Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att den senare har derivatan f(x) = C e xln(a) f (x) = C ln(a) e xln(a) Eftersom uttrycket i derivatan kan skrivas om (tillbaka) till f (x) = C ln(a) a x har vi visat att man direkt kan derivera den inledande funktionen utan omskrivning med e. Nästan till 100% har min-max problem handlat om polynom. Någon enstaka gång om potensfunktioner där exponenterna inte är positiva heltal. Därför ska vi nu bestämma eventuella extrempunkter till funktionen f(x) = e x + e x Strategin är densamma, som alltid. Bestäm f (x) och lös ekvationen f (x) = 0. f (x) = e x e x e x e x = 0 e x = e x lne x = lne x x = x x = 0 Då x = 0 finns en extrempunkt. Vilken typ? Vi derivera igen och får f (x) = e x + e x Observera att f (x) = f(x). Hur som helst f (0) = > 0 och vi har träffat på en minpunkt. Håkan Strömberg 1 KTH Syd
0 15 10 5 - - -1 1 Figur 1: 4 1-1.5-1 -0.5 0.5 1 1.5 Figur : Vi har sett kurvan y = x så många gånger nu att vi bör kunna se att kurvan i figuren har en annan form. Kurvan kan ses som i figur, som summan av två kurvor. 1L För vilka x är funktionen f(x) = x e x avtagande? Lösning: Avtagande betyder negativ derivata. Så vi kan lika väl ställa frågan: När är f (x) < 0? Alltså är det läge att derivera f (x) = 1 e x f (x) = 0 ger 1 e x = 0 1 = e x x = 0 Håkan Strömberg KTH Syd
Extrempunkt då x = 0. Vi deriverar en gång till f (x) = e x f (0) = 1 < 0 betyder att vi här har en maxpunkt. Svar: f(x) är avtagande då x > 0 L Bestäm funktionens x x < 0 x = 0 x > 0 f (x) + 0 f(x) ր max ց f(x) = 1 x + e x minsta värde Lösning: Vi deriverar för att kolla upp om det finns några extrempunkter f (x) = 0 ger Andraderivatan f (x) = + e x + e x = 0 e x = lne x = ln ( ) x = ln ( ) f (x) = e x > 0 för alla x, speciellt x = ln ( ), betyder att vi funnit en minpunkt. Återstår att bestämma ( ( )) f ln x x < ln ( ( ) x = ln ( ) x > ln ) f (x) 0 + f(x) ց min ր = 1 ln Svar: Funktionens minsta värde är ungefär.78 ( ) + e ln( ).78 M Bestäm skärningspunkten mellan tangenterna som tangerar kurvan till funktionen f(x) = x i punkterna (, 9) respektive (4, 16) Lösning: Derivatan till f(x) är f (x) = x Håkan Strömberg KTH Syd
För tangenten y 1 = k 1 x + m 1 i punkten (, 9) får vi k 1 = ( ) = 6. För tangenten y = k x + m i punkten (4, 16) får vi k = 4 = 8. Till var och en av tangenterna har vi nu en punkt och dess k-värde. Vi bestämmer m-värden. och 9 = ( 6) ( ) + m 1 = 9 m 1 16 = 8 4 + m m = 16 För att bestämma skärningspunkten till tangenterna y 1 = 6x 9 och y = 8x 16 får vi ekvationen y-koordinaten får vi genom 6x 9 = 8x 16 7 = 14x x = 1 y = ( 6) 1 9 = 1 Svar: Tangenterna skär varandra i punkten ( 1, 1) 4M För funktionen g(x) gäller att g (x) = f(x) och g( 1) = 4. Bestäm g(x) om grafen i till f(x) är den linje som är ritat i figur : 4 1 y 7 6 5 4 1 1 4 5 6 7 x 1 4 Figur : Lösning: Från grafen får vi k = och m = 1, vilket ger f(x) = x 1 Eftersom detta är ett polynom av första graden måste g(x) vara ett polynom av andra graden. Vi ser också från diagrammet att f( 1 ) = g ( 1 ) = 0. Alltså har f(x) en extrempunkt då x = 1. Eftersom f (x) > 0 för x < 1 handlar det om en minpunkt. Håkan Strömberg 4 KTH Syd
