M/M/m/K kösystem. M/M/m/K kösystem

Relevanta dokument
Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

Ur en kortlek på 52 kort väljer man ( utan återläggning och utan hänsyn till ordning) slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten för att få

aug 2017 Kurskod HF1012 Halilovic internet. Betygsgränser: För (betyg Fx). Sida 1 av 13

Ett M/M/1 betjäningssystem har följande egenskaper: 1. Systemet har en betjänare. Betjäningstiderna är exponentialfördelade med medelvärde 1 μ

TILLSTÅNDSGRAFEN. Slutligen erhålls den mycket viktiga så kallade Snittmetoden :

Kunna beräkna P (spärr) för system med begränsat antal kunder och köplatser. Kunna beräkna medelantal upptagna betjänare.

Kunna använda Littles sats för enkla räkningar på kösystem.

Tentamen TEN1, HF1012, 29 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar.

Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod.

Kunna använda Littles sats för enkla räkningar på kösystem.

Kunna dra slutsatser om t ex ett systems betjäningstider och antalet köplatser genom att tolka diagram.

TENTAMEN I KOTEORI 20 dec 07 Ten2 i kursen HF1001 ( Tidigare kn 6H3012), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK,

Kunna dra slutsatser om ett systems betjäningstider och antalet köplatser genom att tolka diagram.

Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till begreppet utnyttjning av en betjänare och beräkna den.

Fö relä sning 2, Kö system 2015

Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem.

2 Laborationsuppgifter, upptagetsystem

a) Använd samtal.mat för att beräkna antalet samtal som blir spärrade i de olika cellerna under den givna timmen.

Markovprocesser SF1904

Performance QoS Köteori SNMP. Felsökning. Jens A Andersson (Maria Kihl) GET request GET response SET request TRAP MIB. Att mäta är att veta ping

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2018 KL

Performance QoS Köteori. Jens A Andersson (Maria Kihl)

Fö relä sning 1, Kö system vä ren 2014

Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät med återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod.

Fö relä sning 1, Kö system 2015

P(X nk 1 = j k 1,..., X n0 = j 0 ) = j 1, X n0 = j 0 ) P(X n0 = j 0 ) = etc... P(X n0 = j 0 ) ... P(X n 1


Tiden i ett tillstånd

b) Vad är sannolikheten att personen somnar i lägenheten? (4 p) c) Hur många gånger förväntas personen byta rum? (4 p)

Tentamen TEN1, HF1012, 30 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 18 AUGUSTI 2017 KL

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Modellering och kundprocessanalys av kösystem på Vapiano Sturegatan

** a) Vilka värden ska vara istället för * och **? (1 p) b) Ange för de tre tillstånden vilket som svarar mot 0,1,2 i figuren.

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 29 MAJ 2018 KL

Simulering av ett Multi-skill callcenter Med varierande genomsnittlig betjäningstid beroende på agenters kunskapsnivå

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK069, , kl 8 13.

Fördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Täthetsfunktionen för en kontinuerlig och en diskret stokastisk variabel.

Stokastiska processer med diskret tid

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Optimering av ett patientflöde inom svensk veterinärvård

Kunna definiera laplacetransformen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Kunna definiera z-transformen för en diskret stokastisk variabel.

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

INTRODUKTION TILL MARKOVKEDJOR av Göran Rundqvist, KTH

Föreläsningsanteckningar köteori

Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel.

MALLAR PÅ NÅGRA FRÅGOR I TENTAMEN (OBS! EJ KVALITETSÄKRADE)

. Mängden av alla möjliga tillstånd E k kallas tillståndsrummet.

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Kontrollera att följande punkter är uppfyllda innan rapporten lämnas in: Första sidan är ett försättsblad (laddas ned från kurshemsidan)

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

KONTROLLSKRIVNING 3. Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

Övning 1. Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A

STABILITET FÖR ICKE-LINJÄRA SYSTEM

TAMS79: Föreläsning 6. Normalfördelning

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 22 aug 2011 Tid: :15 Lärare:Armin Halilovic

1 Förberedelser. 2 Teoretisk härledning av värmeförlust LABORATION 4: VÄRMEKRAFTVERK MATEMATISK STATISTIK AK, MAS 101:A, VT-01

Tentamen i FMS180/MASC03 Markovprocesser

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Lösningar till Matematisk analys

Första sidan är ett försättsblad (laddas ned från kurshemsidan) Alla frågor som nns i uppgiftstexten är besvarade

Oberoende stokastiska variabler

Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med

Optimering av ett kösystem på IKEA Kungens Kurva

Händelsestyrd simulering. Inledning. Exempel

TAMS79 / TAMS65 - vt TAMS79 / TAMS65 - vt Formel- och tabellsamling i matematisk statistik. TAMS79 / TAMS65 - vt 2013.

