Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 AUTONOMA DIFFERENTIALEKVATIONER Stabilitet Fasporträtt AUTONOMA DE: Det är speciellt enkelt att rita ett riktningsfält för en ekvation av typen y F( y) (ekv) (eller y ( x) F( y( x)) ) En sådan DE, som saknar oberoende variabel i explicit form kallas autonom DE. 3 Exempelvis y 3 y y sin( y) är en autonom DE, medan y x y är inte autonom. DEFINITION. Lösningar till F ( y) kallas kritiska punkter till autonoma DE y F( y). Det är uppenbart att varje lösning till F ( y) (om sådana finns) ger en (konstant) lösning till DE y F( y) (eftersom derivatan av konstantfunktion=, så att både vänster- och högerledet blir ). När vi ritar riktningsfältet till en autonom DE y F( y) använder vi den uppenbara egenskapen att ( y konstant) ( y konstant). Men andra ord; isokliner till en autonom DE är horisontella linjer y k (där y F(k)). Speciellt viktigt är att analisera tecken av F ( y) (som visar område där lösningar är växande/avtagande ). Detta kan åskådligt göras genom att med pilar på en vertikalaxel ange område där lösningar växer/ avtar. En sådan figur kallas ett endimensionellt fasporträtt. -------------------------------------------------- Translation (förflyttning) av en lösning parallell med x-axeln är också en lösning. Om y f (x) är en lösning till då är uppenbart y f ( x a) också en lösning till autonoma DE y F( y). (Om y f (x) uppfyller y F( y) då y f ( x a) också uppfyller samma ekvation.) Om y f (x) är lösning till begynnelsevärdesproblem y F( y), y( ) y då är y f ( x a) lösningen till y F( y), y( a) y Grafen till y f ( x a) får vi genom att translatera (förflytta) parallell med x-axeln grafen till y f (x). Sida av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 y f (x) y f ( x a) ============================================================ STABILITET: I praktiska tillämpningar bestämmer man begynnelsevärden genom mätningar. Därför innehåller begynnelsevärden avrundningsfel, mätfel och dyl. Begreppet stabilitet är kopplad till problemet hur mycket felet i begynnelsevärdena påverkar lösningen till DE. DEFINITION. Låt y vara en kritisk punkt till DE y F( y), alltså F ( y ), där y(t), t t är den obekanta funktionen. i) Vi säger att y är en stabil kritisk punkt, om för varje existerar så att för varje lösning y (t) som för t t satisfierar y ( t ) y, gäller y ( t) y för t t ii) Vi säger att en stabil kritisk punkt y är asymptotiskt stabil om det existerar så att y( t y. ) y lim y( t) t Tolkning av definitionen: Ett mindre fel ( ) i startvärden påverkar inte mycket själva lösningen. Om vi, istället i y, felaktigt startar i y y( t ) där y ( t ) y blir felet. Samma gäller om vi betraktar differensen mellan två lösningar nära en stabil kritiskpunkt y : Anta att det korrekta startvärdet är y y ) och tillhörande (korrekta) lösningen är ( t y f ( t ) men att vi ( på grund av mätfel) startar i y ( y t) som ger felaktiga lösningen y f ( t). Anta vidare att både y och y ligger nära den stabila kritiska punkten y (dvs anta att y och y ). Då är differensen mellan lösningarna y y f ( t) f ( t) f ( t) y y f ( t). Med andra ord, mindre fel i startvärdena påverkar inte lösningen. Sida av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676. En kritisk punkt konstanta lösningen y till DE n y y y F( y) kritisk punkt kallas också attraktor. pekar mot denna lösning. Punkt y = i Fig... (som visar DEFINITION 3. En kritisk punkt är instabil om den inte är stabil. är asymptotisk stabil om pilar från bådasidor av den riktningsfältet för DE y y ) är en asymptotisk stabil punkt. Om start punkten ligger l tillräckligt nära en stabil kritisk punkt y= =y då gäller lim( y( x)). En asymptotisk stabil 3a) Om pilar från bodasidor av den konstanta lösningen y y pekar bort från denna lösning l kallas punkten y repeller. Punkt y = i Fig.. är en repeller. 