Etremvärdesproblem med bivillkor. Laranes metod EXTREMVÄRDESPROBLEM MED BIVILLKOR. LAGRANGES MULTIPLIKATORMETOD Problem. Bestäm lokala eller lobala etremvärden till f... n under bivillkoret... n METOD. Substitutionsmetod. Vi löser ut en variabel ur... n t e n och substituerar i f... n och får ett etremvärdes problem med n- variabler. METOD. Parametriserin. Vi beskriver villkoret... på parameterform med n- parametrar n substituerar t... t... t... t i f... n n n n och får ett etremvärdesproblem med n- variabler. Här ska vi öra nåra uppifter med tredje metoden: n METOD. LAGRANGES MULTIPLIKATORMETOD Två ovanstående metoder leder ibland till stora beräkninar då kan vi försöka lösa problemet med hjälp av Laranes metod. ör att bestämma lokala eller lobala etremvärden till f... under bivillkoret... n bildar vi en n funktion Laranes funktion... n f... n λ... n och bestämmer etrempunkter till funktionen under villkoret. n Parameter λ kallas Laranes multiplikator. Vi använder λ endast som en hjälp-parameter för att på enklare sätt finna... i etrempunkter. n ör att finna etrempunkter till under villkoret löser vi sstemet av 6
Etremvärdesproblem med bivillkor. Laranes metod n Anmärknin. Sällan förekommer i vår kurs men etrempunkter kan också finnas bland lösninar om de finns till följande sstem s k deenererad fall : rad som är ekvivalent med n Uppift. Använd Laranes metod för att bestämma största och minsta värde för funktionen f under villkoret Lösnin: Vi betecknar och bildar Laranes funktion f λ dvs λ. Därefter löser vi sstemet I vårt fall har vi 8 λ λ rån första ekvationen har vi λ som vi substituerar i andra ekv. och får av 6
Etremvärdesproblem med bivillkor. Laranes metod 8 Vi substituerar i tredje ekv. och får ± ± Eftersom har vi två punkter P med och f P och Q med f Q. f och f f Q ma f P Därför är min Anmärknin: Sällan behövs i vår kurs men om man vill vara norann kan man kolla även om deenererade fallet har lösninar : rad 8 inen lösnin för satisfierar inte tredje ekvationen. Uppift. Använd Laranes metod för att bestämma största och minsta värde för funktionen f under villkoret Lösnin: Vi betecknar och bildar Laranes funktion f λ dvs λ. av 6
Etremvärdesproblem med bivillkor. Laranes metod Därefter löser vi sstemet I vårt fall har vi λ8 λ rån första ekvationen har vi λ som vi substituerar i andra ekv. och får 8 9 6 9 6 8 8 8 Vi substituerar i tredje ekv. och får ± Eftersom har vi två punkter P med och 8 f P och Q med och 8 f Q Därför är ma f P 8 f och f min f Q 8 Uppift. Använd Laranes metod för att bestämma största och minsta värde för funktionen f 6 då lier på cirkeln. Svar: f ma i punkten /5 /5 fmin i punkten /5 /5 av 6
Etremvärdesproblem med bivillkor. Laranes metod Uppift. unktioner av tre variabler Bestäm största och minsta värde till f z z under villkoret z Hur vet vi att funktionen antar största och minsta värden på ellipsoiden z? Lösnin: Eftersom z satisfierar z kan vi uppfatta villkoret som funktionens definitionsmänd. Ellipsoiden z är en kompakt beränsad och sluten mänd och funktionen f är kontinuerli. Därför antar f sitt största/ minsta värde på def. mänden. Vi använder Laranes metod för att bestämma funktionens största / minsta värde: Vi betecknar z z och bildar Laranes funktion f z λ z dvs z λ z. Därefter löser vi sstemet z I vårt fall har vi l l l 6lz z z eller l Vi har ovan faktoriserad ekv och fått två enkla ekvationer som vi kombinerar med andra ekvationer i sstemet. På detta sätt får vi två enkla sstem: 5 av 6
Etremvärdesproblem med bivillkor. Laranes metod sstem λ 6λz z och sstem λ λ 6λz z A sstem. rån sstem har vi direkt. rån ekv har vi λ / som vi subst. i ekv och får z. Vi subs z i ekv och får z ±. Därmed har vi två lösninar till sstem: P Q B På samma sätt får vi två lösninar till från sstem : rån ekv har vi λ som vi subst. i ekv och ekv och får / och z/6. Vi substituerar / och z/6 i ekv och får ±. Därmed R S 6 6 När vi beräknar funktionens värden i punkterna PQR och S ser vi att f ma och f min 6 av 6