Uppgift 1. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner 2. lim

Markovprocesser SF1904

Markovprocesser SF1904

FMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 5, a 2 e x2 /a 2, x > 0 där a antas vara 0.6.

1 Stokastiska processer. 2 Poissonprocessen

0 annan metod måste tillämpas **************************************************************** vara en stationär punkt dvs f x

Motivet finns att beställa i följande storlekar

TENTAMEN HF1006 och HF1008

SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler. Jörgen Säve-Söderbergh

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

Lycka till!

Reglerteori. Föreläsning 3. Torkel Glad

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 19 nov 07

En bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan finnas endast om mängderna har samma antal element.

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Markovprocesser SF1904

Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

Markovprocesser SF1904

Föreläsning 8 för TNIU23 Integraler och statistik

Sådana avbildningar kallar vi bijektioner mellan A och B (eller från A till B).

Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie

Stokastiska processer med diskret tid

Betygsgränser: För (betyg Fx).

Grundläggande matematisk statistik

TMS136. Föreläsning 4

Föreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära

Introduktion till statistik för statsvetare

Transkript:

Allmänt om KÖSYSTEM (=betjäningssystem). För att definiera ett kösystem måste vi ange ankomstrocessen ( dvs hur kunder ankommer till systemet) och betjäningsrocess (dvs hur lång tid det tar att betjäna dem). Vi inför följande beteckning för att karakterisera ett kösystem A/B/C/D där A står för ankomstintervallens fördelning B står för betjäningstidsfördelningen C står för antalet betjänare D står för antalet kölatser. A och B kan t ex väljas bland följande beteckningar: M (=Markov) om vi har exonentialfördelning G (=General) om fördelningen inte är secificerad D (=Deterministisk) om tiderna är konstanta. Exemelvis M/M//5 betecknar ett kösystem där i) Ankomsttiderna exonentialfördelade (Markovrocess) ii) Betjäningstiderna är exonentialfördelade (Markovrocess) iii) Kösystemet har betjänare iv) Kösystemet har 5 kölatser. Ett M/M/m/K betjäningssystem har följande egenskaer:. Systemet har m betjänare av samma ty.. Betjäningstiderna för kunder i en betjänare är exonentialfördelade med medelvärde x =. Systemet betjänar kunder med intensiteten om en betjänare jobbar, med intensiteten om betjänare jobbar, med intensiteten om betjänare jobbar o.s.v.. Kunder ankommer enligt Poissonrocess med ankomstintensiteten kunder er tidsenhet. (Därmed är ankomsttiderna exonentialfördelade). Kösystemet har begränsat antal kölatser (=K) Systemet M/M/m/K kan modelleras som en födelsedödsrocess med tillstånd,,... k max där k max = (total antal latser i systemet =antalet betjänare + antalet kölatser betjänare) =m+k dvs

k max = m+k. Ankommande kunder kön K kölatser μ μ m betjänare Avgående kunder särr avvisade kunder μμ m betjänare Ankomstintensitet = Betjäningsintensitet =μ Begränsat antal kölatser = K Det största antalet kunder som kan finnas i kösystemet M/M/m/K är k max = m+k Låt Z(t) beteckna antalet kunder i systemet vid tiden t. Z(t) kan anta värden,,,,... k max. Vi betraktar Z(t) som en födelsedödsrocess. Låt k beteckna sannolikheten för k kunder i systemet. För att bestämma stationära sannolikheter använder vi beräkningsmodellen med födelsedödsrocess.

