1 Föreläsning 13 12.2.1, 10.1.1 10.1.2, 10.1.4 i Griffiths Vi kommer nu till hur elektromagnetiska vågor genereras! Fält från strömmar i tidsdomänen (kursivt) V Lorentzgaugen A+µ 0 ε 0 = 0 för vektorpotentialen A och den skalära potentialen V leder till att den magnetiska vektorpotentialen A(r,t) satisfierar vågekva- t tionen 2 A(r,t) 1 2 A(r,t) = J (0.1) c 2 t 2 där c = 1/ εµ och där J är den fria strömtätheten. Lösningen är J(r,t r r /c) A(r,t) = dv R 4π r r 3 Från vektorpotentialen får vi magnetfältet genom H = 1 µ 0 A. För att få fram det elektriska fältet utanför källan kan vi antingen använda Ampères lag, eller som Griffiths gör, använda E = V A. Det resulterar i Jefimenkos ekvation, se t avsnitt 10.2.2. Retarderad tid Tidsargumentet t r r /c i strömtätheten i ekvation (0.1) talar om att det tar tiden r r /c för signalen att färdas sträckan r r. Signalen färdas alltså med ljushastigheten c och lösningen är därmed kausal. Det är egentligen det enda vi kommer att använda från tidsdomänen. Det är betydligt enklare att lösa Maxwells ekvationer i frekvensdomänen och det är det resten av denna sammanfattning handlar om. Fält från strömmar i frekvensdomänen De flesta signaler är tidsharmoniska, d.v.s. varierar sinusformat i tiden. Om signalerna inte är tidshrmoniska kan vi genom en Fouriertransform gå över till frekvensplanet, lösa ekvationerna där för att sedan gå tillbaka till tidsplanet via en invers Fouriertransform. Vi studerar tidsharmoniska fält (e iωt ) och inför de komplexa fälten via J(r,t) = Re { J(r)e iωt} H(r,t) = Re { H(r)e iωt} E(r,t) = Re { E(r)e iωt}
2 Den komplexa vektorpotentialen ges av (se Griffiths) R3 J(r ))e ik r r A(r) = 4π r r dv Magnetfältet ges av R3 H(r) = J(r ) eik r r 4π r r dv Utanför det område där det finns källor ges det elektriska fältet av Ampères lag, E(r) = 1 iωε H(r) r utanför källorna För att bestämma E behöver vi alltså gå igenom kedjan J A H E. Rak trådantenn Låt en tidsharmonisk ström flyta längs en tråd med längd 2h. z r h Matningskälla (generator) Volymsintegralen för vektorpotentialen övergår i en linjeintegral eftersom strömtätheten nu är begränsad till en linje längs z-axeln (J(r )dv I(z )ẑdz ). Elementardipol A(r) = µẑ { h e ik r z ẑ I(z ) 4π r z ẑ dz Om längden 2h är mycket kortare än våglängden λ = 2π/k gäller kh 1
3 och vi approximerar r z ẑ r. Resultatet blir A(r) = ẑ µeikr 4πr Vi inför antennens elektriska dipolmoment 1 I(z ) dz p = pẑ = iẑ ω I(z ) dz och antennens magnetiska vektorpotential blir A(r) = iωµ eikr 4πr p och det magnetiska fältet och det elektriska fältet blir efter differentiering H(r) = 1 ( A(r) = iω eikr ( ) p µ 4πr p = iω eikr = iω eikr ik 1 ) ˆr p 4πr 4πr r På stort avstånd från antennen, det s.k. fjärrfältet i fjärrzonen, blir (k = ω/c) H(r) = ω2 c e ikr p (fjärrzon) 4πrˆr Nära dipolen i den s.k. närzonen dominerar den andra termen (närfältet) H(r) = iω eikr 4πr2ˆr p (närzon) Storleksskillnaden mellan närfältet och fjärrfältet är kr = ωr c vilket är ett mycket litet tal utom då ω eller r är stort. Det dominerande elektriska fältet i fjärrzonen blir mha. Ampères lag E(r) = 1 H(r) = k2 iωε ε där fjärrfältsamplituden F(ˆr) blir F(ˆr) = 4πεˆr k2 (ˆr p) 1 Jämför detta uttryck med ( dq dt dz ) dt = Q2h e ikr (ˆr p) = F(ˆr)eikr 4πrˆr r
4 Kommentar: För sfäriska vågor E(r) gäller att operatorn kan bytas mot ikˆr, dvs. E(r) = ikˆr E(r) osv. Planvågssambandet H = η0 1 ˆr E gäller även för sfäriska vågor. Anmärkning: Om elementardipolenen inte är placerad i origo utan i punkten r 0 gäller att fjärrfältsamplituden blir F(ˆr) = k2 4πεˆr (ˆr p)e ikˆr r 0 Sammanfattningsvis: Det elektromagnetiska fältet i fjärrzonen (strålningsfältet) är: e ikr E(r) = k2 ˆr (ˆr p) 4πε r H(r) = k2 ce ikr ˆr p 4π r Speciellt, p = pẑ E(r) = ˆθ k2 p e ikr 4πε r sinθ H(r) = ˆφ k2 cpe ikr 4π r sinθ E ^r H p Antenn Notera att E θ /H φ = 1/εc = µ/ε = materialets vågimpedans (liknar planvågsrelationen). Strålningsfunktionen för det elektriska definieras som f(θ) = E θ max E θ = sinθ Denna funktion visas grafiskt i strålningsdiagrammet
5 z x Effektflödet ges av Poyntings vektor <S(t)>= 1 2 Re{E H } = 1 2ηˆr E 2 = ˆr k4 c p 2 32π 2 εr 2 sin2 θ Notera, att effekten strålar radiellt ut 1. r 2 Totalt utstrålad effekt P = <S(t)> ˆr ds = k4 c p 2 12πε Sfär med radie r Rak trådantenn, återbesök Från ovan har vi den magnetiska vektorpotentialen A(r) = µẑ I(z e ik r z ẑ ) 4π r z ẑ dz Om inte antennen är elektriskt kort (kh 1) kan vi inte göra approximationerna som leder fram till elementardipoluttrycken. Vi specificerar strömmen (egentligen ett randvärdesproblem som måste lösas) I(z) = I 0 sin(k(h z )) Denna ström är symmetrisk kring z = 0 och satisfierar I(±h) = 0, dvs. ingen ström i ändpunkterna. Approximation på stora avstånd r (cos θ = ˆr ẑ) r z ẑ = r 2 +z 2 2rz cosθ = r 1+(z /r) 2 2(z /r)cosθ Använd (1+x) 1/2 = 1+x/2+O(x 2 ) för att komma fram till r z ẑ = r ( 1 (z /r)cosθ +O((z /r) 2 ) ) r z cosθ På stora avstånd blir därför den magnetiska vektorpotentialen approximativt A(r) =µi 0 ẑ = µi 0 ẑ sin(k(h z )) 4π r z ẑ dz e ik r z ẑ sin(k(h z )) eikr e ikz cosθ 4πr dz = F(θ) eikr r
6 där strålningsfunktionen F är F(θ) = µi 0 ẑ sin(k(h z cosθ )) e ikz 4π som kan beräknas i elementära integraler Därefter kan E och H beräknas. F(θ) = µi 0ẑ 2πksin 2 θ (cos(khcosθ) coskh) dz