Vi antar nu att g(x) = ax + bx + c med derivatan g (x) = ax + b. Jämför vi denna funktion med f(x) = x 1 får vi att a = 1 och b = 1. Vi kan nu skriva g(x) = x x + c. Utnyttjar vi informationen g( 1) = 4 får vi 5M Svar: f(x) = x x + 4 ( 1) ( 1) + c = 4 1 + 1 + c = 4 c = 4 100 80 60 40 0-4 - - -1 Figur 4: Nu är det vinter och skidan den slinter. I figur 4 ser du skidbacken i profil, som beskrivs genom funktionen f(x) = x 1x + 8x 1 på intervallet [ 4, 0]. Bestäm den punkt (x, y), där backen är brantast. Lösning: Vi söker alltså det, till absolutbeloppet, största värdet hos f (x) (som är liktydigt med den största lutningen) i intervallet [ 4, 0]. Först tar vi fram f (x). Därefter eventuella extrempunkter hos f (x) genom att lösa ekvationen f (x) = 0. f (x) = 6x 4x 8 Det är för denna funktion, vi är intresserade av det största värdet. Vi deriverar igen. f (x) = 1x 4 f (x) = 0 ger oss ekvationen 1x 4 = 0 med roten x =. Vi vet nu att f (x) har en extrempunkt för x =. Genom att derivera ytterligare en gång får vi f (x) = 1 < 0 Vi har funnit en maxpunkt. Genom f ( ) =. Tyvärr är resultatet lite orealistiskt. Backen sluttar arctan 88! Håkan Strömberg 5 KTH Syd
6S Bestäm a och b i funktionen g(x) = x + ax + b så att g(x) har en maxpunkt för x = och så att g(x) har en gemensam tangent med funktionen f(x) = x Lösning: Vi behöver både g (x) och f (x) g (x) = x + a och f (x) = x Vi antar att kurvorna tangerar varandra då x = u. Vi kan nu ställa upp tre samband: f(u) = g(u) f (u) = g (u) g () = 0 För x = u har ju båda funktionerna samma värde. Dessutom har dess derivator samma värde. Detta för att de ska ha en gemensam tangent. Skriver vi ut systemet ovan får vi u = u + au + b u = u + a + a = 0 Ur den sista ekvationen får vi att a = 4. Insatt i den andra ekvationen får vi u = u+4, som ger u = 1. Sätter vi till sist in a = 4 och u = 1 i den första ekvationen får vi ekvationen 1 = 1 + 4 1 + b b = Vi kan nu skriva g(x) = x + 4x. Så här ser grafen ut. 4-4 - 4 - Figur 5: Håkan Strömberg 6 KTH Syd
1L Sök den största produkten av två tal x 1 och x då man vet att x 1 + x = 1 M För ett andragradspolynom f(x) gäller Bestäm andragradspolynomet f(1) + f (1) + f (1) = 10 f (1000) = f (0) = 11 M Bestäm koefficienterna a och b, så att funktionen har en minpunkt i (1, 0) f(x) = ax 4 + bx + x 4S På sidorna i en rätvinklig triangel med arean 8 cm är kvadrater med sidans längd uppritade. Beräkna det minsta värde, som summan av dessa kvadraters area kan anta. 5S Vi har en 10 meter lång ståltråd, som vi delar i två bitar. Av dessa bitar böjer vi sedan till en kvadrat och en cirkel, se figur 6. Figur 6: Hur ska tråden delas för att få minsta möjliga, sammanlagda, area på cirkeln och kvadraten? 1 Om x 1 = x så är x = 1 x. Deras produkt blir då p(x) = x(1 x) = x x Det är för denna funktion vi ska söka en maxpunkt. Genom att lösa p (x) = 0 får vi reda på extrempunkterna. p (x) = 1 x Håkan Strömberg 7 KTH Syd
p (x) = 0 då 1 x = 0 eller x = 1. Deriverar vi en gång till får vi p (x) = Som är negativt för alla x och därmed vet vi att vi funnit en maxpunkt. Då x 1 = x = 1 får vi produkten 1 som alltså är den största vi kan få då vi 4 multiplicerar två tal vars summa är 1. Antag att polynomet är f(x) = ax + bx + c Vi startar med att ta fram första och andra derivatan och f (x) = ax + b f (x) = a Direkt får vi genom f (1000) = att a =, a = 1 och f (x) = Genom a = 1 kan vi nu skriva f (x) = x+b. Genom f (0) = 11 får vi 0+b = 11, b = 9 och f (x) = x 9. Vi skriver nu f(x) = x 9x + c c kan vi nu fånga genom den första ekvationen ovan Svar: f(x) = x 9x + 6 Vi deriverar Vi vet att f (1) = 0. Alltså Vi vet också att f(1) = 0. Alltså Vi har ett ekvationssystem (1 9 1 + c) + ( 1 9) + () = 10 c = 6 f(x) = 4ax + bx + 1 f (1) 4a + b + 1 = 0 f(1) a + b + 1 = 0 { 4a + b = 1 a + b = 1 Multiplicera andra ekvationen med ( 4) och vi får { 4a + b = 1 4a 4b = 4 Vi adderar ekvationerna led för led och får b = Håkan Strömberg 8 KTH Syd