3b. En kritisk punkt y är semistabil om pilar från en sida pekarr mot linjen den andra sidan bort från linjen y y. Notera att både repeller och semistabil punkt är instabila punkter. ---------------------------------------------------------------------------------------- Nedanstående figur visar riktningsfältet, kritiska punkter y= och o y= ochh några lösningskurvor. Kritiska punkten y= ärr atraktor (en stabil punkt). Kritiska punkten y= är en repeller (en instabil punkt) ). x y n y y och från ---------------------------------------------------------------------------------------- FASPORTRÄTT Enklast sätt att bestämma stabilitet för kritiska punkter till autonoma ekvationen y F ( y) är med hjälp av ekvationens fasportätt. Fasporträtt till ekvationen y F( y ) är en figur som innehåller y-axeln, kritiska punkter och pilar som visar om lösningar växerr ( y ) eller avtar ( y ) i intervallet. Exempel. Bestäm kritiska punkter och rita fasporträtt till följande autonoma DE y y 4. Kritiska punkter: y y 4 ger två kritiska punkter y ochh y. Sida 3 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Tecken av y dvs tecken av y 4: y 4 för y (, ) (, ), y 4 för y (,), Ekvationens fasporträtt ritar vi med hjälp av kritiska punkter och teckenanalys för y dvs för y 4. y y 4 Anmärkning: För att spara plats, kan fasporträtt ritas horisontellt. ============================================================== ÖVNINGAR: Uppgift. Bestäm om följande DE är autonoma a) y x y b) y 3 5 y y c) y ( x) ( y( x)) y( x) 3 d) y ( x) ( y( x)) x e) y ( t) 3 y( t) f) z ( t) t t z( t) Svar: a) nej b) ja c) ja (Skriv DE som y F( y).) 5 y y y, då ser man att DE är av typen d) nej e) ja f) nej Uppgift. Vi betraktar följande autonoma DE y y y. Sida 4 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 a) Bestäm kritiska punkter. Visa att konstanta funktioner y= (för alla x) och y= (för alla x) är lösningar till DE. b) Bestäm områden där riktningskoefficient y y y är positiv/negativ. c) Rita ett fasporträtt till DE och klassificera kritiska punkter. d) Rita ett riktningsfält till DE y y y. Skissera också den lösning som går genom punkten (,) och den lösning som går genom punkten (,). e) Skissera lösningar (5 st.) som går genom punkterna (, ), (, ), (, ),(, ) och (,.). f) Kan en annan lösning skära de konstanta lösningar y= och y=? a) Kritiska punkter är lösningar till y y. Detta ger två kritiska punkter y och y=. Kritiska punkter (betraktade som konstanta funktioner) är alltid lösningar till sin DE som är enkelt att kontrollera: y (för alla x) ger y. VL= y, HL=. Alltså VL=HL V.S.V. På samma sätt ser vi att funktionen y (för alla x) är en lösning till DE. b) Först y y y som ger två lösningar y= och y=. Alltså lutning är längs de horisontella linjerna y= och y=. Teckentabell för y dvs för y y y( y ) : y y y Alltså, y om y ; y om y eller om y. c) Notera att y y y är en autonom DE. Längs linjerna y=k har vi konstanta riktningskoefficienter y F( k) k k. Alltså är y=k isokliner till DE. Vi väljer några värden på k t.ex k=,,,,,3,4 och beräknar motsvarande y F( k) k k : y ger y F( ) ( ) ( ) 8. Längs linjen y ritar vi några korta tangentstycken med lutningen 6 (se nedanstående figur). På liknande sätt får vi y ger y F( ) ( ) ( ) 3, y ger y F() () (), (som vi konstaterade i a-delen) y ger y, Sida 5 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 y ger y, y 3 ger y 3, y 4 ger y 8, c) Fasporträtt till y y y y-axeln Instabil punkt (repeller) Stabil punkt (attraktor) Fig. d) e) f) Eftersom ( y y och F( y) y är kontinuerlig ga funktioner i hela R -planet,- F y) enligt existens-och entydighetssatsen går exakt en lösningskurvaa genom varje punkt i planet. Därmed kan ingen lösningskurva skära eller tangera de konstantalösningar.. Den gruva data grafik i fig e) visar felaktigtt att några kurvor har gemensamm ma punkter. Korrekt tolkning är att y= och y= är horisontella asymptoter för lösningskurvor. Uppgift 3. Vi betraktar följande autonoma DE y ( y 3)( y ). a) Bestäm kritiska punkter. b) Rita ett fasporträtt till DE och klassificera kritiska punkter. Sida 6 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 a) Kritiska punkter är lösningar till ( y 3)( y ). Detta ger två kritiska punkter y och y=3. b) Först bestämmer vi tecken för f y dvs för uttrycket ( y 3)( y ) med hjälp av en teckentabell: ( y ) ( y 3) y 3 Med hjälp av derivatans tecken ritar vi fasporträtt Fasporträtt till y ( y 3)( y ) y-axeln 3 Instabil punkt (repeller) semistabil punkt Fig3. Uppgift 4. (ten 6 dec6 i kursen SF633) Notera att faslinjenn är ritad horisontellt. Sida 7 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Uppgift 5. KS 6, kurs SF633 Sida 8 av 8