Beteckningar: Stationära sannolikheter; k k är sannolikheten för k kunder i systemet N Medelantal kunder i systemet, N = N q + N s Medelantal kunder i kön N q N Medelantal kunder i betjänarna s x~ Betjäningstid för en kund (stokastisk variabel ) x Medel betjäningstid för en kund, x = E (x ~ ) w ~ Väntetid (=tid i kö) för en kund (stokastisk variabel ) W Medel väntetid för en kund, W = E(w~ ) s~ Total tid i systemet för en kund; ~ s = ~ x + w ~ T Medel totaltid i systemet för en kund T = E(s ~ ), T = W + x Ankomstintensitet Särrade kunder er tidsenhet särr Effektiv ankomstintensitet = - särr Betjäningsintensitet ρ Erbjuden trafik, ρ = Några formler för ett : N = k k k = särr kmax = särr N T = x = T = W + x Littles formler: N = T N q = W N = x s

N = N q + N s ρ =, erbjuden trafik (kallas också "betjäningsfaktor") ρ = säρρ säρρ, särrad trafik ρ =, ektiv trafik Belastning er betjänare = Ns/m ====================================================== ÖVNINGSUPPGIFTER Ugift. Ett system kan modelleras som M/M//. Ankomstintensiteten är kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är = kunder/minut. a) Skissera tillståndsgraf b) Bestäm sannolikheterna,,,,, 5, 6, och, Beräkna c) N = medelantal kunder i systemet, d) särr = särrad ankomstintensitet, och = ektiv ankomstintensitet e) x =medel betjäningstid för en kund, T =medel totaltid i systemet för en kund och W=medel väntetid för en kund f) Nq =medelantal kunder i kön och Ns =medelantal kunder i betjänarna g) erbjuden. avverkad och särrad trafik. Lösning: a) För att rita tillståndsgraf tar vi hänsyn till följande: i) Totalantal latser i systemet är kmax=(antalet betjänare)+(antalet kölatser)=m+k=+= ii) Ankomstintensitet är konstant = kunder er minut. ii) Betjäningsintensiteten för en betjänare är = kunder/minut. Om två betjänare jobbar samtidigt (det händer när vi har exakt två kunder i systemet ) då är systemets betjäningsintensitet = =6 kunder/minut. Om vi har eller flera kunder i systemet så jobbar alla tre betjänare och därmed blir systemets betjäningsintensitet = =9 kunder/minut. Därför har vi följande tillståndsgraf

5 eller b) Med hjäl av teorin för födelsedödsrocesser har vi följande relationer mellan de stationära sannolikheterna k och : =, =, =. = 6 Vi har = = = =., 8 = = = =. 8888889 6 9 å liknande sätt = =.956, =.55899, 5 =.86886 6 =.68598 =.5696

6 För att bestämma substituerar vi ovanstående relationer i ekvationen + + + + och får =.959 = =.5568. Nu är det enkelt att beräkna alla andra stationära sannolikheter. Vi helt enkelt substituerar =.5568 i ovanstående relationer och får: =.9, =.669968, =.559, =.86, 5=.998 6=.8855988, =.959 c) Medelantal kunder i systemet, N= E(Z), bestämmer vi med hjäl av den allmänna formeln för medelvärdet av en diskret stokastiskvariabel: N= E(Z) = z k k k = + + + + + 55 + 6 6 + =.599 d) Medelantal kunder er minut som avvisas från systemet är särr = kmax = kunder/min Medelantal kunder er minut som asserar systemet är = särr =9.8 kunder/min e) x =medel betjäningstid för en kund, W=medel väntetid för en kund. T =medel totaltid i systemet för en kund och Från Littles formel N = T har vi N T = =.6596 min (för en kund) x = = =. min (för en kund) T = W + x W = T x =.866 min (för en kund) f) Nq =medelantal kunder i kön och Ns =medelantal kunder i betjänarna Metod, Littles formler: N q = W =.686 N = x =.8958 s Metod, Direkt beräkning (Medelvärdet av en diskret stokastisk variabel): Låt q j beteckna antalet kunder i kön. Då är Nq= q j j.en kund hamnar i kön om alla betjänarna är utagna (och dessutom finns en ledig kölats). Exemelvis, om vår system( med betjänare och kölatser) är i tillstånd 5 så är tre kunder i betjänarna och i kön. k