b =. Insatt i första ekvationen får vi 4a + ( ) = 1 ger a =. Vi kan nu skriva funktionen f(x) = x 4 x + x Att det verkligen handlar om en minpunkt ser vi genom f (x) = 4x 18x f (1) = 6 > 0 4 Vi döper triangelns kateter till a och b. Eftersom A T = a b och A T = 8 kan vi uttrycka b med hjälp av a. ab = 8 ger Hypotenusan c kan nu skrivas c = b = 16 a a + ( ) 16 a Vi har nu tecknat samtliga sidor i triangeln med hjälp av a. Summa av de tre kvadraternas area kan nu skrivas ( ) A(a) = a + 16 16 a + a + = a + 16 = a + 51 a a a Det är den här funktionen vi ska söka en minpunkt till. Vi deriverar och löser ekvationen A (a) = 0 A (a) = 4a 104 a A (a) = 0 ger 4a 104 a = 0 4a = 104 a a 4 = 56 a = ± 4 56 a 1 = 4 (a = 4) Vi har en extrempunkt för a = 4. Vilken typ? A (a) = 4 + 07 a 4 Då A (4) = 16 > 0 så kan vi konstatera att vi funnit en minpunkt. A(4) = 64 ger oss nu den största sökta arean Svar: 64 cm Håkan Strömberg 9 KTH Syd
5S Fyra formler, som vi hämtar från formelsamlingen eller minnet: A K = s O K = 4s A C = πr O C = πr Den totala omkretsen kan nu skrivas O = O K + O C = πr + 4s. Vi vet också att πr + 4s = 10. Vi kan teckna den totala arean A(r, s), som funktion av s och r: A(r, s) = s + πr Men eftersom 10 πr s = 4 kan vi skriva A(r, s) som en funktion enbart av r ( ) 10 πr A(r) = + πr 4 Det är till A(r) vi ska finna ett minimum. Vi ska följaktligen lösa ekvationen A (r) = 0. ( ) 10 πr A(r) = + πr 4 A(r) = (10 πr) 16 + πr A(r) = 100 + 4π r 40πr 16 + 16πr 16 A(r) = 100 + 4π r 40πr + 16πr 16 A (r) = 8π r 40π + πr 8 A (r) = π r 5π + 4πr A (r) = 0 då r = 5 π + 4 Nu kan vi bestämma cirkelns omkrets och därmed var vi ska dela tråden: O C = π 5 π + 4 4.4 Den ena delen av tråden ska vara 4.4 meter och den andra 5.6 meter. Den totala arean är då.5 m, som vi kan utläsa från grafen Håkan Strömberg 10 KTH Syd
9 8 7 6 5 0.5 1 1.5 Figur 7: Räkna bokens uppgifter: 56, 61, 6, 64 56 TB: En enkel uppgift igen. f(x) = e ax har derivaten f (x) = a e ax. Vi kan nu bestämma a eftersom f (0) = 6 som är samma sak som a e a 0 = 6 ger a = 61 TB: Här är funktionen T(t) = 0 + 75e 0.054t. Temperaturen T som funktion av tiden t. Grafen ser ut så här: 90 80 70 60 50 40 0 40 60 80 Figur 8: Observera origos placering. Det är inte så som det kan se ut, att kaffets temperatur går under noll. Håkan Strömberg 11 KTH Syd
6 Först ska vi besvara frågan: När blir kaffet svalare än 50 C? 0 + 75e 0.054t = 50 e 0.054t = 50 0 75 e ln e 0.054t ln 0.4 = e e 0.054t ln 0.4 = e 0.054t = ln 0.4 ln 0.4 t = 0.054 5.88 Efter 5.88 minuter har kaffets temperatur sjunkit till 50 C. Det var inte nog med detta, vi ska också ta reda på T (0) och tolka resultatet. T(t) = 0 + 75e 0.054t T (t) = 0.054 75e 0.054t T (0) 0.91800 Detta betyder att efter 0 minuter så sjunker temperaturen med cirka 0.918 grader/minut. TB: Vilken konstig uppgift, men ganska bra! Jag startar med 500 kr som jag sätter in på banken till 7% ränta. Hur många år dröjer det innan beloppet har stigit till 10000 kr? 64 TB: Så här ser grafen, som visar bilens värde de närmaste 0 åren, ut: Bilens värde 50000 00000 150000 100000 50000 5 10 15 0 Figur 9: avtar med 15% per år. V(t) = 80000 0.85 x xln 0.85 V(t) = 80000 e V (t) = ln(0.85)80000 e V (5) 0190.9 xln 0.85 Håkan Strömberg 1 KTH Syd
67 Efter 5 år rasar bilens värde med cirka 0000 kr/år. I grafen visas detta med en tangent till kurvan i punkten (5, 147). Tangenten har k-värdet 0190.9. TB: Vi har funktionen f(x) = C a x, där C och a är konstanter som ska bestämmas. Vi har två fakta om funktionen: f(0) = och f (x) = 5 f(x). Ur f(0) = C a 0 = får vi omedelbart att C =. Den andra ledtråden är svårare att förstå sig på. KTH: Läs bara vad som står och sätt upp ekvationen TB: OK. Jag måste ta fram f (x) och skriver först om f(x) = e xln a och får då f (x) = lna e xln a Nu får jag ekvationen f (x) = 5 f(x) lna e xln a = 5 e xln a ln a = 5 a = e 5 Nu kan jag skriva funktionen f(x) = e 5x Håkan Strömberg 1 KTH Syd