpackas i påsar med 0,75 kg i varje påse. Vilken av följande beräkningar skulle du använda för att beräkna hur många påsar som 6 kg makaroner räcker till? 6/0,75 0,75/6 0,75 6 6 0,75 6 + 0,75 (Nationellt prov, kurs A, vt 1999) 19
14. Magnus har kokat egen saft och ska hälla upp de 30 literna i 1,5 litersflaskor. Vilken av nedanstående beräkningar används för att räkna ut hur många flaskor som krävs? 30 + 1,5 30 1,5 1,5/30 30/1,5 30 1, 5 15. Rolf ska flytta 75 m 3 jord med en skottkärra som rymmer 0,3 m 3. Vilken av följande beräkningar kan Rolf använda för att räkna ut hur många lass han måste köra med skottkärran? 0,3 75 0,3/75 75/0,3 75/0,3 2 75 2 /0,3 Facit: 1. a) 0,18 b) Exempel: 0,095 c) 70 ppm; 0,3%; 4 2. 0,45 3. 0,04 500 ppm 0,6 4. 1,002 5. 9,009 6. 0,550 7. a) 0,3 b) Talen kan göras om till decimaltal (genom beräkning med miniräknare eller via uppställning). Talen kan även göras liknämniga. 8. 300 7 9. 0,08 10. 300/0,94 11. 6 ägg 3 dl mjöl 6 dl mjölk 53 g smör 12. Moms: 24 kr Försäljningsstället: 36 kr Skivbolag: 42 kr Artist: 18 kr 13. 6/0,75 14. 30 1, 5 15. 75 0, 3 20
21