I vårt fall har vi följande situation i kön: Tillstånd: 5 6 sannolikhet 5 6 Antalet kunder i kön Därför är Nq= + + + + + + =.686 + 5 6 För antalet kunder i betjänarna har vi följande situation: Tillstånd: 5 6 sannolikhet 5 6 Antalet kunder i betjänarna Därför är Ns= + + + + + + =.8958 + 5 6 g) erbjuden, avverkad och särrad trafik. ρ = = =., erbjuden trafik (kallas också "betjäningsfaktor") säρρ ρsäρρ = =.55, särrad trafik ρ = =.8958, avverkad trafik (eller ektiv trafik ) Tillstånd: 5 6 sannolikhet 5 6 Antalet kunder i betjänarna Ugift. Ett system kan modelleras som M/M// väntsystem. Ankomstintensiteten är 6 kunder/minut och betjäningsintensiteten är = kunder/minut. a) Skissera tillståndsgraf b) Beräkna särrad trafik och avverkad trafik. Svar a)

8 b) Först =, =. 5, =. 5 =. 5, 5 =. 5, 6 =. 5 Substitutionen i + + + + + 6 = ger och därmed särr = kmax =.88695 = särr =9.88 Nu kan vi beräkna särrad och avverkad trafik (=ektiv trafik): särrad trafik= ρ = säρρ säρρ =.59 avverkad trafik (=ektiv trafik) = ρ = =.95. Ugift. Ett system kan modelleras som M/M// väntsystem. Ankomstintensiteten är 5 kunder/sekund och betjäningsintensiteten är = kunder/sekund. a) Skissera tillståndsgraf b) Beräkna avverkad trafik, särrad trafik och anrossärr (sannolikheten att en kund avvisas) Svar: a) Sannolikheterna:

särr = kmax =.6968 = särr =5.85 9 erbjuden trafik= 5. avverkad trafik=.59 särrad trafik=.6 En kund avvisas om den kommer då alla latser i systemet är utagna, i vårt system är därmed anrosärr= kmax =.95 anrosärr=.95 Ugift. Ett system kan modelleras som M/M/5/ väntsystem. Ankomstintensiteten är kunder/minut och medel betjäningstid är x = sekund. Beräkna N, N q, N s och belastning er betjänare. Svar: Från x = sekund er kund får vi att betjäningsintensitet = = kund er sekund eller 6 x kunder er minut. Sannolikheterna: särr = kmax =.69586 = särr =8.68 N=.55696 T=N/ =.89, W = T x =.666 Nq=.5 Ns=.5 Belastning er betjänare = Ns/5=.6

Ugift 5. I en nod i ett datornät betraktar vi en från noden utgående transmissionskanal med tillhörande buffert ( oututkö till kanalen ). Vi antar att vi kan modellera detta system som M/M//5 med ankomstintensitet = 8 meddelanden/ sekund och medelbetjäningstiden (medelöverföringstiden) x =. sekunder. Beräkna : a) T, b) W, c) avverkad och d) särrad trafik i detta system. Svar: Från x =. sekund er meddelande får vi att betjäningsintensitet = = x meddelanden er sekund. 5.5 6 6.95 6 565 6 8 6 6 96 6.66 N 6 6. = 5. särr =.69665 a) T=.868 b) W=.868 c) avverkad trafik=.69 d) särrad trafik=.5.59 6.696 5.659 5 6.89 Ugift 6. I en nod i ett datornät betraktar vi en från noden utgående transmissionskanal med tillhörande buffert ( oututkö till kanalen ). Vi antar att vi kan modellera detta system som M/M//6 med ankomstintensitet = 6 meddelanden/ sekund och medelbetjäningstiden (medelöverföringstiden) x =.5 sekunder. Beräkna sannolikheten att ett meddelande a) slier vänta i bufferten och omedelbart får betjäning b) måste vänta men blir betjänat c) avvisas Svar:

Från x =.5 sekunder er meddelande får vi att betjäningsintensitet = = x meddelanden er sekund. a) Sannolikheten att ett meddelande slier vänta i bufferten och omedelbart får betjäning är =.9 b) Sannolikheten att ett meddelande måste vänta men blir betjänat är + + + + + =.98 5 6 c) Sannolikheten att ett meddelande avvisas är =.5985